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2017年4月27日 星期四

國立臺灣大學八十八學年度轉學生入學考試試題詳解

  1. 填充題:每格 8 分,共 64 分。請依空格號碼將答案寫在答案紙上。
    1. f(x)=cos((x2+x)2),則f(x)= (A) 
    2. 訣竅根據基本函數的微分與連鎖律可求得答案。
      解法根據訣竅所述,易得f(x)=sin((x2+x)2)2(x2+x)(2x+1),經整理可寫為

      f(x)=2x(x+1)(2x+1)sin((x2+x)2).


    3. x3+y3=6xy 之圖形上一點 (3,3) 作此圖形之切線,則此切線之斜率為 (B) 
    4. 訣竅利用隱函數微分求出 dydx 後代入題目指定的座標以得斜率,最後用點斜式表達切線。
      解法運用隱函數微分可得x2+3y2dydx=6y+6xdydx.(x,y)=(3,3) 代入可得 dydx|(3,3)=1。因此由點斜式知切線方程為 x+y=6

    5. 定積分 ln20ex+exdx 之值為 (C) 
    6. 訣竅注意到被積分函數若寫為 exeex 較容易觀察出原函數為 eex
      解法根據訣竅所述,定積分可直接計算為 eex|ln20=e2e

      如若無法看出其原函數,我們可以考慮變數代換 u=ex,遂有 x=lnu,於是上下界化為 u=1u=2,且有 dx=duu,從而原積分等同於 21ueu1udu=eu|21=e2e


    7. 極限 limn(1n+1n+1++13n1) 之值為 (D) 
    8. 訣竅將此無窮和視為 Riemann sum,從而化為定積分計算即可。
      解法原極限可改寫如下limn1n(1+11+1n++131n).若考慮積分區間為 [0,2] 且將此區間分割為 2n 等分,如此每一段長皆為 1n。現設定 f(x)=11+x,如此題目之極限為 f[0,2] 上的 Riemann sum。因此所求為2011+xdx=ln(1+x)|20=ln3.

    9. D 為單位圓盤 x2+y21 在第一象限之區域,則 等於 (E) 
    10. 訣竅根據積分區域與被積分函數的特色,我們可以考慮極坐標變換。
      解法x=r\cos\thetay=r\cos\theta,此時 0\leq r\leq10\leq\theta\leq\pi/2。如此原重積分改寫並計算如下\iint_D\frac1{1+x^2+y^2}\,dA=\int_0^{\pi/2}\int_0^1\frac r{1+r^2}\,dr\,d\theta=\left.\frac\pi2\cdot\frac12\ln\left(1+r^2\right)\right|_0^1=\frac{\pi\ln2}4.

    11. 冪級數 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(x-2\right)^n}{n^n} 之收斂區間為 (F) 
    12. 訣竅利用根式審歛法(Root Test)或比值審歛法(Ratio Test)來判定收斂半徑,接著判定其端點代入後是否會收斂。
      解法一運用根式審歛法,我們應有 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\left(x-2\right)^n}{n^n}}=0<1,因此收斂半徑為 \infty,從而收斂區間為 \left(-\infty,\infty\right)
      解法二運用比值審歛法,我們應有 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(x-2\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{\left(x-2\right)^n}\right|=0<1,因此收斂半徑為 \infty,從而收斂區間為 \left(-\infty,\infty\right)

    13. \displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\tan x}\right) 等於 (G) 
    14. 訣竅通分後可運用 L'Hôpital 法則或 Taylor 展開式計算之。
      解法一首先改寫為 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x\tan x}。使用 L'Hôpital 法則有\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\tan x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-1}{\tan x+x\sec^2x}=\lim_{x\to0}\frac{2\sec^2x\tan x}{2\sec^2x+2x\sec^2x\tan x}=0.
      解法二

      首先改寫為 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x\tan x}。根據 \tan x 的 Taylor 展開式可知\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\tan x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{x+\frac{x^3}3+\cdots-x}{x\left(x+\frac{x^3}3+\cdots\right)}=0.


