- Find the following: (40%)
(1) limx→0tanx−xx−sinx
(2) \displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})
(3) \displaystyle\frac{d}{dx}\sqrt{10+\sqrt{x}}
(4) \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}dt
(5) Find a function f(x,y) such thatf_x(x,y)=2xy^3+e^x\sin y and f_y(x,y)=3x^2y^2+e^x\cos y+1
- Find the integrals: (30\%)
(1) \displaystyle\int(x+2)\sin^2(x^2+4x-6)dx
(2) \displaystyle\int\ln(1+x^2)dx
(3) \displaystyle\int_0^3\int_{\sqrt{x/3}}^1e^{y^3}dydx - Find the absolute maximum and minimum values of f(x,y)=x^2+3y^2+2y on the unit disk x^2+y^2\leq1. (10\%)
- 若 x=0,則由第三式可知 y=\pm1。
- 若 \lambda=-1,則由第二式可知 \displaystyle y=-\frac12,從而代入第三式可得 \displaystyle x=\pm\frac{\sqrt3}2。
- An oil tank in the shape of a sphere has a radius R ft. How much oil does the tank contain if the depth of the oil is R/2 ft. (10\%)
- Find the function u(x), if
(x^2+2x+3)u''(x)+2(2x+2)u'(x)+2u(x)=0; u(0)=u'(0)=1.
(hint: use the formula finding (uv)''(x)) (10\%)
訣竅
(1) 其形式容易讓我們聯想到羅必達法則或使用泰勒展開式處理;(2) 由於兩個趨於無窮的量相減,我們可以使用逆有理化的方式使它們在分母相加;
(3) 使用簡單的連鎖律即可;
(4) 使用微積分基本定理搭配連鎖律求解即可;
(5) 針對單個變數進行偏積分後會產生待定的未知函數,隨後再使用另外一個偏微分條件來進一步確定該未知函數。
解法
(1) 【方法一】 使用羅必達法則直接計算如下\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-1}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{2\sec^2x\tan x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{4\sec^2x\tan^2x+2\sec^4x}{\cos x}=2
(1) 【方法二】 使用三角函數的泰勒展開式如下\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\left(x+\frac{x^3}3+\cdots\right)-x}{\displaystyle x-\left(x-\frac{x^3}6+\cdots\right)}=\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\frac13+\cdots}{\displaystyle\frac16+\cdots}=2
(2) 分子分母同乘以 \sqrt{x+1}+\sqrt{x} 後改寫如下\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0
(3) 使用連鎖律計算如下\displaystyle\frac{d}{dx}\sqrt{10+\sqrt{x}}=\frac{d}{dx}\left(10+x^{1/2}\right)^{1/2}=\frac12\left(10+x^{1/2}\right)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}\left(10+x^{1/2}\right)=\frac{x^{-1/2}}4\left(10+x^{1/2}\right)^{-1/2}
(4) 使用微積分基本定理與連鎖律可知\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}dt=\sqrt{1+(x^2)^3}\cdot\frac{d}{dx}x^2=2x\sqrt{1+x^6}
(5) 首先對 x 分量積分可知\displaystyle f(x,y)=\int f_x(x,y)dx=x^2y^3+e^x\sin y+g(y)
其中 g(y) 為待定的未知函數。接著對 y 偏微分可得f_y(x,y)=3x^2y^2+e^x\cos y+g'(y)=3x^2y^2+e^x\cos y+1
因此 g'(y)=1,故 g(y)=y+C,其中 C 為積分常數。至此可知所求的函數 f 為f(x,y)=x^2y^3+e^x\sin y+y+C
訣竅
(1) 由於被積分函數形式複雜,故使用變數變換簡化之;(2) 直接使用分部積分法;
(3) 由於直接計算迭代積分是不可行的,故交換積分次序來求解。
解法
(1) 令 u=x^2+4x-6,那麼可以觀察到 du=(2x+4)dx=2(x+2)dx,如此所求的不定積分可以改寫並計算如下\displaystyle\begin{aligned}\int\left(x+2\right)\sin^2\left(x^2+4x-6\right)dx&=\frac12\int\sin^2\left(u\right)du=\frac14\int\left(1-\cos(2u)\right)du\\&=\frac{2u-\sin(2u)}{8}+C=\frac{2x^2+8x-12-\sin\left(2x^2+8x-12\right)}{8}+C\end{aligned}
