國立臺灣大學八十六學年度轉學生入學考試試題詳解

1. $\displaystyle1-\frac{1}2+\frac{1}3-\frac{1}4+\frac{1}5-\frac{1}6+\frac{1}7-\cdots=?$
   $\displaystyle1-\frac{1}2-\frac{1}4+\frac{1}3-\frac{1}6-\frac{1}8+\frac{1}5-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}7-\cdots=?$　($20/100$)
訣竅
運用 $\displaystyle\ln\frac{1+x}{1-x}$ 的泰勒展開式並使用 Abel 定理求解。
解法

我們可以考慮定義在 $\lvert x\rvert<1$ 上的函數 $\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n-1}\frac{x^n}{n}$，容易看出對任何在 $\left(-1,1\right)$ 的 $x$ 恆有 $f\left(x\right)=\ln\left(1+x\right)$。因此由 Abel 定理可知

$\displaystyle f\left(1\right)=\lim_{x\to1^-}f\left(x\right)=\lim_{x\to1^-}\ln\left(1+x\right)=\ln2$

此即表明

$\displaystyle1-\frac{1}2+\frac{1}3-\frac{1}4+\frac{1}5-\frac{1}6+\frac{1}7-\cdots=\ln2$

另一方面，第二小題的形式可以表達整理並計算如下如下：

$\begin{aligned}\displaystyle&\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)\\=&\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(2n-1\right)}\\=&\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)\\=&\frac{\ln2}{2}\end{aligned}$



2. $y=x^2$ at $\left(x,y\right)=\left(1,1\right)$. center of curvature$=\left(?,?\right)$ ($20/100$)
訣竅
運用曲率的公式與曲率半徑的意義即可求解。
解法
首先我們可以知道函數 $f$ 在 $\left(1,1\right)$ 的曲率為
$\displaystyle\kappa=\frac{\lvert f''\left(1\right)\rvert}{\left(1+f'\left(1\right)\right)^{3/2}}=\frac2{5\sqrt5}$
從而曲率半徑為$\displaystyle\frac{5\sqrt5}2$。再者 $f''\left(1\right)=2$，這表明在該處凹口向上，且由 $f'\left(1\right)=2$，因此在 $\left(1,1\right)$ 朝向曲率中心的方向為 $\left(-2,1\right)$。
又可根據曲率半徑的值確認出自 $\left(1,1\right)$ 至曲率中心的向量為 $\displaystyle\left(-5,\frac52\right)$，故曲率中心為 $\displaystyle\left(-4,\frac72\right)$。
如圖所示



3. In spherical coordinate $\displaystyle\theta=\tan^{-1}\frac{y}x$, $\rho\leq1-\cos\phi$. center of gravity$=\left(?,?,?\right)$ ($20/100$)
訣竅
將 $\rho\leq1-\cos\phi$視為 $r\leq1-\cos\theta$，可以發現此為心臟線，而在立體空間則可以對 $z$ 軸旋轉。
解法
首先根據對稱性可以容易知道 $\bar{x}=\bar{y}=0$。從而我們僅須研究 $\bar{z}$ 即可，但這點可以透過平面時的心臟線 $r=1-\cos\theta$ 的重心的 $x$ 座標等於立體重心的 $z$ 座標即可獲知。因此我們計算如下：
$\begin{aligned}\displaystyle\bar{z}=&\frac{\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^{1-\cos\theta}r^2\cos\theta dr d\theta}{\displaystyle\frac{1}2\int_0^{2\pi}r^2\left(\theta\right)d\theta}\\=&\frac{\displaystyle\frac{1}3\int_0^{2\pi}\left(1-\cos\theta\right)^3\cos\theta d\theta}{\displaystyle\frac{1}2\int_0^{2\pi}\left(\frac{3}2-2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}2\right)d\theta}\end{aligned}$
根據積分的對稱性可以知道 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos\theta d\theta=\int_0^{2\pi}\cos^3\theta d\theta=\int_0^{2\pi}\cos2\theta d\theta=0$，因此有
$\begin{aligned}\displaystyle\bar{z}=&\frac{\displaystyle-2\int_0^{2\pi}\left(3\cos^2\theta+\cos^4\theta\right)d\theta}{9\pi}\\=&\frac{\displaystyle-2\int_0^{2\pi}\left(\frac{3+3\cos2\theta}2+\frac{\left(1+\cos2\theta\right)^2}4\right)d\theta}{9\pi}\\=&\frac{-2\left(3\pi+\frac{3\pi}{4}\right)}{9\pi}\\=&-\frac{5}6\end{aligned}$
因此重心為 $\displaystyle\left(0,0,-\frac{5}6\right)$。


4. $f\left(x\right)=\begin{cases}\displaystyle x^2\sin\frac1x,&\text{if }x\neq0\\0,&\text{if }x=0\end{cases}$
   $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=?$　$f'\left(0\right)=?$　($20/100$)
訣竅
運用定義與夾擠定理即可。
解法
當 $x>0$ 時，我們有
$\displaystyle0\leq x^2\left|\sin\frac{1}x\right|\leq x^2$
又 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2=0$。因此由夾擠定理可知 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=0$。再者我們由導數的定義可得
$\displaystyle f'\left(0\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\lim_{h\to0}h\sin\frac{1}h$
我們可以類似地再運用夾擠定理可知 $f'\left(0\right)=0$。


5. $50$ liter brine with salt concentration $3\mbox{ grams}/\mbox{liter}$ is diluted by flowing in pure water at the speed $2\mbox{ liters}/\mbox{min}$. Mixed brine flows out at the same speed. After $10$ minutes, salt concentration $=?\mbox{ grams}/\mbox{liter}$.　($20/100$)
訣竅
根據題意列出微分方程與初始條件後求解。
解法
設 $y\left(t\right)$ 為 $t$ 分鐘後鹽的重量。因此根據題意，我們知道 $y\left(t\right)$ 的變化率為每分鐘流入的鹽扣去每分鐘流出的鹽，如此列式如下：
$\begin{aligned}\displaystyle\frac{dy}{dt}=&0\times2-\frac{y\left(t\right)}{50}\times2\\=&-\frac{y\left(t\right)}{25}\end{aligned}$
因此藉由移項並在 $\left[0,t\right]$ 上同取定積分可得
$\displaystyle\ln y\left(t\right)-\ln y\left(0\right)=-\frac{t}{25}$
又根據題目所述可知 $y\left(0\right)=50\times3=150$ (公克)，因此能夠解得
$y\left(t\right)=150e^{-\frac{t}{25}}$
因此 $10$ 分鐘後有 $y\left(10\right)=150e^{-\frac{2}5}$ 公克，此時的濃度為 $3e^{-\frac{2}5}$ 公克/公升。