國立臺灣大學八十九學年度研究所碩士班入學考試試題：應用微積分

1. 填充題:[$9\%\times7=63\%$]　請在答案卷首頁按題序標清題號寫下答案，其他計算式一律不予計分。
1. 若 $\displaystyle\int x^2\left(\ln x\right)^2dx=Ax^3\left(\ln x\right)^2+\left(Bx^3+Cx^2+Dx+E\right)\left(\ln x\right)+Fx^3+Gx^2+Hx+K$，則 $A+B+F=$　①　。
訣竅
直接運用微積分基本定理求導即可；亦可使用分部積分法計算該不定積分以決定各項係數。
解法一
直接使用微積分基本定理求導可知
$\displaystyle x^2\left(\ln x\right)^2=3Ax^2\left(\ln x\right)^2+\left[\left(2A+3B\right)x^2+2Cx+D\right]\ln x+\left(B+3F\right)x^2+\left(C+2G\right)x+\left(D+H\right)+\frac{E}x$
藉由比較係數可知 $3A=1$、$2A+3B=0$、$2C=0$、$D=0$、$B+3F=0$、$C+2G=0$、$D+H=0$ 以及 $E=0$，即有
$\displaystyle A=\frac13,~B=-\frac29,~C=D=E=0,~F=\frac2{27},~G=H=0$
而 $K$ 隨意。如此 $\displaystyle A+B+F=\frac5{27}$。
解法二
直接使用分部積分法計算求解如下
$\displaystyle\begin{aligned}\int x^2\left(\ln x\right)^2dx&=\frac13\int\left(\ln x\right)^2dx^3=\frac13\left[x^3\left(\ln x\right)^2-\int x^3d\left(\ln x\right)^2\right]\\&=\frac13x^3\left(\ln x\right)^2-\frac23\int x^2\ln xdx=\frac13x^3\left(\ln x\right)^2-\frac29\int\ln xdx^3\\&=\frac13x^3\left(\ln x\right)^2-\frac29\left[x^3\ln x-\int x^3d\ln x\right]\\&=\frac13x^3\left(\ln x\right)^2-\frac29x^3\ln x+\frac29\int x^2dx=\frac13x^3\left(\ln x\right)^2-\frac29x^3\ln x+\frac2{27}x^3+K\end{aligned}$
故 $\displaystyle A=\frac13,~B=-\frac29,~F=\frac2{27}$、$K$ 任意而其餘皆為零。因此所求為 $A+B+F=\frac5{27}$。


2. 笛卡兒葉形線 $x^3+y^3-3xy=0$ 在 $\left(\sqrt[3]2,\sqrt[3]4\right)$ 之切線的斜率為　②　。
訣竅
使用隱函數微分求解即可。
解法
使用隱函數微分可得
$\displaystyle3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-3y-3x\frac{dy}{dx}=0$
取 $\left(x,y\right)=\left(\sqrt[3]2,\sqrt[3]4\right)$，那麼便有
$\displaystyle3\sqrt[3]4+6\sqrt[3]2\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(\sqrt[3]2,\sqrt[3]4\right)}-3\sqrt[3]4-3\sqrt[3]2\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(\sqrt[3]2,\sqrt[3]4\right)}=0$
如此解得切線斜率為 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(\sqrt[3]2,\sqrt[3]4\right)}=0$。


3. $f\left(x,y\right)=x^2+2y^2-x$ 在 $x^2+y^2\leq1$ 內的最大值為　③　。
訣竅
使用初等不等式估算出最大值即可。
解法
由於 $x^2+y^2\leq1$，因此
$f\left(x,y\right)=x^2+2y^2-x=2\left(x^2+y^2\right)-x^2-x\leq2-\left(x+\frac12\right)^2+\frac14\leq\frac94$
故最大值為 $\displaystyle\frac94$，其中等號成立的條件為 $x^2+y^2=1$ 且 $\displaystyle x=-\frac12$，即在 $\displaystyle\left(-\frac12,\pm\frac{\sqrt3}2\right)$ 處達到最大值。


