- Suppose f(x)=Ax5+Bx4+Cx+101≤101 for all x and f(1)=1. Determine the values of A,B and C.
- Suppose f(x) is a differentiable function defined on (−∞,∞), satisfying f(x+y)=f(x)+f(y), for every x and y. Show that f″(x)=0.
- Evaluate the definite integral ∫π0xsinxdx.
- Estimate the value of ln1.1 so that the error is smaller than 10−5.
- Evaluate the volume of the solid bounded by the surface
2x2+3y2+3z2=6
- Suppose F(x,y) and G(x,y) are two differentiable functions defined on R2={(x,y)|x,y∈(−∞,∞)} so that the gradients ∇F(x,y)=(∂F∂x(x,y),∂F∂y(x,y)), ∇G(x,y)=(∂G∂x(x,y),∂G∂y(x,y)) are always parallel in the sense that, for every (x,y), there is a number λ, possibly dependent of the point (x,y), satisfying
∇F(x,y)=λ⋅∇G(x,y).
Is it true that F must be a constant multiple of G? Prove it or give a counter example. - Suppose f(x) is continuous function defined on [−1,1] so that ∫baf(x)dx≥0 for every a,b∈[−1,1], a≤b. Give a reason why we can or can not conclude that f(x)≥0, for every x∈[−1,1].
- Solve the differential equation
y′=100y−y2, y(0)=1.
- Evaluate the integral ∬D(x2−y2)dxdy, where
D={(x,y)|0≤x+y≤8, 0≤x−y≤4}.
- Determine the maximum of the function
f(x,y,z)=3x2+2y2+z2
defined on the surface{(x,y,z)|2x2+27y2+10z2=12}.
訣竅
逐步分析各參數之值。解法
假若 A>0,那麼 limx→∞f(x)=∞;假若 A<0,那麼 limx→−∞f(x)=∞,故 A 僅能等於 0。
再者,無法 B=C=0,否則 f(1)≠1。假若 B=0 但 C≠0,則 f 為一次式,故不可能總是不超過 101,因此 B≠0。進一步的,假若 B>0,那麼有 limx→±∞f(x)=∞,不合於條件。因此 B<0。
此外,我們也有 f(1)=1,因此 B+C=−100,從而現在有
f(x)=Bx4−(B+100)x+101
為了確保 f 總是不超過 101,我們考慮 f 的最大值,故考慮方程式 f′(x)=4Bx3−(B+100)=0,如此可解得x=3√B+1004B
又因 f″(x)≤0 (因 B<0),故在該位置確實達到最大值,檢驗可知f(3√B+1004B)=3√B+1004B(B+1004B−B−100)+101≤101
等價於3√B+100(25B−B−3994)≥0
也等價於 (B+100)(B+100)(4B−1)≥0,從而利用 B<0 解得 B=−100,而 C=0。訣竅
此為經典的柯西函數方程,將此方程解出後可直接求二階導函數。解法
取 x=y=0 時有 f(0)=2f(0),故 f(0)=0。再者,取 y=−x 則有 0=f(0)=f(x)+f(−x),從而 f(−x)=−f(x),此表明 f 為奇函數。
我們先使用數學歸納法證明 f(n)=nf(1),此處 n∈N。明顯當 n=1 時成立,現設 n=k 時有 f(k)=kf(1),那麼有
f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)=(k+1)f(1)
至此可確知 f 在正整數的取值。下一步,我們考慮 f 在正有理數上的取值。我們首先同樣由數學歸納法注意到下列的等式
f(n∑k=1xk)=n∑k=1f(xk)
首先取 x1=⋯=xn=1n,那麼可以得到 f(1n)=1nf(1),從而有 f(mn)=mnf(1)。再透過奇函數的的特性,我們確認了:對於任何有理數 q∈Q 恆有 f(q)=qf(1)。最後,由於 f 在 R 上可導,故 f 必然在 R 上連續。對於任何實數 x 我們可考慮一有理數數列 {qn}∞n=1 趨近於 x,那麼由 f 的連續性,我們有
