國立臺灣大學九十四學年度轉學生入學考試試題詳解

※請在答案卷上標明題號依序作答
答題若無列出計算過程，則該題不予計分。每題 $10$ 分，共 $10$ 題。總分 $100$ 分。

1. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\ln\left(\sin x\right)}{\csc x}=$　　　　.
訣竅
運用 L'Hôpital 法則即可。
解法

使用 L'Hôpital 法則計算有

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\ln\left(\sin x\right)}{\csc x}=\lim_{x\to0^+}\frac{\cos x\csc x}{-\cos x\csc^2x}=-\lim_{x\to0^+}\sin x=0$.



2. 設某種襯衫的需求函數為 $2px-65p-4950=0$。此處 $x$（以百件計）是每件襯衫以 $p$ 元售出時的每週售出量。若本星期的售價是每件 $300$ 元，而售價是以每週 $2$ 元的速率在上揚。問這時需求量的變化率是多少？　　　　.
訣竅
運用相關變率的概念與連鎖律求解。
解法

當 $p=300$ 時有 $600x-24450=0$，故得 $x=40.75$ (百件)。那麼對時間求導可知

$\displaystyle2x\frac{dp}{dt}+2p\frac{dx}{dt}-65\frac{dp}{dt}=0$.

將 $p=300$、$x=40.75$ 以及 $\displaystyle\frac{dp}{dt}=2$ 代入有 $163+600\frac{dx}{dt}-130=0$，如此有 $\displaystyle\frac{dx}{dt}=-\frac{11}{200}$ (百件/週)。

註：原題敘述為

設某種襯衫的需求函數為 $2px+65p-4950=0$。此處 $x$（以百件計）是每件襯衫以 $p$ 元售出時的每週售出量。若本星期的售價是每件 $300$ 元，而售價是以每週 $2$ 元的速率在上揚。問這時需求量的變化率是多少？　　　　.

當 $p=300$ 時代入有 $600x+14550=0$，這蘊含 $x<0$，即需求為負，不合理。



3. 化簡 $\displaystyle\frac d{dx}\int_{1-x}^{1+x}\frac{1+t}t\,dt=$　　　　.
訣竅
運用微積分基本定理與連鎖律求解即可；亦可計算出積分後再進行微分求解。
解法一

使用微積分基本定理與連鎖律求導有

$\displaystyle\frac d{dx}\int_{1-x}^{1+x}\frac{1+t}t\,dt=\frac{1+\left(1+x\right)}{1+x}\cdot1-\frac{1+\left(1-x\right)}{1-x}\cdot\left(-1\right)=\frac{2+x}{1+x}+\frac{2-x}{1-x}=\frac{4-2x^2}{1-x^2}$.

解法二

先計算積分可知

$\displaystyle\int_{1-x}^{1+x}\frac{1+t}t\,dt=\left(t+\ln t\right)\Big|_{1-x}^{1+x}=2x+\ln\left(1+x\right)-\ln\left(1-x\right)$.

如此求導有

$\displaystyle\frac d{dx}\int_{1-x}^{1+x}\frac{1+t}t\,dt=2+\frac1{1+x}+\frac1{1-x}=\frac{4-2x^2}{1-x^2}$.



4. 若 $g\left(x\right)$ 是 $\displaystyle f\left(x\right)=\int_x^2t\,dt$ 的反函數，$x>0$，則 $g'\left(-6\right)=$　　　　.
訣竅
明確的表達出 $g$ 的表達式並求導計算；亦可運用反函數的定義搭配微積分基本定理求解。
解法一
可直接計算出 $\displaystyle f\left(x\right)=\left.\frac{t^2}2\right|_x^2=\frac{4-x^2}2$，由反函數的定義可知
$\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=\frac{4-\left[g\left(x\right)\right]^2}2=x$.
解出反函數 $g\left(x\right)=\sqrt{4-2x}$。如此求導可得 $g'\left(x\right)=-\left(4-2x\right)^{-1/2}$，從而 $\displaystyle g'\left(-6\right)=-\cdot16^{-1/2}=-\frac14$。
解法二

由於 $\displaystyle f(4)=\int_4^2t\,dt=\left.\frac{t^2}2\right|_4^2=-6$，因此 $g(-6)=4$。再者，根據反函數的定義有 $g(f(x))=x$。求導可知 $g'(f(x))f'(x)=1$。取 $x=4$ 並移項後有

$\displaystyle g'(-6)=\frac1{f'(4)}=\frac1{-x\Big|_{x=4}}=-\frac14$.



5. $\displaystyle\int_{\frac32\ln2}^{2\ln2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{16-e^{2x}}}\,dx=$　　　　.
訣竅
運用變數變換求解。
解法

令 $u=e^x$，那麼

• 當 $x=2\ln2$ 時有 $u=4$；
• 當 $\displaystyle x=\frac32\ln2$ 時有 $u=2\sqrt2$；
• 求導有 $du=e^x\,dx$。

據此所求的定積分可改寫如下

$\displaystyle\int_{\frac32\ln2}^{2\ln2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{16-e^{2x}}}\,dx=\int_{2\sqrt2}^4\frac{u^2}{\sqrt{16-u^2}}\,du$.

