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2020年3月15日 星期日

國立臺灣大學一百零一學年度研究所碩士班入學考試試題:應用微積分

(答案請寫於答案卷上)
需列計算過程,否則不予計分
填充計算題(總計 10 題,每題 10 分)

  1. 試求級數 xx222+x332x442+ 之收斂區間 =    
  2. 訣竅運用比值審歛法的概念求出收斂半徑,隨後再判定其端點的歛散性即可。
    解法給定的級數可表示為 n=1(1)n+1n2xn,如此可知收斂半徑為

    R=limn|anan+1|=limn(n+1)2n2=1

    而當
    • x=1 時級數寫為 n=11n2,由 p 級數在 p=2 時收斂可知此級數收斂;
    • x=1 時級數寫為 n=1(1)n+1n2 可由交錯級數審歛法知其收斂。
    因此收歛區間為 [1,1]

  3. 星形線(Asteroid) x=acos3t, y=asin3t 所圍成之面積 =    
  4. 訣竅由參數下的面積公式求解,其中可利用對稱性來簡化計算過程。此題同九十六年應用微積分第七題。
    解法所求面積可表達並計算如下

    A=x=ax=0y(t)dx(t)=40π2asin3tdt3acos2tsintdt=12a2π20sin4tcos2tdt=12a2π20(1cos2t2)2(1+cos2t2)dt=3a22π20(1cos2t)(1cos22t)dt=3a24π20(1cos2t)(1cos4t)dt=3a24π20(1cos2tcos4t+cos2tcos4t)dt=3a24π23a24π20cos2tcos4tdt=3πa283a28π20(cos6t+cos2t)dt=3πa28


  5. 求下列各線所圍成區域之面積    

    xy=a22,xy=2a2,y=x2,y=2x

  6. 訣竅面積可用一個單純的重積分來表示,隨後運用變數代換來處理重積分。
    解法D 為四曲線所圍成之區域,那麼所求之面積為 DdA。令 {u=xyv=y/x,那麼由邊界條件可知變數範圍為 {a22u2a212v2。再者,其 Jacobian 行列式為

    (x,y)(u,v)=|xuxvyuyv|=|uxuyvxvy|1=|yxyx21x|1=2yx=2v

    如此所求的面積為

    A=DdA=2a2a222122vdvdu=3a22154=45a28


  7. 求出此心臟線 r=1+sinθ 的長度 =    
  8. 訣竅運用極座標曲線下的長度公式與對稱性求解即可。
    解法運用極座標下的曲線長度公式與對稱性可以計算如下

    s=ππr2+(drdθ)2dθ=ππ(1+sinθ)2+(cosθ)2dθ=ππ2+2sinθdθ=2π2π22+2sinθdθ

    ψ=θ+π2,那麼所求的曲線弧長可改寫並計算如下

    s=2π02+2sin(ψπ2)dψ=2π022cosψdψ=4π0sinψ2dψ=8cosψ2|π0=8


  9. 1022xey2dydx=    .
  10. 訣竅交換積分次序後求解。此題同九十五年應用微積分第五題。
    解法原積分範圍 {0x12xy2 可改寫為 {0xy/20y2,如此所求的重積分可改寫並計算如下

    1022xey2dydx=20y/20ey2dxdy=20yey22dy=ey24|20=e414


  11. 21e1/xx2dx=    .
  12. 訣竅運用變數代換的思想直接計算即可。
    解法直接計算可知

    21e1/xx2dx=21e1/xd(1x)=e1x|21=ee12


  13. If y=xx, then dydx=    .
  14. 訣竅換底後使用連鎖律求導即可。
    解法換底後使用連鎖律求導如下

    dydx=ddxxx=ddxexlnx=exlnxddx(xlnx)=xx(lnx2x+1x)=xx(2+lnx)2x


  15. Let R=ln(u2+v2+w2), u=x+2y, v=2xy, w=2xy. When x=y=1, Rx=    , and Ry=    .
  16. 訣竅使用多變函數連鎖律即可。
    解法使用多變數函數的連鎖律可知

    Rx=Ruux+Rvvx+Rwwx=2uu2+v2+w21+2vu2+v2+w22+2wu2+v2+w22y=2u+4v+4wyu2+v2+w2Ry=Ruuy+Rvvy+Rwwy=2uu2+v2+w22+2vu2+v2+w2(1)+2wu2+v2+w22x=4u2v+4wxu2+v2+w2

    而當 x=y=1 時有 u=3v=1w=2,因此

    Rx(1,1)=23+41+42132+12+22=97,Ry(1,1)=4321+42132+12+22=97


  17. Suppose that f(x) is differentiable everywhere and that f(0)=3 and f(x)5. The largest possible value for f(2) is     .
  18. 訣竅運用微積分基本定理估算其最大值。
    解法利用微積分基本定理可知

    f(2)=f(0)+20f(s)ds3+205ds=3+10=7

    f(2) 的最大值為 7

  19. The half-life of radium-226 is 1590 years.
    1. A sample of radium-226 has a mass of 100 mg. The formula for the mass of the sample that remains after t years, m(t) is     .
    2. The time taken for the mass of the sample to be reduced to 30 mg is     .
  20. 訣竅根據半衰期的定義列式並求解即可。
    解法
    1. 按照半衰期的意義可列出對應的質量函數為

      m(t)=100(12)t1590 (mg)

    2. 設樣本要減少至 30 毫克所需時間 t0,則按前一小題應滿足

      100(12)t01590=30

      因此有 2t01590=0.3,取以 2 為底的對數有

      t01590=log2103=log210log23=1log103log102

      因此所求為

      t0=15901log103log102=159010.47710.301=1590522930102762.1627907

      故約莫 2762 年才能變為 30 毫克。

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