第一部分:計算題
以下五題,任選三題作答。
- f(x)={xαsin(1/x)if x≠0;0if x=0.
試決定 α 的範圍,使 f 的二階導數處處連續。 - 擺線一拱 Γ:{x=θ−sinθy=1−cosθ,0<θ<2π
- 試證 Γ 垂直 x 軸。
- 求 Γ 與 x 軸所圍領域 A 的面積。
- 將 A 對 y 軸旋轉,求旋轉體體積。
- 拱線與 x 軸的交點發生在 θ=0 或 θ=2π 時。因此我們僅須計算在 θ=0 與 θ=2π 時的斜率即可。此參數式所表示的斜率倒數為
dxdy=dx/dθdy/dθ=1−cosθsinθ.
因此在 θ→0+ 或 θ→2π− 時有 dx/dy→0,因此在 θ=0 與 θ=2π 時 Γ 與 x 軸垂直。 - 運用面積公式直接計算如下
A=∫θ=2πθ=0y(θ)x′(θ)dθ=∫2π0(1−cosθ)2dθ=∫2π0(1−2cosθ+cos2θ)dθ=∫2π0(32−2cosθ+cos2θ2)dθ=3θ2−2sinθ+sin2θ4|2π0=3π.
- 運用旋轉體體積公式直接計算如下
V=∫θ=2πθ=0πy2(θ)x′(θ)dθ=π∫2π0(1−cosθ)3dθ=π∫2π0(1−3cosθ+3cos2θ−cos3θ)dθ=π∫2π0(52−4cosθ+3cos2θ2+sin2θcosθ)dθ=π(5θ2−4sinθ+3sin2θ4+sin3θ3)|2π0=5π2.
【註】 區域 A 繞 y 軸旋轉後產生的曲面如下圖
- e:(x(t),y(t)),a≤t≤b 為地平面上的曲線,今在 C 上築籬,於點 (x(t),y(t)) 上的籬高為 f(t),試寫出籬笆的面積公式。
- 求圓柱 x2+(y−12)2=(12)2 在單位球 x2+y2+z2≤1 內的面積。
- 面積公式可以表達如下並利用參數化表示之:
A=∫t=bt=af(t)ds=∫baf(t)√[x′(t)]2+[y′(t)]2dt.
- 首先將圓柱參數化有 x=12cosθ、y=12+12sinθ,其範圍為 0≤t<2π,而在點 (12cosθ,12+12sinθ) 時被單位球截出的高為 √2−2sinθ。因此所求可以依 a. 列式並計算如下:
A=∫2π0√2−2sinθ⋅√(−sinθ2)2+(cosθ2)2dθ=∫2π0√1−sinθ2dθ=∫2π0√1−cos(π2−θ)2dθ=∫2π0|sin(π4−θ2)|dθ=∫π/20sin(π4−θ2)dθ+∫2ππ/2sin(θ2−π4)dθ=2cos(π4−θ2)|π/20−2cos(θ2−π4)|2ππ/2=2(1−√22)−2(−√22−1)=4.
- 關於定積分 ∫2π0|sin(π4−θ2)|dθ 也可以利用週期性與對稱性而簡化計算如下
A=∫2π0|sin(π4−θ2)|dθ=∫2π0sinθ2dθ=−2cosθ2|2π0=4.
- 圓柱面 x2+(y−1/2)2=1/4 在單位球體 x2+y2+z2≤1 內的圖形如下
- f(x)={sinxx,x≠0,1,x=0.
- 試證 f 在 x=0 點可以 Taylor 展開,並寫出此級數。
- 估計 ∫10sinxxdx之值,使誤差 <10−3。
- 令 an=|∫nπ(n−1)πsinxxdx|,試證:當 n>1 時有 2nπ<an<2(n−1)π,從而判斷 ∫∞0sinxxdx 的收斂/發散。
- 根據正弦函數的 Taylor 展開式,可推知 f 在 x=0 的 Taylor 展開如下
f(x)=∞∑k=0(−1)kx2k(2k+1)!=1−x23!+x45!−x67!±⋯for x∈R.
【註】 由於正弦函數的解析性及 limx→0sinxx=1,可以知道函數 f 在實數上解析。 - 根據 a.,計算該積分可得
∫10sinxxdx=∫10∞∑k=0(−1)kx2k(2k+1)!dx=∞∑k=0∫10(−1)kx2k(2k+1)!dx=∞∑k=0(−1)k(2k+1)(2k+1)!=1−13⋅3!+15⋅5!−17⋅7!±⋯,
其中由於 17⋅7!=135280<10−3,因此|∫10sinxxdx−17031800|=|∫10sinxxdx−(1−13⋅6+15⋅120)|<135280<10−3.
