國立臺灣大學九十二學年度研究所碩士班入學考試試題：應用微積分

※注意：請於答案卷上標明題號，並依序作答。

1. ($5\%$) 求取下列數列 $x_n$ ($n=1,2,3,\cdots$) 的最大項之值 $\displaystyle x_n=\frac{n^2}{2^n}$。
訣竅
藉由計算前幾項可以發現此數列在 $n$ 夠大會遞減，故最大項必發生在前幾項。
解法

我們將使用數學歸納法證明當 $n\geq4$ 時不等式 $2^n\geq n^2$ 成立。首先可以看出 $n=4$ 時有 $2^4=16=4^2$，故該不等式恰好等號成立。現假定 $n=k\geq4$ 時不等式成立，即有 $2^k\geq k^2$，那麼可以發現當 $n=k+1$ 時有

$2^{k+1}=2\cdot2^k\geq2k^2=k^2+k^2\geq k^2+\left(2k+1\right)=\left(k+1\right)^2$

其中，我們用了 $k^2-2k+1\left(k-1\right)^2>2$，即 $k^2\geq2k+1$。從而由數學歸納法可以知道在 $n\geq4$ 時有 $2^n\geq n^2$。據此可以知道數列 $x_n$ 在 $n\geq4$ 時其數值最大不超過 $1$。

另一方面，前三項之值分別為 $\displaystyle x_1=\frac12$、$x_2=1$、$\displaystyle x_3=\frac98$。故當 $n=3$ 時數列達到最大值，其值為 $\displaystyle\frac98$。



2. ($5\%$) 求取下列數列 $x_n$ ($n=1,2,3,\cdots$) 的最小項之值 $\displaystyle x_n=n+\frac{100}n$。
訣竅
運用基本的不等式可以觀察出數列的最小值。
解法
運用算術幾何不等式可知
$\displaystyle x_n=n+\frac{100}n\geq2\sqrt{n\cdot\frac{100}n}=20$
其中等號成立的條件為 $\displaystyle n=\frac{100}n$，即 $n=10$。故數列 $x_n$ 在 $n=10$ 達到最小值，其值為 $20$。


3. ($10\%$) 求下列式子的極限值 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1+x\cdot2^x}{1+x\cdot3^x}\right)^{\frac1{x^2}}$。
訣竅
使用換底公式後運用羅必達法則求解即可。
解法

運用換底公式後有

$\displaystyle\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\left(\frac{1+x\cdot2^x}{1+x\cdot3^x}\right)^{\frac1{x^2}}\\=&\,\lim_{x\to0}\exp\left[\frac1{x^2}\ln\left(\frac{1+x\cdot2^x}{1+x\cdot3^x}\right)\right]\\=&\,\exp\left[\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(1+x\cdot2^x\right)-\ln\left(1+x\cdot3^x\right)}{x^2}\right]\\=&\,\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\frac{2^x+x\cdot2^x\ln2}{1+x\cdot2^x}-\frac{3^x+x\cdot3^x\ln3}{1+x\cdot3^x}}{2x}\right)\\=&\,\frac{\displaystyle\exp\left(\frac12\lim_{x\to0}\frac{\left(2\cdot2^x\ln2+x\cdot2^x\ln^22\right)\left(1+x\cdot2^x\right)-\left(2^x+x\cdot2^x\ln2\right)^2}{\left(1+x\cdot2^x\right)^2}\right)}{\displaystyle\exp\left(\frac12\lim_{x\to0}\frac{\left(2\cdot3^x\ln3+x\cdot3^x\ln^23\right)\left(1+x\cdot3^x\right)-\left(3^x+x\cdot3^x\ln3\right)^2}{\left(1+x\cdot3^x\right)^2}\right)}\\=&\,\frac{\displaystyle\exp\left(\ln2-\frac12\right)}{\displaystyle\exp\left(\ln3-\frac12\right)}=\exp\left(\ln2-\ln3\right)=\frac23\end{aligned}$



4. ($10\%$) 求下列級數之和 $\displaystyle\frac1{1\cdot2\cdot3}+\frac1{3\cdot4\cdot5}+\frac1{5\cdot6\cdot7}+\cdots$。
訣竅
運用分項對消的技巧求其部分和，隨後求其極限。
解法