    15. x=0x=2\pix 軸及曲線 y=2+\sin x 所圍區域繞 y 軸旋轉之旋轉體體積為 (H) 
    16. 訣竅旋轉體體積可以應用定義或 Pappus 定理計算之。
      解法一根據旋轉體體積公式可知\begin{aligned}V&=\int_0^{2\pi}2\pi xf\left(x\right)dx\\&=2\pi\int_0^{2\pi}\left(2x+x\sin x\right)dx\\&=2\pi\left(x^2-x\cos x+\sin x\right)\Big|_0^{2\pi}\\&=8\pi^3-4\pi^2.\end{aligned}
      解法二利用 Pappus 定理,可知旋轉體體積為此區域面積 4\pi 乘上中心繞 y 軸的路徑長。因此我們需要求出中心的 x 座標,即\bar x=\frac{\int_0^{2\pi}xf\left(x\right)\,dx}{\int_0^{2\pi}f\left(x\right)\,dx}=\frac{x^2-x\cos x+\sin x\Big|_0^{2\pi}}{4\pi}=\pi-\frac12.因此旋轉體體積為V=4\pi\cdot2\pi\left(\pi-\frac12\right)=8\pi^3-4\pi^2.

  2. 計算題:每題 12 分,共 36 分。若無計算過程,不予計分。
    1. 某工廠之總收入函數(Revenue Function)為 \displaystyle R\left(x\right)=132\int_0^x\frac t{\sqrt{1+t}}\,dt,支出函數(Cost Function)為 C\left(x\right)=\left(x^2+960\right)\sqrt{1+x}+1000。(x 為產量。)今欲使利潤為最大,則產量應訂為多少?
    2. 訣竅利潤為總收入與總支出之差額。為求其極大值,應考慮其變化率為零而凹口向下之處。
      解法f\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right) 為利潤函數。為求其極大值,我們尋求使 f'\left(x\right)=0x。過程如下(注意要使用微積分基本定理,而不要直接積分出 R\left(x\right) 後才微分之。):132\frac x{\sqrt{1+x}}-2x\sqrt{1+x}-\frac{x^2+960}{2\sqrt{1+x}}=0.兩邊同乘以 \sqrt{1+x} 可得-\frac52x^2+130x-480=0.如此解得 x=4x=48

      計算二階微分為 \displaystyle f''\left(x\right)=\frac{-5x+130}{\sqrt{1+x}}-\frac12\left(-\frac52x^2+130x-480\right)\left(1+x\right)^{-3/2}
      因此代入 x=4x=48 可得 f''\left(4\right)=22\sqrt5>0f''\left(48\right)=-110/7<0,因此在產量 x=48 時可使利潤極大。


    3. 試證 2x/\pi <\sin x<x,當 0<x<\pi/2
    4. 訣竅考慮兩兩相差的函數,並考察這些函數在題目所給定的區間中的增減性。另一方面則考慮函數的凹向性即可。
      解法我們首先考慮函數 f\left(x\right)=\sin x -x,接著在 \left(0,\pi/2\right) 上計算微分可得f'\left(x\right)=\cos x-1<0.因此 f\left(0,\pi/2\right) 上遞減。因此 f\left(x\right)<f\left(0\right),如此證得 \sin x< x

      另一方面,我們知道在 \left(0,\pi/2\right) 時有 \left(\sin x\right)''=-\sin x<0,因此在 y=\sin x 圖形上且在此區間所連的線段皆會在圖形下方。現在我們選取 \left(0,0\right)\left(\pi/2,1\right),如此形成的直線為 y=2x/\pi。如此證得 2x/\pi<\sin x


    5. \displaystyle10-\frac1{150}\displaystyle10-\frac1{100}\displaystyle10-\frac1{200} 之三數中,那一個數與 \sqrt[3]{998} 最接近?試詳述理由。
    6. 訣竅運用一階微導求近似值。
      解法考慮函數 f\left(x\right)=\sqrt[3]x,根據 Taylor 展開式取近似值的方法,可列出f\left(x\right)\approx f\left(a\right)+f'\left(a\right)\left(x-a\right)+\cdots.我們取 x=998a=1000,如此可得\sqrt[3]{998}\approx10+\frac1{300}\cdot\left(-2\right)=10-\frac1{150}.

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