即得 ∫10sinxdx≈17031800=0.946ˉ1。【註】 由電子計算機知
∫10sinxxdx=0.94608307036718301…,
這表示我們所得到的近似值確實符合所想要的誤差估計。 - 若 n=2k+1>1,則 an=∫(2k+1)π2kπsinxxdx,於是有下列的不等式
1(2k+1)π∫(2k+1)π2kπsinxdx≤∫(2k+1)π2kπsinxxdx≤12kπ∫(2k+1)π2kπsinxdx,
即有2nπ≤an≤2(n−1)π.
若 n=2k≥2 時,則 an=−∫2kπ(2k−1)πsinxxdx,於是有下列的不等式−12kπ∫2kπ(2k−1)πsinxdx≤−∫2kπ(2k−1)πsinxxdx≤−1(2k−1)π∫2kπ(2k−1)πsinxdx,
即有2nπ≤an≤2(n−1)π.
由此我們將瑕積分 ∫∞0sinxxdx 分為兩段 ∫π0sinxxdx、∫∞πsinxxdx。首先前者為 a1,由於在 x→0 時具有極限,因而此瑕積分可以容易受到控制而有界。針對後者我們考慮如下的加總與極限:
∫∞πsinxxdx=limt→∞∫tπsinxxdx=limt→∞∫tnπsinxxdx+n−1∑k=1∫(k+1)πkπsinxxdx=∞∑k=1(−1)kak+1.
利用交錯級數審歛法我們知道該級數收斂,因而該瑕積分也收斂。
進而由這兩個積分的收斂可知原題所問之瑕積分也收斂。 - →F=(−yx2+y2,xx2+y2) 為 R2−{(0,0)} 上的向量場。
試就下列(a), (b), (c)三情況,分別求 ∫C→F⋅→Tds 之值,其中 C 為平面上的封閉曲線,→T 為 C 上逆時向單位切向量,ds 為 C 上弧元。- C:x2+y2=1 (含原點)
- C:(x−2)2+y2=1 (不含原點)
- C:(x−1)2+y2=1 (過原點)
- 令 x=cost、y=sint,其中 0≤t≤2π,如此原線積分可列式並計算
∫C→F⋅→Tds=∫2π0(−sintcos2t+sin2t⋅−sint+costcos2t+sin2t⋅cost)dt=∫2π01dt=2π.
- 運用 Green 定理,我們可以所求的線積分改寫下列的重積分
∫C→F⋅→Tds=∬D(∂∂xxx2+y2−∂∂y−yx2+y2)dxdy=∬D0dA=0,
其中 D={(x,y)∈R2:(x−2)2+y2=1}。 - 令 x=1+cost、y=sint,其中 0≤t≤2π。如此題目所求之線積分可以改寫並計算如下:
∫C→F⋅→Tds=∫2π0(−sint(1+cost)2+sin2t⋅−sint+1+cost(1+cost)2+sin2t⋅cost)dt=∫2π01+cost2+2costdt=∫2π012dt=π.
訣竅
按照定義直接計算即可探求出 α 應符合的條件。解法
假定存在滿足條件的 α,我們探求其充分與必要條件如下:當 x≠0 時,我們有 f′(x)=αxα−1sin1x−xα−2cos1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下
f′(0)=limh→0f(h)−f(0)h=limh→0hα−1sin1h.
若 α>1,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 α≤1,則上述極限發散。因此我們知道在 α>1下,我們有f′(x)={αxα−1sin1x−xα−2cos1xif x≠0,0if x=0.
再者為了計算二階導函數,我們至少要求 f′ 為連續函數,也因此在計算極限 limx→0f′(x) 時,我們需要 α>2 才能使極限存在且為 f′(0)。現在我們來計二階導函數:當 x≠0 時,我們有 f″(x)=α(α−1)xα−2sin1x+2xα−3cos1x−xα−4sin1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下
f″(0)=limh→0f′(h)−f′(0)h=limh→0αhα−2sin1h−hα−3cos1h.
若 α>3,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 α≤3 則上述極限發散。因此我們知道在 α>3 下,我們有
f″(x)={α(α−1)xα−2sin1x+2xα−3cos1x−xα−4sin1xif x≠0,0if x=0.