令 $u=4\sin\theta$，那麼

• 當 $u=4$ 時有 $\theta=\pi/2$；
• 當 $u=2\sqrt2$ 時有 $\theta=\pi/4$；
• 求導便有 $du=4\cos\theta\,d\theta$。

據此所求的定積分便可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_{\frac32\ln2}^{2\ln2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{16-e^{2x}}}\,dx&=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{16\sin^2\theta}{\sqrt{16-16\sin^2\theta}}\cdot4\cos\theta\,d\theta=16\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta\\&=8\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(1-\cos2\theta\right)\,d\theta=\left(8\theta-4\sin2\theta\right)\Big|_{\pi/4}^{\pi/2}=2\pi+4.\end{aligned}$



6. 曲線 $y=\ln x$, $y=1-x$ 和 $y=1$ 所圍區域的面積等於 　　　　.
訣竅
藉由選取適當的積分變數並考察其變數的範圍後列出面積的積分式並計算之。
解法

注意到曲線 $y=\ln x$ 與直線 $y=1-x$ 的交點為 $\left(1,0\right)$。那麼所圍成的區域可表達為 $1-y\leq x\leq e^y$、$0\leq y\leq1$，如此所求的面積可表達並計算如下

$\displaystyle A=\int_0^1\left(e^y-1+y\right)dy=\left.\left(e^y-y+\frac{y^2}2\right)\right|_0^1=e-\frac32$.



7. $f\left(x,y\right)=3x^2+y^2-3xy+6x-4y$ 的極小值是 　　　　.
訣竅
運用偏導函數找出極值候選點，並透過二階判別法找出極小點與極小值。
解法
為了找出極值候選點，我們應解下列的方程組
$\left\{\begin{aligned}&f_x\left(x,y\right)=6x-3y+6=0,\\&f_y\left(x,y\right)=-3x+2y-4=0.\end{aligned}\right.$
如此可解得 $\left(x,y\right)=\left(0,2\right)$。進一步，我們計算二階判別式為
$D\left(x,y\right)=\begin{vmatrix}f_{xx}\left(x,y\right)&f_{xy}\left(x,y\right)\\f_{yx}\left(x,y\right)&f_{yy}\left(x,y\right)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&-3\\-3&2\end{vmatrix}=3$.
由於 $D\left(0,2\right)=3>0$ 且 $f_{xx}\left(0,2\right)=6>0$，故 $\left(0,2\right)$ 為極小點，從而極小值為 $f\left(0,2\right)=-4$。


8. $\displaystyle f\left(x,y\right)=\sin^{-1}\frac{x}y$ 在點 $\left(3,5\right)$ 朝向點 $\left(4,4\right)$ 的方向導數為 　　　　.
訣竅
運用梯度來計算方向導數即可。
解法

在 $\left(3,5\right)$ 朝向點 $\left(4,4\right)$ 的單位方向為 $\displaystyle\vec{u}=\left(\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2\right)$。再者，當 $x,y$ 為正數時，給定函數的梯度為

$\displaystyle\nabla f\left(x,y\right)=\left(f_x\left(x,y\right),f_y\left(x,y\right)\right)=\left(\frac1{\sqrt{y^2-x^2}},-\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}}\right)$.

如此所求的方向導數為

$\displaystyle D_{\vec{u}}f\left(3,5\right)=\nabla f\left(3,5\right)\cdot\vec{u}=\left(\frac14,-\frac3{20}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2\right)=\frac{\sqrt2}5$.



9. $\displaystyle f\left(x,y\right)=\sin\frac{y}x+\cos\frac{x}y$，則 $\displaystyle\frac1y\frac{\partial f}{\partial x}+\frac1x\frac{\partial f}{\partial y}=$　　　　. $\displaystyle x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=$　　　　.
訣竅
直接使用多變數連鎖律計算求解即可。
解法

直接計算偏導函數可知

$\begin{aligned}&\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}\cos\frac yx-\frac1y\sin\frac xy,\\&\frac{\partial f}{\partial y}=\frac1x\cos\frac yx+\frac x{y^2}\sin\frac xy.\end{aligned}$

如此便有

$\displaystyle\frac1y\frac{\partial f}{\partial x}+\frac1x\frac{\partial f}{\partial y}=\left(-\frac1{x^2}\cos\frac{y}x-\frac1{y^2}\sin\frac xy\right)+\left(\frac1{x^2}\cos\frac{y}x+\frac1{y^2}\sin\frac{x}y\right)=0$.

進一步地，我們也有

$\displaystyle x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=xy\left(\frac1y\frac{\partial f}{\partial x}+\frac1x\frac{\partial f}{\partial y}\right)=0$.



10. 在 $r=1+\cos\theta$ 之內，$r=2\cos\theta$ 之外的部分的面積為 　　　　.
訣竅
先確立極座標曲線的交會點，隨後由極座標下的面積公式求解。
解法

由代入消去法有 $1+\cos\theta=2\cos\theta$，如此得 $\cos\theta=1$，從而 $\theta=0$。另一方面也可以注意到兩曲線皆通過極點。由此可發現曲線 $r=2\cos\theta$ 完全落於曲線 $r=1+\cos\theta$ 所包圍的區域中。如此所求的面積為

$\displaystyle\begin{aligned}A&=\frac12\int_0^{2\pi}\left(1+\cos\theta\right)^2d\theta-\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(2\cos\theta\right)^2d\theta\\&=\frac12\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)d\theta-\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\cos2\theta\right)d\theta\\&=-\pi+\frac14\int_0^{2\pi}\left(3+4\cos\theta+\cos2\theta\right)d\theta\\&=-\pi+\left.\frac14\left(3\theta+4\sin\theta+\frac{\sin2\theta}2\right)\right|_0^{2\pi}=\frac\pi2.\end{aligned}$