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2017年5月16日 星期二

國立臺灣大學九十三學年度轉學生入學考試試題詳解

第一部分:計算題
以下五題,任選三題作答。

  1. f(x)={xαsin(1/x)if x0;0if x=0.
    試決定 α 的範圍,使 f 的二階導數處處連續。
  2. 訣竅按照定義直接計算即可探求出 α 應符合的條件。
    解法假定存在滿足條件的 α,我們探求其充分與必要條件如下:
    x0 時,我們有 f(x)=αxα1sin1xxα2cos1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下

    f(0)=lim

    \alpha>1,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 \alpha\leq1,則上述極限發散。因此我們知道在 \alpha>1下,我們有

    f'(x)=\begin{cases}\displaystyle\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac1x-x^{\alpha-2}\cos\frac1x&\text{if}~x\neq0,\\0&\text{if}~x=0.\end{cases}

    再者為了計算二階導函數,我們至少要求 f' 為連續函數,也因此在計算極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f'(x) 時,我們需要 \alpha>2 才能使極限存在且為 f'(0)

    現在我們來計二階導函數:當 x\neq0 時,我們有 \displaystyle f''(x)=\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}\sin\frac1x+2x^{\alpha-3}\cos\frac1x-x^{\alpha-4}\sin\frac1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下

    \begin{aligned}f''(0)&=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-f'(0)}h\\&=\lim_{h\to0}\alpha h^{\alpha-2}\sin\frac1h-h^{\alpha-3}\cos\frac1h.\end{aligned}

    \alpha>3,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 \alpha\leq3 則上述極限發散。
    因此我們知道在 \alpha>3 下,我們有

    f''(x)=\begin{cases}\displaystyle\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}\sin\frac1x+2x^{\alpha-3}\cos\frac1x-x^{\alpha-4}\sin\frac1x&\text{if}~x\neq0,\\0&\text{if}~x=0.\end{cases}

    然而要讓 f'' 連續我們還要讓極限式成立:\displaystyle\lim_{x\to0}f''(x)=f''(0)=0,其中便需要要求 \alpha>4

    結論:當且僅當 \alpha>4 能使 f 的二階導函數連續。


  3. 擺線一拱 \Gamma:\left\{\begin{aligned}&x=\theta-\sin\theta\\&y=1-\cos\theta\end{aligned}\right.0<\theta<2\pi
    1. 試證 \Gamma 垂直 x 軸。
    2. \Gammax 軸所圍領域 A 的面積。
    3. Ay 軸旋轉,求旋轉體體積。
  4. 訣竅依據參數化的面積與旋轉體體積公式計算;至於證明垂直 x 軸則可以利用參數化來證明在某些 \theta 能使 \mathrm dx/\mathrm dy=0
    解法
    1. 拱線與 x 軸的交點發生在 \theta=0\theta=2\pi 時。因此我們僅須計算在 \theta=0\theta=2\pi 時的斜率即可。此參數式所表示的斜率倒數為

      \displaystyle\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{\mathrm dx/\mathrm d\theta}{\mathrm dy/\mathrm d\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.

      因此在 \theta\to0^+\theta\to2\pi^- 時有 \mathrm dx/\mathrm dy\to0,因此在 \theta=0\theta=2\pi\Gammax 軸垂直。
    2. 運用面積公式直接計算如下

      \begin{aligned}A&=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\!y(\theta)x'(\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!(1-\cos\theta)^2\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!(1-2\cos\theta+\cos^2\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\left(\frac32-2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}2\right)\,\mathrm d\theta\\&=\left.\frac{3\theta}2-2\sin\theta+\frac{\sin2\theta}4\right|_0^{2\pi}=3\pi.\end{aligned}

    3. 運用旋轉體體積公式直接計算如下

      \begin{aligned}V&=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\!\pi y^2(\theta)x'(\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\pi\int_0^{2\pi}\!(1-\cos\theta)^3\,\mathrm d\theta\\&=\pi\int_0^{2\pi}\!(1-3\cos\theta+3\cos^2\theta-\cos^3\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\pi\int_0^{2\pi}\!\left(\frac52-4\cos\theta+\frac{3\cos2\theta}2+\sin^2\theta\cos\theta\right)\,\mathrm d\theta\\&=\pi\left.\left(\frac{5\theta}2-4\sin\theta+\frac{3\sin2\theta}4+\frac{\sin^3\theta}3\right)\right|_0^{2\pi}=5\pi^2.\end{aligned}