然而要讓 f″ 連續我們還要讓極限式成立:limx→0f″(x)=f″(0)=0,其中便需要要求 α>4。結論:當且僅當 α>4 能使 f 的二階導函數連續。
訣竅
依據參數化的面積與旋轉體體積公式計算;至於證明垂直 x 軸則可以利用參數化來證明在某些 θ 能使 dx/dy=0。解法
訣竅
利用參數化的思想以及微元的計算列出面積公式並計算之。解法
【註】
訣竅
根據均勻收斂的特性與交錯級數的誤差估計,進而達到對瑕積分的面積有確切的估計。解法
訣竅
利用參數化或 Green 定理來求解。解法
第二部分:推演與證明
以下五題,任選三題作答
- 設 f(x,y) 的一階偏導數連續,∇f(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))。
- 試證 ∇f(x0,y0) 恆指出 f 在點 (x0,y0) 方向導數(Directional derivative)最大的方向。
- 令 k=f(x0,y0),f 的 k 等高線 Ck={(x,y)|f(x,y)=k}。試證:∇f(x0,y0) 垂直 Ck。
- 根據方向導數的計算公式如下:設 →u 為單位向量,則 f 在 (x0,y0) 處沿 →u 的方向導數為
D→uf(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅→u.
透過 Cauchy 不等式可知下列的不等式關係:D→uf(x0,y0)≤|∇f(x0,y0)||→u|
其中當 →u=∇f(x0,y0) 能使方向導數達到最大值。 - 我們將此等高線參數化為 (x(t),y(t)),其中當 t=t0 時有 (x(t0),y(t0))=(x0,y0)。
此時對任意的實數 t 恆有 f(x(t),y(t))=k。對 t 的求導,可得∂f∂x(x(t),y(t))dxdt+∂f∂y(x(t),y(t))dydt=0,
亦即 \nabla f(x(t),y(t))\cdot\left(x'(t),y'(t))=0,因此梯度向量與高等線的切向量垂直,但這個等式是任何的 t 皆成立,因此我們取 t=t0,故有 ∇f(x0,y0) 與 Ck 垂直。 - f 在點 (x0,y0) 附近的二階偏導數連續。
- 請寫出適當條件,以確保 f 在 (x0,y0) 點取極小值。
- 證明你的定理。
- 假定 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0。若 fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)−(fxy(x0,y0))2>0 且 fxx(x0,y0)>0,則 f 在 (x0,y0) 取極小值。
- 設 (h,k) 為 (0,0) 附近的點,則根據 Taylor 定理可得到
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(fx(x0,y0),fy(x0,y0))⋅(h,k)+12![hk]T[fxx(x0,y0)fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)fyy(x0,y0)][hk]+R2(x0,y0)(h,k).
我們可以宣稱 fx(x0,y0)=fy(x0,y0),這是因為此為達到極值的必要條件。這是因為如果在 (x0,y0) 處達到極小值,則我們計算偏導數時分為左右極限計算時便可發現非正非負,因而為零,因此當一階偏導數非零時便不可能為極小值。在前述的必要條件下,我們利用線性代數的知識可以曉得二階矩陣為正定,因而有 f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)>0。
- 欲決定 α 使 f(α)=∫10|x2−α|dx 最小。設直線 y=α 與直線 x=0,拋物線 y=x2 以及直線 x=1,分別交於 A,B,C 三點(如圖)。試證:當 ¯AB=¯BC 時,f(α) 取最小值,從而求出 α 之值。
- 決定 α,使 ∬D|x2+y2−α|dxdy 最小,其中 D=[−1,1]×[−1,1]。
- 根據題目所述,當 ¯AB=¯BC 時,即有 ¯AB=¯BC=1/2,此時 α=1/4。假若將 α 增大為 α′,則 ¯AB 增加為 ¯AB′、¯BC 減少為 ¯BC′,於此同時積分值會增加 K 的面積減少 M 的面積,其中 K 由 y=α、y=α′、x=0、y=x2 所組成的區域;M 由 y=α、y=α′、x=1、y=x2 所組成的區域。容易注意到 K>M,從而將 α 增大不會讓面積減少。類似地,將 α 減少也會有同樣的效果。如此本命題證畢。
- 基於前一小題的想法,我們要使 x2+y2≤α 的區域面積與 x2+y2≥α 且在 D 中的面積相等才可,如此可知該面積應為 2,進而求出 α=2/π。
- 假若 α≥1,則當 x∈[0,1] 時有 x2−α≤0,進而 f(α)=(3α−1)/3;假若 α≤0,則當 x∈[0,1] 時有 x2−α≥0,進而 f(α)=(1−3α)/3。
現在我們考慮 α∈(0,1) 時的情形如下:
當 α 介在 0 與 1 之間時,我們知道 y=α 與 y=x2 交於 (√α,α)。也知道當 x∈[0,√α] 時有 x2−α≤0;而當 x∈[√α,1] 時有 x2−α≥0。因此f(α)=∫√α0(α−x2)dx+∫1√α(x2−α)dx=2α√α3+[(13−α)−(α√α3−α√α)]=4α√α3−α+13.
為了求出極值,我們計算其導函數有f′(α)=2√α−1for α∈(0,1).