4. $\displaystyle\int_{-1}^1\int_{y^2}^1\exp\left(\sqrt{x}\right)dxdy=$　④　。
訣竅
交換積分次序計算即可。
解法

原積分範圍 $\left\{\begin{aligned}&y^2\leq x\leq1\\&-1\leq y\leq1\end{aligned}\right.$ 可改寫為 $\left\{\begin{aligned}&0\leq x\leq1\\&-\sqrt{x}\leq y\leq\sqrt{x}\end{aligned}\right.$，如此所求的重積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\int_{-1}^1\int_{y^2}^1\exp\left(\sqrt{x}\right)dxdy=\int_0^1\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}\exp\left(\sqrt{x}\right)dydx=2\int_0^1\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}dx$

令 $u=\sqrt{x}$，那麼

• 當 $x=0$ 時有 $u=0$；
• 當 $x=1$ 時有 $u=1$；
• 平方有 $x=u^2$，求導可得 $dx=2udu$。

據此所求的重積分可以再改寫並計算如下

$\displaystyle\begin{aligned}\int_{-1}^1\int_{y^2}^1\exp\left(\sqrt{x}\right)dxdy&=2\int_0^1ue^u\cdot2udu=4\int_0^1u^2de^u=4\left(u^2e^u\Big|_0^1-\int_0^1e^udu^2\right)\\&=4e-8\int_0^1ue^udu=2e-4\left(ue^u-e^u\right)\Big|_0^1=4e-8\end{aligned}$



5. 當 $x$ 為正數時，$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(2x\right)^{3\sqrt{x}}=$　⑤　。
訣竅
使用換底公式後運用羅必達法則求解即可。
解法

運用換底公式厚使用羅畢達法則可知

$\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to0^+}\left(2x\right)^{3\sqrt{x}}&=\lim_{x\to0^+}\exp\left(3\sqrt{x}\ln\left(2x\right)\right)=\exp\left(3\lim_{x\to0^+}\frac{\ln\left(x\right)+\ln2}{x^{-1/2}}\right)\\&=\exp\left(3\lim_{x\to0^+}\frac{\displaystyle\frac1x}{\displaystyle-\frac12x^{-3/2}}\right)=\exp\left(-6\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\right)=e^0=1\end{aligned}$



6. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-3/2}\left(\sqrt1+\sqrt2+\cdots+\sqrt{2n}\right)=$　⑥　。
訣竅
將其改寫為黎曼和的形式，從而取極限可化為定積分來計算。
解法

留意到

$\displaystyle n^{-3/2}\left(\sqrt1+\sqrt2+\cdots+\sqrt{2n}\right)=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{\frac{k}n}+\sqrt{1+\frac{k}n}\right)$

為函數 $f\left(x\right)=\sqrt{x}+\sqrt{1+x}$ 在 $\left[0,1\right]$ 作 $n$ 等分割所形成的黎曼和，故取極限有

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-3/2}\left(\sqrt1+\sqrt2+\cdots+\sqrt{2n}\right)=\int_0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx=\left.\frac23\left(x^{\frac32}+\left(1+x\right)^{\frac32}\right)\right|_0^1=\frac{4\sqrt2}3$



