第一部分:計算題
以下五題,任選三題作答。
- f(x)={xαsin(1/x)if x≠0;0if x=0.
試決定 α 的範圍,使 f 的二階導數處處連續。 - 擺線一拱 \Gamma:\left\{\begin{aligned}&x=\theta-\sin\theta\\&y=1-\cos\theta\end{aligned}\right.,0<\theta<2\pi
- 試證 \Gamma 垂直 x 軸。
- 求 \Gamma 與 x 軸所圍領域 A 的面積。
- 將 A 對 y 軸旋轉,求旋轉體體積。
- 拱線與 x 軸的交點發生在 \theta=0 或 \theta=2\pi 時。因此我們僅須計算在 \theta=0 與 \theta=2\pi 時的斜率即可。此參數式所表示的斜率倒數為
\displaystyle\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{\mathrm dx/\mathrm d\theta}{\mathrm dy/\mathrm d\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.
因此在 \theta\to0^+ 或 \theta\to2\pi^- 時有 \mathrm dx/\mathrm dy\to0,因此在 \theta=0 與 \theta=2\pi 時 \Gamma 與 x 軸垂直。 - 運用面積公式直接計算如下
\begin{aligned}A&=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\!y(\theta)x'(\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!(1-\cos\theta)^2\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!(1-2\cos\theta+\cos^2\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\left(\frac32-2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}2\right)\,\mathrm d\theta\\&=\left.\frac{3\theta}2-2\sin\theta+\frac{\sin2\theta}4\right|_0^{2\pi}=3\pi.\end{aligned}
- 運用旋轉體體積公式直接計算如下
\begin{aligned}V&=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\!\pi y^2(\theta)x'(\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\pi\int_0^{2\pi}\!(1-\cos\theta)^3\,\mathrm d\theta\\&=\pi\int_0^{2\pi}\!(1-3\cos\theta+3\cos^2\theta-\cos^3\theta)\,\mathrm d\theta\\&=\pi\int_0^{2\pi}\!\left(\frac52-4\cos\theta+\frac{3\cos2\theta}2+\sin^2\theta\cos\theta\right)\,\mathrm d\theta\\&=\pi\left.\left(\frac{5\theta}2-4\sin\theta+\frac{3\sin2\theta}4+\frac{\sin^3\theta}3\right)\right|_0^{2\pi}=5\pi^2.\end{aligned}
【註】 區域 A 繞 y 軸旋轉後產生的曲面如下圖
- e:(x(t),y(t)),a\leq t\leq b 為地平面上的曲線,今在 C 上築籬,於點 (x(t),y(t)) 上的籬高為 f(t),試寫出籬笆的面積公式。
- 求圓柱 \displaystyle x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\left(\frac12\right)^2 在單位球 x^2+y^2+z^2\leq1 內的面積。
- 面積公式可以表達如下並利用參數化表示之:
\begin{aligned}A&=\int_{t=a}^{t=b}\!f(t)\,\mathrm ds\\&=\int_a^b\!f(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\mathrm dt.\end{aligned}
- 首先將圓柱參數化有 \displaystyle x=\frac12\cos\theta、\displaystyle y=\frac12+\frac12\sin\theta,其範圍為 0\leq t<2\pi,而在點 \displaystyle\left(\frac12\cos\theta,\frac12+\frac12\sin\theta\right) 時被單位球截出的高為 \sqrt{2-2\sin\theta}。因此所求可以依 a. 列式並計算如下:
\begin{aligned}A&=\int_0^{2\pi}\!\sqrt{2-2\sin\theta}\cdot\sqrt{\left(-\frac{\sin\theta}2\right)^2+\left(\frac{\cos\theta}2\right)^2}\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\sqrt{\frac{1-\sin\theta}2}\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\sqrt{\frac{1-\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)}2}\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{\pi/2}\!\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\,\mathrm d\theta+\int_{\pi/2}^{2\pi}\!\sin\left(\frac\theta2-\frac\pi4\right)\,\mathrm d\theta\\&=\left.2\cos\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|_0^{\pi/2}-2\left.\cos\left(\frac\theta2-\frac\pi4\right)\right|_{\pi/2}^{2\pi}\\&=2\left(1-\frac{\sqrt2}2\right)-2\left(-\frac{\sqrt2}2-1\right)=4.\end{aligned}
- 關於定積分 \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|\,\mathrm d\theta 也可以利用週期性與對稱性而簡化計算如下
\begin{aligned}A&=\int_0^{2\pi}\!\left|\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right|\,\mathrm d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\!\sin\frac\theta2\,\mathrm d\theta\\&=\left.-2\cos\frac\theta2\right|_0^{2\pi}=4.\end{aligned}
- 圓柱面 x^2+(y-1/2)^2=1/4 在單位球體 x^2+y^2+z^2\leq1 內的圖形如下
- \displaystyle f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sin x}x,&x\neq0,\\1,&x=0.\end{cases}
- 試證 f 在 x=0 點可以 Taylor 展開,並寫出此級數。
- 估計 \displaystyle\int_0^1\frac{\sin x}x\,dx之值,使誤差 <10^{-3}。
- 令 \displaystyle a_n=\left|\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\right|,試證:當 n>1 時有 \displaystyle\frac2{n\pi}<a_n<\frac2{(n-1)\pi},從而判斷 \displaystyle\int_0^\infty\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx 的收斂/發散。
- 根據正弦函數的 Taylor 展開式,可推知 f 在 x=0 的 Taylor 展開如下
\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}\pm\cdots\quad\text{for}~x\in\mathbb R.
