- 填充題(每題 9 分,8 題共 72 分) 請在答案簿首頁按題號寫下答案,其他計算式一律不計分。
- 內接於半徑為 7公分的半圓的長方形,其最大可能的面積為 平方公分。
- 在第一象限中,於 y=√x 之下,並在 x 軸及直線 y=x−2 上的區域,其面積為 。
- 星狀曲線 x=cos3t,y=sin3t,0≤t≤2π 的長度為 。
- ∫10x4exdx= 。
- 若函數 f(x) 在 x=0 連續,則 c= ,其中
f(x)={9x−3sin3x5x3,x≠0;c,x=0.
- limn→∞(n+8n+3)n= 。
- 平面 x+y+z=1 和柱面 x2+y2=1 交出一橢圓,原點距此橢圓最遠的距離是 。
- 曲線 r2=5cos2θ 圍成區域的面積為 。
- 計算證明題(每題 14 分,2 題共 28 分) 請寫出詳細之計算與證明過程
- 歐拉的 Gamma 函數定義為 Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt,x>0。
- 證明 Γ(1)=1。
- 當 x>0 時,證明 Γ(x+1)=xΓ(x)。
- 試用數學歸納法證明,當 n 是非負整數時,Γ(n)=(n−1)! 恆成立,其中 n! 表示 n 的階乘。
- 代入 x=1,得
Γ(1)=∫∞0e−tdt=−e−t|∞0=1.
- 當 x>0,則 x+1>1,故 t 的指數部分是合法的。因此利用分部積分可得:
Γ(x+1)=∫∞0t(x+1)−1e−tdt=−txe−t|∞0+x∫∞0tx−1e−tdt=xΓ(x).
- 根據訣竅我們知道應證明的結論為 Γ(n)=(n−1)!。
首先由第一小題可知 n=1 時結論成立。
於是由數學歸納法,我們知道對所有正整數 n 皆有 Γ(n)=(n−1)!。
接著我們設 n=k 時成立,亦即 Γ(k)=(k−1)!。利用第二小題,我們知道 Γ(k+1)=kΓ(k)=k!。 - 利用均值定理證明下列二敘述。 [均值定理] 如果 y=f(x) 在閉區間 [a,b] 連續,且在開區間 (a,b) 可微,則 (a,b) 中存在一數 c 滿足 f′(c)=f(b)−f(a)b−a。
- 如果 f′(x)=g′(x) 對區間 I 內的所有 x 均成立,試證,存在一常數 C 使得 f(x)=g(x)+C 對 I 中的所有 x 均成立。
- 對什麼樣的 p,q,r 當 [a,b]=[0,2] 時,下列函數滿足均值定理的假設條件?
f(x)={3,x=0;−x2+3x+p,0<x<1;qx+r,1≤x≤2.
- 不妨於區間 I 中取兩點 a,b∈I 且 a<b,並設 h(x)=f(x)−g(x),∀x∈I,則有 h′(x)=0,∀x∈I。因此在 [a,b] 上仍有 h′(x)=0。運用均值定理,存在 c∈(a,b) 使 h′(c)=h(b)−h(a)b−a=0 成立。因此 h(a)=h(b),但 a,b 為任意點,因此 h 為常數函數,即 h(x)=f(x)−g(x)≡C,於是 f(x)=g(x)+C。
- 首先考慮在 x=0 的連續性,有
3=f(0)=limx→0+f(x)=limx→0+(−x2+3x+p)=p
因此我們得 p=3,接著我們再考慮 x=1 的連續性則有q+r=f(1)=limx→1−f(x)=limx→1−(−x2+3x+3)=5
另一方面也考慮x=1的可微分性則有f′(1)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)−f(1)x−1
即1=limx→1−−(x−2)=limx→1−(−x2+3x+3)−5x−1=limx→1+(qx+r)−(q+r)x−1=q.
因此 p=3、q=1、r=4。
訣竅
假設長與寬即可列出條件,使用算幾不等式求解即可。解法
設長為 2a,寬為 b,其中 a,b>0,則由半徑為 7 來應用畢氏定理(Pythagorean theorem)可得 a2+b2=49,求 2ab 之極大值。利用算術幾何不等式,我們有492=a2+b22≥√a2b2=ab
因此 49≥2ab= 長方形面積,故面積最大值為 49。訣竅
設計出上下界後積分之,可以考慮鉛直方向亦可考慮水平方向。解法二
由解法一的圖形可列出算式並計算之:A=∫20√xdx+∫42[√x−(x−2)]dx=∫40x12−(x22−2x)|42=23x32|40−2=103.
解法三
由解法一的圖形,可以將面積的計算式表達如下並計算之:A=∫20[(y+2)−y2]dy=∫20(−y2+y+2)dy=(−y33+y22+2y)|20=103.
訣竅
利用參數化的曲線長度公式計算即可。解法
依弧長公式,我們列式並計算如下:s=∫2π0√x′(t)2+y′(t)2dt=∫2π0√9cos4tsin2t+9sin4tcos2tdt=3∫2π0|sintcost|dt=6∫π20sin2tdt=−3cos2t|π20=6.
訣竅
利用分部積分即可。解法
利用分部積分計算如下:∫10x4exdx=x4ex|10−4∫10x3exdx=e−4x3ex|10+12∫10x2ex=−3e+12x2ex|10−24∫10xexdx=9e−24xex|10+24∫10exdx=−15e+24ex|10=9e−24.
訣竅
根據連續的定義後使用 L'Hôpital 法則即可。解法
根據連續的定義,我們有c=f(0)=limx→0f(x)=limx→09x−3sin3x5x3
緊接著使用 L'Hôpital 法則可得:c=limx→09−9cos3x15x2=limx→027sin3x30x=2710.
訣竅
整理其形式化為 e 即可。解法
改寫原式如下:limn→∞(n+8n+3)n=limn→∞(1+5n+3)n=limn→∞[(1+5n+3)n+35]5(1+5n+3)−2=e5.
訣竅
根據題意列出欲求之條件式整理之即可。解法
設橢圓上一點 P(x,y,z),欲求 ¯OP 最大,即求 ¯OP2 最大。我們又知¯OP2=x2+y2+z2=1+z2
其中 z=1−(x+y),且配合 Cauchy 不等式有:(x2+y2)(12+12)≥(x+y)2
即 √2≥x+y≥−√2,即 1−√2≤z≤1+√2,因此我們有1≤¯OP2≤1+(1+√2)2=4+2√2
故最遠距離為 ¯OPmax=√4+2√2。
第一題題目似乎是說半圓的內接長方形 而非完整的圓的內接長方形
回覆刪除答案應是49?
謝謝你指出我對題目認識的盲點XD,我居然誤以為是整個圓!
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