- Find the total area of the three leaves enclosed by the three-leaf-rose
r=sin3θ.
- An ellipse is defined by
x+y+z=1, x2+y2=1.
At the point (x,y,z)=(1√2,1√2,1−√2), find the curvature κ=? - Can you find a series of polynomials
p1(x)+p2(x)+p3(x)+⋯
which is convergent for |x|<1 to the sum s(x)=∞∑n=1pn(x), but when x approaches 1,limx→1s(x)≠∞∑n=1pn(1)?
If not, explain why that's impossible. - Cross valley cable is hanged on towers 2 kilometers apart. Justify that the cable is curved as a catenary: y=λcosh(xλ); If the density of the cable is 2 kg/m and the tension at the middle point x=0 is 1.96×105 newtons, find the length of the cable.
- You may use Lagrange multiplier to find the critical points of the function
f(x,y)=−3x2−2xy+13y2+16x+32y
under the constraintg(x,y)=x2+2xy+y2−x+y=0.
Indicate which points are local maxima and which are local minima. - 當 λ=0 時有 (x,y)=(3,−1),此時 f(3,−1)=8;
- 當 λ=6 時有 (x,y)=(0,−1),此時 f(0,−1)=−19;
- 當 λ=−10 時有 (x,y)=(1,0),此時有 f(1,0)=13。
訣竅
運用極座標的面積公式求解。解法
運用面積公式可得A=3⋅12∫π30r2dθ=32∫π30sin23θdθ=34∫π30(1−cos6θ)dθ=34⋅π3=π4.
訣竅
將曲線參數化後依據曲率的公式計算即可。解法
將曲線參數 r(t) 如下{x(t)=cost,y(t)=sint,z(t)=1−cost−sint,,t∈R.
那麼曲率公式有κ(t)=|r′×r″||r′|3=|(−sint,cost,sint−cost)×(−cost,−sint,cost+sint)||(−sint,cost,sint−cost)|3=√3√2−2costsint3.
依坐標取 t=π4 代入可得κ(π4)=√3.
訣竅
考慮等比級數作為例子。解法
取 pk(x)=(−x)k,那麼當 |x|<1 時有有s(x)=∞∑n=1pn(x)=∞∑n=1(−x)n=11+x.
那麼有 limx→1s(x)=12,但 ∞∑n=1pn(1)=∞∑n=1(−1)n 不存在。訣竅
根據懸鍊線的相關知識進行推導,並由曲線弧長之公式計算之。解法
假定纜線的質料均勻且密度為 ρ(單位:牛頓/米),且自纜線上任取相異兩點 A 與 B,其中 A 為最低點(x=0 處),並記此段曲線長度為 S(單位:米)。再者假定 A 處的張力為 H(單位:牛頓)而 B 處的張力為 T(單位:牛頓),且與水平方向夾角為 θ,那麼由靜力平衡可得dydx=tanθ=TsinθTcosθ=ρSH
dS=√1+(dydx)2
對 (1) 進行微分有d2ydx2=ρHdSdx=ρH√1+(dydx)2
命 dydx=p(x),那麼有dpdx=ρH√1+p2
藉由移項有 dp√1+p2=ρHdx,在 [0,x] 上同取定積分有ln(p(x)+√1+p2(x))−ln(p(0)+√1+p2(0))=ρHx
又因在 A 處之斜率為 0,故 p(0)=0,從而整理可解得dydx=p(x)=exp(ρx/H)−exp(−ρx/H)2
積分後可得y(x)=Hρexp(ρx/H)+exp(−ρx/H)2=Hρcosh(ρxH)
記 λ=Hρ 即有 y=λcosh(xλ)。依據題目設定可知 ρ=2 公斤重/米=19.6 牛頓/米,H=1.96×105 牛頓,因此 λ=104 米。使用曲線弧長公式計算有
s=∫1000−1000√1+(dydx)2dx=∫1000−1000√1+sinh2(xλ)2dx=∫1000−1000cosh(xλ)dx=2λsinh(1000λ)=2⋅104sinh110
訣竅
運用拉格朗日乘子法即可。解法
考慮拉格朗日乘子函數如下F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)
那麼解下列聯立方程組{Fx(x,y,λ)=−6x−2y+16+λ(2x+2y−1)=0,Fy(x,y,λ)=−2x+26y+32+λ(2x+2y+1)=0,Fλ(x,y,λ)=x2+2xy+y2−x+y=0.
我們可以整理第一式與第二式{(2λ−6)x+(2λ−2)y=λ−16,(2λ−2)x+(2λ+26)y=−λ−32.
若 λ=103 時會無解,而當 λ≠103 時恰有一解如下x=(λ+20)(λ−6)4(3λ−10), y=−(λ+10)(λ−4)4(3λ−10)
據此代入第三式中可得(x+y)2−x+y=4(λ−10)2(3λ−10)2−λ2+10λ−802(3λ−10)=0
此即等價於 8(λ−10)2−(3λ−10)(λ2+10λ−80)=0,這可以因式分解出 λ(λ+10)(λ−6)=0,故 λ=0 或 λ=6 或 λ=−10。(任擇 4 題,每題 25 分)
沒有留言:
張貼留言