【註】 由於正弦函數的解析性及 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1,可以知道函數 f 在實數上解析。 - 根據 a.,計算該積分可得
\begin{aligned}\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx&=\int_0^1\!\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}\,\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^\infty\int_0^1\!(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}\,\mathrm dx\\&=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)(2k+1)!}\\&=1-\frac1{3\cdot3!}+\frac1{5\cdot5!}-\frac1{7\cdot7!}\pm\cdots,\end{aligned}
其中由於 \displaystyle\frac1{7\cdot7!}=\frac1{35280}<10^{-3},因此\displaystyle\left|\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx-\frac{1703}{1800}\right|=\left|\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx-\left(1-\frac1{3\cdot6}+\frac1{5\cdot120}\right)\right|<\frac1{35280}<10^{-3}.
即得 \displaystyle\int_0^1\!\frac{\sin x}\,\mathrm dx\approx\frac{1703}{1800}=0.946\bar1。【註】 由電子計算機知
\displaystyle\int_0^1\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=0.94608307036718301\dots,
這表示我們所得到的近似值確實符合所想要的誤差估計。 - 若 n=2k+1>1,則 \displaystyle a_n=\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx,於是有下列的不等式
\displaystyle\frac1{(2k+1)\pi}\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\sin x\,\mathrm dx\leq\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\leq\frac1{2k\pi}\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\!\sin x\,\mathrm dx,
即有\displaystyle\frac2{n\pi}\leq a_n\leq\frac2{(n-1)\pi}.
若 n=2k\geq2 時,則 \displaystyle a_n=-\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx,於是有下列的不等式\displaystyle-\frac1{2k\pi}\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\sin x\,\mathrm dx\leq-\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\leq-\frac1{(2k-1)\pi}\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}\!\sin x\,\mathrm dx,
即有\displaystyle\frac2{n\pi}\leq a_n\leq\frac2{(n-1)\pi}.
由此我們將瑕積分 \displaystyle\int_0^\infty\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx 分為兩段 \displaystyle\int_0^\pi\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx、\displaystyle\int_\pi^\infty\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx。首先前者為 a_1,由於在 x\to0 時具有極限,因而此瑕積分可以容易受到控制而有界。針對後者我們考慮如下的加總與極限:
\begin{aligned}\int_\pi^\infty\!\frac{\sin x}x\,dx&=\lim_{t\to\infty}\int_\pi^t\!\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=\lim_{t\to\infty}\int_{n\pi}^t\frac{\sin x}x\,\mathrm dx+\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\\&=\sum_{k=1}^\infty(-1)^ka_{k+1}.\end{aligned}
利用交錯級數審歛法我們知道該級數收斂,因而該瑕積分也收斂。
進而由這兩個積分的收斂可知原題所問之瑕積分也收斂。 - \displaystyle\vec F=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac x{x^2+y^2}\right) 為 \mathbb R^2-\{(0,0)\} 上的向量場。
試就下列(a), (b), (c)三情況,分別求 \int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds 之值,其中 C 為平面上的封閉曲線,\vec T 為 C 上逆時向單位切向量,\mathrm ds 為 C 上弧元。- C:\,x^2+y^2=1 (含原點)
- C:\,(x-2)^2+y^2=1 (不含原點)
- C:\,(x-1)^2+y^2=1 (過原點)
- 令 x=\cos t、y=\sin t,其中 0\leq t\leq2\pi,如此原線積分可列式並計算
\displaystyle\int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds=\int_0^{2\pi}\!\left(\frac{-\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}\cdot-\sin t+\frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cdot\cos t\right)\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}\!1\,\mathrm dt=2\pi.