所求的級數可表示為 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$。我們先運用分消對消來計算其部分和如下

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac12\sum_{k=1}^n\left(\frac1{k\left(k+1\right)}-\frac1{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\right)=\frac12\left(\frac1{1\cdot2}-\frac1{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)$

故所求的無窮級數為

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac12\lim_{n\to\infty}\left(\frac12-\frac1{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)=\frac14$



5. ($10\%$) 在 $\displaystyle\frac{x}a+\frac{y}b=1$ 的條件下，求函數 $f\left(x,y\right)=x^2+y^2$ 的「極值」與「極值點座標」，並註明它是哪一類型的極值。
訣竅
運用代入消去法可使問題化為單變量問題，從而可直接求極值。
解法
按照題意假設 $a$ 與 $b$ 皆不為零。首先可將限制條件寫為 $\displaystyle y=b-\frac{b}ax$，如此函數 $f$ 在這個限制條件下可表達單變量函數如下
$\displaystyle g\left(x\right):=f\left(x,b-\frac{b}ax\right)=x^2+\left(b-\frac{b}ax\right)^2=\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)x^2-\frac{2b^2}ax+b^2$
如此對 $g$ 求一階與二階導函數有
$\displaystyle g'\left(x\right)=2\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)x-\frac{2b^2}a,\qquad g''\left(x\right)=2\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)$
故 $g$ 在 $\displaystyle\frac{ab^2}{a^2+b^2}$ 處達到最小值。此表明 $f$ 在 $\displaystyle\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2},\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)$ 處達到最小值。


6. ($10\%$) 在一個半徑為 $a$ 的空心圓碗（像半球形）中，放置一根長度為 $l$（$l>2a$）的棒子，求棒子的平衡位置，也就是棒子與碗口平面的夾角。
   
訣竅
運用靜力平衡（合力與合力矩皆為零）來計算其平衡位置，從而求出棒子與碗口之夾角。
解法

設該棒密度均勻（質心在棒子正中間處），且棒子在碗中之長度為 $2a\cos\theta$，則在碗外的長度為 $l-2a\cos\theta$。可以注意到該棒子受三力影響，一為本身之重量（記為 $W$，鉛直向下），二是該棒在碗內的正向力（記為 $N_1$，指向碗心），三是該棒在碗緣的正向力（記為 $N_2$，與棒子垂直）。為了簡便起見，我們設定支點為棒子在碗中的接觸點，那麼由力矩平衡可知

$\displaystyle W\cdot\frac{l}2\cos\theta=N_2\cdot2a\cos\theta$

這表明 $\displaystyle N_2=\frac{l}{4a}W$。

現考慮拉密定律（即正弦定理）應用於三力平衡之情形，特別去觀察 $W$ 與 $N$ 之夾角關係可注意到

$\displaystyle\frac{W}{\cos\theta}=\frac{W}{\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)}=\frac{N_2}{\sin\left(\frac\pi2+2\theta\right)}=\frac{N_2}{\cos2\theta}$

這就給出了

$\displaystyle\frac{\cos2\theta}{\cos\theta}=\frac{N_2}W=\frac{l}{4a}$

利用二倍角公式可以觀察到

$\displaystyle2\cos^2\theta-1=\frac{l}{4a}\cos\theta$

可以利用二次方程公式解得出

$\displaystyle\cos\theta=\frac{\displaystyle\frac{l}{4a}\pm\sqrt{\frac{l^2}{16a^2}+8}}{2}=\frac{l\pm\sqrt{l^2+128a^2}}{8a}$

由於 $\theta$ 取值為銳角，故對於上述的解我們取正號，從而獲得所求

$\displaystyle\theta=\cos^{-1}\left(\frac{l+\sqrt{l^2+128a^2}}{8a}\right)$



7. ($10\%$) A drug is carried into an organ of volume $V$ cm$^3$ by a liquid that enters the organ at the rate of $a$ cm$^3$/sec and leave it at the rate of $b$ cm$^3$/sec. The concentration of the drug in the liquid entering the organ is $c$ g/cm$^3$. If the concentration of the drug in the organ at time $t$ is increasing at the rate of