因此解 f′(α)=0 時可得 α=1/4。計算有 f(1)=2/3、f(0)=1/3、f(1/4)=1/4,因此在 α=1/4 處可取最小值,此時 ¯AB=¯BC。故當 ¯AB=¯BC 時可使 α=1/4,進而使 f 取最小值。 首先令 g(α)=∬D|x2+y2−α|dxdy。
若 α≥2,則 x2+y2−α≤0,因此所求的積分之值可以計算如下:g(α)=∫1−1∫1−1(α−x2−y2)dxdy=∫1−1αx−x33−xy2|1−1dy=∫1−1(2α−23−2y2)dy=2αy−2y3−2y33|1−1=4α−83.
若 α≤0,則 x2+y2≥0,因此所求的積分值可以透過上述類似的計算可得值為 83−4α。 而若 0≤α≤1,則所求的積分可以改寫並計算如下:g(α)=∬D(x2+y2−α)dxdy−2∬B√α(0)(x2+y2−α)dxdy=83−4α−2∫2π0∫√α0(r2−α)⋅rdrdθ=83−4α−4π(r44−r2α2)|√α0=83−4α+πα2.
而若 1≤α≤2,則所求的積分可以表示如下:g(α)=∬D(α−x2−y2)dxdy+2⋅8∬K(x2+y2−α)dxdy,
其中 K={(x,y)∈R2:x2+y2≥α, 1>x>y>0.}。因此所求的積分可以計算如下:g(α)=4α−83+16∫π/4sec−1(√α)∫secθ√α(r2−α)⋅rdrdθ=4α−83+16∫π/4sec−1(√α)r44−r2α2|secθ√αdθ=4α−83+16∫π/4sec−1(√α)(sec4θ4−αsec2θ2+α24)dθ=−4α+83+πα2+4α√α−1+83(α−1)√α−1−4α2sec−1(√α).
因此根據上列的計算可得g(α)={83−4αif α≤0;83−4α+πα2if 0≤α≤1;−4α+83+πα2+4α√α−1+83(α−1)√α−1−4α2sec−1√αif 1≤α≤2;4α−83if 2≤α.
其中 g 的函數圖形如下: 因此分段計算其一階導函數與二階導函數有g′(α)={−4if α≤0;−4+2παif 0≤α≤1;−4+2πα+8√α−1−8αsec−1(√α)if 1≤α≤2;4if 2≤α,g″(α)={0if α<0;2πif 0<α≤1;2π−8sec−1(√α)if 1≤α≤2;0if 2≤α.
注意到可在 0≤α≤1 中取 α=2/π 使得 g′(2/π)=0。而且由於 g″(α)≥0,從而 g′ 遞增,進而可知僅當在 α=2/π 使斜率為零,且該處為極小值。- f(x)=ex2∫∞xe−t2dt。
- 求 limx→∞f(x);
- 求 f′(x);
- 試證 f 在 (0,∞) 上遞減。
- 利用 L'H\^opital 法則與微積分基本定理計算如下:
limx→∞f(x)=limx→∞∫∞xe−t2dte−x2=limx→∞−e−x2−2xe−x2=limx→∞12x=0.
- 利用 Leibniz 法則並配合微積分基本定理進行微分如下
f′(x)=ex2⋅−e−x2+2xex2∫∞xe−t2dt=−1+2xex2∫∞xe−t2dt.
- 根據 b. 我們知道
f′(x)≤−1+2ex2∫∞xte−t2dt=−1−ex2−t2|∞x=0for x>0.
因此 f 在 (0,∞) 上遞減。 - A={(x,y)|x>0,y>0,x+y<√2} 為 xy 平面上的等腰直角三角形,其面積為 1;B={(u,v)|0<u<1,0<v<1} 為 uv 平面上單位正方形。今欲找一保面積寫像 T:A→B,使 T(Ω) 的面積 =Ω 的面積,對一切可測集 Ω⊂A 成立。
想法如下:對 0<x<√2,令 α(x)=A 在 [0,x] 上的面積(左圖斜線域)今把 A 中斜線域映成 B 中斜線域使 ¯PQ 比例映至 ¯P′Q′(如圖所示)- 根據上述想法,請寫出 T。
- 證明 T 確為保面積寫像。
- 設 Q(x,0),則 P(x,√2−x),因此可以求出 α(x) 如下
α(x)=[√2+(√2−x)]⋅x2=√2x−x22for 0<x<√2.
因此我們令 T 如下:(u,v)=T(x,y)=(√2x−x22,y√2−x).
- 我們可以驗算 T 逐點的面積改變率如下:
||∂u∂x∂u∂y∂v∂y∂v∂y||=||√2−x0y(√2−x)21√2−x||=1.
因此各點的面積變化率皆為 1,這表明 T 為保面積變換。
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