- 運用 Green 定理,我們可以所求的線積分改寫下列的重積分
\displaystyle\int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds=\iint_D\!\left(\frac\partial{\partial x}\frac x{x^2+y^2}-\frac\partial{\partial y}\frac{-y}{x^2+y^2}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint_D\!0\,\mathrm dA=0,
其中 D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,(x-2)^2+y^2=1\}。 - 令 x=1+\cos t、y=\sin t,其中 0\leq t\leq2\pi。如此題目所求之線積分可以改寫並計算如下:
\begin{aligned}\int_C\!\vec F\cdot\vec T\,\mathrm ds&=\int_0^{2\pi}\!\left(\frac{-\sin t}{(1+\cos t)^2+\sin^2t}\cdot-\sin t+\frac{1+\cos t}{(1+\cos t)^2+\sin^2t}\cdot\cos t\right)\,\mathrm dt\\&=\int_0^{2\pi}\!\frac{1+\cos t}{2+2\cos t}\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}\!\frac12\,\mathrm dt=\pi.\end{aligned}
訣竅
按照定義直接計算即可探求出 α 應符合的條件。解法
假定存在滿足條件的 α,我們探求其充分與必要條件如下:當 x≠0 時,我們有 f′(x)=αxα−1sin1x−xα−2cos1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下
f′(0)=lim
若 \alpha>1,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 \alpha\leq1,則上述極限發散。因此我們知道在 \alpha>1下,我們有f'(x)=\begin{cases}\displaystyle\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac1x-x^{\alpha-2}\cos\frac1x&\text{if}~x\neq0,\\0&\text{if}~x=0.\end{cases}
再者為了計算二階導函數,我們至少要求 f' 為連續函數,也因此在計算極限 \displaystyle\lim_{x\to0}f'(x) 時,我們需要 \alpha>2 才能使極限存在且為 f'(0)。現在我們來計二階導函數:當 x\neq0 時,我們有 \displaystyle f''(x)=\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}\sin\frac1x+2x^{\alpha-3}\cos\frac1x-x^{\alpha-4}\sin\frac1x;而當 x=0 時,我們運用導數的定義計算如下
\begin{aligned}f''(0)&=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-f'(0)}h\\&=\lim_{h\to0}\alpha h^{\alpha-2}\sin\frac1h-h^{\alpha-3}\cos\frac1h.\end{aligned}
若 \alpha>3,則上述極限可用夾擠定理控制為 0;反之若 \alpha\leq3 則上述極限發散。因此我們知道在 \alpha>3 下,我們有
f''(x)=\begin{cases}\displaystyle\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}\sin\frac1x+2x^{\alpha-3}\cos\frac1x-x^{\alpha-4}\sin\frac1x&\text{if}~x\neq0,\\0&\text{if}~x=0.\end{cases}
然而要讓 f'' 連續我們還要讓極限式成立:\displaystyle\lim_{x\to0}f''(x)=f''(0)=0,其中便需要要求 \alpha>4。結論:當且僅當 \alpha>4 能使 f 的二階導函數連續。
訣竅
依據參數化的面積與旋轉體體積公式計算;至於證明垂直 x 軸則可以利用參數化來證明在某些 \theta 能使 \mathrm dx/\mathrm dy=0。解法
訣竅
利用參數化的思想以及微元的計算列出面積公式並計算之。解法
【註】
訣竅
根據均勻收斂的特性與交錯級數的誤差估計,進而達到對瑕積分的面積有確切的估計。解法
訣竅
利用參數化或 Green 定理來求解。解法
第二部分:推演與證明
以下五題,任選三題作答
- 設 f(x,y) 的一階偏導數連續,\nabla f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))。
- 試證 \nabla f(x_0,y_0) 恆指出 f 在點 (x_0,y_0) 方向導數(Directional derivative)最大的方向。
- 令 k=f(x_0,y_0),f 的 k 等高線 C_k=\{(x,y)\,|\,f(x,y)=k\}。試證:\nabla f(x_0,y_0) 垂直 C_k。
- 根據方向導數的計算公式如下:設 \vec u 為單位向量,則 f 在 (x_0,y_0) 處沿 \vec u 的方向導數為
D_{\vec u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec u.
