(答案請寫於答案卷上)
需列計算過程,否則不予計分
填充計算題(總計 10 題,每題 10 分)
- 試求級數 x−x222+x332−x442+⋯ 之收斂區間 = 。
- 當 x=−1 時級數寫為 ∞∑n=1−1n2,由 p 級數在 p=2 時收斂可知此級數收斂;
- 當 x=1 時級數寫為 ∞∑n=1(−1)n+1n2 可由交錯級數審歛法知其收斂。
- 星形線(Asteroid) x=acos3t, y=asin3t 所圍成之面積 = 。
- 求下列各線所圍成區域之面積 。
xy=a22,xy=2a2,y=x2,y=2x
- 求出此心臟線 r=1+sinθ 的長度 = 。
- ∫10∫22xey2dydx= .
- ∫21e1/xx2dx= .
- If y=x√x, then dydx= .
- Let R=ln(u2+v2+w2), u=x+2y, v=2x−y, w=2xy. When x=y=1, ∂R∂x= , and ∂R∂y= .
- Suppose that f(x) is differentiable everywhere and that f(0)=−3 and f′(x)≤5. The largest possible value for f(2) is .
- The half-life of radium-226 is 1590 years.
- A sample of radium-226 has a mass of 100 mg. The formula for the mass of the sample that remains after t years, m(t) is .
- The time taken for the mass of the sample to be reduced to 30 mg is .
- 按照半衰期的意義可列出對應的質量函數為
m(t)=100⋅(12)t1590 (mg)
- 設樣本要減少至 30 毫克所需時間 t0,則按前一小題應滿足
100⋅(12)t01590=30
因此有 2−t01590=0.3,取以 2 為底的對數有t01590=log2103=log210−log23=1−log103log102
因此所求為t0=1590⋅1−log103log102=1590⋅1−0.47710.301=1590⋅52293010≈2762.1627907
故約莫 2762 年才能變為 30 毫克。
訣竅
運用比值審歛法的概念求出收斂半徑,隨後再判定其端點的歛散性即可。解法
給定的級數可表示為 ∞∑n=1(−1)n+1n2xn,如此可知收斂半徑為R=limn→∞|anan+1|=limn→∞(n+1)2n2=1
而當訣竅
由參數下的面積公式求解,其中可利用對稱性來簡化計算過程。此題同九十六年應用微積分第七題。解法
所求面積可表達並計算如下A=∫x=ax=0y(t)dx(t)=4∫0π2asin3tdt⋅−3acos2tsintdt=12a2∫π20sin4tcos2tdt=12a2∫π20(1−cos2t2)2(1+cos2t2)dt=3a22∫π20(1−cos2t)(1−cos22t)dt=3a24∫π20(1−cos2t)(1−cos4t)dt=3a24∫π20(1−cos2t−cos4t+cos2tcos4t)dt=3a24⋅π2−3a24∫π20cos2tcos4tdt=3πa28−3a28∫π20(cos6t+cos2t)dt=3πa28
訣竅
面積可用一個單純的重積分來表示,隨後運用變數代換來處理重積分。解法
設 D 為四曲線所圍成之區域,那麼所求之面積為 ∬DdA。令 {u=xyv=y/x,那麼由邊界條件可知變數範圍為 {a22≤u≤2a212≤v≤2。再者,其 Jacobian 行列式為∂(x,y)∂(u,v)=|∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v|=|∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y|−1=|yx−yx21x|−1=2yx=2v
如此所求的面積為A=∬DdA=∫2a2a22∫2122vdvdu=3a22⋅154=45a28
訣竅
運用極座標曲線下的長度公式與對稱性求解即可。解法
運用極座標下的曲線長度公式與對稱性可以計算如下s=∫π−π√r2+(drdθ)2dθ=∫π−π√(1+sinθ)2+(cosθ)2dθ=∫π−π√2+2sinθdθ=2∫π2−π2√2+2sinθdθ
令 ψ=θ+π2,那麼所求的曲線弧長可改寫並計算如下s=2∫π0√2+2sin(ψ−π2)dψ=2∫π0√2−2cosψdψ=4∫π0sinψ2dψ=−8cosψ2|π0=8
訣竅
交換積分次序後求解。此題同九十五年應用微積分第五題。解法
原積分範圍 {0≤x≤12x≤y≤2 可改寫為 {0≤x≤y/20≤y≤2,如此所求的重積分可改寫並計算如下∫10∫22xey2dydx=∫20∫y/20ey2dxdy=∫20yey22dy=ey24|20=e4−14
訣竅
運用變數代換的思想直接計算即可。解法
直接計算可知∫21e1/xx2dx=−∫21e1/xd(1x)=−e1x|21=e−e12
訣竅
換底後使用連鎖律求導即可。解法
換底後使用連鎖律求導如下dydx=ddxx√x=ddxe√xlnx=e√xlnxddx(√xlnx)=x√x(lnx2√x+1√x)=x√x(2+lnx)2√x
訣竅
使用多變函數連鎖律即可。解法
使用多變數函數的連鎖律可知∂R∂x=∂R∂u∂u∂x+∂R∂v∂v∂x+∂R∂w∂w∂x=2uu2+v2+w2⋅1+2vu2+v2+w2⋅2+2wu2+v2+w2⋅2y=2u+4v+4wyu2+v2+w2∂R∂y=∂R∂u∂u∂y+∂R∂v∂v∂y+∂R∂w∂w∂y=2uu2+v2+w2⋅2+2vu2+v2+w2⋅(−1)+2wu2+v2+w2⋅2x=4u−2v+4wxu2+v2+w2
而當 x=y=1 時有 u=3、v=1、w=2,因此∂R∂x(1,1)=2⋅3+4⋅1+4⋅2⋅132+12+22=97,∂R∂y(1,1)=4⋅3−2⋅1+4⋅2⋅132+12+22=97
訣竅
運用微積分基本定理估算其最大值。解法
利用微積分基本定理可知f(2)=f(0)+∫20f′(s)ds≤−3+∫205ds=−3+10=7
故 f(2) 的最大值為 7。
沒有留言:
張貼留言