國立臺灣大學八十八學年度轉學生入學考試試題詳解

1. 填充題：每格 $8$ 分，共 $64$ 分。請依空格號碼將答案寫在答案紙上。
1. 設 $f\left(x\right)=\cos\left(\left(x^2+x\right)^2\right)$，則$f'\left(x\right)=$　(A)　。
訣竅
根據基本函數的微分與連鎖律可求得答案。
解法

根據訣竅所述，易得$f'\left(x\right)=-\sin\left(\left(x^2+x\right)^2\right)\cdot2\left(x^2+x\right)\cdot\left(2x+1\right)$，經整理可寫為

$f'\left(x\right)=-2x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\sin\left(\left(x^2+x\right)^2\right)$.



2. 在 $x^3+y^3=6xy$ 之圖形上一點 $\left(3,3\right)$ 作此圖形之切線，則此切線之斜率為　(B)　。
訣竅
利用隱函數微分求出 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 後代入題目指定的座標以得斜率，最後用點斜式表達切線。
解法
運用隱函數微分可得\[x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=6y+6x\frac{dy}{dx}.\]取 $\left(x,y\right)=\left(3,3\right)$ 代入可得 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(3,3\right)}=-1$。因此由點斜式知切線方程為 $x+y=6$。


3. 定積分 $\displaystyle\int_0^{\ln2}e^{x+e^x}\,dx$ 之值為　(C)　。
訣竅
注意到被積分函數若寫為 $e^xe^{e^x}$ 較容易觀察出原函數為 $e^{e^x}$。
解法

根據訣竅所述，定積分可直接計算為 $\displaystyle\left.e^{e^x}\right|_0^{\ln2}=e^2-e$。

如若無法看出其原函數，我們可以考慮變數代換 $u=e^x$，遂有 $x=\ln u$，於是上下界化為 $u=1$ 至 $u=2$，且有 $\displaystyle dx=\frac{du}u$，從而原積分等同於 $\displaystyle\int_1^2ue^u\cdot\frac1u\,du=e^u\Big|_1^2=e^2-e$。



4. 極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n-1}\right)$ 之值為　(D)　。
訣竅
將此無窮和視為 Riemann sum，從而化為定積分計算即可。
解法
原極限可改寫如下\[\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(1+\frac1{1+\frac1n}+\cdots+\frac1{3-\frac1n}\right).\]若考慮積分區間為 $\left[0,2\right]$ 且將此區間分割為 $2n$ 等分，如此每一段長皆為 $\displaystyle\frac1n$。現設定 $\displaystyle f\left(x\right)=\frac1{1+x}$，如此題目之極限為 $f$ 在 $\left[0,2\right]$ 上的 Riemann sum。因此所求為\[\int_0^2\frac1{1+x}\,dx= \ln\left(1+x\right)\Big|_0^2=\ln3.\]


5. 設 $D$ 為單位圓盤 $x^2+y^2\leq1$ 在第一象限之區域，則 $\displaystyle\iint_D\frac1{1+x^2+y^2}\,dA$ 等於　(E)　。
訣竅
根據積分區域與被積分函數的特色，我們可以考慮極坐標變換。
解法
令 $x=r\cos\theta$、$y=r\cos\theta$，此時 $0\leq r\leq1$、$0\leq\theta\leq\pi/2$。如此原重積分改寫並計算如下\[\iint_D\frac1{1+x^2+y^2}\,dA=\int_0^{\pi/2}\int_0^1\frac r{1+r^2}\,dr\,d\theta=\left.\frac\pi2\cdot\frac12\ln\left(1+r^2\right)\right|_0^1=\frac{\pi\ln2}4.\]


6. 冪級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(x-2\right)^n}{n^n}$ 之收斂區間為　(F)　。
訣竅
利用根式審歛法(Root Test)或比值審歛法(Ratio Test)來判定收斂半徑，接著判定其端點代入後是否會收斂。
解法一
運用根式審歛法，我們應有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\left(x-2\right)^n}{n^n}}=0<1$，因此收斂半徑為 $\infty$，從而收斂區間為 $\left(-\infty,\infty\right)$。
解法二
運用比值審歛法，我們應有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(x-2\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{\left(x-2\right)^n}\right|=0<1$，因此收斂半徑為 $\infty$，從而收斂區間為 $\left(-\infty,\infty\right)$。


7. $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\tan x}\right)$ 等於　(G)　。
訣竅
通分後可運用 L'Hôpital 法則或 Taylor 展開式計算之。
解法一
首先改寫為 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x\tan x}$。使用 L'Hôpital 法則有\[\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\tan x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-1}{\tan x+x\sec^2x}=\lim_{x\to0}\frac{2\sec^2x\tan x}{2\sec^2x+2x\sec^2x\tan x}=0.\]
解法二