透過 Cauchy 不等式可知下列的不等式關係:D_{\vec u}f(x_0,y_0)\leq|\nabla f(x_0,y_0)||\vec u|
其中當 \vec u=\nabla f(x_0,y_0) 能使方向導數達到最大值。 - 我們將此等高線參數化為 (x(t),y(t)),其中當 t=t_0 時有 (x(t_0),y(t_0))=(x_0,y_0)。
此時對任意的實數 t 恆有 f(x(t),y(t))=k。對 t 的求導,可得\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0,
亦即 \nabla f(x(t),y(t))\cdot\left(x'(t),y'(t))=0,因此梯度向量與高等線的切向量垂直,但這個等式是任何的 t 皆成立,因此我們取 t=t_0,故有 \nabla f(x_0,y_0) 與 C_k 垂直。 - f 在點 (x_0,y_0) 附近的二階偏導數連續。
- 請寫出適當條件,以確保 f 在 (x_0,y_0) 點取極小值。
- 證明你的定理。
- 假定 f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0。若 f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-(f_{xy}(x_0,y_0))^2>0 且 f_{xx}(x_0,y_0)>0,則 f 在 (x_0,y_0) 取極小值。
- 設 (h,k) 為 (0,0) 附近的點,則根據 Taylor 定理可得到
\begin{aligned}f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))\cdot(h,k)\\&+\frac1{2!}\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}f_{xx}(x_0,y_0)&f_{xy}(x_0,y_0)\\f_{yx}(x_0,y_0)&f_{yy}(x_0,y_0)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}+R_{(x_0,y_0)}^2(h,k).\end{aligned}
我們可以宣稱 f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0),這是因為此為達到極值的必要條件。這是因為如果在 (x_0,y_0) 處達到極小值,則我們計算偏導數時分為左右極限計算時便可發現非正非負,因而為零,因此當一階偏導數非零時便不可能為極小值。在前述的必要條件下,我們利用線性代數的知識可以曉得二階矩陣為正定,因而有 f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)>0。
- 欲決定 \alpha 使 \displaystyle f(\alpha)=\int_0^1\!|x^2-\alpha|\,\mathrm dx 最小。設直線 y=\alpha 與直線 x=0,拋物線 y=x^2 以及直線 x=1,分別交於 A,B,C 三點(如圖)。試證:當 \overline{AB}=\overline{BC} 時,f(\alpha) 取最小值,從而求出 \alpha 之值。
- 決定 \alpha,使 \displaystyle\iint_D\!|x^2+y^2-\alpha|\,\mathrm dx\,\mathrm dy 最小,其中 D=[-1,1]\times[-1,1]。
- 根據題目所述,當 \overline{AB}=\overline{BC} 時,即有 \overline{AB}=\overline{BC}=1/2,此時 \alpha=1/4。假若將 \alpha 增大為 \alpha',則 \overline{AB} 增加為 \overline{AB'}、\overline{BC} 減少為 \overline{BC'},於此同時積分值會增加 K 的面積減少 M 的面積,其中 K 由 y=\alpha、y=\alpha'、x=0、y=x^2 所組成的區域;M 由 y=\alpha、y=\alpha'、x=1、y=x^2 所組成的區域。容易注意到 K> M,從而將 \alpha 增大不會讓面積減少。類似地,將 \alpha 減少也會有同樣的效果。如此本命題證畢。
- 基於前一小題的想法,我們要使 x^2+y^2\leq\alpha 的區域面積與 x^2+y^2\geq\alpha 且在 D 中的面積相等才可,如此可知該面積應為 2,進而求出 \alpha=2/\pi。
- 假若 \alpha\geq1,則當 x\in[0,1] 時有 x^2-\alpha\leq0,進而 f(\alpha)=(3\alpha-1)/3;假若 \alpha\leq0,則當 x\in[0,1] 時有 x^2-\alpha\geq0,進而 f(\alpha)=(1-3\alpha)/3。
現在我們考慮 \alpha\in(0,1) 時的情形如下:
當 \alpha 介在 0 與 1 之間時,我們知道 y=\alpha 與 y=x^2 交於 (\sqrt\alpha,\alpha)。也知道當 x\in[0,\sqrt\alpha] 時有 x^2-\alpha\leq0;而當 x\in[\sqrt\alpha,1] 時有 x^2-\alpha\geq0。因此\begin{aligned}f(\alpha)&=\int_0^{\sqrt\alpha}\!(\alpha-x^2)\,\mathrm dx+\int_{\sqrt\alpha}^1\!(x^2-\alpha)\,\mathrm dx\\&=\frac{2\alpha\sqrt\alpha}3+\left[\left(\frac13-\alpha\right)-\left(\frac{\alpha\sqrt\alpha}3-\alpha\sqrt\alpha\right)\right]\\&=\frac{4\alpha\sqrt\alpha}3-\alpha+\frac13.\end{aligned}
為了求出極值,我們計算其導函數有f'(\alpha)=2\sqrt\alpha-1\quad\text{for}~\alpha\in(0,1).