   $\displaystyle x'\left(t\right)=\frac1V\left(ac-bx_0\right)e^{-bt/V}~~\mbox{g/cm}^3/\mbox{sec}$,

   and the concentration of the drug in the organ initially is $x_0$ g/cm$^3$. What is the concentration of the drug at time $t$? 　　　　　　.
訣竅
本題出自Soo T. Tan 所著的 Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences (第八版)，第六章第二節習題第六十六題。運用微積分基本定理求原函數即可。
解法

使用微積分基本定理可知

$\displaystyle\begin{aligned}x\left(t\right)&=x\left(0\right)+\int_0^tx'\left(s\right)ds\\&=x_0+\frac1V\left(ac-bx_0\right)\int_0^te^{-bs/V}ds=x_0-\left.\frac{ac-bx_0}be^{-bs/V}\right|_{s=0}^{s=t}\\&=x_0-\frac{ac-bx_0}be^{-bt/V}+\frac{ac-bx_0}b=\frac{ac}b-\frac{ac-bx_0}be^{-bt/V}\end{aligned}$



8. ($10\%$) Find the maximum and minimum value of function $f\left(x,y\right)=2x-3y+1$ subject to the constraint $2x^2+3y^2-125=0$. The maximum value is 　　　　; the minimum value is 　　　　.
訣竅
本題出自Soo T. Tan 所著的 Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences (第八版)，第八章複習題庫，第三十七題。可運用初等不等式求解；亦可使用拉格朗日乘子法求條件極值。
解法一
使用柯西不等式可知
$\displaystyle625=125\cdot5=\left(\left(\sqrt2x\right)^2+\left(\sqrt3y\right)^2\right)\left(\sqrt2^2+\left(-\sqrt3\right)^2\right)\geq\left(2x-3y\right)^2$
故 $25\geq2x-3y\geq-25$，因此 $f$ 的最大值為 $26$ 而最小值為 $-24$，其中等號成立條件為 $\displaystyle\frac{\sqrt2x}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3y}{-\sqrt3}$，即 $x=-y$，確認出當 $\left(x,y\right)=\left(5,-5\right)$ 時有最大值，而 $\left(x,y\right)=\left(-5,5\right)$ 時有最小值。
解法二
設定拉格朗日乘子函數如下
$F\left(x,y,\lambda\right)=2x-3y+1+\lambda\left(2x^2+3y^2-125\right)$
據此解下列的聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,\lambda\right)=2+4\lambda x=0\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=-3+6\lambda y=0\\&F_{\lambda}\left(x,y,\lambda\right)=2x^2+3y^2-125=0\end{aligned}\right.$
明顯當 $\lambda=0$ 時會使前兩式無解，故有 $\lambda\neq0$，進而有 $\displaystyle x=-\frac1{2\lambda}$ 以及 $\displaystyle y=\frac1{2\lambda}$，代入第三式可得
$\displaystyle\frac5{4\lambda^2}=125$
因此 $\displaystyle\lambda^2=1{100}$，即 $\displaystyle\lambda=\pm\frac1{10}$，得兩點座標 $\displaystyle\left(x,y\right)=\left(5,-5\right)$ 與 $\displaystyle\left(-5,5\right)$。容易檢驗得知 $f$ 在 $\left(5,-5\right)$ 達到最大值 $26$；而在 $\left(-5,5\right)$ 達到最小值 $-24$。


9. ($10\%$) Based on data collected during an experiment, a biologist found that the number of fruit flies with a limited food supply could be approximately by the exponential model

   $\displaystyle N\left(t\right)=\frac{1000}{1+24e^{-0.02t}}$

   where $t$ denotes the number of days since the beginning of the experiment. What is the average number of fruit flies in the colony in first $10$ days of the experiment? 　　　　; What is the average number of fruit flies in the colony in first $20$ days of the experiment? 　　　　.
訣竅
本題出自Soo T. Tan 所著的 Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences (第八版)，第七章第二節習題第三十七題。利用函數平均的概念求出平均數。
解法

