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2017年5月16日 星期二

國立臺灣大學九十三學年度轉學生入學考試試題詳解

第一部分:計算題
以下五題,任選三題作答。

  1. f(x)={xαsin(1/x)if x0;0if x=0.
    試決定 α 的範圍,使 f 的二階導數處處連續。
  2. 訣竅按照定義直接計算即可探求出 α 應符合的條件。
    解法假定存在滿足條件的 α,我們探求其充分與必要條件如下:
    x0 時,我們有 f(x)=αxα1sin1xxα2cos1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下

    f(0)=limh0f(h)f(0)h=limh0hα1sin1h.

    α>1,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 α1,則上述極限發散。因此我們知道在 α>1下,我們有

    f(x)={αxα1sin1xxα2cos1xif x0,0if x=0.

    再者為了計算二階導函數,我們至少要求 f 為連續函數,也因此在計算極限 limx0f(x) 時,我們需要 α>2 才能使極限存在且為 f(0)

    現在我們來計二階導函數:當 x0 時,我們有 f(x)=α(α1)xα2sin1x+2xα3cos1xxα4sin1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下

    f(0)=limh0f(h)f(0)h=limh0αhα2sin1hhα3cos1h.

    α>3,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 α3 則上述極限發散。
    因此我們知道在 α>3 下,我們有

    f(x)={α(α1)xα2sin1x+2xα3cos1xxα4sin1xif x0,0if x=0.

    然而要讓 f 連續我們還要讓極限式成立:limx0f(x)=f(0)=0,其中便需要要求 α>4

    結論:當且僅當 α>4 能使 f 的二階導函數連續。


  3. 擺線一拱 Γ:{x=θsinθy=1cosθ0<θ<2π
    1. 試證 Γ 垂直 x 軸。
    2. Γx 軸所圍領域 A 的面積。
    3. Ay 軸旋轉,求旋轉體體積。
  4. 訣竅依據參數化的面積與旋轉體體積公式計算;至於證明垂直 x 軸則可以利用參數化來證明在某些 θ 能使 dx/dy=0
    解法
    1. 拱線與 x 軸的交點發生在 θ=0θ=2π 時。因此我們僅須計算在 θ=0θ=2π 時的斜率即可。此參數式所表示的斜率倒數為

      dxdy=dx/dθdy/dθ=1cosθsinθ.

      因此在 θ0+θ2π 時有 dx/dy0,因此在 θ=0θ=2πΓx 軸垂直。
    2. 運用面積公式直接計算如下

      A=θ=2πθ=0y(θ)x(θ)dθ=2π0(1cosθ)2dθ=2π0(12cosθ+cos2θ)dθ=2π0(322cosθ+cos2θ2)dθ=3θ22sinθ+sin2θ4|2π0=3π.

    3. 運用旋轉體體積公式直接計算如下

      V=θ=2πθ=0πy2(θ)x(θ)dθ=π2π0(1cosθ)3dθ=π2π0(13cosθ+3cos2θcos3θ)dθ=π2π0(524cosθ+3cos2θ2+sin2θcosθ)dθ=π(5θ24sinθ+3sin2θ4+sin3θ3)|2π0=5π2.

      【註】 區域 Ay 軸旋轉後產生的曲面如下圖


    1. e:(x(t),y(t))atb 為地平面上的曲線,今在 C 上築籬,於點 (x(t),y(t)) 上的籬高為 f(t),試寫出籬笆的面積公式。
    2. 求圓柱 x2+(y12)2=(12)2 在單位球 x2+y2+z21 內的面積。
  5. 訣竅利用參數化的思想以及微元的計算列出面積公式並計算之。
    解法
    1. 面積公式可以表達如下並利用參數化表示之:

      A=t=bt=af(t)ds=baf(t)[x(t)]2+[y(t)]2dt.

    2. 首先將圓柱參數化有 x=12cosθy=12+12sinθ,其範圍為 0t<2π,而在點 (12cosθ,12+12sinθ) 時被單位球截出的高為 22sinθ。因此所求可以依 a. 列式並計算如下:

      A=2π022sinθ(sinθ2)2+(cosθ2)2dθ=2π01sinθ2dθ=2π01cos(π2θ)2dθ=2π0|sin(π4θ2)|dθ=π/20sin(π4θ2)dθ+2ππ/2sin(θ2π4)dθ=2cos(π4θ2)|π/202cos(θ2π4)|2ππ/2=2(122)2(221)=4.

