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2017年4月22日 星期六

國立臺灣大學八十五學年度轉學生入學考試試題詳解

(一)填充題(每格 6 分)
  1. 極限值limnnnn!=    
  2. 解法注意分子與分母隨著 n 成長時的差異,容易看出答案為正無窮。

  3. a,bR,且 limx0(1+ax)x2+2x+b=0,則 a=    b=    
  4. 題目有誤應該思索為何分母等於零,但極限值仍存在的原因,如此可立即發現題目有誤。

  5. a>0,則 ddxlogxa=    
  6. 訣竅運用換底公式後再運用連鎖律等微分公式計算即可。
    解法計算如下ddxlogxa=ddxlnalnx=lnax(lnx)2.

  7. f(x)=x4(12x3)12,則 f(10)(0)=    
  8. 訣竅為了計算高階導數,我們可以使用 Taylor 展開式尋找高次方的係數來求得。
    解法因為題目想求 f(10)(0) 的值,此值等同於 10!a10,其中 a10f(x) 的 Taylor 展開式的 10 次方的係數。再者,我們可以容易看出我們僅需計算 (12x3)1/2 展開後的六次方係數。我們運用二項式定理如下(12x3)1/2=1x312x6+.因此 a10=1/2,故答案為 1814400

  9. f(x,y)=3x2y6x4y3+7(1,1) 點沿著 v=i+j 方向的方向導數是    
  10. 訣竅運用已知事實:函數在該點的梯度與單位方向的內積等於方向導數的值。
    解法根據訣竅計算如下f(1,1)(1,1)2=12(6xy6,3x212y2)|(1,1)(1,1)=212.

  11. 已知 0ex2dx=π2,則 0xex2dx=    0x2ex2dx=    
  12. 訣竅應注意第一小題可以直接計算瑕積分,而第二小題運用分部積分後利用題幹的已知事實即可。
    解法第一小題直接積分有

    0xex2dx=12ex2|0=0(12)=12.

    第二小題運用分部積分有

    0x2ex2dx=120xex2dx2=120xdex2=12xex2|0+120ex2dx=π4,

    其中使用 L'Hôpital 法則可知 limxxex2=0

  13. 101xsin(y3+12)dydx=    
  14. 訣竅此雙重積分無法直接積分,因此應交換順序後再予以積分。
    解法依據訣竅更動積分順序後計算如下101xsin(y3+12)dydx=10y20sin(y3+12)dxdy=10y2sin(y3+12)dy=23cos(y3+12)|10=23(cos(12)cos(1)).

  15. 冪級數 n=1(1)n1(2x1)nn3n 的收斂區間為    
  16. 訣竅運用比值審歛法確定收斂半徑,接著再檢查端點的收斂性。
    解法由於 limn|(2x1)n+1(n+1)3n+1n3n(2x1)n|<1,因此知 |2x1|<3。現在讓我們考慮端點的情況,即當 x=2x=1 時的情況。當 x=2 時,由交錯級數審歛法可知會收斂;當 x=1 時,由 p 級數在 p=1 時發散。因此收斂區間為 (1,2]

  17. f(x)=n=1(1)n1xnn,則 f(1/2)=    
  18. 訣竅注意此函數級數為某一特殊函數的 Taylor 展開式,藉此可求得特定點的函數值。
    解法容易注意到 f(x)=n=1(x)n1=11+x,因此 f(x)=ln|1+x|+C,其中 C 為積分常數。我們取 x=0 可知 C=0,最後我們代入 x=1/2 求得 f(1/2)=ln(3/2)

  19. f(x)=2x3x21 的所有漸近線為    。(可能有垂直、水平及斜漸近線)
  20. 訣竅根據漸近線的定義及公式逐步求解。
    解法為了找出垂直漸近線,我們探求分母可能為零的地方,容易知道為 x=±1,計算其極限值亦發散到正負無窮。為了找出水平漸近線,我們計算 x± 的極限,結果皆發散,因此不存在水平漸近線。最後為了找出斜漸近線,我們首先計算 limx±f(x)x=2,而 limx±(f(x)2x)=0,因此斜漸近線為 y=2x。綜上所述,全部的漸近線為 x=1x=1y=2x

  21. 方程式 x55x+1=0    個相異實根。
  22. 訣竅運用代數基本定理可知至多有 5 個實根,再使用勘根定理來確認根的個數。必要時可以根據函數的斜率確認其遞增遞減來確定不會有更多的根。
    解法f(x)=x55x+1,由於 f(x)=5(x41)。由此可知 f(1,1) 遞減,其餘遞增。又 f(1)=1f(1)=3,因此在 (,1)(1,1)(1,) 之間各有一實根,因此共有三個相異實根。

(二)f(x) 滿足 f(x)=2+x0t2+2t+2ef(t)dtxR。求 f(x)。(11 分)
訣竅運用微積分基本定理,微分後整理再進行積分。而進行積分的過程中需要使用三角代換,此外積分常數可以透過原積分方程中取特殊值而得。
解法首先根據微積分基本定理可得f(t)=x2+2x+2ef(x).可以看出(ef(x))=x2+2x+2=(x+1)2+1.為了積分右式,我們利用三角代換:令 tanθ=x+1,如此右式的積分可化為 sec3θdθ。運用分部積分與三角恆等式變換可知結果如下sec3θdθ=secθtanθ+ln|secθ+tanθ|2+C,其中 C 為積分常數。如此代換回來可得ef(x)=(x+1)x2+2x+2+ln|x+1+x2+2x+2|2+C.代入 x=0 可知 f(0)=2,因此 C=e22+ln(1+2)2,如此解得f(x)=ln((x+1)x2+2x+2+ln|x+1+x2+2x+2|2+e22+ln(1+2)2).


(三)想要製作一個容量為 13 立方公寸的直圓錐形容器,則底半徑應為多少,才使所用材料最少?(即全部表面積最小)(11 分)
訣竅根據題意列出所需的變量並建立起相關的等式與函數,並利用微分求極值。
解法設底半徑為 r、高為 h。由體積公式 V=πr2h/3=1/3,我們有 r2=(πh)1。而全部的表面積為 π(r2+rh2+r2)=h1+πh+h2。因此我們設f(h)=h1+πh+h2.計算微分得f(h)=h2+π2h32πh+h2=0.可以解得 h=h0=2π1/3。再者,我們也可以注意到 limh0f(h)=limhf(h)=,因此可知在 h=h0 處有總表面積的極小值。此時 r=21/2π1/3

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