國立臺灣大學九十二學年度研究所碩士班入學考試試題：微積分

※注意：作答時，請於答案卷上標明作答之大題及其題號。

1. 填充題：共 $10$ 題，各 $7$ 分，共 $70$ 分。
• 只寫答案，不必書寫計算過程。
• 請標明題號，按序書寫。
1. 求 $\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\frac1{\ln x}-\frac1{x-1}\right)$。
訣竅
通分後使用羅必達法則即可。
解法

通分後使用羅必達法則有

$\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\frac1{\ln x}-\frac1{x-1}\right)=\lim_{x\to1}\frac{x-1-\ln x}{\left(x-1\right)\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{\displaystyle1-\frac1x}{\displaystyle1-\frac1x+\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{\displaystyle\frac1{x^2}}{\displaystyle\frac1{x^2}+\frac1x}=\frac12$



2. 設 $y=y\left(x\right)$ 為由 $x^4+y^3-2xy=0$ 所定義之隱函數，且 $y\left(1\right)=1$。求 $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$ 在 $x=1$ 之值。
訣竅
使用隱函數微分計算即可。
解法
運用隱函數微分可得
$\displaystyle4x^3+3y^2\frac{dy}{dx}-2y-2x\frac{dy}{dx}=0$
由 $y\left(1\right)=1$ 可得 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(1,1\right)}=-2$。接著再一次隱函數微分可得
$\displaystyle12x^2+6y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+3y^2\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}-2x\frac{d^2y}{dx^2}=0$
取 $x=y=1$ 以及 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(1,1\right)}=-2$ 可得 $\displaystyle\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{\left(x,y\right)=\left(1,1\right)}=-44$。


3. 求 $\displaystyle\int e^{\sqrt{x}}dx$。
訣竅
運用變數代換後使用分部積分法求解即可。
解法

設 $u=\sqrt{x}$，那麼 $x=u^2$，求導得 $dx=2udu$，如此所求的不定積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\int e^{\sqrt{x}}dx=\int e^u\cdot2udu=2\int ude^u=2ue^u-2\int e^udu=2ue^u-2e^u+C=2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C$



4. 求 $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{\sin t}{t}dt$。
訣竅
運用微積分基本定理與連鎖律計算即可。
解法

運用微積分基本定理與連鎖律可得

$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\sin\left(x^2\right)}{x^2}\cdot2x-\frac{\sin x}{x}=\frac{2\sin\left(x^2\right)-\sin x}x$



5. 設 $f\left(x\right)$ 為 $g\left(x\right)=x^3+x+1$ 之反函數。求 $\displaystyle\int_1^3f\left(x\right)dx$。
訣竅
運用變數代換與分部積分法求解即可。
解法

設 $x=g\left(u\right)$，那麼

• 當 $x=1$ 時有 $u=0$；
• 當 $x=3$ 時有 $u=1$；
• 求導有 $dx=g'\left(u\right)du=\left(3u^2+1\right)du$。

據此，所求的定積分可改寫為

$\displaystyle\int_1^3f\left(x\right)dx=\int_0^1u\cdot\left(3u^2+1\right)du=\left.\left(\frac{3u^4}4+\frac{u^2}2\right)\right|_0^1=\frac54$



6. 求曲線 $\displaystyle y=\frac23x^{\frac32}$，由 $x=0$ 到 $x=1$ 之弧長。
訣竅
運用曲線弧長公式計算求解即可。
解法

由曲線弧長公式直接計算即可：

$\displaystyle s=\int_0^1\sqrt{1+y'^2}dx=\int_0^1\sqrt{1+x}dx=\left.\frac23\left(1+x\right)^{3/2}\right|_0^1=\frac{4\sqrt2-2}3$



7. 設 $\displaystyle f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$。求 $\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(0\right)$ 之值。
訣竅
改寫 $f$ 後計算高階導函數，如此易知高階導數之值。
解法
容易注意到
$\displaystyle f\left(x\right)=\frac1{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac1{1-x}-\frac1{2-x}$
因此求高階導函數容易發現
$\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\frac{n!}{\left(1-x\right)^{n+1}}-\frac{n!}{\left(2-x\right)^{n+1}}$
故所求為 $\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(0\right)=\frac{n!\left(2^{n+1}-1\right)}{2^{n+1}}$。


8. 求曲面 $x^3+2y^2+3z^4-6xyz=0$ 在點 $\left(1,1,1\right)$ 之切平面方程式。
訣竅
運用梯度求出法向量，隨後運用點法式寫出切平面方程式。
解法
設 $F\left(x,y,z\right)=x^3+2y^2+3z^4-6xyz$，計算其梯度可得
$\nabla F\left(x,y,z\right)=\left(F_x\left(x,y,z\right),F_y\left(x,y,z\right),F_z\left(x,y,z\right)\right)=\left(3x^2-6yz,4y-6xz,12z^3-6xy\right)$
因此在 $\left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)$ 處的法向量為 $\nabla F\left(1,1,1\right)=\left(-3,-2,6\right)$，故由點法式有
$-3\left(x-1\right)-2\left(y-1\right)+6\left(z-1\right)=0$
或寫為 $3x+2y-6z+1=0$。