    【註】

    • 關於定積分 2π0|sin(π4θ2)|dθ 也可以利用週期性與對稱性而簡化計算如下

      A=2π0|sin(π4θ2)|dθ=2π0sinθ2dθ=2cosθ2|2π0=4.

    • 圓柱面 x2+(y1/2)2=1/4 在單位球體 x2+y2+z21 內的圖形如下


  6. f(x)={sinxx,x0,1,x=0.
    1. 試證 fx=0 點可以 Taylor 展開,並寫出此級數。
    2. 估計 10sinxxdx之值,使誤差 <103
    3. an=|nπ(n1)πsinxxdx|,試證:當 n>1 時有 2nπ<an<2(n1)π,從而判斷 0sinxxdx 的收斂/發散。
  7. 訣竅根據均勻收斂的特性與交錯級數的誤差估計,進而達到對瑕積分的面積有確切的估計。
    解法
    1. 根據正弦函數的 Taylor 展開式,可推知 fx=0 的 Taylor 展開如下

      f(x)=k=0(1)kx2k(2k+1)!=1x23!+x45!x67!±for xR.

      【註】 由於正弦函數的解析性及 limx0sinxx=1,可以知道函數 f 在實數上解析。
    2. 根據 a.,計算該積分可得

      10sinxxdx=10k=0(1)kx2k(2k+1)!dx=k=010(1)kx2k(2k+1)!dx=k=0(1)k(2k+1)(2k+1)!=1133!+155!177!±,

      其中由於 177!=135280<103,因此

      |10sinxxdx17031800|=|10sinxxdx(1136+15120)|<135280<103.

      即得 10sinxdx17031800=0.946ˉ1

      【註】 由電子計算機知

      10sinxxdx=0.94608307036718301,

      這表示我們所得到的近似值確實符合所想要的誤差估計。

    3. n=2k+1>1,則 an=(2k+1)π2kπsinxxdx,於是有下列的不等式

      1(2k+1)π(2k+1)π2kπsinxdx(2k+1)π2kπsinxxdx12kπ(2k+1)π2kπsinxdx,

      即有

      2nπan2(n1)π.

      n=2k2 時,則 an=2kπ(2k1)πsinxxdx,於是有下列的不等式

      12kπ2kπ(2k1)πsinxdx2kπ(2k1)πsinxxdx1(2k1)π2kπ(2k1)πsinxdx,

      即有

      2nπan2(n1)π.

      由此我們將瑕積分 0sinxxdx 分為兩段 π0sinxxdxπsinxxdx

      首先前者為 a1,由於在 x0 時具有極限,因而此瑕積分可以容易受到控制而有界。針對後者我們考慮如下的加總與極限:

      πsinxxdx=limttπsinxxdx=limttnπsinxxdx+n1k=1(k+1)πkπsinxxdx=k=1(1)kak+1.

      利用交錯級數審歛法我們知道該級數收斂,因而該瑕積分也收斂。
      進而由這兩個積分的收斂可知原題所問之瑕積分也收斂。

  8. F=(yx2+y2,xx2+y2)R2{(0,0)} 上的向量場。
    試就下列(a), (b), (c)三情況,分別求 CFTds 之值,其中 C 為平面上的封閉曲線,TC 上逆時向單位切向量,dsC 上弧元。
    1. C:x2+y2=1 (含原點)
    2. C:(x2)2+y2=1 (不含原點)
    3. C:(x1)2+y2=1 (過原點)
  9. 訣竅利用參數化或 Green 定理來求解。
    解法
    1. x=costy=sint,其中 0t2π,如此原線積分可列式並計算

      CFTds=2π0(sintcos2t+sin2tsint+costcos2t+sin2tcost)dt=2π01dt=2π.

    2. 運用 Green 定理,我們可以所求的線積分改寫下列的重積分

      CFTds=D(xxx2+y2yyx2+y2)dxdy=D0dA=0,

      其中 D={(x,y)R2:(x2)2+y2=1}
    3. x=1+costy=sint,其中 0t2π。如此題目所求之線積分可以改寫並計算如下:

      CFTds=2π0(sint(1+cost)2+sin2tsint+1+cost(1+cost)2+sin2tcost)dt=2π01+cost2+2costdt=2π012dt=π.

