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2020年2月5日 星期三

國立臺灣大學九十六學年度研究所碩士班入學考試試題:微積分甲

請標明題號,依序作答。

計算證明題
  1. f(x)=x1e3t9t4+1dtg(x)=xne3x,且 limx[f(x)g(x)]=1。求 n 之值。
  2. 訣竅使用微積分基本定理與微分的乘法公式求導後計算極限即可。
    解法使用微積分基本定理可得

    f(x)=e3x9x2+1

    而使用乘法的微分公式則有

    g(x)=nxn1e3x+3xne3x

    因此給定的極限式可表達為

    1=limx[f(x)g(x)]=limxe3x9x2+1nxn1e3x+3xne3x=limx9x2+1nxn1+3xn=limx9+1x23xn1+nxn2

    因此根據極限的四則運算結果可知

    limx(3xn1+nxn2)=limx3xn1+nxn29+1x29+1x2=13=3

    容易看出當 n>1 時應有 limx(3xn1+nxn2)=;而當 n<1 時應有 limx(3xn1+nxn2)=0,故皆不合。而取 n=1 時能檢驗符合題意。

    1. limx0+(cotx1x)
    2. 再用級數求 limx0+(cotx1x)(cotx+1x)
  3. 訣竅通分整理後使用羅必達法則即可;亦可在此使用泰勒級數觀察之,隨後應用至第二小題中。
    解法
    1. 【方法一】 通分後使用羅必達法則計算如下

      limx0+(cotx1x)=limx0+xcosxsinxxsinx=limx0+xsinxsinx+xcosx=limx0+sinxxcosx2cosxxsinx=0

      【方法二】 留意到 cotx=1tanx,根據正切函數的泰勒展開式有

      cotx=1x+x33+=1x11+x23+=1x(1x23+)=1xx3+

      故可知

      limx0+(cotx1x)=limx0+(x3+)=0

    2. 沿用前述的辦法已知

      cotx=1xx3+

      如此所給定的極限可表達為

      limx0+(cotx1x)(cotx+1x)=limx0+[(x3+)(1x+)]=limx0+(13+)=13


  4. f(x)=lnx+tan1xg(x) 為其反函數,求 g(π4)g(π4) 之值。
  5. 訣竅使用反函數的定義與連鎖律求解。
    解法

    由反函數的定義有 g(f(x))=x。使用連鎖律可得

    g(f(x))f(x)=1

    可以觀察到 f(1)=π4,故取 x=1 可得

    g(π4)=1f(1)

    再者,我們有 f(x)=1x+11+x2,因此 f(1)=32,從而所求為 g(π4)=23

    進一步的,我們對 g(f(x))f(x)=1 再求導一次可得

    g(f(x))[f(x)]2+g(f(x))f(x)=0

    此時也有 f(x)=1x22x(1+x2)2。故取 x=1 可得

    g(π4)(32)2+23(32)=0

    因此所求為 g(π4)=49


  6. f(x)=xsinxx3,求 f(6)(0) 之值。
  7. 訣竅使用泰勒展開式來求高階導數值。
    解法使用正弦函數的泰勒展開式可知

    f(x)=xsinxx3=x(xx36+x5120x75040+x9362880)x3=16x2120+x45040x6362880+

    因此所求為 f(6)(0)=6!1362880=1504

    1. 0lnx1+x2dx
    2. 0exsinxdx
  8. 訣竅第一小題為經典問題,分兩段後運用變數變換對消;第二小題則需使用兩次分部積分法處理。
    解法
    1. 我們首先說明此瑕積分收斂,由於兩處瑕疵,故我們分為兩塊分別處理:

      0lnx1+x2dx=10lnx1+x2dx+1lnx1+x2dx

      針對前者,我們留意到被積分函數在 (0,1) 上恆負,故

      10lnx1+x2dx10lnxdx=limt0+1tlnxdx=limt0+(xlnxx)|1t=limt0+(1tlnt+t)=1

      其瑕積分收斂;而後者在 (1,) 上恆正,故有

      1lnx1+x2dx1lnxx2dx=limtt1lnxd1x=limt(lnxx+1x)|t1=limt(1lntt1t)=1

      綜上可知兩個瑕積分皆收斂。

      現在特別去觀察前者的積分,我們令 u=1x,那麼

      • x0+ 時有 u
      • x=1 時有 u=1
      • 移項有 x=1u,求導則得 dx=1u2du
      據此第一個瑕積分可改寫如下

      10lnx1+x2dx=1lnuu2+1du=1lnu1+u2du

      從而與第二個瑕積分相加可恰好消去,從而所求為零。

    2. 先考慮其對應的不定積分並使用分部積分法計算如下

      exsinxdx=sinxdex=exsinx+excosxdx=exsinxcosxdex=exsinxexcosxexsinxdx

      因此得到不定積分為

      exsinxdx=exsinx+cosx2+C

      故所求為

      0exsinxdx=12limt(exsinx+excosx)|t0=12limt(etsint+etcost1)=12


  9. z=f(x,y) 有連續的各二偏導函數,且 x=rcosθy=rsinθ。試證

    2zx2+2zy2=2zr2+1r22zθ2+1rzr

  10. 訣竅運用多變函數的連鎖律計算求解即可。
    解法一首先留意到 r=x2+y2θ=tan1yx,如此可使用多變函數連鎖律可知

    fx=frrx+fθθx=xx2+y2fryx2+y2fθ=cosθfrsinθrfθfy=frry+fθθy=yx2+y2fr+xx2+y2fθ=sinθfr+cosθrfθ

