國立臺灣大學八十七學年度研究所碩士班入學考試試題：實用微積分

Calculus, 臺灣大學財務金融所入學考試, 1998

1. (證明) Show that $\displaystyle\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}$. ($10\%$)
訣竅
按照導函數的定義展開計算即可。
解法

按照導函數的定義列式並計算有

$\displaystyle\frac{dx^n}{dx}=\lim_{y\to x}\frac{y^n-x^n}{y-x}=\lim_{y\to x}\sum_{k=1}^ny^{n-k}x^{k-1}=\sum_{k=1}^nx^{n-k}x^{k-1}=nx^{n-1}$



2. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{16x^2+48}}{x+4}=$? ($10\%$)
訣竅
同除以 $x$ 後取極限，特別留意到 $x<0$，故 $\sqrt{x^2}=-x$。
解法

分子分母同除以 $x$ 後直接計算可得

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{16x^2+48}}{x+4}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-\displaystyle\sqrt{16+\frac{48}{x^2}}}{\displaystyle1+\frac4x}=-4$



3. $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k^2+k}=$? ($10\%$)
訣竅
使用分項對消展開計算即可。
解法

直接改寫可計算如下

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k^2+k}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1-\frac1{n+1}=\frac{n}{n+1}$



4. $U$ is a function of $X$ and $Y$, where $X\in\mathbb{R}$, $Y\in\mathbb{R}$.
   If $U+2\ln U=3XY$, find $\displaystyle\frac{\partial U}{\partial X}=$? ($10\%$)
訣竅
運用隱函數微分計算即可。
解法
將給定的方程對 $x$ 微分可得
$\displaystyle\frac{\partial U}{\partial X}+\frac2U\frac{\partial U}{\partial X}=3Y$
可解得 $\displaystyle\frac{\partial U}{\partial X}=\frac{3YU}{2+U}$。


5. (證明) Given that $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(x-\mu\right)^2}dx=1$, show that $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(x-\mu\right)^2}dx=\mu$. ($15\%$)
訣竅
藉由湊項使所求與題幹所給之資訊連結。
解法

經由指數的次數，我們觀察到下列的湊項計算

$\displaystyle\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(x-\mu\right)^2}dx&=\mu\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(x-\mu\right)^2}dx+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x-\mu}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(x-\mu\right)^2}dx\\&=\mu\cdot1+\left.-\frac{e^{-\frac12\left(x-\mu\right)^2}}{\sqrt{2\pi}}\right|_{x=-\infty}^{x=\infty}=\mu\end{aligned}$



6. (證明) $F$ is a function of $X$ and $Y$, where $X\in\mathbb{R}$, $Y\in\mathbb{R}$.
   If $F\left(tX,tY\right)=t^kF\left(X,Y\right)$, $\forall t\in\mathbb{R}$, show that $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial X}\frac{X}{F}+\frac{\partial F}{\partial Y}\frac{Y}F=k$. ($15\%$)
訣竅
對 $t$ 求導後取 $t=1$ 即可。
解法

將給定的方程對 $t$ 微分可得

$\displaystyle X\frac{\partial F}{\partial X}\left(tX,tY\right)+Y\frac{\partial F}{\partial Y}\left(tX,tY\right)=kt^{k-1}F\left(X,Y\right)$

取 $t=1$ 後兩邊同除以 $F\left(X,Y\right)$ 便有

$\displaystyle\frac{\partial F}{\partial X}\left(X,Y\right)\cdot\frac{X}{F\left(X,Y\right)}+\frac{\partial F}{\partial Y}\left(X,Y\right)\cdot\frac{Y}{F\left(X,Y\right)}=k$



