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2020年2月8日 星期六

國立臺灣大學九十九學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分甲

Write down your answers in order. You should include all the necessary calculation and reaasoning.
  1. Suppose f(x)=Ax5+Bx4+Cx+101101 for all x and f(1)=1. Determine the values of A,B and C.
  2. 訣竅逐步分析各參數之值。
    解法

    假若 A>0,那麼 limxf(x)=;假若 A<0,那麼 limxf(x)=,故 A 僅能等於 0

    再者,無法 B=C=0,否則 f(1)1。假若 B=0C0,則 f 為一次式,故不可能總是不超過 101,因此 B0。進一步的,假若 B>0,那麼有 limx±f(x)=,不合於條件。因此 B<0

    此外,我們也有 f(1)=1,因此 B+C=100,從而現在有

    f(x)=Bx4(B+100)x+101

    為了確保 f 總是不超過 101,我們考慮 f 的最大值,故考慮方程式 f(x)=4Bx3(B+100)=0,如此可解得

    x=3B+1004B

    又因 f(x)0 (因 B<0),故在該位置確實達到最大值,檢驗可知

    f(3B+1004B)=3B+1004B(B+1004BB100)+101101

    等價於

    3B+100(25BB3994)0

    也等價於 (B+100)(B+100)(4B1)0,從而利用 B<0 解得 B=100,而 C=0


  3. Suppose f(x) is a differentiable function defined on (,), satisfying f(x+y)=f(x)+f(y), for every x and y. Show that f(x)=0.
  4. 訣竅此為經典的柯西函數方程,將此方程解出後可直接求二階導函數。
    解法

    x=y=0 時有 f(0)=2f(0),故 f(0)=0。再者,取 y=x 則有 0=f(0)=f(x)+f(x),從而 f(x)=f(x),此表明 f 為奇函數。

    我們先使用數學歸納法證明 f(n)=nf(1),此處 nN。明顯當 n=1 時成立,現設 n=k 時有 f(k)=kf(1),那麼有

    f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)=(k+1)f(1)

    至此可確知 f 在正整數的取值。

    下一步,我們考慮 f 在正有理數上的取值。我們首先同樣由數學歸納法注意到下列的等式

    f(nk=1xk)=nk=1f(xk)

    首先取 x1==xn=1n,那麼可以得到 f(1n)=1nf(1),從而有 f(mn)=mnf(1)。再透過奇函數的的特性,我們確認了:對於任何有理數 qQ 恆有 f(q)=qf(1)

    最後,由於 fR 上可導,故 f 必然在 R 上連續。對於任何實數 x 我們可考慮一有理數數列 {qn}n=1 趨近於 x,那麼由 f 的連續性,我們有

    f(x)=f(limnqn)=limnf(qn)=limnqnf(1)=xf(1)

    這表明 f 為通過原點的一次函數,故其二階導函數恆為零,證明完畢。


  5. Evaluate the definite integral π0xsinxdx.
  6. 訣竅使用分部積分法即可。
    解法使用分部積分法可知

    π0xsinxdx=π0xdcosx=xcosx|π0+π0cosxdx=π+sinx|π0=π


  7. Estimate the value of ln1.1 so that the error is smaller than 105.
  8. 訣竅由基本的無窮等比級數出發來思考,隨後使用積分導出自然對數函數的展開式並用以計算近似值,最後使用交錯級數的誤差估計獲得所需的近似值。
    解法由無窮等比級數可知

    11+x=k=0(1)kxk

    同取積分可知

    ln(1+x)=x0k=0(1)ktkdt=k=0(1)kx0tkdt=k=0(1)kk+1xk+1

    x=0.1 可得

    ln1.1=k=0(1)k(k+1)10k

    k=5 時有 16105<105,故所求的近似值為

    ln1.14k=0(1)k(k+1)10k=1120+130014000+150000=285931300000=0.95310¯3

    【註】 使用電子計算器可知

    ln1.10.0953102


  9. Evaluate the volume of the solid bounded by the surface

    2x2+3y2+3z2=6

  10. 訣竅使用橢球體積公式即可;亦可運用旋轉體表面積公式;也能直接計算三重積分求解。
    解法一方程可寫為

    x33+y22+z22=1

    可辨識出此為橢球方程,故所求體積為 43π322=83π3
    解法二z=0 時橢球方程被 xy 平面截出一橢圓 2x2+3y2=6,可觀察到該橢球為繞 x 軸所形成的。為了應用旋轉體體積公式,我們考慮函數 f(x)=(62x2)/3,其中範圍為 x[3,3],如此可知

