2017年5月16日 星期二

國立臺灣大學八十八學年度轉學生入學考試試題詳解

  1. Find the total area of the three leaves enclosed by the three-leaf-rose

    r=sin3θ.

  2. 訣竅運用極座標的面積公式求解。
    解法運用面積公式可得

    A=312π30r2dθ=32π30sin23θdθ=34π30(1cos6θ)dθ=34π3=π4.


  3. An ellipse is defined by

    x+y+z=1, x2+y2=1.

    At the point (x,y,z)=(12,12,12), find the curvature κ=?
  4. 訣竅將曲線參數化後依據曲率的公式計算即可。
    解法將曲線參數 r(t) 如下

    {x(t)=cost,y(t)=sint,z(t)=1costsint,tR.

    那麼曲率公式有

    κ(t)=|r×r||r|3=|(sint,cost,sintcost)×(cost,sint,cost+sint)||(sint,cost,sintcost)|3=322costsint3.

    依坐標取 t=π4 代入可得

    κ(π4)=3.


  5. Can you find a series of polynomials

    p1(x)+p2(x)+p3(x)+

    which is convergent for |x|<1 to the sum s(x)=n=1pn(x), but when x approaches 1,

    limx1s(x)n=1pn(1)?

    If not, explain why that's impossible.
  6. 訣竅考慮等比級數作為例子。
    解法pk(x)=(x)k,那麼當 |x|<1 時有有

    s(x)=n=1pn(x)=n=1(x)n=11+x.

    那麼有 limx1s(x)=12,但 n=1pn(1)=n=1(1)n 不存在。

  7. Cross valley cable is hanged on towers 2 kilometers apart. Justify that the cable is curved as a catenary: y=λcosh(xλ); If the density of the cable is 2 kg/m and the tension at the middle point x=0 is 1.96×105 newtons, find the length of the cable.
  8. 訣竅根據懸鍊線的相關知識進行推導,並由曲線弧長之公式計算之。
    解法假定纜線的質料均勻且密度為 ρ(單位:牛頓/米),且自纜線上任取相異兩點 AB,其中 A 為最低點(x=0 處),並記此段曲線長度為 S(單位:米)。再者假定 A 處的張力為 H(單位:牛頓)而 B 處的張力為 T(單位:牛頓),且與水平方向夾角為 θ,那麼由靜力平衡可得

    dydx=tanθ=TsinθTcosθ=ρSH

    此處 y=y(x) 表曲線之方程式。又由弧長公式有

    dS=1+(dydx)2

    (1) 進行微分有

    d2ydx2=ρHdSdx=ρH1+(dydx)2

    dydx=p(x),那麼有

    dpdx=ρH1+p2

    藉由移項有 dp1+p2=ρHdx,在 [0,x] 上同取定積分有

    ln(p(x)+1+p2(x))ln(p(0)+1+p2(0))=ρHx

    又因在 A 處之斜率為 0,故 p(0)=0,從而整理可解得

    dydx=p(x)=exp(ρx/H)exp(ρx/H)2

    積分後可得

    y(x)=Hρexp(ρx/H)+exp(ρx/H)2=Hρcosh(ρxH)

    λ=Hρ 即有 y=λcosh(xλ)

    依據題目設定可知 ρ=2 公斤重/米=19.6 牛頓/米,H=1.96×105 牛頓,因此 λ=104 米。使用曲線弧長公式計算有

    s=100010001+(dydx)2dx=100010001+sinh2(xλ)2dx=10001000cosh(xλ)dx=2λsinh(1000λ)=2104sinh110


  9. You may use Lagrange multiplier to find the critical points of the function

    f(x,y)=3x22xy+13y2+16x+32y

    under the constraint

    g(x,y)=x2+2xy+y2x+y=0.

    Indicate which points are local maxima and which are local minima.
  10. 訣竅運用拉格朗日乘子法即可。
    解法考慮拉格朗日乘子函數如下

    F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

    那麼解下列聯立方程組

    {Fx(x,y,λ)=6x2y+16+λ(2x+2y1)=0,Fy(x,y,λ)=2x+26y+32+λ(2x+2y+1)=0,Fλ(x,y,λ)=x2+2xy+y2x+y=0.

    我們可以整理第一式與第二式

    {(2λ6)x+(2λ2)y=λ16,(2λ2)x+(2λ+26)y=λ32.

    λ=103 時會無解,而當 λ103 時恰有一解如下

    x=(λ+20)(λ6)4(3λ10), y=(λ+10)(λ4)4(3λ10)

    據此代入第三式中可得

    (x+y)2x+y=4(λ10)2(3λ10)2λ2+10λ802(3λ10)=0

    此即等價於 8(λ10)2(3λ10)(λ2+10λ80)=0,這可以因式分解出 λ(λ+10)(λ6)=0,故 λ=0λ=6λ=10
    • λ=0 時有 (x,y)=(3,1),此時 f(3,1)=8
    • λ=6 時有 (x,y)=(0,1),此時 f(0,1)=19
    • λ=10 時有 (x,y)=(1,0),此時有 f(1,0)=13
    又因 x2+2xy+y2x+y=0 為封閉曲線,因此最大值為 13,最小值為 19,其坐標分別為 (1,0)(0,1)

(任擇 4 題,每題 25 分)

沒有留言:

張貼留言