前十天的平均可計算如下

$\displaystyle\frac1{10}\int_0^{10}\frac{1000}{1+24e^{-0.02t}}dt=100\int_0^{10}\frac{e^{0.02t}}{24+e^{0.02t}}dt=5000\ln\left(24+e^{0.02t}\right)\Big|_0^{10}=5000\ln\frac{24+e^{0.2}}{25}$

另一方面，二十天的平均為

$\displaystyle\frac1{20}\int_0^{20}\frac{1000}{1+24e^{-0.02t}}dt=50\int_0^{20}\frac{e^{0.02t}}{24+e^{0.02t}}dt=2500\ln\left(24+e^{0.02t}\right)\Big|_0^{20}=2500\ln\frac{24+e^{0.4}}{25}$



10. ($10\%$) The population density of a certain city is described by the function

    $f\left(x,y\right)=10,000e^{-0.2\left|x\right|-0.1\left|y\right|}$

    where the origin $\left(0,0\right)$ gives the location of city hall. What is the population inside the rectangular area described by

    $R=\left\{\left(x,y\right)|\,-10\leq x\leq10;\,-5\leq y\leq5\right\}$

    if $x$ and $y$ are in miles? 　　　　　.
訣竅
本題出自Soo T. Tan 所著的 Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences (第八版)，第八章第八節應用例題二。將密度函數積分後可以獲得總量的值，其中在本題的計算中可運用對稱性簡化過程。
解法

藉由絕對值函數與積分範圍的對稱性，我們只需要計算在第一象限中的人口數即可。運用重積分將所求表達如下

$\displaystyle\begin{aligned}P&=\iint_Rf\left(x,y\right)dA=4\int_0^5\int_0^{10}10000e^{0.2x-0.1y}dxdy\\&=40000\left(\int_0^5e^{-0.1y}dy\right)\left(\int_0^{10}e^{-0.2x}dx\right)\\&=40000\left(-10e^{-0.1y}\Big|_0^5\right)\left(-5e^{-0.2x}\Big|_0^{10}\right)=2000000\left(1-e^{-0.5}\right)\left(1-e^{-2}\right)\end{aligned}$



11. ($10\%$) Suppose $x$ units of labor and $y$ units of capital are required to produce

    $f\left(x,y\right)=100x^{3/4}y^{1/4}$

    units of a certain product. If each unit of labor costs $\$200$ and each unit of captial cost $\$300$ and a total of $\$60,000$ is available for production, how many units of labor and how many units of capital should be used in order ot maximize production? Labor $=$ 　　　　 units; Capital $=$ 　　　　 units.
訣竅
本題出自Soo T. Tan 所著的 Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences (第八版)，第八章第五節應用例題六。運用初等不等式求解；亦可運用拉格朗日乘子法求條件極值。
解法一
按照預算或成本現制，我們有條件 $200x+300y\leq60000$，即 $2x+3y\leq600$。運用算術幾何不等式可以觀察到
$\displaystyle600\geq2x+3y=\frac{2x}3+\frac{2x}3+\frac{2x}3+3y\geq4\sqrt[4]{\left(\frac{2x}3\right)^3\cdot3y}=\frac{4\sqrt[4]8}{\sqrt3}x^{\frac34}y^{\frac14}$
因此 $f$ 的最大值為 $\displaystyle75\sqrt[4]2\sqrt3$。此時等號成立的條件為 $2x+3y=600$ 且 $\displaystyle\frac{2x}3=3y$，可得 $x=225$，$y=50$。
解法二
由於要讓產能盡可能的增加，故自然要盡可能使用預算，即我們可改善限制條件為 $2x+3y\leq600$。設拉格朗日乘子函數如下
$F\left(x,y,\lambda\right)=100x^{3/4}y^{1/4}+\lambda\left(2x+3y-600\right)$
據此解下列的聯立方程組
$\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,\lambda\right)=75x^{-1/4}y^{1/4}+2\lambda=0\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=25x^{3/4}y^{-3/4}+3\lambda=0\\&F_{\lambda}\left(x,y,\lambda\right)=2x+3y-600=0\end{aligned}\right.$
第一式與第二式相除可給出 $\displaystyle\frac{3y}x=\frac23$，即 $2x=9y$。透過第三式可得 $x=225$ 而 $y=50$。