幾何明珠 第二十三章 笛沙格定理 練習與思考 詳解

1. $\Delta ABC$ 內切圓切三邊 $BC$、$CA$、$AB$ 於 $D$、$E$、$F$，且 $BC$ 交 $EF$ 於 $P$，$CA$ 交 $DF$ 於 $Q$，$AB$ 交 $DE$ 於 $R$，求證：$P$、$Q$、$R$ 共線。
解法
由於 $DB=BF$、$FA=AE$、$EC=CD$，因此有
$\displaystyle\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=1$.
那麼由西瓦逆定理可知 $AD$、$BE$、$CF$ 三線共點，記此點為 $S$。因此對 $\Delta ABC$ 與 $\Delta DEF$ 使用笛沙格定理可知三個對應邊所交會的三點 $P$、$Q$、$R$ 共線，證明完畢。


2. 直線 $a$、$b$ 平行於梯形 $ABCD$ 的底 $AB$，且直線 $a$ 與 $AD$ 交於 $M$ 與 $AC$ 交於 $P$；直線 $b$ 與 $BD$ 交於 $N$ 與 $BC$ 交於 $Q$，試證：$MN$ 與 $PQ$ 的交點在梯形一底上。
解法
設 $PQ$ 與 $MN$ 的交點為 $E$。由於直線 $a$、$b$ 與直線 $CD$ 倆倆互相平行，那麼可視此三直線交會於無窮遠處。那麼考慮 $\Delta CPQ$ 與 $\Delta DMN$，可知 $CP$ 與 $DM$ 交於 $A$、$PQ$ 交 $MN$ 於 $E$、$QC$ 交 $ND$ 於 $B$，那麼由笛沙格定理可知 $A,B,E$ 三點共線，即 $PQ$ 與 $MN$ 的交點落於梯形的底邊上。


3. 設直線 $a$ 交 $\Delta ABC$ 的三邊 $AB$、$BC$、$CA$（或其延長線）於 $L$、$M$、$N$，若直線 $AM$、$BN$ 交於 $C'$，$AM$、$CL$ 交於 $B'$，$BN$、$CL$ 交於 $A'$，試證：$AA'$、$BB'$、$CC'$ 三線共點。
解法
考慮三角形 $\Delta ABC$ 與 $\Delta A'B'C'$，由於 $AB$ 和 $A'B'$ 交於 $L$，$BC$ 和 $B'C'$ 交於 $M$，$CA$ 和 $C'A'$ 交於 $N$，且 $L$、$M$、$N$ 共線於 $a$，因此由笛沙格逆定理可知 $AA'$、$BB'$、$CC'$ 三線共點。