國立臺灣大學八十七學年度轉學生入學考試試題詳解

填充題　共有 $10$ 格，每格 $7$ 分。在答案卷上依空格號碼填寫答案。

1. 極限值 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=$　　　　。
訣竅
可以想到使用 L'Hôpital 法則或 Taylor 展開式來加以求解。
解法一
運用 L'Hôpital 法則，我們可以得到 $$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\sec^2x}{3x^2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x-2\sec^2x\tan x}{6x}\\&=\lim_{x\to0}\frac{-\cos x-4\sec^2x\tan^2x-2\sec^4x}6\\&=-\frac12.\end{aligned}$$
解法二
由於 $\sin x$、$\tan x$ 的 Taylor 展開式是已知的，直接代入後約去 $x^3$ 即可得到結果： $$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\frac{\left(x-\frac{x^3}6+\cdots\right)-\left(x+\frac13x^3+\cdots\right)}{x^3}\\&=-\frac12.\end{aligned}$$


2. 設 $\displaystyle f\left(x\right)=3+\int_1^{x^2}\sec\left(t-1\right)\,dt$，則 $f\left(x\right)$ 在 $x=-1$ 點的切線方程式為　　　　。
訣竅
利用微積分基本定理，並配合連鎖律計算出其斜率，最後使用點斜式即可。
解法一
運用微積分基本定理以及連鎖律可得 $$f'\left(x\right)=2x\sec\left(x^2-1\right).$$ 因此 $f'\left(-1\right)=-2$，再者可以容易知道而 $f\left(-1\right)=3$。故切線方程式為 $y-3=-2\left(x+1\right)$。
解法二
此積分是可計算的，因此直接計算可知結果如下 $$f\left(x\right)=3+\ln\left|\sec\left(x^2-1\right)+\tan\left(x^2-1\right)\right|.$$ 如此微分後仍得 $f'\left(x\right)=\sec\left(x^2-1\right)$，餘下步驟同解法一。


3. 設 $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{2x-4}$，則 $f$ 圖形的上凹(concave upward)區間為　　　　，其斜漸近線方程式為　　　　。
訣竅
根據上凹的定義，即二階偏導數為正的點。而斜漸近線則遵照其計算的規則即可。
解法

容易根據微分公式計算如下

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{2\left(x-2\right)^2},\qquad f''\left(x\right)=\frac1{\left(x-2\right)^3}$.

因此當 $x>2$ 時圖形上凹。

另一方面，我們可以計算 $$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}x=\frac12,\qquad\lim_{x\to\pm\infty}\left(f\left(x\right)-\frac x2\right)=1.$$ 因此斜漸近線方程式為 $\displaystyle y=\frac x2+1$。



4. 設 $f\left(x\right)=\sin\left(x^2\right)$，則 $f$ 在 $x=0$ 點的第 $6$ 階導數 $f^{\left(6\right)}\left(0\right)=$　　　　。
訣竅
利用 Taylor 展開式計算高階導數值。
解法
可以知道所求為 $6!a_6$，其中 $a_6$ 為 $f$ 的 Taylor 展開式中的六次方係數。由於 $\sin x$ 的展開式為 $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n}{\left(2n+1\right)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}\mp\cdots$，因此我們可得
$\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\frac{x^{4n+2}}{\left(2n+1\right)!}=x^2-\frac{x^6}6+\frac{x^{10}}{120}\mp\cdots$.
觀察係數可知答案為 $\displaystyle\left(-\frac16\right)\cdot6!=-120$。


5. 定積分 $\displaystyle\int_{-1}^0x\sqrt{x+1}\,dx=$　　　　。
訣竅
考慮代換 $u=\sqrt{x+1}$ 後即可。
解法
根據訣竅所述，令 $u=\sqrt{x+1}$，那麼 $x=u^2-1$，而且上界 $x=0$ 化為 $u=1$，下界 $x=-1$ 化為 $u=0$。從而原積分化為 $$\int_{-1}^0x\sqrt{x+1}\,dx=\int_0^1u\left(u^2-1\right)2u\,du=2\int_0^1\left(u^4-u^2\right)\,du=2\left(\left.\frac{u^5}5-\frac{u^3}3\right|_0^1\right)=-\frac4{15}.$$


6. 設曲線 $\displaystyle y=\int_0^x\sqrt{\cos 2t}\,dt$，$\displaystyle0\leq x\leq\frac\pi4$，則此段曲線的長度為　　　　。
訣竅
根據曲線弧長的公式計算之，其中應注意三角恆等式的運用。
解法
根據曲線弧長公式可列得 $$s=\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+\cos2x}\,dx=\sqrt2\int_0^{\pi/4}\cos x\,dx=1.$$


7. 方程式 $x^5-5x+1=0$ 共有實根　　　　個。
訣竅
根據代數基本定理確知實根至多 5 個，最後配合遞增遞減性判斷根的個數。此外本題同 85年度轉學考 的第 11 題。
解法
設 $f\left(x\right)=x^5-5x+1$，由於 $f'\left(x\right)=5\left(x^4-1\right)$。由此可知 $f$ 在 $\left(-1,1\right)$ 遞減，其餘遞增。其中 $f\left(-1\right)=1$、$f\left(1\right)=-3$，因此在 $\left(-\infty,-1\right)$、$\left(-1,1\right)$、$\left(1,\infty\right)$ 之間各有一實根，因此共有三個相異實根。最後根據其遞增與遞減的特性可以知道這些根都非重根，因此僅三實根。


