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2019年11月26日 星期二

國立臺灣大學八十九學年度研究所碩士班招生考試:微積分

  1. Find the following: (40%)
    (1) limx0tanxxxsinx
    (2) limx(x+1x)
    (3) ddx10+x
    (4) ddxx201+t3dt
    (5) Find a function f(x,y) such that

    fx(x,y)=2xy3+exsiny and fy(x,y)=3x2y2+excosy+1

  2. 訣竅(1) 其形式容易讓我們聯想到羅必達法則或使用泰勒展開式處理;
    (2) 由於兩個趨於無窮的量相減,我們可以使用逆有理化的方式使它們在分母相加;
    (3) 使用簡單的連鎖律即可;
    (4) 使用微積分基本定理搭配連鎖律求解即可;
    (5) 針對單個變數進行偏積分後會產生待定的未知函數,隨後再使用另外一個偏微分條件來進一步確定該未知函數。
    解法(1) 【方法一】 使用羅必達法則直接計算如下

    limx0tanxxxsinx=limx0sec2x11cosx=limx02sec2xtanxsinx=limx04sec2xtan2x+2sec4xcosx=2

    (1) 【方法二】 使用三角函數的泰勒展開式如下

    limx0tanxxxsinx=limx0(x+x33+)xx(xx36+)=limx013+16+=2

    (2) 分子分母同乘以 x+1+x 後改寫如下

    limx(x+1x)=limx1x+1+x=0

    (3) 使用連鎖律計算如下

    ddx10+x=ddx(10+x1/2)1/2=12(10+x1/2)1/2ddx(10+x1/2)=x1/24(10+x1/2)1/2

    (4) 使用微積分基本定理與連鎖律可知

    ddxx201+t3dt=1+(x2)3ddxx2=2x1+x6

    (5) 首先對 x 分量積分可知

    f(x,y)=fx(x,y)dx=x2y3+exsiny+g(y)

    其中 g(y) 為待定的未知函數。接著對 y 偏微分可得

    fy(x,y)=3x2y2+excosy+g(y)=3x2y2+excosy+1

    因此 g(y)=1,故 g(y)=y+C,其中 C 為積分常數。至此可知所求的函數 f

    f(x,y)=x2y3+exsiny+y+C


  3. Find the integrals: (30%)
    (1) (x+2)sin2(x2+4x6)dx
    (2) ln(1+x2)dx
    (3) 301x/3ey3dydx
  4. 訣竅(1) 由於被積分函數形式複雜,故使用變數變換簡化之;
    (2) 直接使用分部積分法;
    (3) 由於直接計算迭代積分是不可行的,故交換積分次序來求解。
    解法(1) 令 u=x2+4x6,那麼可以觀察到 du=(2x+4)dx=2(x+2)dx,如此所求的不定積分可以改寫並計算如下

    (x+2)sin2(x2+4x6)dx=12sin2(u)du=14(1cos(2u))du=2usin(2u)8+C=2x2+8x12sin(2x2+8x12)8+C

    (2) 使用分部積分法計算如下

    ln(1+x2)dx=xln(1+x2)x2x1+x2dx=xln(1+x2)2(111+x2)dx=xln(1+x2)2(xtan1x)+C=xln(1+x2)2x+2arctan(x)+C

    (3) 可以將積分範圍 {0x3x/3y1 改寫為 {0x3y20y1,據此可以將重積分改寫並計算如下

    301x/3ey3dydx=103y20ey3dxdy=103y2ey3dy=ey3|10=e1


  5. Find the absolute maximum and minimum values of f(x,y)=x2+3y2+2y on the unit disk x2+y21. (10%)
  6. 訣竅可以使用基礎的不等式來求出絕對極值;亦可在內部使用偏微分求極值,而在邊界使用拉格朗日乘子法來求條件極值;亦可適當的修改限制條件後直接使用拉格朗日乘子法。
    解法一容易觀察到

    f(x,y)=x2+3y2+2y=x2+3(y+13)21313

    故最小值為 13,等號成立條件為 (x,y)=(0,13)。另一方面,使用限制條件可知

    f(x,y)=x2+3y2+2y(1y2)+3y2+2y=2y2+2y+1=2(y+12)2+12

    故最大值為 12,此時的等號成立條件為 (x,y)=(±32,12)
    解法二先考慮在圓盤內時的極值,據此我們解聯立方程組

    {fx(x,y)=2x=0fy(x,y)=6y+2=0

    可解得 (x,y)=(0,13),此為極值候選點。另一方面,在邊界上求極值時,我們設定拉格朗日乘子函數如下

    F(x,y,λ)=x2+3y2+2y+λ(x2+y21)

    據此解下列的聯立方程組

    {Fx(x,y,λ)=2x+2λx=0Fy(x,y,λ)=6y+2+2λy=0Fλ(x,y,λ)=x2+y21=0

    由第一式可知 2x(1+λ)=0,即 x=0λ=1
    • x=0,則由第三式可知 y=±1
    • λ=1,則由第二式可知 y=12,從而代入第三式可得 x=±32
    綜上求得極值候選點有 (0,13)(0,±1) 以及 (±32,12)。代入檢驗可知最大值為 12,而最小值為 13
    解法三將限制條件化為 x2+y2+s2=1,其中 sR。如此考慮拉格朗日乘子函數如下

    F(x,y,s,λ)=x2+3y2+2y+λ(x2+y2+s21)

    據此解下列的聯立方程組

    {Fx(x,y,s,λ)=2x+2λx=0Fy(x,y,s,λ)=6y+2+2λy=0Fs(x,y,s,λ)=2sλ=0Fλ(x,y,s,λ)=x2+y2+s21=0

    由第三式可知 λ=0s=0。假若 λ=0,那麼這與解法二的前半部分相同,可得 (x,y)=(0,13);而假若 s=0,這與解法二的後半部分相同,可得 (x,y)=(0,±1)(x,y)=(±32,12)。餘下檢驗最大最小值之過程也同解法二。

  7. An oil tank in the shape of a sphere has a radius R ft. How much oil does the tank contain if the depth of the oil is R/2 ft. (10%)
  8. 訣竅利用旋轉體體積公式計算求解即可。
    解法考慮球體表面由 x=R2y2y 軸旋轉而得,那麼當油深 R/2 英呎時,這表明油所佔據之空間界於 y=Ry=R/2 之間,從而其對應的體積可以列式並計算如下

    V=R/2RπR2y22dy=πR/2R(R2y2)dy=π(R2yy33)|R/2R=5πR324

    其單位為立方英吋。

  9. Find the function u(x), if

    (x2+2x+3)u(x)+2(2x+2)u(x)+2u(x)=0; u(0)=u(0)=1.

    (hint: use the formula finding (uv)(x)) (10%)
  10. 訣竅使用提示並且比較其係數即可選出適當的函數 v
    解法隨著這項提示,我們將 (uv)(x) 展開如下

    (uv)(x)=v(x)u(x)+2v(x)u(x)+v(x)u(x)

    v(x)=x2+2x+3,那麼題目給定的方程即可化為

    (vu)(x)=0; (vu)(0)=v(0)u(0)=3, (vu)(0)=v(0)u(0)+v(0)u(0)=5

    因為「二次微分為零的函數僅有一次函數」,故可知(vu)(x)=A+Bx,再由 v(0)=3v(0)=5 推知 A=3B=5,從而所求的函數 u

    u(x)=3x+5x2+2x+3

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