國立臺灣大學八十六學年度轉學生入學考試試題詳解

1. 本大題共有 $6$ 小題，每小題 $10$ 分，共 $60$ 分。
   1. $f\left(x\right)=\sin\left(x^2\right)-\sin^2x$，求導函數 $f'\left(x\right)$。
   訣竅
   運用連鎖律與基本函數的微分直接計算即可。
   解法
   根據訣竅可算得 $f'\left(x\right)=2x\cos\left(x^2\right)-2\sin x\cos x$。
   
   
   2. $f\left(x\right)=e^{x^2}$，求第 $4$ 階導函數 $f^{\left(4\right)}\left(x\right)$。
   訣竅
   運用連鎖律與基本函數的微分直接計算即可，計算應小心。
   解法

   直接計算可得

   $\begin{aligned}&f'\left(x\right)=2xe^{x^2},\\&f''\left(x\right)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2},\\&f^{\left(3\right)}\left(x\right)=12xe^{x^2}+8x^3e^{x^2},\\&f^{\left(4\right)}\left(x\right)=12e^{x^2}+48x^2e^{x^2}+16x^4e^{x^2}.\end{aligned}$

   
   
   3. 求 $\displaystyle\int x\sec^2x\,dx$。
   訣竅
   運用分部積分即可。
   解法
   根據訣竅可知所求為$\displaystyle\int x\sec^2x\,dx =x\tan x-\int\tan x\,dx=x\tan x+\ln\left|\cos x\right|+C$。
   
   
   4. 求$\displaystyle\int_0^1x^2\sqrt{1-x}\,dx$。
   訣竅
   利用變數代換令 $u=\sqrt{1-x}$ 後計算之。
   解法
   由於 $u=\sqrt{1-x}$，因此 $x=1-u^2$、$dx=-2u\,du$。而上界 $x=1$ 給出 $u=0$，下界 $x=0$ 給出 $u=1$。從而原積分改寫並計算如下\[\begin{aligned}\int_0^1x^2\sqrt{1-x}\,dx &=\int_1^0u\left(1-u^2\right)^2\cdot-2udu\\&=2\int_0^1\left(u^2-2u^4+u^6\right)du\\&=2\left.\left(\frac{u^3}3-\frac{2u^5}5+\frac{u^7}7\right)\right|_0^1\\&=\frac{16}{105}.\end{aligned}\]
   
   
   5. 求 $\displaystyle\int_1^2\frac x{x^2-2x+2}\,dx$。
   訣竅
   注意分母可以配得完全平方之和，可以察覺此與反正切函數的聯繫。
   解法
   由於分母可改寫為 $\left(x-1\right)^2+1$，因此原積分可按如下的方式改寫並計算：\[\begin{aligned}\int_1^2\frac x{x^2-2x+2}\,dx&=\int_1^2\left(\frac{x-1}{\left(x-1\right)^2+1}+\frac1{\left(x-1\right)^2+1}\right)\,dx\\&=\left.\frac12\ln\left[\left(x-1\right)^2+1\right]+\arctan\left(x-1\right)\right|_1^2\\&=\frac12\ln\left(2\right)+\frac\pi4.\end{aligned}\]
   
   
   6. $u\left(x,y\right)=\ln\left(x^2+y^2\right)$，求 $\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}$ 之值。
   訣竅
   本題測驗偏微分之計算能力，直接計算即可。
   解法
   依序計算有 $\displaystyle u_x=\frac{2x}{x^2+y^2}$、$\displaystyle u_y=\frac{2y}{x^2+y^2}$。因此有\[u_{xx}=\frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2},\qquad u_{yy}=\frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}.\]因此所求為 $0$。
   
   
2. （$13$ 分）考慮長方形，其底在 $x$ 軸上，另二個上頂點在拋物線 $y=4-x^2$ 上。求此種長方形中面積最大者為多少？
訣竅
運用解析幾何的知識確定四點座標後考慮其面積的函數，利用微分求極值。
解法
因為下底落在 $x$ 軸上，從而上底平行於 $x$ 軸，因此上頂點之水平座標相同，如此我們可知四點應分別設為 $\left(a,0\right)$、$\left(-a,0\right)$、$\left(a,4-a^2\right)$ 及 $\left(-a,4-a^2\right)$，其中 $a>0$。這樣面積函數為 $f\left(a\right)=8a-2a^3$。令一次導函數為零有 $f'\left(a\right)=8-6a^2=0$，解得 $a=2/\sqrt3$（負不合）。透過二階導數有 $f''\left(2/\sqrt3\right)=-24/\sqrt3<0$，因此點可使函數值極大。此時最大的長方形面積為 $f\left(2/\sqrt3\right)=32\sqrt3/9$。


3. （$13$ 分）試繪 $\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2+4}x$ 之圖形。
訣竅
應考察其極大極小值、反曲點、凹凸性與漸近線方能作圖。
解法
首先改寫函數為 $f\left(x\right)=x+4x^{-1}$。容易算得 $f'\left(x\right)=1-4x^{-2}$，因此知極值可能發生在 $x=\pm2$，我們進一步運用二階導函數來檢驗 $\displaystyle f''\left(x\right)=8x^{-3}$，從而知在 $x=2$ 為局部極小，而在 $x=-2$ 為局部極大。再者，我們也可以透過二階導函數知道不存在反曲點。
另一方面，我們可以注意到 $x=0$ 為鉛直漸近線，但不存在水平漸近線。再者根據 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}x=1$，而 $\displaystyle\lim_{x\to\pm}\left(f\left(x\right)-x\right)=0$，因此斜漸近線為 $y=x$。
綜上所述可作圖如下



4. （$14$ 分）設 $\lambda$ 為一常數。$P_0=e^{-\lambda}$，$\displaystyle P_n=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$，$n=1,2,\cdots$
1. 求 $P_0+P_1+P_2+\cdots+P_n+\cdots$ 之值。
2. 求 $0\cdot P_0+1\cdot P_1+2\cdot P_2+3\cdot P_3+\cdots+n\cdot P_n+\cdots$ 之值。
訣竅
容易察覺第一小題乃 $e^x$ 的 Taylor 展開式，因而第二小題可利用第一小題的函數乘上 $x$ 後微分來求得。事實上此為機率論中的 Poisson 分布，因此第一題為機率總值，從而答案為 $1$，而第二題為期望值，從而答案為 $\lambda$。
解法
第一小題可表達為 $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty P_k=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty\frac{\lambda^n}{n!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1$。
第二小題可表達為 $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty kP_k=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{\left(k-1\right)!}$，讓我們注意到\[xe^{x}=x\left(e^x\right)'=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n!}.\]因此第二小題計算得 $e^{-\lambda}\lambda e^\lambda=\lambda$。