      【註】 區域 Ay 軸旋轉後產生的曲面如下圖


    1. e:(x(t),y(t))a\leq t\leq b 為地平面上的曲線,今在 C 上築籬,於點 (x(t),y(t)) 上的籬高為 f(t),試寫出籬笆的面積公式。
    2. 求圓柱 \displaystyle x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\left(\frac12\right)^2 在單位球 x^2+y^2+z^2\leq1 內的面積。
  5. 訣竅利用參數化的思想以及微元的計算列出面積公式並計算之。
    解法
    1. 面積公式可以表達如下並利用參數化表示之:

      \begin{aligned}A&=\int_{t=a}^{t=b}\!f(t)\,\mathrm ds\\&=\int_a^b\!f(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\mathrm dt.\end{aligned}

    2. 首先將圓柱參數化有 \displaystyle x=\frac12\cos\theta\displaystyle y=\frac12+\frac12\sin\theta,其範圍為 0\leq t<2\pi,而在點 \displaystyle\left(\frac12\cos\theta,\frac12+\frac12\sin\theta\right) 時被單位球截出的高為 \sqrt{2-2\sin\theta}。因此所求可以依 a. 列式並計算如下:

      \begin{aligned}A&=\int_0^{2\pi}\!\sqrt{2-2\sin\theta}\cdot\sqrt{\left(-\frac{\sin\theta}2\right)^2+\left(\frac{\cos\theta}2\right)^2}\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\sqrt{\frac{1-\sin\theta}2}\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\sqrt{\frac{1-\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)}2}\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{\pi/2}\!\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\,\mathrm d\theta+\int_{\pi/2}^{2\pi}\!\sin\left(\frac\theta2-\frac\pi4\right)\,\mathrm d\theta\\&=\left.2\cos\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|_0^{\pi/2}-2\left.\cos\left(\frac\theta2-\frac\pi4\right)\right|_{\pi/2}^{2\pi}\\&=2\left(1-\frac{\sqrt2}2\right)-2\left(-\frac{\sqrt2}2-1\right)=4.\end{aligned}

    【註】

    • 關於定積分 \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|\,\mathrm d\theta 也可以利用週期性與對稱性而簡化計算如下

      \begin{aligned}A&=\int_0^{2\pi}\!\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\sin\frac\theta2\,\mathrm d\theta\\&=\left.-2\cos\frac\theta2\right|_0^{2\pi}=4.\end{aligned}

    • 圓柱面 x^2+(y-1/2)^2=1/4 在單位球體 x^2+y^2+z^2\leq1 內的圖形如下


  6. \displaystyle f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sin x}x,&x\neq0,\\1,&x=0.\end{cases}
    1. 試證 fx=0 點可以 Taylor 展開,並寫出此級數。
    2. 估計 \displaystyle\int_0^1\frac{\sin x}x\,dx之值,使誤差 <10^{-3}
    3. \displaystyle a_n=\left|\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\right|,試證:當 n>1 時有 \displaystyle\frac2{n\pi}<a_n<\frac2{(n-1)\pi},從而判斷 \displaystyle\int_0^\infty\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx 的收斂/發散。
  7. 訣竅根據均勻收斂的特性與交錯級數的誤差估計,進而達到對瑕積分的面積有確切的估計。
    解法
    1. 根據正弦函數的 Taylor 展開式,可推知 fx=0 的 Taylor 展開如下

      \displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}\pm\cdots\quad\text{for}~x\in\mathbb R.

      【註】 由於正弦函數的解析性及 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1,可以知道函數 f 在實數上解析。
    2. 根據 a.,計算該積分可得

      \begin{aligned}\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx&=\int_0^1\!\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}\,\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^\infty\int_0^1\!(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}\,\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)(2k+1)!}\\&=1-\frac1{3\cdot3!}+\frac1{5\cdot5!}-\frac1{7\cdot7!}\pm\cdots,\end{aligned}

      其中由於 \displaystyle\frac1{7\cdot7!}=\frac1{35280}<10^{-3},因此

      \displaystyle\left|\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx-\frac{1703}{1800}\right|=\left|\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx-\left(1-\frac1{3\cdot6}+\frac1{5\cdot120}\right)\right|<\frac1{35280}<10^{-3}.

