(答案請寫於答案卷上)
需列計算過程,否則不予計分
填充計算題(總計 10 題,每題 10 分)
- Is there a number m such that limx→−23x2+mx+m+3x2+x−2 exists? If so, find the value of m and the value of the limit.
- How many tangent lines to the curve y=x/(x+1) pass through the point (1,2)? At which points to these tangent lines tough the curve?
- Differentiate the function: g(x)=lnx1+ln(2x).
- Find the local maximum and minimum values and saddle point(s), if any:
f(x,y)=(x2+y2)ey2−x2. - 因為 D(±1,0)=−16e−2<0,故 (±1,0) 為鞍點。
- 因為 D(0,0)=4>0 且 fxx(0,0) 與 fyy(0,0) 皆為正數,故 (0,0) 為極小點。【事實上 f(0,0)=0 且函數 f 非負,故 f 在 (0,0) 達到絕對極小值。】
- An oil refinery is located on the north bank of a straight river that is 2 km wide. A pipeline is to be constructed from the refinery to storage tanks located on the south bank of the river 6 km east of the refinery. The cost of laying pipe is $400,000/km over land to a point P on the north bank and $800,000/km under the river to the tanks. To minimize the cost of the pipeline, where should P be located?
- Evaluate the following equation: ∫10log11−xdx= .
- 當 x=0 時有 u=1;
- 當 x→1− 時有 u→0+;
- 求導有 dx=−du。
- Evaluate the following equation: ∫∞0sinxcosxxdx= .
- Find the mass of the portion of the plane x+y+z=1 in the first octane if the area density at any point (x,y,z) on the surface is kx2 kilograms per square meter, where k is a constant.
- Evaluate the following equation: ∫∞0(arctanx2)x2dx= .
- Find the volume of the solid bounded by the cylinder x2+y2=25, the plane x+y+z=8, and the xy plane.
訣竅
運用極限的四則運算定理求解。解法
假若該極限存在,記其值為 L,那麼15−m=limx→−2(3x2+mx+m+3)=limx→−2[3x2+mx+m+3x2+x−2⋅(x2+x−2)]=L⋅0=0
故 m=15。此時我們可計算該極限值如下limx→−23x2+15x+18x2+x−2=limx→−23(x+2)(x+3)(x+2)(x−1)=limx→−23(x+3)x−1=3⋅(−2+3)−2−1=−1
故確實存在一數 m 使極限存在。該 m 值為 15,而其極限值為 −1。訣竅
給定曲線上一點後寫出切線方程式並考慮通過給定點,隨後求出切線座標。解法
設切點 P 為 (a,f(a)),如此切線方程式為y−f(a)=f′(a)(x−a)
又此切線通過 (1,2),故有2−aa+1=1(a+1)2(1−a)
兩邊同乘以 (a+1)2 可得 a2+4a+1=0,那麼解得 a=−2±√3。故有兩條切線方程式會通過 (1,2)。訣竅
運用微分公式求解即可。解法
使用微分公式求解可知g′(x)=1x⋅(1+ln(2x))+lnx⋅12x⋅2(1+ln(2x))2=1+ln2+2lnxx(1+ln(2x))2
訣竅
先求一階偏導的點,隨後由二階行列式判定極值性質。解法
為了找出極值候選點,我們先解方程組
{fx(x,y)=2xey2−x2−2x(x2+y2)ey2−x2=0fy(x,y)=2yey2−x2+2y(x2+y2)ey2−x2=0
兩式皆除以 ey2−x2 可得{2x−2x(x2+y2)=02y+2y(x2+y2)=0
