- Find the following: (40%)
(1) limx→0tanx−xx−sinx
(2) limx→∞(√x+1−√x)
(3) ddx√10+√x
(4) ddx∫x20√1+t3dt
(5) Find a function f(x,y) such thatfx(x,y)=2xy3+exsiny and fy(x,y)=3x2y2+excosy+1
- Find the integrals: (30%)
(1) ∫(x+2)sin2(x2+4x−6)dx
(2) ∫ln(1+x2)dx
(3) ∫30∫1√x/3ey3dydx - Find the absolute maximum and minimum values of f(x,y)=x2+3y2+2y on the unit disk x2+y2≤1. (10%)
- 若 x=0,則由第三式可知 y=±1。
- 若 λ=−1,則由第二式可知 y=−12,從而代入第三式可得 x=±√32。
- An oil tank in the shape of a sphere has a radius R ft. How much oil does the tank contain if the depth of the oil is R/2 ft. (10%)
- Find the function u(x), if
(x2+2x+3)u″(x)+2(2x+2)u′(x)+2u(x)=0; u(0)=u′(0)=1.
(hint: use the formula finding (uv)″(x)) (10%)
訣竅
(1) 其形式容易讓我們聯想到羅必達法則或使用泰勒展開式處理;(2) 由於兩個趨於無窮的量相減,我們可以使用逆有理化的方式使它們在分母相加;
(3) 使用簡單的連鎖律即可;
(4) 使用微積分基本定理搭配連鎖律求解即可;
(5) 針對單個變數進行偏積分後會產生待定的未知函數,隨後再使用另外一個偏微分條件來進一步確定該未知函數。
解法
(1) 【方法一】 使用羅必達法則直接計算如下limx→0tanx−xx−sinx=limx→0sec2x−11−cosx=limx→02sec2xtanxsinx=limx→04sec2xtan2x+2sec4xcosx=2
(1) 【方法二】 使用三角函數的泰勒展開式如下limx→0tanx−xx−sinx=limx→0(x+x33+⋯)−xx−(x−x36+⋯)=limx→013+⋯16+⋯=2
(2) 分子分母同乘以 √x+1+√x 後改寫如下limx→∞(√x+1−√x)=limx→∞1√x+1+√x=0
(3) 使用連鎖律計算如下ddx√10+√x=ddx(10+x1/2)1/2=12(10+x1/2)−1/2⋅ddx(10+x1/2)=x−1/24(10+x1/2)−1/2
(4) 使用微積分基本定理與連鎖律可知ddx∫x20√1+t3dt=√1+(x2)3⋅ddxx2=2x√1+x6
(5) 首先對 x 分量積分可知f(x,y)=∫fx(x,y)dx=x2y3+exsiny+g(y)
其中 g(y) 為待定的未知函數。接著對 y 偏微分可得fy(x,y)=3x2y2+excosy+g′(y)=3x2y2+excosy+1
因此 g′(y)=1,故 g(y)=y+C,其中 C 為積分常數。至此可知所求的函數 f 為f(x,y)=x2y3+exsiny+y+C
訣竅
(1) 由於被積分函數形式複雜,故使用變數變換簡化之;(2) 直接使用分部積分法;
(3) 由於直接計算迭代積分是不可行的,故交換積分次序來求解。
解法
(1) 令 u=x2+4x−6,那麼可以觀察到 du=(2x+4)dx=2(x+2)dx,如此所求的不定積分可以改寫並計算如下∫(x+2)sin2(x2+4x−6)dx=12∫sin2(u)du=14∫(1−cos(2u))du=2u−sin(2u)8+C=2x2+8x−12−sin(2x2+8x−12)8+C
(2) 使用分部積分法計算如下∫ln(1+x2)dx=xln(1+x2)−∫x⋅2x1+x2dx=xln(1+x2)−2∫(1−11+x2)dx=xln(1+x2)−2(x−tan−1x)+C=xln(1+x2)−2x+2arctan(x)+C
(3) 可以將積分範圍 {0≤x≤3√x/3≤y≤1 改寫為 {0≤x≤3y20≤y≤1,據此可以將重積分改寫並計算如下∫30∫1√x/3ey3dydx=∫10∫3y20ey3dxdy=∫103y2ey3dy=ey3|10=e−1
訣竅
可以使用基礎的不等式來求出絕對極值;亦可在內部使用偏微分求極值,而在邊界使用拉格朗日乘子法來求條件極值;亦可適當的修改限制條件後直接使用拉格朗日乘子法。解法一
容易觀察到f(x,y)=x2+3y2+2y=x2+3(y+13)2−13≥−13
故最小值為 −13,等號成立條件為 (x,y)=(0,−13)。另一方面,使用限制條件可知f(x,y)=x2+3y2+2y≤(1−y2)+3y2+2y=2y2+2y+1=2(y+12)2+12
故最大值為 12,此時的等號成立條件為 (x,y)=(±√32,−12)。解法二
先考慮在圓盤內時的極值,據此我們解聯立方程組{fx(x,y)=2x=0fy(x,y)=6y+2=0
可解得 (x,y)=(0,−13),此為極值候選點。另一方面,在邊界上求極值時,我們設定拉格朗日乘子函數如下F(x,y,λ)=x2+3y2+2y+λ(x2+y2−1)
據此解下列的聯立方程組{Fx(x,y,λ)=2x+2λx=0Fy(x,y,λ)=6y+2+2λy=0Fλ(x,y,λ)=x2+y2−1=0
由第一式可知 2x(1+λ)=0,即 x=0 或 λ=−1。解法三
將限制條件化為 x2+y2+s2=1,其中 s∈R。如此考慮拉格朗日乘子函數如下F(x,y,s,λ)=x2+3y2+2y+λ(x2+y2+s2−1)
據此解下列的聯立方程組{Fx(x,y,s,λ)=2x+2λx=0Fy(x,y,s,λ)=6y+2+2λy=0Fs(x,y,s,λ)=2sλ=0Fλ(x,y,s,λ)=x2+y2+s2−1=0
由第三式可知 λ=0 或 s=0。假若 λ=0,那麼這與解法二的前半部分相同,可得 (x,y)=(0,−13);而假若 s=0,這與解法二的後半部分相同,可得 (x,y)=(0,±1) 或 (x,y)=(±√32,−12)。餘下檢驗最大最小值之過程也同解法二。訣竅
利用旋轉體體積公式計算求解即可。解法
考慮球體表面由 x=√R2−y2 繞 y 軸旋轉而得,那麼當油深 R/2 英呎時,這表明油所佔據之空間界於 y=−R 至 y=−R/2 之間,從而其對應的體積可以列式並計算如下V=∫−R/2−Rπ√R2−y22dy=π∫−R/2−R(R2−y2)dy=π(R2y−y33)|−R/2−R=5πR324
其單位為立方英吋。訣竅
使用提示並且比較其係數即可選出適當的函數 v。解法
隨著這項提示,我們將 (uv)″(x) 展開如下(uv)″(x)=v(x)u″(x)+2v′(x)u′(x)+v″(x)u(x)
取 v(x)=x2+2x+3,那麼題目給定的方程即可化為(vu)″(x)=0; (vu)(0)=v(0)u(0)=3, (vu)′(0)=v′(0)u(0)+v(0)u′(0)=5
因為「二次微分為零的函數僅有一次函數」,故可知(vu)(x)=A+Bx,再由 v(0)=3 及 v′(0)=5 推知 A=3 及 B=5,從而所求的函數 u 為u(x)=3x+5x2+2x+3
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