      即得 \displaystyle\int_0^1\!\frac{\sin x}\,\mathrm dx\approx\frac{1703}{1800}=0.946\bar1

      【註】 由電子計算機知

      \displaystyle\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=0.94608307036718301\dots,

      這表示我們所得到的近似值確實符合所想要的誤差估計。

    3. n=2k+1>1,則 \displaystyle a_n=\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx,於是有下列的不等式

      \displaystyle\frac1{(2k+1)\pi}\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\sin x\,\mathrm dx\leq\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\leq\frac1{2k\pi}\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\sin x\,\mathrm dx,

      即有

      \displaystyle\frac2{n\pi}\leq a_n\leq\frac2{(n-1)\pi}.

      n=2k\geq2 時,則 \displaystyle a_n=-\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx,於是有下列的不等式

      \displaystyle-\frac1{2k\pi}\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\sin x\,\mathrm dx\leq-\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\leq-\frac1{(2k-1)\pi}\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\sin x\,\mathrm dx,

      即有

      \displaystyle\frac2{n\pi}\leq a_n\leq\frac2{(n-1)\pi}.

      由此我們將瑕積分 \displaystyle\int_0^\infty\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx 分為兩段 \displaystyle\int_0^\pi\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\displaystyle\int_\pi^\infty\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx

      首先前者為 a_1,由於在 x\to0 時具有極限,因而此瑕積分可以容易受到控制而有界。針對後者我們考慮如下的加總與極限:

      \begin{aligned}\int_\pi^\infty\!\frac{\sin x}x\,dx&=\lim_{t\to\infty}\int_\pi^t\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=\lim_{t\to\infty}\int_{n\pi}^t\frac{\sin x}x\,\mathrm dx+\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\\&=\sum_{k=1}^\infty(-1)^ka_{k+1}.\end{aligned}

      利用交錯級數審歛法我們知道該級數收斂,因而該瑕積分也收斂。
      進而由這兩個積分的收斂可知原題所問之瑕積分也收斂。

  8. \displaystyle\vec F=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac x{x^2+y^2}\right)\mathbb R^2-\{(0,0)\} 上的向量場。
    試就下列(a), (b), (c)三情況,分別求 \int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds 之值,其中 C 為平面上的封閉曲線,\vec TC 上逆時向單位切向量,\mathrm dsC 上弧元。
    1. C:\,x^2+y^2=1 (含原點)
    2. C:\,(x-2)^2+y^2=1 (不含原點)
    3. C:\,(x-1)^2+y^2=1 (過原點)
  9. 訣竅利用參數化或 Green 定理來求解。
    解法
    1. x=\cos ty=\sin t,其中 0\leq t\leq2\pi,如此原線積分可列式並計算

      \displaystyle\int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds=\int_0^{2\pi}\!\left(\frac{-\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}\cdot-\sin t+\frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cdot\cos t\right)\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}\!1\,\mathrm dt=2\pi.

    2. 運用 Green 定理,我們可以所求的線積分改寫下列的重積分

      \displaystyle\int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds=\iint_D\!\left(\frac\partial{\partial x}\frac x{x^2+y^2}-\frac\partial{\partial y}\frac{-y}{x^2+y^2}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint_D\!0\,\mathrm dA=0,

      其中 D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,(x-2)^2+y^2=1\}
    3. x=1+\cos ty=\sin t,其中 0\leq t\leq2\pi。如此題目所求之線積分可以改寫並計算如下:

      \begin{aligned}\int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds&=\int_0^{2\pi}\!\left(\frac{-\sin t}{(1+\cos t)^2+\sin^2t}\cdot-\sin t+\frac{1+\cos t}{(1+\cos t)^2+\sin^2t}\cdot\cos t\right)\,\mathrm dt\\&=\int_0^{2\pi}\!\frac{1+\cos t}{2+2\cos t}\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}\!\frac12\,\mathrm dt=\pi.\end{aligned}

第二部分:推演與證明
以下五題,任選三題作答

  1. f(x,y) 的一階偏導數連續,\nabla f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))
    1. 試證 \nabla f(x_0,y_0) 恆指出 f 在點 (x_0,y_0) 方向導數(Directional derivative)最大的方向。
    2. k=f(x_0,y_0)fk 等高線 C_k=\{(x,y)\,|\,f(x,y)=k\}。試證:\nabla f(x_0,y_0) 垂直 C_k
  2. 訣竅根據梯度具有的幾何意義性質進行考慮即可。
    解法
    1. 根據方向導數的計算公式如下:設 \vec u 為單位向量,則 f(x_0,y_0) 處沿 \vec u 的方向導數為

      D_{\vec u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec u.

