- 本大題共有 6 小題,每小題 10 分,共 60 分。
- f(x)=sin(x2)−sin2x,求導函數 f′(x)。
- f(x)=ex2,求第 4 階導函數 f(4)(x)。
- 求 ∫xsec2xdx。
- 求∫10x2√1−xdx。
- 求 ∫21xx2−2x+2dx。
- u(x,y)=ln(x2+y2),求 ∂2u∂x2+∂2u∂y2 之值。
訣竅
運用連鎖律與基本函數的微分直接計算即可。解法
根據訣竅可算得 f′(x)=2xcos(x2)−2sinxcosx。訣竅
運用連鎖律與基本函數的微分直接計算即可,計算應小心。解法
直接計算可得f′(x)=2xex2,f″(x)=2ex2+4x2ex2,f(3)(x)=12xex2+8x3ex2,f(4)(x)=12ex2+48x2ex2+16x4ex2.
訣竅
運用分部積分即可。解法
根據訣竅可知所求為∫xsec2xdx=xtanx−∫tanxdx=xtanx+ln|cosx|+C。訣竅
利用變數代換令 u=√1−x 後計算之。解法
由於 u=√1−x,因此 x=1−u2、dx=−2udu。而上界 x=1 給出 u=0,下界 x=0 給出 u=1。從而原積分改寫並計算如下∫10x2√1−xdx=∫01u(1−u2)2⋅−2udu=2∫10(u2−2u4+u6)du=2(u33−2u55+u77)|10=16105.訣竅
注意分母可以配得完全平方之和,可以察覺此與反正切函數的聯繫。解法
由於分母可改寫為 (x−1)2+1,因此原積分可按如下的方式改寫並計算:∫21xx2−2x+2dx=∫21(x−1(x−1)2+1+1(x−1)2+1)dx=12ln[(x−1)2+1]+arctan(x−1)|21=12ln(2)+π4.訣竅
本題測驗偏微分之計算能力,直接計算即可。解法
依序計算有 ux=2xx2+y2、uy=2yx2+y2。因此有uxx=2x2+y2−4x2(x2+y2)2,uyy=2x2+y2−4y2(x2+y2)2.因此所求為 0。 - (13 分)考慮長方形,其底在 x 軸上,另二個上頂點在拋物線 y=4−x2 上。求此種長方形中面積最大者為多少?
- (13 分)試繪 f(x)=x2+4x 之圖形。
- (14 分)設 λ 為一常數。P0=e−λ,Pn=λnn!e−λ,n=1,2,⋯
- 求 P0+P1+P2+⋯+Pn+⋯ 之值。
- 求 0⋅P0+1⋅P1+2⋅P2+3⋅P3+⋯+n⋅Pn+⋯ 之值。
訣竅
運用解析幾何的知識確定四點座標後考慮其面積的函數,利用微分求極值。解法
因為下底落在 x 軸上,從而上底平行於 x 軸,因此上頂點之水平座標相同,如此我們可知四點應分別設為 (a,0)、(−a,0)、(a,4−a2) 及 (−a,4−a2),其中 a>0。這樣面積函數為 f(a)=8a−2a3。令一次導函數為零有 f′(a)=8−6a2=0,解得 a=2/√3(負不合)。透過二階導數有 f″(2/√3)=−24/√3<0,因此點可使函數值極大。此時最大的長方形面積為 f(2/√3)=32√3/9。訣竅
應考察其極大極小值、反曲點、凹凸性與漸近線方能作圖。解法
首先改寫函數為 f(x)=x+4x−1。容易算得 f′(x)=1−4x−2,因此知極值可能發生在 x=±2,我們進一步運用二階導函數來檢驗 f″(x)=8x−3,從而知在 x=2 為局部極小,而在 x=−2 為局部極大。再者,我們也可以透過二階導函數知道不存在反曲點。另一方面,我們可以注意到 x=0 為鉛直漸近線,但不存在水平漸近線。再者根據 limx→±∞f(x)x=1,而 limx→±(f(x)−x)=0,因此斜漸近線為 y=x。
綜上所述可作圖如下訣竅
容易察覺第一小題乃 ex 的 Taylor 展開式,因而第二小題可利用第一小題的函數乘上 x 後微分來求得。事實上此為機率論中的 Poisson 分布,因此第一題為機率總值,從而答案為 1,而第二題為期望值,從而答案為 λ。解法
第一小題可表達為 ∞∑k=0Pk=e−λ∞∑k=1λnn!=e−λeλ=1。第二小題可表達為 ∞∑k=0kPk=e−λ∞∑k=0λk(k−1)!,讓我們注意到xex=x(ex)′=∞∑n=0xn+1n!.因此第二小題計算得 e−λλeλ=λ。
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