因此解 f'(\alpha)=0 時可得 \alpha=1/4。計算有 f(1)=2/3、f(0)=1/3、f(1/4)=1/4,因此在 \alpha=1/4 處可取最小值,此時 \overline{AB}=\overline{BC}。故當 \overline{AB}=\overline{BC} 時可使 \alpha=1/4,進而使 f 取最小值。 首先令 \displaystyle g(\alpha)=\iint_D\!|x^2+y^2-\alpha|\,\mathrm dx\,\mathrm dy。
若 \alpha\geq2,則 x^2+y^2-\alpha\leq0,因此所求的積分之值可以計算如下:\begin{aligned}g(\alpha)&=\int_{-1}^1\!\int_{-1}^1\!(\alpha-x^2-y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\&=\int_{-1}^1\!\left.\alpha x-\frac{x^3}3-xy^2\right|_{-1}^1\,\mathrm dy\\&=\int_{-1}^1\!\left(2\alpha-\frac23-2y^2\right)\,\mathrm dy\\&=\left.2\alpha y-\frac{2y}3-\frac{2y^3}3\right|_{-1}^1=4\alpha-\frac83.\end{aligned}
若 \alpha\leq0,則 x^2+y^2\geq0,因此所求的積分值可以透過上述類似的計算可得值為 \displaystyle\frac83-4\alpha。 而若 0\leq\alpha\leq1,則所求的積分可以改寫並計算如下:\begin{aligned}g(\alpha)&=\iint_D\!(x^2+y^2-\alpha)\,\mathrm dx\,\mathrm dy-2\iint_{B_{\sqrt\alpha}(0)}\!(x^2+y^2-\alpha)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\&=\frac83-4\alpha-2\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt\alpha}\!(r^2-\alpha)\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\\&=\frac83-4\alpha-4\pi\left.\left(\frac{r^4}4-\frac{r^2\alpha}2\right)\right|_0^{\sqrt\alpha}\\&=\frac83-4\alpha+\pi\alpha^2.\end{aligned}
而若 1\leq\alpha\leq2,則所求的積分可以表示如下:\begin{aligned}g(\alpha)&=\iint_D\!(\alpha-x^2-y^2)\,\mathrm dx\,\mathrm dy+2\cdot8\iint_K\!(x^2+y^2-\alpha)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\end{aligned}
其中 K=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\geq\alpha,~1>x>y>0.\}。因此所求的積分可以計算如下:\begin{aligned}g(\alpha)&=4\alpha-\frac83+16\int_{\sec^{-1}(\sqrt\alpha)}^{\pi/4}\!\int_{\sqrt\alpha}^{\sec\theta}\!(r^2-\alpha)\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\\&=4\alpha-\frac83+16\int_{\sec^{-1}(\sqrt\alpha)}^{\pi/4}\left.\frac{r^4}4-\frac{r^2\alpha}2\right|_{\sqrt\alpha}^{\sec\theta}\,\mathrm d\theta\\&=4\alpha-\frac83+16\int_{\sec^{-1}(\sqrt\alpha)}^{\pi/4}\!\left(\frac{\sec^4\theta}4-\frac{\alpha\sec^2\theta}2+\frac{\alpha^2}4\right)\,\mathrm d\theta\\&=-4\alpha+\frac83+\pi\alpha^2+4\alpha\sqrt{\alpha-1}+\frac83\left(\alpha-1\right)\sqrt{\alpha-1}-4\alpha^2\sec^{-1}(\sqrt\alpha).\end{aligned}
因此根據上列的計算可得\displaystyle g(\alpha)=\begin{cases}\displaystyle\frac83-4\alpha&\text{if}~\alpha\leq0;\\\displaystyle\frac83-4\alpha+\pi\alpha^2&\text{if}~0\leq\alpha\leq1;\\\displaystyle-4\alpha+\frac83+\pi\alpha^2+4\alpha\sqrt{\alpha-1}+\frac83(\alpha-1)\sqrt{\alpha-1}-4\alpha^2\sec^{-1}\sqrt\alpha&\text{if}~1\leq\alpha\leq2;\\\displaystyle4\alpha-\frac83&\text{if }~2\leq\alpha.\end{cases}