      透過 Cauchy 不等式可知下列的不等式關係:

      D_{\vec u}f(x_0,y_0)\leq|\nabla f(x_0,y_0)||\vec u|

      其中當 \vec u=\nabla f(x_0,y_0) 能使方向導數達到最大值。
    2. 我們將此等高線參數化為 (x(t),y(t)),其中當 t=t_0 時有 (x(t_0),y(t_0))=(x_0,y_0)
      此時對任意的實數 t 恆有 f(x(t),y(t))=k。對 t 的求導,可得

      \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0,

      亦即 \nabla f(x(t),y(t))\cdot\left(x'(t),y'(t))=0,因此梯度向量與高等線的切向量垂直,但這個等式是任何的 t 皆成立,因此我們取 t=t_0,故有 \nabla f(x_0,y_0)C_k 垂直。

  3. f 在點 (x_0,y_0) 附近的二階偏導數連續。
    1. 請寫出適當條件,以確保 f(x_0,y_0) 點取極小值。
    2. 證明你的定理。
  4. 訣竅利用多變數微分求極值與二階偏導數判別法等知識回答問題。
    解法
    1. 假定 f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0。若 f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-(f_{xy}(x_0,y_0))^2>0f_{xx}(x_0,y_0)>0,則 f(x_0,y_0) 取極小值。
    2. (h,k)(0,0) 附近的點,則根據 Taylor 定理可得到

      \begin{aligned}f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))\cdot(h,k)\\&+\frac1{2!}\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}f_{xx}(x_0,y_0)&f_{xy}(x_0,y_0)\\f_{yx}(x_0,y_0)&f_{yy}(x_0,y_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}+R_{(x_0,y_0)}^2(h,k).\end{aligned}

      我們可以宣稱 f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0),這是因為此為達到極值的必要條件。這是因為如果在 (x_0,y_0) 處達到極小值,則我們計算偏導數時分為左右極限計算時便可發現非正非負,因而為零,因此當一階偏導數非零時便不可能為極小值。在前述的必要條件下,我們利用線性代數的知識可以曉得二階矩陣為正定,因而有 f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)>0


    1. 欲決定 \alpha 使 \displaystyle f(\alpha)=\int_0^1\!|x^2-\alpha|\,\mathrm dx 最小。設直線 y=\alpha 與直線 x=0,拋物線 y=x^2 以及直線 x=1,分別交於 A,B,C 三點(如圖)。試證:當 \overline{AB}=\overline{BC} 時,f(\alpha) 取最小值,從而求出 \alpha 之值。
    2. 決定 \alpha,使 \displaystyle\iint_D\!|x^2+y^2-\alpha|\,\mathrm dx\,\mathrm dy 最小,其中 D=[-1,1]\times[-1,1]
  5. 訣竅考慮當 \alpha 變動時的量變化去思考;根據不同情形的 \alpha 分段進行討論後以微分求出極值。
    解法一
    1. 根據題目所述,當 \overline{AB}=\overline{BC} 時,即有 \overline{AB}=\overline{BC}=1/2,此時 \alpha=1/4。假若將 \alpha 增大為 \alpha',則 \overline{AB} 增加為 \overline{AB'}\overline{BC} 減少為 \overline{BC'},於此同時積分值會增加 K 的面積減少 M 的面積,其中 Ky=\alphay=\alpha'x=0y=x^2 所組成的區域;My=\alphay=\alpha'x=1y=x^2 所組成的區域。容易注意到 K> M,從而將 \alpha 增大不會讓面積減少。類似地,將 \alpha 減少也會有同樣的效果。如此本命題證畢。
    2. 基於前一小題的想法,我們要使 x^2+y^2\leq\alpha 的區域面積與 x^2+y^2\geq\alpha 且在 D 中的面積相等才可,如此可知該面積應為 2,進而求出 \alpha=2/\pi
    解法二
    1. 假若 \alpha\geq1,則當 x\in[0,1] 時有 x^2-\alpha\leq0,進而 f(\alpha)=(3\alpha-1)/3;假若 \alpha\leq0,則當 x\in[0,1] 時有 x^2-\alpha\geq0,進而 f(\alpha)=(1-3\alpha)/3

