幾何明珠 第三章 黃金分割 練習與思考 詳解

1. 證明在圖 3-7 中 $M$、$N$ 分別為 $BE$、$BM$ 的黃金分割點。
解法
圖 3-7 為正五角星形，即為正五邊形連對角線所組成之圖形。由於 $BN=AN$ 且 $\Delta AMN$ 為頂角 $36^\circ$ 的等腰三角形，故按本章之結論 $5$ 可知其底邊 $MN$ 與腰 $AN$ 之比為 $\omega$，即有 $MN:BN=\omega:1$，故 $N$ 為 $BM$ 的黃金分割點。再者，由於 $\Delta AME$ 與 $\Delta BAE$ 之各角分別為 $36^\circ$、$108^\circ$ 與 $36^\circ$，從而兩者相似，即有
$\displaystyle\frac{ME}{AE}=\frac{AE}{BE}.$
由結論 $7$ 以及 $AE=NE=BM$ 可知
$\displaystyle\frac{ME}{BM}=\frac{1}{\omega}.$
故 $M$ 為 $BE$ 的黃金分割點。


2. 我國很早以前民間就流傳一種正五邊形的近似作法：「九五頂五九，八五兩邊分（如圖）。」這種作法的精確度是很高的。
   
   1. 驗證 $M$ 點極接近 $AN$ 的黃金分割點；
   2. 試用這種方法作一邊長為 $50$ 毫米的正五邊形。
解法
1. 由於 $\displaystyle\frac{MN}{AN}=\frac{9.5}{5.9+9.5}=\frac{95}{154}=0.6\overline{168831}$，而黃金分割點之比值近似於 $0.618033989\cdots$，故精準至小數點後第二位，因此相當接近。
2. 取一線段 $\overline{BC}$ 長 $50$ 毫米，接著做其中垂線交 $\overline{BC}$ 於 $N$，在中垂線上距離 $N$ 分別 $47.5$ 毫米與 $77$ 毫米處取 $M$ 與 $A$，接著於 $M$ 作平行於 $\overline{BC}$ 的直線 $K$。在直線上 $K$ 上分別在直線 $AN$ 兩側距 $M$ 點 $40$ 毫米處分別取 $D$ 與 $E$，那麼連 $AD$、$DB$、$BC$、$CE$、$EA$ 即可得近似的正五邊形。


3. 驗證黃金長方體的表面積與其外接球表面積的比為 $\omega:\pi$。
解法
由於長方體之長、寬、高比例為 $\displaystyle\omega:1:\frac{1}{\omega}$，若設寬長度為 $a$ 單位，則表面積可表為
$\displaystyle 2a^2\left(\omega+1+\frac{1}{\omega}\right)=2a^2\left(1+\sqrt{5}\right)$.
另一方面，其外接球之半徑 $r$ 可由畢氏定理計算求得：
$\displaystyle r=\frac{\sqrt{a^2\omega^2+a^2+\frac{a^2}{\omega^2}}}{2}=\frac{a\sqrt{\omega^2+1+\frac{1}{\omega^2}}}{2}$.
故外接球表面積為
$\displaystyle4\pi r^2=a^2\pi\left(\omega^2+1+\frac{1}{\omega^2}\right)=4a^2\pi$.
故兩者之比值為
$\displaystyle \frac{2a^2\left(1+\sqrt{5}\right)}{4a^2\pi}=\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)/2}{\pi}$.
【註：本書有時以 $\omega$ 表 $\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，有時候則表 $\displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。應細心查明檢查，此處應為後者。】