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2017年4月27日 星期四

國立臺灣大學八十八學年度轉學生入學考試試題詳解

  1. 填充題:每格 8 分,共 64 分。請依空格號碼將答案寫在答案紙上。
    1. f(x)=cos((x2+x)2),則f(x)= (A) 
    2. 訣竅根據基本函數的微分與連鎖律可求得答案。
      解法根據訣竅所述,易得f(x)=sin((x2+x)2)2(x2+x)(2x+1),經整理可寫為

      f(x)=2x(x+1)(2x+1)sin((x2+x)2).


    3. x3+y3=6xy 之圖形上一點 (3,3) 作此圖形之切線,則此切線之斜率為 (B) 
    4. 訣竅利用隱函數微分求出 dydx 後代入題目指定的座標以得斜率,最後用點斜式表達切線。
      解法運用隱函數微分可得x2+3y2dydx=6y+6xdydx.(x,y)=(3,3) 代入可得 dydx|(3,3)=1。因此由點斜式知切線方程為 x+y=6

    5. 定積分 ln20ex+exdx 之值為 (C) 
    6. 訣竅注意到被積分函數若寫為 exeex 較容易觀察出原函數為 eex
      解法根據訣竅所述,定積分可直接計算為 eex|ln20=e2e

      如若無法看出其原函數,我們可以考慮變數代換 u=ex,遂有 x=lnu,於是上下界化為 u=1u=2,且有 dx=duu,從而原積分等同於 21ueu1udu=eu|21=e2e


    7. 極限 limn(1n+1n+1++13n1) 之值為 (D) 
    8. 訣竅將此無窮和視為 Riemann sum,從而化為定積分計算即可。
      解法原極限可改寫如下limn1n(1+11+1n++131n).若考慮積分區間為 [0,2] 且將此區間分割為 2n 等分,如此每一段長皆為 1n。現設定 f(x)=11+x,如此題目之極限為 f[0,2] 上的 Riemann sum。因此所求為2011+xdx=ln(1+x)|20=ln3.

    9. D 為單位圓盤 x2+y21 在第一象限之區域,則 D11+x2+y2dA 等於 (E) 
    10. 訣竅根據積分區域與被積分函數的特色,我們可以考慮極坐標變換。
      解法x=rcosθy=rcosθ,此時 0r10θπ/2。如此原重積分改寫並計算如下D11+x2+y2dA=π/2010r1+r2drdθ=π212ln(1+r2)|10=πln24.

    11. 冪級數 n=1(x2)nnn 之收斂區間為 (F) 
    12. 訣竅利用根式審歛法(Root Test)或比值審歛法(Ratio Test)來判定收斂半徑,接著判定其端點代入後是否會收斂。
      解法一運用根式審歛法,我們應有 limnn(x2)nnn=0<1,因此收斂半徑為 ,從而收斂區間為 (,)
      解法二運用比值審歛法,我們應有 limn|(x2)n+1(n+1)n+1nn(x2)n|=0<1,因此收斂半徑為 ,從而收斂區間為 (,)

    13. limx0(1x1tanx) 等於 (G) 
    14. 訣竅通分後可運用 L'Hôpital 法則或 Taylor 展開式計算之。
      解法一首先改寫為 limx0tanxxxtanx。使用 L'Hôpital 法則有limx0(1x1tanx)=limx0sec2x1tanx+xsec2x=limx02sec2xtanx2sec2x+2xsec2xtanx=0.
      解法二

      首先改寫為 limx0tanxxxtanx。根據 tanx 的 Taylor 展開式可知limx0(1x1tanx)=limx0x+x33+xx(x+x33+)=0.


    15. x=0x=2πx 軸及曲線 y=2+sinx 所圍區域繞 y 軸旋轉之旋轉體體積為 (H) 
    16. 訣竅旋轉體體積可以應用定義或 Pappus 定理計算之。
      解法一根據旋轉體體積公式可知V=2π02πxf(x)dx=2π2π0(2x+xsinx)dx=2π(x2xcosx+sinx)|2π0=8π34π2.
      解法二利用 Pappus 定理,可知旋轉體體積為此區域面積 4π 乘上中心繞 y 軸的路徑長。因此我們需要求出中心的 x 座標,即ˉx=2π0xf(x)dx2π0f(x)dx=x2xcosx+sinx|2π04π=π12.因此旋轉體體積為V=4π2π(π12)=8π34π2.

  2. 計算題:每題 12 分,共 36 分。若無計算過程,不予計分。
    1. 某工廠之總收入函數(Revenue Function)為 R(x)=132x0t1+tdt,支出函數(Cost Function)為 C(x)=(x2+960)1+x+1000。(x 為產量。)今欲使利潤為最大,則產量應訂為多少?
    2. 訣竅利潤為總收入與總支出之差額。為求其極大值,應考慮其變化率為零而凹口向下之處。
      解法f(x)=R(x)C(x) 為利潤函數。為求其極大值,我們尋求使 f(x)=0x。過程如下(注意要使用微積分基本定理,而不要直接積分出 R(x) 後才微分之。):132x1+x2x1+xx2+96021+x=0.兩邊同乘以 1+x 可得52x2+130x480=0.如此解得 x=4x=48

      計算二階微分為 f
      因此代入 x=4x=48 可得 f''\left(4\right)=22\sqrt5>0f''\left(48\right)=-110/7<0,因此在產量 x=48 時可使利潤極大。


    3. 試證 2x/\pi <\sin x<x,當 0<x<\pi/2
    4. 訣竅考慮兩兩相差的函數,並考察這些函數在題目所給定的區間中的增減性。另一方面則考慮函數的凹向性即可。
      解法我們首先考慮函數 f\left(x\right)=\sin x -x,接著在 \left(0,\pi/2\right) 上計算微分可得f'\left(x\right)=\cos x-1<0.因此 f\left(0,\pi/2\right) 上遞減。因此 f\left(x\right)<f\left(0\right),如此證得 \sin x< x

      另一方面,我們知道在 \left(0,\pi/2\right) 時有 \left(\sin x\right)''=-\sin x<0,因此在 y=\sin x 圖形上且在此區間所連的線段皆會在圖形下方。現在我們選取 \left(0,0\right)\left(\pi/2,1\right),如此形成的直線為 y=2x/\pi。如此證得 2x/\pi<\sin x


    5. \displaystyle10-\frac1{150}\displaystyle10-\frac1{100}\displaystyle10-\frac1{200} 之三數中,那一個數與 \sqrt[3]{998} 最接近?試詳述理由。
    6. 訣竅運用一階微導求近似值。
      解法考慮函數 f\left(x\right)=\sqrt[3]x,根據 Taylor 展開式取近似值的方法,可列出f\left(x\right)\approx f\left(a\right)+f'\left(a\right)\left(x-a\right)+\cdots.我們取 x=998a=1000,如此可得\sqrt[3]{998}\approx10+\frac1{300}\cdot\left(-2\right)=10-\frac1{150}.

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