      現在我們考慮 \alpha\in(0,1) 時的情形如下:
      \alpha 介在 01 之間時,我們知道 y=\alphay=x^2 交於 (\sqrt\alpha,\alpha)。也知道當 x\in[0,\sqrt\alpha] 時有 x^2-\alpha\leq0;而當 x\in[\sqrt\alpha,1] 時有 x^2-\alpha\geq0。因此

      \begin{aligned}f(\alpha)&=\int_0^{\sqrt\alpha}\!(\alpha-x^2)\,\mathrm dx+\int_{\sqrt\alpha}^1\!(x^2-\alpha)\,\mathrm dx\\&=\frac{2\alpha\sqrt\alpha}3+\left[\left(\frac13-\alpha\right)-\left(\frac{\alpha\sqrt\alpha}3-\alpha\sqrt\alpha\right)\right]\\&=\frac{4\alpha\sqrt\alpha}3-\alpha+\frac13.\end{aligned}

      為了求出極值,我們計算其導函數有

      f'(\alpha)=2\sqrt\alpha-1\quad\text{for}~\alpha\in(0,1).

      因此解 f'(\alpha)=0 時可得 \alpha=1/4

      計算有 f(1)=2/3f(0)=1/3f(1/4)=1/4,因此在 \alpha=1/4 處可取最小值,此時 \overline{AB}=\overline{BC}。故當 \overline{AB}=\overline{BC} 時可使 \alpha=1/4,進而使 f 取最小值。
    2. 首先令 \displaystyle g(\alpha)=\iint_D\!|x^2+y^2-\alpha|\,\mathrm dx\,\mathrm dy
      \alpha\geq2,則 x^2+y^2-\alpha\leq0,因此所求的積分之值可以計算如下:

      \begin{aligned}g(\alpha)&=\int_{-1}^1\!\int_{-1}^1\!(\alpha-x^2-y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\&=\int_{-1}^1\!\left.\alpha x-\frac{x^3}3-xy^2\right|_{-1}^1\,\mathrm dy\\&=\int_{-1}^1\!\left(2\alpha-\frac23-2y^2\right)\,\mathrm dy\\&=\left.2\alpha y-\frac{2y}3-\frac{2y^3}3\right|_{-1}^1=4\alpha-\frac83.\end{aligned}

      \alpha\leq0,則 x^2+y^2\geq0,因此所求的積分值可以透過上述類似的計算可得值為 \displaystyle\frac83-4\alpha

      而若 0\leq\alpha\leq1,則所求的積分可以改寫並計算如下:

      \begin{aligned}g(\alpha)&=\iint_D\!(x^2+y^2-\alpha)\,\mathrm dx\,\mathrm dy-2\iint_{B_{\sqrt\alpha}(0)}\!(x^2+y^2-\alpha)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\&=\frac83-4\alpha-2\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt\alpha}\!(r^2-\alpha)\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\\&=\frac83-4\alpha-4\pi\left.\left(\frac{r^4}4-\frac{r^2\alpha}2\right)\right|_0^{\sqrt\alpha}\\&=\frac83-4\alpha+\pi\alpha^2.\end{aligned}

      而若 1\leq\alpha\leq2,則所求的積分可以表示如下:

      \begin{aligned}g(\alpha)&=\iint_D\!(\alpha-x^2-y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy+2\cdot8\iint_K\!(x^2+y^2-\alpha)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\end{aligned}

      其中 K=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\geq\alpha,~1>x>y>0.\}。因此所求的積分可以計算如下:

      \begin{aligned}g(\alpha)&=4\alpha-\frac83+16\int_{\sec^{-1}(\sqrt\alpha)}^{\pi/4}\!\int_{\sqrt\alpha}^{\sec\theta}\!(r^2-\alpha)\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\\&=4\alpha-\frac83+16\int_{\sec^{-1}(\sqrt\alpha)}^{\pi/4}\left.\frac{r^4}4-\frac{r^2\alpha}2\right|_{\sqrt\alpha}^{\sec\theta}\,\mathrm d\theta\\&=4\alpha-\frac83+16\int_{\sec^{-1}(\sqrt\alpha)}^{\pi/4}\!\left(\frac{\sec^4\theta}4-\frac{\alpha\sec^2\theta}2+\frac{\alpha^2}4\right)\,\mathrm d\theta\\&=-4\alpha+\frac83+\pi\alpha^2+4\alpha\sqrt{\alpha-1}+\frac83\left(\alpha-1\right)\sqrt{\alpha-1}-4\alpha^2\sec^{-1}(\sqrt\alpha).\end{aligned}

