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2020年3月18日 星期三

國立臺灣大學一百零三學年度研究所碩士班入學考試試題:應用微積分

(答案請寫於答案卷上)
需列計算過程,否則不予計分
填充計算題(總計 10 題,每題 10 分)

  1. Is there a number m such that limx23x2+mx+m+3x2+x2 exists? If so, find the value of m and the value of the limit.
  2. 訣竅運用極限的四則運算定理求解。
    解法假若該極限存在,記其值為 L,那麼

    15m=limx2(3x2+mx+m+3)=limx2[3x2+mx+m+3x2+x2(x2+x2)]=L0=0

    m=15。此時我們可計算該極限值如下

    limx23x2+15x+18x2+x2=limx23(x+2)(x+3)(x+2)(x1)=limx23(x+3)x1=3(2+3)21=1

    故確實存在一數 m 使極限存在。該 m 值為 15,而其極限值為 1

  3. How many tangent lines to the curve y=x/(x+1) pass through the point (1,2)? At which points to these tangent lines tough the curve?
  4. 訣竅給定曲線上一點後寫出切線方程式並考慮通過給定點,隨後求出切線座標。
    解法設切點 P(a,f(a)),如此切線方程式為

    yf(a)=f(a)(xa)

    又此切線通過 (1,2),故有

    2aa+1=1(a+1)2(1a)

    兩邊同乘以 (a+1)2 可得 a2+4a+1=0,那麼解得 a=2±3。故有兩條切線方程式會通過 (1,2)

  5. Differentiate the function: g(x)=lnx1+ln(2x).
  6. 訣竅運用微分公式求解即可。
    解法使用微分公式求解可知

    g(x)=1x(1+ln(2x))+lnx12x2(1+ln(2x))2=1+ln2+2lnxx(1+ln(2x))2


  7. Find the local maximum and minimum values and saddle point(s), if any:
    f(x,y)=(x2+y2)ey2x2.
  8. 訣竅先求一階偏導的點,隨後由二階行列式判定極值性質。
    解法

    為了找出極值候選點,我們先解方程組

    {fx(x,y)=2xey2x22x(x2+y2)ey2x2=0fy(x,y)=2yey2x2+2y(x2+y2)ey2x2=0

    兩式皆除以 ey2x2 可得

    {2x2x(x2+y2)=02y+2y(x2+y2)=0

    對於第二式除以 x2+y2+1y=0,那麼由第一式有 2x2x3=0,因此 x=1,0,1

    現計算二階行列式如下

    D(x,y)=|fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)|=|(4x2y2+4x410x22y2+2)ey2x24xy(x2+y2)ey2x24xy(x2+y2)ey2x2(4y4+4x2y2+10y2+2x2+2)ey2x2|

    據此可知
    • 因為 D(±1,0)=16e2<0,故 (±1,0) 為鞍點。
    • 因為 D(0,0)=4>0fxx(0,0)fyy(0,0) 皆為正數,故 (0,0) 為極小點。【事實上 f(0,0)=0 且函數 f 非負,故 f(0,0) 達到絕對極小值。】


  9. An oil refinery is located on the north bank of a straight river that is 2 km wide. A pipeline is to be constructed from the refinery to storage tanks located on the south bank of the river 6 km east of the refinery. The cost of laying pipe is $400,000/km over land to a point P on the north bank and $800,000/km under the river to the tanks. To minimize the cost of the pipeline, where should P be located?
  10. 訣竅按照題意進行假設,並列出成本函數,隨後運用求導找出最小成本。
    解法P 距離煉油廠 x 公尺,那麼成本函數可設為