    V=33π62x232dx=2π333(3x2)dx=2π3(3xx33)|33=83π3

    解法三考慮集合

    Ω={(x,y,z)R3: 2x2+3y2+3z26}

    那麼所求的體積可表達如下

    V=ΩdV=33(62x2)/3(62x2)/3(62x23y2)/3(62x23y2)/3dzdydx=83330(62x2)/3062x23y2dydx

    運用極座標變換,令 {x=3rcosθy=2rsinθ,其中變數範圍為 {0r10θπ2,那麼所求可改寫並計算如下

    V=833π201066r26rdrdθ=163π210r1r2dr=83π13(1r2)32|10=83π3


  11. Suppose F(x,y) and G(x,y) are two differentiable functions defined on R2={(x,y)|x,y(,)} so that the gradients F(x,y)=(Fx(x,y),Fy(x,y)), G(x,y)=(Gx(x,y),Gy(x,y)) are always parallel in the sense that, for every (x,y), there is a number λ, possibly dependent of the point (x,y), satisfying

    F(x,y)=λG(x,y).

    Is it true that F must be a constant multiple of G? Prove it or give a counter example.
  12. 訣竅藉由簡單的試誤與推敲即可確認本命題錯誤。
    解法簡單考慮函數 F(x,y)=x+yG(x,y)=x+y+1,那麼取 λ=1 可知

    F(x,y)=(1,1)=1(1,1)=λG(x,y)

    然而 F 並非 G 的常數倍。

  13. Suppose f(x) is continuous function defined on [1,1] so that baf(x)dx0 for every a,b[1,1], ab. Give a reason why we can or can not conclude that f(x)0, for every x[1,1].
  14. 訣竅透過連續函數的特性來使用反證法處理。
    解法假設存在一點 x0[1,1] 使得 f(x0)<0,那麼由 f 的連續性可知存在一正數 δ 使得

    x(x0δ,x0+δ)[1,1]    |f(x)f(x0)|<f(x0)2

    故取 [a,b]=[x0δ2,x0+δ2][1,1],那麼便有

    baf(x)dxbaf(x0)2dx=(ba)f(x0)2<0

    矛盾。故每一點的函數值皆非負。

  15. Solve the differential equation

    y=100yy2, y(0)=1.

  16. 訣竅運用分離變量法處理;亦可將之視為白努利方程來使用變數代換法處理。
    解法一移項後有

    (1100y+1y)dy=100dy100yy2=100dt

    [0,t] 上同取定積分可知

    lny100y=100tln99

    兩邊取自然指數可得

    y100y=199e100t

    從而解得

    y(t)=100e100t99+e100t=1001+99e100t

    解法二z(t)=[y(t)]12=1y(t),那麼便有

    dzdt=1(y(t))2dyt=100y(t)+1=100z(t)+1

    故兩邊同乘以 e100t 可得

    ddt(e100tz(t))=e100tdzdt+100e100tz(t)=e100t

    隨後取積分便有

    e100tz(t)1=e100t1100

    因此

    z(t)=1+99e100t100

    如此所求的函數為

    y(t)=1001+99e100t


  17. Evaluate the integral D(x2y2)dxdy, where

    D={(x,y)|0x+y8, 0xy4}.

  18. 訣竅運用變數變換求解即可。
    解法考慮變數變換 {u=x+yv=xy,那麼積分範圍化為 {0u80v4。再者,其 Jacobian 行列式計算如下

    (x,y)(u,v)=|xuxvyuyv|=|uxuyvxvy|1=|1111|1=12

    如此所求的重積分可改寫並計算如下

    D(x2y2)dxdy=4080uv|12|dudv=12(40vdv)(80udu)=12832=128


  19. Determine the maximum of the function

    f(x,y,z)=3x2+2y2+z2

    defined on the surface

    {(x,y,z)|2x2+27y2+10z2=12}.

  20. 訣竅運用初等不等式求解即可。
    解法由限制條件可以注意到

    3x2=1881y2215z2

    如此給定的函數 f 可透過這樣的限制條件改寫如下

    f(x,y,z)=3x2+2y2+z2=1881y2215z2+2y2+z2=1877y2214z218

    此時等號成立條件為 y=z=0x=±6

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