f(x)=f(limn→∞qn)=limn→∞f(qn)=limn→∞qnf(1)=xf(1)
這表明 f 為通過原點的一次函數,故其二階導函數恆為零,證明完畢。訣竅
使用分部積分法即可。解法
使用分部積分法可知∫π0xsinxdx=−∫π0xdcosx=−xcosx|π0+∫π0cosxdx=π+sinx|π0=π
訣竅
由基本的無窮等比級數出發來思考,隨後使用積分導出自然對數函數的展開式並用以計算近似值,最後使用交錯級數的誤差估計獲得所需的近似值。解法
由無窮等比級數可知11+x=∞∑k=0(−1)kxk
同取積分可知ln(1+x)=∫x0∞∑k=0(−1)ktkdt=∞∑k=0(−1)k∫x0tkdt=∞∑k=0(−1)kk+1xk+1
取 x=0.1 可得ln1.1=∞∑k=0(−1)k(k+1)10k
當 k=5 時有 16⋅105<10−5,故所求的近似值為ln1.1≈4∑k=0(−1)k(k+1)10k=1−120+1300−14000+150000=285931300000=0.95310¯3
【註】 使用電子計算器可知
ln1.1≈0.0953102
訣竅
使用橢球體積公式即可;亦可運用旋轉體表面積公式;也能直接計算三重積分求解。解法一
方程可寫為x33+y22+z22=1
可辨識出此為橢球方程,故所求體積為 43π√3⋅√2⋅√2=8√3π3。解法二
當 z=0 時橢球方程被 xy 平面截出一橢圓 2x2+3y2=6,可觀察到該橢球為繞 x 軸所形成的。為了應用旋轉體體積公式,我們考慮函數 f(x)=√(6−2x2)/3,其中範圍為 x∈[−√3,√3],如此可知V=∫√3−√3π⋅√6−2x232dx=2π3∫√3−√3(3−x2)dx=2π3(3x−x33)|√3−√3=8√3π3
解法三
考慮集合Ω={(x,y,z)∈R3: 2x2+3y2+3z2≤6}
那麼所求的體積可表達如下V=∭ΩdV=∫√3−√3∫√(6−2x2)/3−√(6−2x2)/3∫√(6−2x2−3y2)/3−√(6−2x2−3y2)/3dzdydx=8√33∫√30∫√(6−2x2)/30√6−2x2−3y2dydx
運用極座標變換,令 {x=√3rcosθy=√2rsinθ,其中變數範圍為 {0≤r≤10≤θ≤π2,那麼所求可改寫並計算如下V=8√33∫π20∫10√6−6r2⋅√6rdrdθ=16√3⋅π2∫10r√1−r2dr=8√3π⋅−13(1−r2)32|10=8√3π3
訣竅
藉由簡單的試誤與推敲即可確認本命題錯誤。解法
簡單考慮函數 F(x,y)=x+y 與 G(x,y)=x+y+1,那麼取 λ=1 可知∇F(x,y)=(1,1)=1⋅(1,1)=λ⋅∇G(x,y)
然而 F 並非 G 的常數倍。訣竅
透過連續函數的特性來使用反證法處理。解法
假設存在一點 x0∈[−1,1] 使得 f(x0)<0,那麼由 f 的連續性可知存在一正數 δ 使得x∈(x0−δ,x0+δ)∩[−1,1] ⟹ |f(x)−f(x0)|<−f(x0)2
故取 [a,b]=[x0−δ2,x0+δ2]∩[−1,1],那麼便有∫baf(x)dx≤∫baf(x0)2dx=(b−a)f(x0)2<0
矛盾。故每一點的函數值皆非負。訣竅
運用分離變量法處理;亦可將之視為白努利方程來使用變數代換法處理。解法一
移項後有(1100−y+1y)dy=100dy100y−y2=100dt
在 [0,t] 上同取定積分可知lny100−y=100t−ln99
兩邊取自然指數可得y100−y=199e100t
從而解得y(t)=100e100t99+e100t=1001+99e−100t
解法二
令 z(t)=[y(t)]1−2=1y(t),那麼便有dzdt=−1(y(t))2dyt=−100y(t)+1=−100z(t)+1
故兩邊同乘以 e100t 可得ddt(e100tz(t))=e100tdzdt+100e100tz(t)=e100t
隨後取積分便有e100tz(t)−1=e100t−1100
因此z(t)=1+99e−100t100
如此所求的函數為y(t)=1001+99e−100t
訣竅
運用變數變換求解即可。解法
考慮變數變換 {u=x+yv=x−y,那麼積分範圍化為 {0≤u≤80≤v≤4。再者,其 Jacobian 行列式計算如下∂(x,y)∂(u,v)=|∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v|=|∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y|−1=|111−1|−1=−12
如此所求的重積分可改寫並計算如下∬D(x2−y2)dxdy=∫40∫80uv⋅|−12|dudv=12(∫40vdv)(∫80udu)=12⋅8⋅32=128
訣竅
運用初等不等式求解即可。解法
由限制條件可以注意到3x2=18−81y22−15z2
如此給定的函數 f 可透過這樣的限制條件改寫如下f(x,y,z)=3x2+2y2+z2=18−81y22−15z2+2y2+z2=18−77y22−14z2≤18
此時等號成立條件為 y=z=0 而 x=±√6。
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