9. 求重積分 $\displaystyle\int_{y=0}^{y=1}\int_{x=2y}^{x=2}e^{x^2}dxdy$。
訣竅
交換積分次序後即可求解。
解法

積分區域 $\left\{\begin{aligned}&2y\leq x\leq2\\&0\leq y\leq1\end{aligned}\right.$ 可改寫為 $\left\{\begin{aligned}&0\leq x\leq2\\&0\leq y\leq x/2\end{aligned}\right.$，如此所求的重積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\int_0^1\int_{2y}^2e^{x^2}dxdy=\int_0^2\int_0^{x/2}e^{x^2}dydx=\frac12\int_0^2xe^{x^2}dx=\left.\frac{e^{x^2}}4\right|_0^2=\frac{e^4-1}4$



10. 求重積分 $\displaystyle\iint_D\frac{dxdy}{x^2+y^2}$，其中 $D=\left\{\left(x,y\right):1\leq x^2+y^2\leq3\right\}$。
訣竅
運用極座標來改寫重積分即可求解。
解法

令 $\left\{\begin{aligned}&x=r\cos\theta\\&y=r\sin\theta\end{aligned}\right.$ ，那麼由積分範圍可知 $\left\{\begin{aligned}&1\leq r\leq3\\&0\leq\theta\leq2\pi\end{aligned}\right.$，如此所求的重積分

$\displaystyle\iint_D\frac{dxdy}{x^2+y^2}=\int_0^{2\pi}\int_1^3\frac1{r^2}\cdot rdrd\theta=\left(\int_0^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_1^3\frac{dr}r\right)=2\pi\ln3$



2. 計算題：兩大題，各 $15$ 分，共 $30$分。
• 必須書寫計算過程及理由，否則不予計分。
1. 求原點和曲面 $x^3+y^3+z^3-3xyz=2$ 之最短距離。提示：Lagrange multiplier法及因式分解 $x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)$。
訣竅
按照提示使用拉格朗日乘子法求解即可。
解法
設定拉格朗日乘子函數如下
$F\left(x,y,z,\lambda\right)=x^2+y^2+z^2+\lambda\left(x^3+y^3+z^3-3xyz-2\right)$
據此解下列的聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,z,\lambda\right)=2x+3\lambda\left(x^2-yz\right)=0\\&F_y\left(x,y,z,\lambda\right)=2y+3\lambda\left(y^2-xz\right)=0\\&F_z\left(x,y,z,\lambda\right)=2z+3\lambda\left(z^2-xy\right)=0\\&F_{\lambda}\left(x,y,z,\lambda\right)=x^3+y^3+z^3-3xyz-2=0\end{aligned}\right.$
將前三式分別乘以 $x,y,z$ 後加總並使用第四式可得 $x^2+y^2+z^2=-3\lambda$。再者，直接將前三式直接加總可得
$2\left(x+y+z\right)+3\lambda\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0$
記 $x+y+z=A$，那麼可知 $\displaystyle x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac2A$，從而有
$\displaystyle2A-\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot\frac2A=0$
展開可知 $xy+yz+zx=0$，從而 $x+y+z=\sqrt{-3\lambda}$。至此可知 $\left(-3\lambda\right)^{3/2}=2$，故 $-3\lambda=\sqrt[3]{4}$，即有最短距離為 $\sqrt[3]{2}$。


2. 用 $u=x+y$，$v=y-x$ 之代換，求 $\displaystyle\int_0^{1/2}dx\int_x^{1-x}\left(x-y\right)^2e^{\left(x+y\right)^2}dy$。
訣竅
根據提示使用變數代換，並計算其對應的Jacobian行列式。
解法

由題式的變數代換，給定的積分範圍 $\left\{\begin{aligned}&0\leq x\leq1/2\\&x\leq y\leq1-x\end{aligned}\right.$ 可改寫為 $\left\{\begin{aligned}&0\leq u\leq1\\&0\leq v\leq u\end{aligned}\right.$。再者對應的Jacobian行列式為

$\displaystyle\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}=\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\\displaystyle\frac{\partial y}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}1/2&-1/2\\1/2&1/2\end{matrix}\right|=\frac12$

如此所求的重積分可以改寫如下

$\displaystyle\int_0^{1/2}dx\int_x^{1-x}\left(x-y\right)^2e^{\left(x+y\right)^2}dy=\int_0^1\int_0^uv^2e^{u^2}\cdot\frac12dvdu=\frac16\int_0^1u^3e^{u^2}du$

令 $s=u^2$，那麼

• 當 $u=0$ 時有 $s=0$；
• 當 $u=1$ 時有 $s=1$；
• 求導可知$ds=2udu$，因此 $sds=2u^3du$。

據此所求可改寫並計算如下

$\displaystyle\int_0^{1/2}dx\int_x^{1-x}\left(x-y\right)^2e^{\left(x+y\right)^2}dy=\frac1{12}\int_0^1se^sds=\left.\frac1{12}\left(se^s-e^s\right)\right|_0^1=\frac1{12}$