7. 當空間上的點 $P\left(x,y,z\right)$，由 $\left(2,-1,0\right)$ 往 $\left(0,1,2\right)$ 移動距離 $0.2$。試問 $x+x\cos\left(z\right)-y\sin\left(z\right)+y$ 值的改變量最接近 $0.75$, $0.45$, $0$, $-0.25$, $-0.5$, $-0.8$ 這七個數字中的那一個？該數字為　⑦　。
訣竅
運用偏導函數來估算改變量。
解法
設 $A=\left(2,-1,0\right)$、$B=\left(0,1,2\right)$ ，那麼移動的方向為 $\vec{v}=B-A=\left(-2,2,2\right)$，而當移動距離為 $0.2$ 時移動到的位置為
$\displaystyle C=A+0.2\cdot\frac{\left(-2,2,2\right)}{2\sqrt3}=\left(2-\frac{0.1}{\sqrt3},-1+\frac{0.1}{\sqrt3},\frac{0.1}{\sqrt3}\right)$
另一方面，設定 $f\left(x,y,z\right)=x+x\cos\left(z\right)-y\sin\left(z\right)+y$，那麼可由偏導的概念估算改變量為
$f\left(C\right)-f\left(A\right)\approx f_x\left(A\right)\Delta x+f_y\left(A\right)\Delta y+f_z\left(A\right)\Delta z$
為此我們計算各項偏導如下
$f_x\left(x,y,z\right)=1+\cos\left(z\right),~f_y\left(x,y,z\right)=1-\sin\left(z\right),~f_z\left(x,y,z\right)=-x\sin\left(z\right)-y\cos\left(z\right)$
如此在 $A$ 處的偏導數值為
$\displaystyle f_x\left(A\right)=2,~f_y\left(A\right)=1,~f_z\left(A\right)=1$
而 $\displaystyle\Delta x=-\frac{0.1}{\sqrt3}$、$\displaystyle\Delta y=\Delta z=\frac{0.1}{\sqrt3}$，因此所求為
$\displaystyle f\left(C\right)-f\left(A\right)\approx2\cdot-\frac{0.1}{\sqrt3}+1\cdot\frac{0.1}{\sqrt3}+1\cdot\frac{0.1}{\sqrt3}=0$
故改變量最接近 $0$。
2. 計算題:[$14\%\times2+9\%=37\%$]　請寫出詳盡之計算與論證過程
1. （$14\%$）於一封閉社區中，假設該社區的人口總數為 $M$，起初只有千分之一的人口知道 e-Business 的興起，經由大眾媒體不斷地散播，過了三天後已經有半數人口知道 e-Business 的興起。若 $P\left(t\right)$ 表時間 $t$ 時得知此消息的人數，則 $P\left(0\right)=M/1000$，$P\left(3\right)=M/2$。當我們假設 $P\left(t\right)$ 的變化率與尚未得知此消息的人口數成正比。
   1. [$6\%$] 試列出適當的(微分)方程，並藉此方程求 $P\left(t\right)$。
   2. [$8\%$] 請問至少再過幾天，$95\%$ 的人口都會得知此消息。(取合理的近似值即可)
訣竅
依據題意列出經典的人口模型方程，並且容易由分離變量法使用積分求解；隨後運用基本的對數知識計算即可。
解法

1. 由於 $P$ 的變化率與未得知此消息的人口數成正比，而未得知消息的人口數為 $M-P\left(t\right)$，故這表示

   $P'\left(t\right)=k\left(M-P\left(t\right)\right)$

   其中 $k$ 為常數。那麼移項有

   $\displaystyle\frac{dP}{M-P}=kdt$

   在 $\left[0,t\right]$ 上同取定積分可得

   $\displaystyle-\ln\left(M-P\left(t\right)\right)+\ln\left(M-\frac{M}{1000}\right)=kt$

   由於 $P\left(3\right)=M/2$，這給出 $\displaystyle k=\frac13\ln\frac{999}{500}$。如此同取自然指數可得

   $\displaystyle\frac{999M}{1000\left(M-P\left(t\right)\right)}=\left(\frac{999}{500}\right)^{t/3}$

   整理計算可得

   $\displaystyle P\left(t\right)=M-\frac{999M}{1000}\left(\frac{500}{999}\right)^{t/3}$

2. 為了求出至少 $95\%$ 的人口都知道此消息，我們應解下列不等式

   $\displaystyle M-\frac{999M}{1000}\left(\frac{500}{999}\right)^{t/3}\geq\frac{95M}{100}$

   即

   $\displaystyle\begin{aligned}t&\geq\frac{3\ln\left(50/999\right)}{\ln\left(500/999\right)}\approx\frac{3\ln\left(50/1000\right)}{\ln\left(500/1000\right)}\\&=\frac{3\ln20}{\ln2}=3\log_220=3\left(2+\log_25\right)=6+\frac{3\log_{10}5}{\log_{10}2}\approx6+3\cdot\frac{0.6990}{0.3010}\approx6+3\cdot2.3=12.9\end{aligned}$