      因此根據上列的計算可得

      \displaystyle g(\alpha)=\begin{cases}\displaystyle\frac83-4\alpha&\text{if}~\alpha\leq0;\\\displaystyle\frac83-4\alpha+\pi\alpha^2&\text{if}~0\leq\alpha\leq1;\\\displaystyle-4\alpha+\frac83+\pi\alpha^2+4\alpha\sqrt{\alpha-1}+\frac83(\alpha-1)\sqrt{\alpha-1}-4\alpha^2\sec^{-1}\sqrt\alpha&\text{if}~1\leq\alpha\leq2;\\\displaystyle4\alpha-\frac83&\text{if }~2\leq\alpha.\end{cases}

      其中 g 的函數圖形如下:
      因此分段計算其一階導函數與二階導函數有

      \begin{aligned}&g'(\alpha)=\begin{cases}-4&\text{if}~\alpha\leq0;\\-4+2\pi\alpha&\text{if}~0\leq\alpha\leq1;\\-4+2\pi\alpha+8\sqrt{\alpha-1}-8\alpha\sec^{-1}(\sqrt\alpha)&\text{if }~1\leq\alpha\leq2;\\4&\text{if}~2\leq\alpha,\end{cases}\\&g''(\alpha)=\begin{cases}0&\text{if}~\alpha<0;\\2\pi&\text{if}~0<\alpha\leq1;\\2\pi-8\sec^{-1}(\sqrt\alpha)&\text{if}~1\leq\alpha\leq2;\\0&\text{if}~2\leq\alpha.\end{cases}\end{aligned}

      注意到可在 0\leq\alpha\leq1 中取 \alpha=2/\pi 使得 g'(2/\pi)=0。而且由於 g''(\alpha)\geq0,從而 g' 遞增,進而可知僅當在 \alpha=2/\pi 使斜率為零,且該處為極小值。

  6. \displaystyle f(x)=e^{x^2}\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt
    1. \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)
    2. f'(x)
    3. 試證 f(0,\infty) 上遞減。
  7. 訣竅本題旨在使用微積分基本定理,其中第一小題應再配合使用 L'H\^opital 法則。
    解法
    1. 利用 L'H\^opital 法則與微積分基本定理計算如下:

      \begin{aligned}\lim_{x\to\infty}f(x)&=\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt}{e^{-x^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{-e^{-x^2}}{-2xe^{-x^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac1{2x}=0.\end{aligned}

    2. 利用 Leibniz 法則並配合微積分基本定理進行微分如下

      \displaystyle f'(x)=e^{x^2}\cdot-e^{-x^2}+2xe^{x^2}\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt=-1+2xe^{x^2}\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt.

    3. 根據 b. 我們知道

      \begin{aligned}f'(x)&\leq-1+2e^{x^2}\int_x^\infty\!te^{-t^2}\,\mathrm dt&=-1-e^{x^2-t^2}\Big|_x^\infty=0\quad\text{for}~x>0.\end{aligned}

      因此 f(0,\infty) 上遞減。

  8. A=\{(x,y)\,|\,x>0,\,y>0,\,x+y<\sqrt2\}xy 平面上的等腰直角三角形,其面積為 1B=\{(u,v)\,|\,0<u<1,\,0<v<1\}uv 平面上單位正方形。今欲找一保面積寫像 T:A\to B,使 T(\Omega) 的面積 =\Omega 的面積,對一切可測集 \Omega\subset A 成立。
    想法如下:對 0<x<\sqrt2,令 \alpha(x)=A[0,x] 上的面積(左圖斜線域)今把 A 中斜線域映成 B 中斜線域使 \overline{PQ} 比例映至 \overline{P'Q'}(如圖所示)
    1. 根據上述想法,請寫出 T
    2. 證明 T 確為保面積寫像。
  9. 訣竅直接題幹的敘述處理即可。
    解法
    1. Q(x,0),則 P(x,\sqrt2-x),因此可以求出 \alpha(x) 如下

      \displaystyle\alpha(x)=\frac{[\sqrt2+(\sqrt2-x)]\cdot x}2=\sqrt2x-\frac{x^2}2\quad\text{for}~0<x<\sqrt2.

      因此我們令 T 如下:

      \displaystyle(u,v)=T(x,y)=\left(\sqrt2x-\frac{x^2}2,\frac y{\sqrt2-x}\right).

    2. 我們可以驗算 T 逐點的面積改變率如下:

      \Big|\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}&\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}\Big|=\Big|\begin{vmatrix}\sqrt2-x&0\\\displaystyle\frac y{(\sqrt2-x)^2}&\displaystyle\frac1{\sqrt2-x}\end{vmatrix}\Big|=1.

      因此各點的面積變化率皆為 1,這表明 T 為保面積變換。

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