(2) 使用分部積分法計算如下\displaystyle\begin{aligned}\int\ln\left(1+x^2\right)dx&=x\ln\left(1+x^2\right)-\int x\cdot\frac{2x}{1+x^2}dx=x\ln\left(1+x^2\right)-2\int\left(1-\frac1{1+x^2}\right)dx\\&=x\ln\left(1+x^2\right)-2\left(x-\tan^{-1}x\right)+C=x\ln\left(1+x^2\right)-2x+2\arctan(x)+C\end{aligned}
(3) 可以將積分範圍 \left\{\begin{aligned}&0\leq x\leq3\\&\sqrt{x/3}\leq y\leq1\end{aligned}\right. 改寫為 \left\{\begin{aligned}&0\leq x\leq3y^2\\&0\leq y\leq1\end{aligned}\right.,據此可以將重積分改寫並計算如下\displaystyle\int_0^3\int_{\sqrt{x/3}}^1e^{y^3}dydx=\int_0^1\int_0^{3y^2}e^{y^3}dxdy=\int_0^13y^2e^{y^3}dy=e^{y^3}\Big|_0^1=e-1
訣竅
可以使用基礎的不等式來求出絕對極值;亦可在內部使用偏微分求極值,而在邊界使用拉格朗日乘子法來求條件極值;亦可適當的修改限制條件後直接使用拉格朗日乘子法。解法一
容易觀察到\displaystyle f(x,y)=x^2+3y^2+2y=x^2+3\left(y+\frac13\right)^2-\frac13\geq-\frac13
故最小值為 \displaystyle-\frac13,等號成立條件為 \displaystyle\left(x,y\right)=\left(0,-\frac13\right)。另一方面,使用限制條件可知\displaystyle f\left(x,y\right)=x^2+3y^2+2y\leq(1-y^2)+3y^2+2y=2y^2+2y+1=2\left(y+\frac12\right)^2+\frac12
故最大值為 \displaystyle\frac12,此時的等號成立條件為 \displaystyle\left(x,y\right)=\left(\pm\frac{\sqrt3}2,-\frac12\right)。解法二
先考慮在圓盤內時的極值,據此我們解聯立方程組\left\{\begin{aligned}&f_x(x,y)=2x=0\\&f_y(x,y)=6y+2=0\end{aligned}\right.
可解得 \displaystyle\left(x,y\right)=\left(0,-\frac13\right),此為極值候選點。另一方面,在邊界上求極值時,我們設定拉格朗日乘子函數如下\displaystyle F\left(x,y,\lambda\right)=x^2+3y^2+2y+\lambda\left(x^2+y^2-1\right)
據此解下列的聯立方程組\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,\lambda\right)=2x+2\lambda x=0\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=6y+2+2\lambda y=0\\&F_\lambda\left(x,y,\lambda\right)=x^2+y^2-1=0\end{aligned}\right.
由第一式可知 2x\left(1+\lambda\right)=0,即 x=0 或 \lambda=-1。解法三
將限制條件化為 x^2+y^2+s^2=1,其中 s\in\mathbb{R}。如此考慮拉格朗日乘子函數如下F(x,y,s,\lambda)=x^2+3y^2+2y+\lambda\left(x^2+y^2+s^2-1\right)
據此解下列的聯立方程組\left\{\begin{aligned}&F_x(x,y,s,\lambda)=2x+2\lambda x=0\\&F_y(x,y,s,\lambda)=6y+2+2\lambda y=0\\&F_s(x,y,s,\lambda)=2s\lambda=0\\&F_\lambda(x,y,s,\lambda)=x^2+y^2+s^2-1=0\end{aligned}\right.
由第三式可知 \lambda=0 或 s=0。假若 \lambda=0,那麼這與解法二的前半部分相同,可得 \displaystyle\left(x,y\right)=\left(0,-\frac13\right);而假若 s=0,這與解法二的後半部分相同,可得 \left(x,y\right)=\left(0,\pm1\right) 或 \displaystyle\left(x,y\right)=\left(\pm\frac{\sqrt3}2,-\frac12\right)。餘下檢驗最大最小值之過程也同解法二。訣竅
利用旋轉體體積公式計算求解即可。解法
考慮球體表面由 x=\sqrt{R^2-y^2} 繞 y 軸旋轉而得,那麼當油深 R/2 英呎時,這表明油所佔據之空間界於 y=-R 至 y=-R/2 之間,從而其對應的體積可以列式並計算如下\displaystyle V=\int_{-R}^{-R/2}\pi\sqrt{R^2-y^2}^2dy=\pi\int_{-R}^{-R/2}\left(R^2-y^2\right)dy=\left.\pi\left(R^2y-\frac{y^3}3\right)\right|_{-R}^{-R/2}=\frac{5\pi R^3}{24}
其單位為立方英吋。訣竅
使用提示並且比較其係數即可選出適當的函數 v。解法
隨著這項提示,我們將 (uv)''(x) 展開如下(uv)''(x)=v(x)u''(x)+2v'(x)u'(x)+v''(x)u(x)
取 v(x)=x^2+2x+3,那麼題目給定的方程即可化為(vu)''(x)=0; (vu)(0)=v(0)u(0)=3, (vu)'(0)=v'(0)u(0)+v(0)u'(0)=5
因為「二次微分為零的函數僅有一次函數」,故可知(vu)(x)=A+Bx,再由 v(0)=3 及 v'(0)=5 推知 A=3 及 B=5,從而所求的函數 u 為\displaystyle u(x)=\frac{3x+5}{x^2+2x+3}
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