第二部分:推演與證明
以下五題,任選三題作答

  1. f(x,y) 的一階偏導數連續,f(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))
    1. 試證 f(x0,y0) 恆指出 f 在點 (x0,y0) 方向導數(Directional derivative)最大的方向。
    2. k=f(x0,y0)fk 等高線 Ck={(x,y)|f(x,y)=k}。試證:f(x0,y0) 垂直 Ck
  2. 訣竅根據梯度具有的幾何意義性質進行考慮即可。
    解法
    1. 根據方向導數的計算公式如下:設 u 為單位向量,則 f(x0,y0) 處沿 u 的方向導數為

      Duf(x0,y0)=f(x0,y0)u.

      透過 Cauchy 不等式可知下列的不等式關係:

      Duf(x0,y0)|f(x0,y0)||u|

      其中當 u=f(x0,y0) 能使方向導數達到最大值。
    2. 我們將此等高線參數化為 (x(t),y(t)),其中當 t=t0 時有 (x(t0),y(t0))=(x0,y0)
      此時對任意的實數 t 恆有 f(x(t),y(t))=k。對 t 的求導,可得

      fx(x(t),y(t))dxdt+fy(x(t),y(t))dydt=0,

      亦即 \nabla f(x(t),y(t))\cdot\left(x'(t),y'(t))=0,因此梯度向量與高等線的切向量垂直,但這個等式是任何的 t 皆成立,因此我們取 t=t0,故有 f(x0,y0)Ck 垂直。

  3. f 在點 (x0,y0) 附近的二階偏導數連續。
    1. 請寫出適當條件,以確保 f(x0,y0) 點取極小值。
    2. 證明你的定理。
  4. 訣竅利用多變數微分求極值與二階偏導數判別法等知識回答問題。
    解法
    1. 假定 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0。若 fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2>0fxx(x0,y0)>0,則 f(x0,y0) 取極小值。
    2. (h,k)(0,0) 附近的點,則根據 Taylor 定理可得到

      f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(fx(x0,y0),fy(x0,y0))(h,k)+12![hk]T[fxx(x0,y0)fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)fyy(x0,y0)][hk]+R2(x0,y0)(h,k).

      我們可以宣稱 fx(x0,y0)=fy(x0,y0),這是因為此為達到極值的必要條件。這是因為如果在 (x0,y0) 處達到極小值,則我們計算偏導數時分為左右極限計算時便可發現非正非負,因而為零,因此當一階偏導數非零時便不可能為極小值。在前述的必要條件下,我們利用線性代數的知識可以曉得二階矩陣為正定,因而有 f(x0+h,y0+k)f(x0,y0)>0


    1. 欲決定 α 使 f(α)=10|x2α|dx 最小。設直線 y=α 與直線 x=0,拋物線 y=x2 以及直線 x=1,分別交於 A,B,C 三點(如圖)。試證:當 ¯AB=¯BC 時,f(α) 取最小值,從而求出 α 之值。
    2. 決定 α,使 D|x2+y2α|dxdy 最小,其中 D=[1,1]×[1,1]
  5. 訣竅考慮當 α 變動時的量變化去思考;根據不同情形的 α 分段進行討論後以微分求出極值。
    解法一
    1. 根據題目所述,當 ¯AB=¯BC 時,即有 ¯AB=¯BC=1/2,此時 α=1/4。假若將 α 增大為 α,則 ¯AB 增加為 ¯AB¯BC 減少為 ¯BC,於此同時積分值會增加 K 的面積減少 M 的面積,其中 Ky=αy=αx=0y=x2 所組成的區域;My=αy=αx=1y=x2 所組成的區域。容易注意到 K>M,從而將 α 增大不會讓面積減少。類似地,將 α 減少也會有同樣的效果。如此本命題證畢。
    2. 基於前一小題的想法,我們要使 x2+y2α 的區域面積與 x2+y2α 且在 D 中的面積相等才可,如此可知該面積應為 2,進而求出 α=2/π
    解法二
    1. 假若 α1,則當 x[0,1] 時有 x2α0,進而 f(α)=(3α1)/3;假若 α0,則當 x[0,1] 時有 x2α0,進而 f(α)=(13α)/3

      現在我們考慮 α(0,1) 時的情形如下:
      α 介在 01 之間時,我們知道 y=αy=x2 交於 (α,α)。也知道當 x[0,α] 時有 x2α0;而當 x[α,1] 時有 x2α0。因此

      f(α)=α0(αx2)dx+1α(x2α)dx=2αα3+[(13α)(αα3αα)]=4αα3α+13.

