Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

2017年5月12日 星期五

國立臺灣大學九十一學年度轉學生入學考試試題詳解

  1. 填充題(每題 9 分,8 題共 72 分) 請在答案簿首頁按題號寫下答案,其他計算式一律不計分。
    1. 內接於半徑為 7公分的半圓的長方形,其最大可能的面積為    平方公分。
    2. 訣竅假設長與寬即可列出條件,使用算幾不等式求解即可。
      解法
      設長為 2a,寬為 b,其中 a,b>0,則由半徑為 7 來應用畢氏定理(Pythagorean theorem)可得 a2+b2=49,求 2ab 之極大值。利用算術幾何不等式,我們有

      492=a2+b22a2b2=ab

      因此 492ab= 長方形面積,故面積最大值為 49

    3. 在第一象限中,於 y=x 之下,並在 x 軸及直線 y=x2 上的區域,其面積為    
    4. 訣竅設計出上下界後積分之,可以考慮鉛直方向亦可考慮水平方向。
      解法一
      根據圖形計算 xx=0x=4 之間的面積後扣去三角形的面積:

      A=40xdx1222=23x32|402=103.

      解法二由解法一的圖形可列出算式並計算之:

      A=20xdx+42[x(x2)]dx=40x12(x222x)|42=23x32|402=103.

      解法三由解法一的圖形,可以將面積的計算式表達如下並計算之:

      A=20[(y+2)y2]dy=20(y2+y+2)dy=(y33+y22+2y)|20=103.


    5. 星狀曲線 x=cos3ty=sin3t0t2π 的長度為    
    6. 訣竅利用參數化的曲線長度公式計算即可。
      解法
      依弧長公式,我們列式並計算如下:

      s=2π0x(t)2+y(t)2dt=2π09cos4tsin2t+9sin4tcos2tdt=32π0|sintcost|dt=6π20sin2tdt=3cos2t|π20=6.


    7. 10x4exdx=    
    8. 訣竅利用分部積分即可。
      解法利用分部積分計算如下:

      10x4exdx=x4ex|10410x3exdx=e4x3ex|10+1210x2ex=3e+12x2ex|102410xexdx=9e24xex|10+2410exdx=15e+24ex|10=9e24.


    9. 若函數 f(x)x=0 連續,則 c=    ,其中

      f(x)={9x3sin3x5x3,x0;c,x=0.

    10. 訣竅根據連續的定義後使用 L'Hôpital 法則即可。
      解法根據連續的定義,我們有

      c=f(0)=limx0f(x)=limx09x3sin3x5x3

      緊接著使用 L'Hôpital 法則可得:

      c=limx099cos3x15x2=limx027sin3x30x=2710.


    11. limn(n+8n+3)n=    
    12. 訣竅整理其形式化為 e 即可。
      解法改寫原式如下:

      limn(n+8n+3)n=limn(1+5n+3)n=limn[(1+5n+3)n+35]5(1+5n+3)2=e5.


    13. 平面 x+y+z=1 和柱面 x2+y2=1 交出一橢圓,原點距此橢圓最遠的距離是    
    14. 訣竅根據題意列出欲求之條件式整理之即可。
      解法設橢圓上一點 P(x,y,z),欲求 ¯OP 最大,即求 ¯OP2 最大。我們又知

      ¯OP2=x2+y2+z2=1+z2

      其中 z=1(x+y),且配合 Cauchy 不等式有:

      (x2+y2)(12+12)(x+y)2

      2x+y2,即 12z1+2,因此我們有

      1¯OP21+(1+2)2=4+22

      故最遠距離為 ¯OPmax=4+22

    15. 曲線 r2=5cos2θ 圍成區域的面積為    
    16. 訣竅根據極座標求面積法即可。
      解法
      應考慮能滿足 cos2θ0θ,據此可知 2θ[π/2+2kπ,π/2+2kπ],其中kZ,因此 θ[π/4+kπ,π/4+kπ],又欲使 θ[0,2π] 之間,故得 θ[0,π/4][3π/4,5π/4][7π/4,2π]。因此面積為

      A=12π/40r2dθ+125π/43π/4r2dθ+122π7π/4r2dθ=54(sin2θ|π/40+sin2θ|5π/43π/4+sin2θ|2π7π/4)=54(1+1(1)(1))=5.

  2. 計算證明題(每題 14 分,2 題共 28 分) 請寫出詳細之計算與證明過程
    1. 歐拉的 Gamma 函數定義為 Γ(x)=0tx1etdtx>0
      1. 證明 Γ(1)=1
      2. x>0 時,證明 Γ(x+1)=xΓ(x)
      3. 試用數學歸納法證明,當 n 是非負整數時,Γ(n)=(n1)! 恆成立,其中 n! 表示 n 的階乘。
    2. 訣竅利用分部積分的方法可以直接計算出結果。
      解法
      1. 代入 x=1,得

        Γ(1)=0etdt=et|0=1.

      2. x>0,則 x+1>1,故 t 的指數部分是合法的。因此利用分部積分可得:

        Γ(x+1)=0t(x+1)1etdt=txet|0+x0tx1etdt=xΓ(x).

      3. 根據訣竅我們知道應證明的結論為 Γ(n)=(n1)!

        首先由第一小題可知 n=1 時結論成立。
        接著我們設 n=k 時成立,亦即 Γ(k)=(k1)!。利用第二小題,我們知道 Γ(k+1)=kΓ(k)=k!

        於是由數學歸納法,我們知道對所有正整數 n 皆有 Γ(n)=(n1)!

    3. 利用均值定理證明下列二敘述。
    4. [均值定理] 如果 y=f(x) 在閉區間 [a,b] 連續,且在開區間 (a,b) 可微,則 (a,b) 中存在一數 c 滿足 f(c)=f(b)f(a)ba
      1. 如果 f(x)=g(x) 對區間 I 內的所有 x 均成立,試證,存在一常數 C 使得 f(x)=g(x)+CI 中的所有 x 均成立。
      2. 對什麼樣的 p,q,r[a,b]=[0,2] 時,下列函數滿足均值定理的假設條件?

        f(x)={3,x=0;x2+3x+p,0<x<1;qx+r,1x2.

      訣竅將第一小題的形式轉為均值定理的形式;第二小題則按照連續與可微分的特性來解題。
      解法
      1. 不妨於區間 I 中取兩點 a,bIa<b,並設 h(x)=f(x)g(x),xI,則有 h(x)=0,xI。因此在 [a,b] 上仍有 h(x)=0。運用均值定理,存在 c(a,b) 使 h(c)=h(b)h(a)ba=0 成立。因此 h(a)=h(b),但 a,b 為任意點,因此 h 為常數函數,即 h(x)=f(x)g(x)C,於是 f(x)=g(x)+C
      2. 首先考慮在 x=0 的連續性,有

        3=f(0)=limx0+f(x)=limx0+(x2+3x+p)=p

        因此我們得 p=3,接著我們再考慮 x=1 的連續性則有

        q+r=f(1)=limx1f(x)=limx1(x2+3x+3)=5

        另一方面也考慮x=1的可微分性則有

        f(1)=limx1f(x)f(1)x1=limx1+f(x)f(1)x1

        1=limx1(x2)=limx1(x2+3x+3)5x1=limx1+(qx+r)(q+r)x1=q.

        因此 p=3q=1r=4

2 則留言:

  1. 第一題題目似乎是說半圓的內接長方形 而非完整的圓的內接長方形
    答案應是49?

    回覆刪除
    回覆
    1. 謝謝你指出我對題目認識的盲點XD,我居然誤以為是整個圓!

      刪除