對於第二式除以 x2+y2+1 得 y=0,那麼由第一式有 2x−2x3=0,因此 x=−1,0,1。現計算二階行列式如下
D(x,y)=|fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)|=|(4x2y2+4x4−10x2−2y2+2)ey2−x2−4xy(x2+y2)ey2−x2−4xy(x2+y2)ey2−x2(4y4+4x2y2+10y2+2x2+2)ey2−x2|
據此可知訣竅
按照題意進行假設,並列出成本函數,隨後運用求導找出最小成本。解法
設 P 距離煉油廠 x 公尺,那麼成本函數可設為C(x)=400000x+800000√22+(6−x)2
其中 x∈[0,6]。求導有C′(x)=400000−800000⋅6−x√4+(6−x)2
方程 C′(x)=0 可得 √4+(6−x)2=12−2x,平方有 3x2−36x+104=0,故所求為 x=6±2√3。因為 x∈[0,6],故得 x=6−2√3。容易檢驗知C(0)=1600000√10,,C(6−2√3)=800000(3+√3),C(6)=4000000
因此在距離煉油廠 x=6−2√3 公里處有最小成本。訣竅
運用變數代換後使用分部積分法求解。本題亦可於 Mathematical Analysis (Apostol 著) 第十章習題第六題 a 小題見到。解法
令 u=1−x,那麼有∫10log11−xdx=−∫01logu⋅−du=−∫10logudu=−(ulogu−u)|10=1
訣竅
運用倍角公式與變數變換以及經典的瑕積分結果求解。本題亦可於 Mathematical Analysis (Apostol 著) 第十章習題第十題 a小題見到。解法
首先由倍角公式可知∫∞0sinxcosxxdx=∫∞0sin2x2xdx
令 u=2x,那麼 du=2dx,據此所求可改寫並計算如下∫∞0sinxcosxxdx=12∫∞0sinuudu=12⋅π2=π4
訣竅
將曲面參數化後積分求解。解法
將在第一象限的曲面 x+y+z=1 參數化為r(u,v)=(u,v,1−u−v)
其中變數範圍為 {0≤u≤10≤v≤1−u。如此所求為m=∫10∫1−u0ku2|ru×rv|dvdu=k∫10∫1−u0√3dvdu=k√3∫10(1−u)du=k√32
訣竅
運用分部積分法與有理函數的積分技巧處理。解法
使用分部積分法直接計算可知∫∞0(arctanx2)x2dx=−∫∞0tan−1(x2)d1x=−tan−1x2x|∞0+∫∞01x⋅11+x4⋅2xdx=∫∞02(1+x2)2−(√2x)2dx=∫∞0[√22x+1(x+√22)2+(√22)2+−√22x+1(x−√22)2+(√22)2]dx=∫∞0[√22x+√22x2+√2x+1+121(x+√22)2+(√22)2−√22x−√22x2−√2x+1+121(x−√22)2+(√22)2]dx=[√24lnx2+√2x+1x2−√2x+1+√22tan−1(√2x+1)+√22tan−1(√2x−1)]|∞0=(√22⋅π2+√22⋅π2)−(√22⋅π4−√22⋅π4)=π√22
【註記】 筆者懷疑本題應當是出自 Mathematical Analysis (Apostol 著),第十章習題第二十六題,題目如下:
∫∞0(arctanx)2x2dx
這也能夠說明為何分子之處有括號。解法 首先考慮雙變數函數 f 如下:
f(x,y)=∫∞0dt(1+x2t2)(1+y2t2)
直接計算可以注意到f(x,y)=1x2−y2∫∞0(x21+x2t2−y21+y2t2)dt=xtan−1(xt)−ytan−1(yt)x2−y2|∞0=π2(x+y)
那麼計算重積分可以得到∫10∫10f(x,y)dxdy=π2∫10∫101x+ydxdy=π2∫10[ln(1+y)−lny]dy=π2[yln(1+y)+ln(1+y)−ylny]|10=πln2
另一方面藉由交換積分次序則有∫10∫10f(x,y)dxdy=∫∞0∫10∫101(1+x2t2)(1+y2t2)dxdydt=∫∞0(∫10dx1+x2t2)(∫10dy1+y2t2)dt=∫∞0tan−1tt⋅tan−1ttdt=∫∞0(arctant)2t2dt
如此所求計算完畢。訣竅
先利用重積分列式,隨後使用極座標變換計算求解。解法
設 D={(x,y)∈R2: x2+y2≤25},那麼所求的體積為V=∬D[(8−x−y)−0]dA
使用極座標變換,令 {x=rcosθy=rsinθ,那麼 {0≤r≤50≤θ≤2π,如此所求的體積可改寫並計算如下V=∫2π0∫50(8−rcosθ−rsinθ)rdrdθ=∫2π0(4r2−r3(cosθ+sinθ)3)|50dθ=∫2π0(100−1253(cosθ+sinθ))dθ=[100θ−1253(sinθ−cosθ)]|2π0=200π
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