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2017年4月26日 星期三

國立臺灣大學八十六學年度轉學生入學考試試題詳解

  1. 本大題共有 6 小題,每小題 10 分,共 60 分。
    1. f(x)=sin(x2)sin2x,求導函數 f(x)
    2. 訣竅運用連鎖律與基本函數的微分直接計算即可。
      解法根據訣竅可算得 f(x)=2xcos(x2)2sinxcosx

    3. f(x)=ex2,求第 4 階導函數 f(4)(x)
    4. 訣竅運用連鎖律與基本函數的微分直接計算即可,計算應小心。
      解法直接計算可得

      f(x)=2xex2,f(x)=2ex2+4x2ex2,f(3)(x)=12xex2+8x3ex2,f(4)(x)=12ex2+48x2ex2+16x4ex2.


    5. xsec2xdx
    6. 訣竅運用分部積分即可。
      解法根據訣竅可知所求為xsec2xdx=xtanxtanxdx=xtanx+ln|cosx|+C

    7. 10x21xdx
    8. 訣竅利用變數代換令 u=1x 後計算之。
      解法由於 u=1x,因此 x=1u2dx=2udu。而上界 x=1 給出 u=0,下界 x=0 給出 u=1。從而原積分改寫並計算如下10x21xdx=01u(1u2)22udu=210(u22u4+u6)du=2(u332u55+u77)|10=16105.

    9. 21xx22x+2dx
    10. 訣竅注意分母可以配得完全平方之和,可以察覺此與反正切函數的聯繫。
      解法由於分母可改寫為 (x1)2+1,因此原積分可按如下的方式改寫並計算:21xx22x+2dx=21(x1(x1)2+1+1(x1)2+1)dx=12ln[(x1)2+1]+arctan(x1)|21=12ln(2)+π4.

    11. u(x,y)=ln(x2+y2),求 2ux2+2uy2 之值。
    12. 訣竅本題測驗偏微分之計算能力,直接計算即可。
      解法依序計算有 ux=2xx2+y2uy=2yx2+y2。因此有uxx=2x2+y24x2(x2+y2)2,uyy=2x2+y24y2(x2+y2)2.因此所求為 0

  2. 13 分)考慮長方形,其底在 x 軸上,另二個上頂點在拋物線 y=4x2 上。求此種長方形中面積最大者為多少?
  3. 訣竅運用解析幾何的知識確定四點座標後考慮其面積的函數,利用微分求極值。
    解法因為下底落在 x 軸上,從而上底平行於 x 軸,因此上頂點之水平座標相同,如此我們可知四點應分別設為 (a,0)(a,0)(a,4a2)(a,4a2),其中 a>0。這樣面積函數為 f(a)=8a2a3。令一次導函數為零有 f(a)=86a2=0,解得 a=2/3(負不合)。透過二階導數有 f(2/3)=24/3<0,因此點可使函數值極大。此時最大的長方形面積為 f(2/3)=323/9

  4. 13 分)試繪 f(x)=x2+4x 之圖形。
  5. 訣竅應考察其極大極小值、反曲點、凹凸性與漸近線方能作圖。
    解法首先改寫函數為 f(x)=x+4x1。容易算得 f(x)=14x2,因此知極值可能發生在 x=±2,我們進一步運用二階導函數來檢驗 f(x)=8x3,從而知在 x=2 為局部極小,而在 x=2 為局部極大。再者,我們也可以透過二階導函數知道不存在反曲點。

    另一方面,我們可以注意到 x=0 為鉛直漸近線,但不存在水平漸近線。再者根據 lim,而 \displaystyle\lim_{x\to\pm}\left(f\left(x\right)-x\right)=0,因此斜漸近線為 y=x

    綜上所述可作圖如下

  6. 14 分)設 \lambda 為一常數。P_0=e^{-\lambda}\displaystyle P_n=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}n=1,2,\cdots
    1. P_0+P_1+P_2+\cdots+P_n+\cdots 之值。
    2. 0\cdot P_0+1\cdot P_1+2\cdot P_2+3\cdot P_3+\cdots+n\cdot P_n+\cdots 之值。
    訣竅容易察覺第一小題乃 e^x 的 Taylor 展開式,因而第二小題可利用第一小題的函數乘上 x 後微分來求得。事實上此為機率論中的 Poisson 分布,因此第一題為機率總值,從而答案為 1,而第二題為期望值,從而答案為 \lambda
    解法第一小題可表達為 \displaystyle\sum_{k=0}^\infty P_k=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty\frac{\lambda^n}{n!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1
    第二小題可表達為 \displaystyle\sum_{k=0}^\infty kP_k=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{\left(k-1\right)!},讓我們注意到xe^{x}=x\left(e^x\right)'=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n!}.因此第二小題計算得 e^{-\lambda}\lambda e^\lambda=\lambda

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