    C(x)=400000x+80000022+(6x)2

    其中 x[0,6]。求導有

    C(x)=4000008000006x4+(6x)2

    方程 C(x)=0 可得 4+(6x)2=122x,平方有 3x236x+104=0,故所求為 x=6±23。因為 x[0,6],故得 x=623。容易檢驗知

    C(0)=160000010,,C(623)=800000(3+3),C(6)=4000000

    因此在距離煉油廠 x=623 公里處有最小成本。

  11. Evaluate the following equation: 10log11xdx=    .
  12. 訣竅運用變數代換後使用分部積分法求解。本題亦可於 Mathematical Analysis (Apostol 著) 第十章習題第六題 a 小題見到。
    解法u=1x,那麼有
    • x=0 時有 u=1
    • x1 時有 u0+
    • 求導有 dx=du
    據此所求的積分可改寫並計算如下

    10log11xdx=01logudu=10logudu=(uloguu)|10=1


  13. Evaluate the following equation: 0sinxcosxxdx=    .
  14. 訣竅運用倍角公式與變數變換以及經典的瑕積分結果求解。本題亦可於 Mathematical Analysis (Apostol 著) 第十章習題第十題 a小題見到。
    解法首先由倍角公式可知

    0sinxcosxxdx=0sin2x2xdx

    u=2x,那麼 du=2dx,據此所求可改寫並計算如下

    0sinxcosxxdx=120sinuudu=12π2=π4


  15. Find the mass of the portion of the plane x+y+z=1 in the first octane if the area density at any point (x,y,z) on the surface is kx2 kilograms per square meter, where k is a constant.
  16. 訣竅將曲面參數化後積分求解。
    解法將在第一象限的曲面 x+y+z=1 參數化為

    r(u,v)=(u,v,1uv)

    其中變數範圍為 {0u10v1u。如此所求為

    m=101u0ku2|ru×rv|dvdu=k101u03dvdu=k310(1u)du=k32


  17. Evaluate the following equation: 0(arctanx2)x2dx=    .
  18. 訣竅運用分部積分法與有理函數的積分技巧處理。
    解法使用分部積分法直接計算可知

    0(arctanx2)x2dx=0tan1(x2)d1x=tan1x2x|0+01x11+x42xdx=02(1+x2)2(2x)2dx=0[22x+1(x+22)2+(22)2+22x+1(x22)2+(22)2]dx=0[22x+22x2+2x+1+121(x+22)2+(22)222x22x22x+1+121(x22)2+(22)2]dx=[24lnx2+2x+1x22x+1+22tan1(2x+1)+22tan1(2x1)]|0=(22π2+22π2)(22π422π4)=π22

    【註記】 筆者懷疑本題應當是出自 Mathematical Analysis (Apostol 著),第十章習題第二十六題,題目如下:

    0(arctanx)2x2dx

    這也能夠說明為何分子之處有括號。

    解法 首先考慮雙變數函數 f 如下:

    f(x,y)=0dt(1+x2t2)(1+y2t2)

    直接計算可以注意到

    f(x,y)=1x2y20(x21+x2t2y21+y2t2)dt=xtan1(xt)ytan1(yt)x2y2|0=π2(x+y)

    那麼計算重積分可以得到

    1010f(x,y)dxdy=π210101x+ydxdy=π210[ln(1+y)lny]dy=π2[yln(1+y)+ln(1+y)ylny]|10=πln2

    另一方面藉由交換積分次序則有

    1010f(x,y)dxdy=010101(1+x2t2)(1+y2t2)dxdydt=0(10dx1+x2t2)(10dy1+y2t2)dt=0tan1tttan1ttdt=0(arctant)2t2dt

    如此所求計算完畢。


  19. Find the volume of the solid bounded by the cylinder x2+y2=25, the plane x+y+z=8, and the xy plane.
  20. 訣竅先利用重積分列式,隨後使用極座標變換計算求解。
    解法D={(x,y)R2: x2+y225},那麼所求的體積為

    V=D[(8xy)0]dA

    使用極座標變換,令 {x=rcosθy=rsinθ,那麼 {0r50θ2π,如此所求的體積可改寫並計算如下

    V=2π050(8rcosθrsinθ)rdrdθ=2π0(4r2r3(cosθ+sinθ)3)|50dθ=2π0(1001253(cosθ+sinθ))dθ=[100θ1253(sinθcosθ)]|2π0=200π

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