其中 g 的函數圖形如下: 因此分段計算其一階導函數與二階導函數有\begin{aligned}&g'(\alpha)=\begin{cases}-4&\text{if}~\alpha\leq0;\\-4+2\pi\alpha&\text{if}~0\leq\alpha\leq1;\\-4+2\pi\alpha+8\sqrt{\alpha-1}-8\alpha\sec^{-1}(\sqrt\alpha)&\text{if }~1\leq\alpha\leq2;\\4&\text{if}~2\leq\alpha,\end{cases}\\&g''(\alpha)=\begin{cases}0&\text{if}~\alpha<0;\\2\pi&\text{if}~0<\alpha\leq1;\\2\pi-8\sec^{-1}(\sqrt\alpha)&\text{if}~1\leq\alpha\leq2;\\0&\text{if}~2\leq\alpha.\end{cases}\end{aligned}
注意到可在 0\leq\alpha\leq1 中取 \alpha=2/\pi 使得 g'(2/\pi)=0。而且由於 g''(\alpha)\geq0,從而 g' 遞增,進而可知僅當在 \alpha=2/\pi 使斜率為零,且該處為極小值。- \displaystyle f(x)=e^{x^2}\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt。
- 求 \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x);
- 求 f'(x);
- 試證 f 在 (0,\infty) 上遞減。
- 利用 L'H\^opital 法則與微積分基本定理計算如下:
\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}f(x)&=\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt}{e^{-x^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{-e^{-x^2}}{-2xe^{-x^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac1{2x}=0.\end{aligned}
- 利用 Leibniz 法則並配合微積分基本定理進行微分如下
\displaystyle f'(x)=e^{x^2}\cdot-e^{-x^2}+2xe^{x^2}\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt=-1+2xe^{x^2}\int_x^\infty\!e^{-t^2}\,\mathrm dt.
- 根據 b. 我們知道
\begin{aligned}f'(x)&\leq-1+2e^{x^2}\int_x^\infty\!te^{-t^2}\,\mathrm dt&=-1-e^{x^2-t^2}\Big|_x^\infty=0\quad\text{for}~x>0.\end{aligned}
因此 f 在 (0,\infty) 上遞減。 - A=\{(x,y)\,|\,x>0,\,y>0,\,x+y<\sqrt2\} 為 xy 平面上的等腰直角三角形,其面積為 1;B=\{(u,v)\,|\,0<u<1,\,0<v<1\} 為 uv 平面上單位正方形。今欲找一保面積寫像 T:A\to B,使 T(\Omega) 的面積 =\Omega 的面積,對一切可測集 \Omega\subset A 成立。
想法如下:對 0<x<\sqrt2,令 \alpha(x)=A 在 [0,x] 上的面積(左圖斜線域)今把 A 中斜線域映成 B 中斜線域使 \overline{PQ} 比例映至 \overline{P'Q'}(如圖所示)- 根據上述想法,請寫出 T。
- 證明 T 確為保面積寫像。
- 設 Q(x,0),則 P(x,\sqrt2-x),因此可以求出 \alpha(x) 如下
\displaystyle\alpha(x)=\frac{[\sqrt2+(\sqrt2-x)]\cdot x}2=\sqrt2x-\frac{x^2}2\quad\text{for}~0<x<\sqrt2.
因此我們令 T 如下:\displaystyle(u,v)=T(x,y)=\left(\sqrt2x-\frac{x^2}2,\frac y{\sqrt2-x}\right).
- 我們可以驗算 T 逐點的面積改變率如下:
\Big|\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}&\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}\Big|=\Big|\begin{vmatrix}\sqrt2-x&0\\\displaystyle\frac y{(\sqrt2-x)^2}&\displaystyle\frac1{\sqrt2-x}\end{vmatrix}\Big|=1.
因此各點的面積變化率皆為 1,這表明 T 為保面積變換。
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