首先改寫為 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x\tan x}$。根據 $\tan x$ 的 Taylor 展開式可知\[\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\tan x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{x+\frac{x^3}3+\cdots-x}{x\left(x+\frac{x^3}3+\cdots\right)}=0.\]



8. 由 $x=0$、$x=2\pi$、$x$ 軸及曲線 $y=2+\sin x$ 所圍區域繞 $y$ 軸旋轉之旋轉體體積為　(H)　。
訣竅
旋轉體體積可以應用定義或 Pappus 定理計算之。
解法一
根據旋轉體體積公式可知\[\begin{aligned}V&=\int_0^{2\pi}2\pi xf\left(x\right)dx\\&=2\pi\int_0^{2\pi}\left(2x+x\sin x\right)dx\\&=2\pi\left(x^2-x\cos x+\sin x\right)\Big|_0^{2\pi}\\&=8\pi^3-4\pi^2.\end{aligned}\]
解法二
利用 Pappus 定理，可知旋轉體體積為此區域面積 $4\pi$ 乘上中心繞 $y$ 軸的路徑長。因此我們需要求出中心的 $x$ 座標，即\[\bar x=\frac{\int_0^{2\pi}xf\left(x\right)\,dx}{\int_0^{2\pi}f\left(x\right)\,dx}=\frac{x^2-x\cos x+\sin x\Big|_0^{2\pi}}{4\pi}=\pi-\frac12.\]因此旋轉體體積為\[V=4\pi\cdot2\pi\left(\pi-\frac12\right)=8\pi^3-4\pi^2.\]


2. 計算題：每題 $12$ 分，共 $36$ 分。若無計算過程，不予計分。
1. 某工廠之總收入函數(Revenue Function)為 $\displaystyle R\left(x\right)=132\int_0^x\frac t{\sqrt{1+t}}\,dt$，支出函數(Cost Function)為 $C\left(x\right)=\left(x^2+960\right)\sqrt{1+x}+1000$。($x$ 為產量。)今欲使利潤為最大，則產量應訂為多少？
訣竅
利潤為總收入與總支出之差額。為求其極大值，應考慮其變化率為零而凹口向下之處。
解法

令 $f\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$ 為利潤函數。為求其極大值，我們尋求使 $f'\left(x\right)=0$ 的 $x$。過程如下（注意要使用微積分基本定理，而不要直接積分出 $R\left(x\right)$ 後才微分之。）：\[132\frac x{\sqrt{1+x}}-2x\sqrt{1+x}-\frac{x^2+960}{2\sqrt{1+x}}=0.\]兩邊同乘以 $\sqrt{1+x}$ 可得\[-\frac52x^2+130x-480=0.\]如此解得 $x=4$ 或 $x=48$。

計算二階微分為 $\displaystyle f''\left(x\right)=\frac{-5x+130}{\sqrt{1+x}}-\frac12\left(-\frac52x^2+130x-480\right)\left(1+x\right)^{-3/2}$，
因此代入 $x=4$ 與 $x=48$ 可得 $f''\left(4\right)=22\sqrt5>0$、$f''\left(48\right)=-110/7<0$，因此在產量 $x=48$ 時可使利潤極大。



2. 試證 $2x/\pi <\sin x<x$，當 $0<x<\pi/2$。
訣竅
考慮兩兩相差的函數，並考察這些函數在題目所給定的區間中的增減性。另一方面則考慮函數的凹向性即可。
解法

我們首先考慮函數 $f\left(x\right)=\sin x -x$，接著在 $\left(0,\pi/2\right)$ 上計算微分可得\[f'\left(x\right)=\cos x-1<0.\]因此 $f$ 在 $\left(0,\pi/2\right)$ 上遞減。因此 $f\left(x\right)<f\left(0\right)$，如此證得 $\sin x< x$。

另一方面，我們知道在 $\left(0,\pi/2\right)$ 時有 $\left(\sin x\right)''=-\sin x<0$，因此在 $y=\sin x$ 圖形上且在此區間所連的線段皆會在圖形下方。現在我們選取 $\left(0,0\right)$、$\left(\pi/2,1\right)$，如此形成的直線為 $y=2x/\pi$。如此證得 $2x/\pi<\sin x$。



3. 在 $\displaystyle10-\frac1{150}$、$\displaystyle10-\frac1{100}$、$\displaystyle10-\frac1{200}$ 之三數中，那一個數與 $\sqrt[3]{998}$ 最接近？試詳述理由。
訣竅
運用一階微導求近似值。
解法
考慮函數 $f\left(x\right)=\sqrt[3]x$，根據 Taylor 展開式取近似值的方法，可列出\[f\left(x\right)\approx f\left(a\right)+f'\left(a\right)\left(x-a\right)+\cdots.\]我們取 $x=998$、$a=1000$，如此可得\[\sqrt[3]{998}\approx10+\frac1{300}\cdot\left(-2\right)=10-\frac1{150}.\]