   因此至少要 $13$ 天。

   【註】 運用電子計算器可確認

   $\displaystyle\frac{3\ln\left(50/999\right)}{\ln\left(500/999\right)}\approx12.9802$



2. （$14\%$）設產品 A、產品 B 及產品 C 可互相替代，產品 A、產品 B 及產品 C 的單位價格分別為 $1$ 元、$2$ 元及 $3$ 元，當購買 $x$ 單位產品 A、$y$ 單位產品 B 及 $z$ 單位產品 C 時，其效用函數為 $u\left(x,y,z\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$。現有 $760$ 元必須使用掉的預算來買產品 A、產品 B 及產品 C 時，請問該如何使用方能達到最高效用。
訣竅
根據題意列式後使用柯西不等式求解。
解法
根據題意有 $x+2y+3z=760$，那麼使用柯西不等式可知
$\displaystyle760\cdot\left(1+\frac12+\frac13\right)=\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{2y}^2+\sqrt{3z}^2\right)\left[1^2+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2\right]\geq\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2$
開根號可得 $\displaystyle\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq\sqrt{\frac{4180}3}$，而等號成立條件為
$\displaystyle\frac{\sqrt{x}}1=\frac{\sqrt{2y}}{1/\sqrt2}=\frac{\sqrt{3z}}{1/\sqrt3}$
即 $\sqrt{x}=2\sqrt{y}=3\sqrt{z}$，平方有 $x=4y=9z$。進而由 $x+2y+3z=760$ 得 $\displaystyle\left(x,y,z\right)=\left(\frac{4560}{11},\frac{1140}{11},\frac{1520}{33}\right)$。


3. （$9\%$）已知 $w=f\left(u,v\right)$ 且 $\partial^2f/\partial u^2+\partial^2f/\partial v^2=0$。當 $u=\left(x^2-y^2\right)/2$，而 $v=xy$，則 $\partial^2f/\partial x^2+\partial^2f/\partial y^2$ 為何？
訣竅
運用多變量函數的連鎖律計算即可。
解法

運用多變量函數的連鎖律可知

$\displaystyle\begin{aligned}&\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=x\frac{\partial f}{\partial u}+y\frac{\partial f}{\partial v},\\&\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=-y\frac{\partial f}{\partial u}+x\frac{\partial f}{\partial v}\end{aligned}$

進一步求其二階偏導有

$\displaystyle\begin{aligned}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(x\frac{\partial f}{\partial u}+y\frac{\partial f}{\partial v}\right)=\frac{\partial f}{\partial u}+x\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial v}\\&=\frac{\partial f}{\partial u}+x\left(x\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+y\frac{\partial^2f}{\partial v\partial u}\right)+y\left(x\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}+y\frac{\partial^2f}{\partial v^2}\right)\\&=\frac{\partial f}{\partial u}+x^2\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+2xy\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}+y^2\frac{\partial^2f}{\partial v^2}\\\frac{\partial^2f}{\partial y^2}&=\frac{\partial}{\partial y}\left(-y\frac{\partial f}{\partial u}+x\frac{\partial f}{\partial v}\right)=-\frac{\partial f}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial u}+x\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial v}\\&=-\frac{\partial f}{\partial u}-y\left(-y\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+x\frac{\partial^2f}{\partial v\partial u}\right)+x\left(-y\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}+x\frac{\partial^2f}{\partial v^2}\right)\\&=-\frac{\partial f}{\partial u}+y^2\frac{\partial^2f}{\partial u^2}-2xy\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}+x^2\frac{\partial^2f}{\partial v^2}\end{aligned}$

因此兩者求和並搭配題目給定的條件可得為零。

【註】　當函數 $f$ 滿足題目給定的條件時稱 $f$ 為調和函數。經由較為困難的數學證明可以確認當 $f$ 的偏導函數滿足該條件時便能保證 $f$ 可無窮次微分，從而 $f$ 的二階混合偏導函數相同，故我們在計算過程中便自動將兩者合併。不過事實上讀者不使用此結果計算時也可以在求和時分別將混合偏導函數對消。