      為了求出極值,我們計算其導函數有

      f(α)=2α1for α(0,1).

      因此解 f(α)=0 時可得 α=1/4

      計算有 f(1)=2/3f(0)=1/3f(1/4)=1/4,因此在 α=1/4 處可取最小值,此時 ¯AB=¯BC。故當 ¯AB=¯BC 時可使 α=1/4,進而使 f 取最小值。
    2. 首先令 g(α)=D|x2+y2α|dxdy
      α2,則 x2+y2α0,因此所求的積分之值可以計算如下:

      g(α)=1111(αx2y2)dxdy=11αxx33xy2|11dy=11(2α232y2)dy=2αy2y32y33|11=4α83.

      α0,則 x2+y20,因此所求的積分值可以透過上述類似的計算可得值為 834α

      而若 0α1,則所求的積分可以改寫並計算如下:

      g(α)=D(x2+y2α)dxdy2Bα(0)(x2+y2α)dxdy=834α22π0α0(r2α)rdrdθ=834α4π(r44r2α2)|α0=834α+πα2.

      而若 1α2,則所求的積分可以表示如下:

      g(α)=D(αx2y2)dxdy+28K(x2+y2α)dxdy,

      其中 K={(x,y)R2:x2+y2α, 1>x>y>0.}。因此所求的積分可以計算如下:

      g(α)=4α83+16π/4sec1(α)secθα(r2α)rdrdθ=4α83+16π/4sec1(α)r44r2α2|secθαdθ=4α83+16π/4sec1(α)(sec4θ4αsec2θ2+α24)dθ=4α+83+πα2+4αα1+83(α1)α14α2sec1(α).

      因此根據上列的計算可得

      g(α)={834αif α0;834α+πα2if 0α1;4α+83+πα2+4αα1+83(α1)α14α2sec1αif 1α2;4α83if  2α.

      其中 g 的函數圖形如下:
      因此分段計算其一階導函數與二階導函數有

      g(α)={4if α0;4+2παif 0α1;4+2πα+8α18αsec1(α)if  1α2;4if 2α,g(α)={0if α<0;2πif 0<α1;2π8sec1(α)if 1α2;0if 2α.

      注意到可在 0α1 中取 α=2/π 使得 g(2/π)=0。而且由於 g(α)0,從而 g 遞增,進而可知僅當在 α=2/π 使斜率為零,且該處為極小值。

  6. f(x)=ex2xet2dt
    1. limxf(x)
    2. f(x)
    3. 試證 f(0,) 上遞減。
  7. 訣竅本題旨在使用微積分基本定理,其中第一小題應再配合使用 L'H\^opital 法則。
    解法
    1. 利用 L'H\^opital 法則與微積分基本定理計算如下:

      limxf(x)=limxxet2dtex2=limxex22xex2=limx12x=0.

    2. 利用 Leibniz 法則並配合微積分基本定理進行微分如下

      f(x)=ex2ex2+2xex2xet2dt=1+2xex2xet2dt.

    3. 根據 b. 我們知道

      f(x)1+2ex2xtet2dt=1ex2t2|x=0for x>0.

      因此 f(0,) 上遞減。

  8. A={(x,y)|x>0,y>0,x+y<2}xy 平面上的等腰直角三角形,其面積為 1B={(u,v)|0<u<1,0<v<1}uv 平面上單位正方形。今欲找一保面積寫像 T:AB,使 T(Ω) 的面積 =Ω 的面積,對一切可測集 ΩA 成立。
    想法如下:對 0<x<2,令 α(x)=A[0,x] 上的面積(左圖斜線域)今把 A 中斜線域映成 B 中斜線域使 ¯PQ 比例映至 ¯PQ(如圖所示)
    1. 根據上述想法,請寫出 T
    2. 證明 T 確為保面積寫像。
  9. 訣竅直接題幹的敘述處理即可。
    解法
    1. Q(x,0),則 P(x,2x),因此可以求出 α(x) 如下

      α(x)=[2+(2x)]x2=2xx22for 0<x<2.

      因此我們令 T 如下:

      (u,v)=T(x,y)=(2xx22,y2x).

    2. 我們可以驗算 T 逐點的面積改變率如下:

      ||uxuyvyvy||=||2x0y(2x)212x||=1.

      因此各點的面積變化率皆為 1,這表明 T 為保面積變換。

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