7. Find the optimal $\left(X_1,X_2\right)$ expressed by $a\in\mathbb{R}^+$ and $b\in\mathbb{R}^+$ for the following model:
   Min $aX_1+bX_2$ s.t. $\left(X_1+1\right)\left(X_2+1\right)=4$, $X_1,X_2\geq0$. ($15\%$)
訣竅
由限制條件可以將本問題化為單變數函數問題。
解法
按限制條件可知
$\displaystyle X_2=-1+\frac4{X_1+1}$
並且由 $X_2\geq0$ 可知 $3\geq X_1\geq0$。故考慮單變數函數
$\displaystyle f\left(X_1\right)=aX_1+\frac{4b}{X_1+1}-b$
因此題目目標即在 $X_1\in\left[0,3\right]$ 上求 $f$ 的極小值。為此，我們解方程式 $f'\left(X_1\right)=0$，即
$\displaystyle a-\frac{4b}{\left(X_1+1\right)^2}=0$
可解得 $\displaystyle X_1=\sqrt{\frac{4b}a}-1=\frac{2\sqrt{ab}-a}a$。再者求其二階導函數有
$\displaystyle f''\left(X_1\right)=\frac{8b}{\left(X_1+1\right)^3}>0$
現按不同情形討論如下
• 若 $a>b$，則 $\displaystyle\frac{2\sqrt{ab}-a}a<0$，因此 $f$ 在 $X_1=0$ 處達到極小，故 $aX_1+bX_2$ 的極小值為 $3b$，等號成立條件為 $\left(X_1,X_2\right)=\left(0,3\right)$。
• 當 $a\leq b<4a$ 時有 $\displaystyle\frac{2\sqrt{ab}-a}a\in\left[0,3\right)$，從而 $f$ 在 $\displaystyle\frac{2\sqrt{ab}-a}a$ 處達到極小值，由此可知 $aX_1+bX_2$ 的極小值為

  $\displaystyle a\cdot\frac{2\sqrt{ab}-a}a+b\cdot\frac{2\sqrt{ab}-b}b=4\sqrt{ab}-\left(a+b\right)$

  等號成立條件為 $\displaystyle\left(X_1,X_2\right)=\left(\frac{2\sqrt{ab}-a}a,\frac{2\sqrt{ab}-b}b\right)$。
• 當 $b\geq4a$ 時有 $\displaystyle\frac{2\sqrt{ab}-a}>3$，從而 $f$ 在 $X_1=3$ 處達到極小值，故 $aX_1+bX_2$ 的極小值為 $3a$，等號成立條件為 $\left(X_1,X_2\right)=\left(3,0\right)$。


8. Obtain the general solution o the following differential equation:
   $\left(5y^2-x^2\right)dx=4xydy$. ($15\%$)
訣竅
可視此為齊次微分方程或白努利微分方程來求解。
解法一
令 $\displaystyle u\left(x\right)=\frac{y\left(x\right)}x$，那麼求導可知
$\displaystyle\frac{du}{dx}=\frac1x\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^2}=\frac1x\cdot\frac{5y^2-x^2}{4xy}-\frac{y}{x^2}=\frac{y^2-x^2}{4x^2y}=\frac{u}{4x}-\frac1{4ux}=\frac1{4x}\cdot\frac{u^2-1}u$
移項有
$\displaystyle\frac{udu}{u^2-1}=\frac{dx}{4x}$
同取不定積分可得
$\displaystyle\frac12\ln\left|u^2-1\right|=\frac14\ln\left|x\right|+\frac12\ln C$
同取指數有 $u^2-1=Cx^{1/2}$，因此 $y\left(x\right)=\pm x\sqrt{1+Cx^{1/2}}$。
解法二

整理有

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{5y^2-x^2}{4xy}=\frac5{4x}y-\frac{x}4y^{-1}$

令 $z\left(x\right)=\left[y\left(x\right)\right]^2$，那麼求導可知

$\displaystyle\frac{dz}{dx}=2y\frac{dy}{dx}=\frac5{2x}y^2-\frac{x}2=\frac5{2x}z-\frac{x}2$

同乘積分因子 $\displaystyle\exp\left(-\int\frac5{2x}dx\right)=x^{-5/2}$，如此有

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(x^{-5/2}z\left(x\right)\right)=x^{-5/2}\frac{dz}{dx}-\frac52x^{-7/2}z=-\frac{x^{-3/2}}2$

同取不定積分可得

$\displaystyle x^{-5/2}z\left(x\right)=x^{-1/2}+C$

即有 $\displaystyle z\left(x\right)=x^2+Cx^{5/2}=x^2\left(1+Cx^{1/2}\right)$，故所求為

$\displaystyle y\left(x\right)=\pm x\sqrt{1+Cx^{1/2}}$