8. 設一曲面其方程式為 $xy+yz+zx-x-z^2=0$，則此曲面上以 $xy$ 平面為其切平面的點，其坐標為　　　　。
訣竅
運用梯度找出曲面的法向量，接著注意到 $xy$ 平面的法向量中的前兩個分量皆為 $0$ 以及 $xy$ 平面即為 $z=0$。
解法
設 $F\left(x,y,z\right)=xy+yz+zx-x-z^2$，那麼題目給定的曲面為 $F\left(x,y,z\right)=0$，那麼這個曲面在 $(x,y,z)$ 處的法向量為
$\nabla F(x,y,z)=\left(y+z-1,x+z,y+x-2z\right)$.
由於以 $xy$ 平面為切平面，因此法向量平行於 $\left(0,0,1\right)$，故有 $z=0$、$y+z-1=0$、$x+z=0$，如此我們得到座標 $\left(x,y,z\right)=\left(0,1,0\right)$ 為切點。


9. 設 $\mathcal D=\left\{\left(x,y\right):0\leq x\leq\pi, 0\leq y\leq\sin x\right\}$，及 $f\left(x,y\right)=y$，則二重積分 $\displaystyle\iint_{\mathcal D}f\left(x,y\right)\,dA=$　　　　。
訣竅
選出適當的積分順序進行迭代積分，其中需要使用適當的三角恆等式。
解法
此雙重積分可表達為 $$\begin{aligned}\iint_{\mathcal D}f\left(x,y\right)\,dA&=\int_0^\pi\int_0^{\sin x}y\,dy\,dx\\&=\frac12\int_0^\pi\sin^2x\,dx\\&=\frac14\int_0^\pi\left(1-\cos2x\right)\,dx\\&=\left.\frac14\left(x-\frac{\sin2x}2\right)\right|_0^\pi\\&=\frac\pi4.\end{aligned}$$

計算題　每題 $15$ 分（沒有計算過程不予計分）。

10. 1. 試求 $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1-e^{-x}}x$ 在 $x=0$ 點的 Taylor 展開式。
    2. 利用 (a) 估計積分 $\displaystyle\int_0^1\frac{1-e^{-x}}x\,dx$ 的近似值，使其誤差小於 $10^{-3}$。
訣竅
根據 $e^x$ 的 Taylor 展開式代入後可解決第一小題；第二小題可根據交錯級數的特性知當某項絕對值小於給定的誤差時，此部分和與收斂值的誤差必小於該項的絕對值。
解法
由於 $e^x$ 的 Taylor 展開式為 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$，因此 $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1-\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\frac{x^n}{n!}}x=\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\frac{x^n}{\left(n+1\right)!}$，此即 a. 小題的答案。接著利用 a. 的結果，我們計算題目給定的定積分如下 $$\begin{aligned}\int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{x^n}{\left(n+1\right)!}\,dx&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\left(n+1\right)!\left(n+1\right)}\\&=1-\frac14+\frac1{18}-\frac1{96}+\frac1{600}-\frac1{4320}\pm\cdots.\end{aligned}$$ 由於 $n=6$ 的絕對值小於 $10^{-3}$，因此這個部分和即為題目所求的近似值 $0.7966$。


11. 設 $f\left(x,y\right)=2+2x+2y-x^2-y^2$，$\mathcal D$ 為 $x=0$，$y=0$ 及 $y=9-x$，三條直線所圍成的三角形區域。試求 $f$ 在 $\mathcal D$ 上的最大值與最小值。
訣竅
根據多變數函數求極值的方法，探求各個方向偏導數為零的點。除此之外也需要在各個邊界上研究其極大與極小值。
解法

首先我們考慮聯立式 $$\left\{\begin{aligned}&f_x\left(x,y\right)=2-2x=0,\\&f_y\left(x,y\right)=2-2y=0.\end{aligned}\right.$$ 可求出 $\left(x,y\right)=\left(1,1\right)$。

再者，我們可以在三條邊上研究 $f$ 的極值。首先是 $x=0$，此時函數化為 $f\left(0,y\right)=2+2y-y^2=-\left(y-1\right)^2+3$；接著是 $y=0$，類似地有 $f\left(x,0\right)=-\left(x-1\right)^2+3$；最後是 $\displaystyle f\left(x,9-x\right)=2\left(x-9/2\right)^2-41/2$。

綜上所述，我們計算 $f\left(1,1\right)=4$、$f\left(0,1\right)=3$、$f\left(1,0\right)=3$、$\displaystyle f\left(9/2,9/2\right)=-41/2$，以及三角形區域的角處 $f\left(0,0\right)=2$、$f\left(9,0\right)=-61$、$f\left(0,9\right)=-61$。因此最大值為 $4$，最小值為 $-61$。