    進一步的計算二階偏導函數有

    2fx2=x(cosθfrsinθrfθ)=sin2θrfr+cos2θ2fr22sinθcosθr2fθr+sin2θr22fθ22fy2=y(sinθfr+cosθrfθ)=cos2θrfr+sin2θ2fr2+2sinθcosθr2θr+cos2θr22fθ2

    將兩式相加並使用 sin2θ+cos2θ=1 便有所欲證的等式,證明完畢。
    解法二使用多變函數的連鎖律可知

    fr=fxxr+fyyr=cosθfx+sinθfyfθ=fxxθ+fyyθ=rsinθfx+rcosθfy

    進一步地計算二階偏導函數有

    2fr2=cos2θ2fx2+2cosθsinθ2fxy+sin2θ2fy22fθ2=rcosθfxrsinθfy+r2sin2θ2fx22r2sinθcosθ2fxy+r2cos2θ2fy2

    據此計算可以注意到

    2fr2+1r22fθ2+1rfr=(cos2θ+sin2θ)2fx2+(sin2θ+cos2θ)2fy2=2fx2+2fy2


  11. 用 Lagrane method 求 f(x,y,z)=y+xz2x2y2z2 之極大極小值,而要求點在 x+y+z=35 之上。
  12. 訣竅根據題意使用拉格朗日乘子法求解,但僅能獲得一座標,由考慮極值的函數的特點可以注意到距離原點很遠處其函數值將無限至的小。
    解法設定拉格朗日乘子函數如下

    F(x,y,z,λ)=y+xz2x2y2z2+λ(x+y+z35)

    據此解下列的聯立方程組

    {Fx(x,y,z,λ)=z4x+λ=0Fy(x,y,z,λ)=12y+λ=0Fz(x,y,z,λ)=x2z+λ=0Fλ(x,y,z,λ)=x+y+z35=0

    將第一式與第三式相減可得 3z=5x,即 z=5x3,從而第一式與第二式可得 (x,y,z)=(3λ7,λ+12,5λ7)。將此代入第四式有

    3λ7+λ+12+5λ7=35

    故得 λ=1619,故得座標 (x,y,z)=(233,859,1159)

    另一方面取 (x,y,z)=(0,t,35t),那麼可以注意到

    f(0,t,35t)=tt2(35t)2    t

    故函數 fx+y+z=35 上無極小值,而在 (233,859,1159) 處達到最大值,其值為 2127281


  13. 用變數變換求 RxdA 之值。此處 R 為第一象限內,由 y=x4x2y2=4x 軸,4x2y2=16 所圍成之區域。
  14. 訣竅按提示使用變數代換法處理,這裡由邊界去考慮代換的處理。
    解法u=4x2y2v=4x2+y2,那麼觀察四段邊界可改寫如下
    • y=x 可表達為 v=5u3
    • 4x2y2=4 可表達為 u=4
    • x 軸(y=0)可表達為 v=u
    • 4x2y2=16 則表達為 u=16
    再者 Jacobian 行列式能計算如下

    (x,y)(u,v)=|xuxvyuyv|=|uxuyvxvy|1=|8x2y8x2y|1=132xy=18v2u2

    如此所求的重積分可用變數變換改寫並計算如下

    RxdA=1645u3uv+u818v2u2dvdu=2321645u3u1vudvdu=216164vu|v=5u3v=udu=324164udu=336u32|164=1439


  15. 用 Stokes 定理求 S(curl Fn)dS 之值。此處 F=zi+xj+ykS 是曲面 z=5x2y21z>0n 朝上。
  16. 訣竅根據題意使用 Stokes 定理即可;亦可按曲面積分的意義計算求解。
    解法一考慮曲面 S 的邊界

    S={(x,y,z)R3: x2+y2=4, z=0.}

    應用 Stokes 定理可知

    S(curl Fn)dS=SFdr

    現在將此邊界參數化為 {x=2cosθy=2sinθz=0,其中參數 θ[0,2π),如此所求的面積分可改寫並計算如下

    S(curl Fn)dS=2π0(0,2cosθ,2sinθ)(2sinθ,2cosθ,0)dθ=42π0cos2θdθ=22π0(1+cos2θ)dθ=(2θ+sin2θ)|2π0=4π

    解法二【本題不可採用此法】

    首先計算旋度如下

    curl F=|ijkxyzzxy|=(1,1,1)

    接著將該曲面參數化有{x=5cosθsinϕy=5sinθsinϕz=1+5cosϕ,那麼參數範圍為 {0θ2π0ϕcos115。據此所求的面積分可改寫並計算如下

    S(curl Fn)dS=2π0cos1150(1,1,1)(cosθsinϕ,sinθsinϕ,cosϕ)5sinϕdϕdθ=52π0cos1150cosθsin2ϕdϕdθ+52π0cos1150sinθsin2ϕdϕdθ+52π0cos1150sinϕcosϕdϕdθ=0+0+52πcos2ϕ2|cos1150=5π(115)=4π

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