(一)填充題(每格
6 分)
- 極限值limn→∞nnn!= 。
解法
注意分子與分母隨著 n 成長時的差異,容易看出答案為正無窮。
- 若 a,b∈R,且 limx→0(1+ax)x2+2x+b=0,則 a= ,b= 。
題目有誤
應該思索為何分母等於零,但極限值仍存在的原因,如此可立即發現題目有誤。
- 令 a>0,則 ddxlogxa= 。
訣竅
運用換底公式後再運用連鎖律等微分公式計算即可。解法
計算如下ddxlogxa=ddxlnalnx=−lnax(lnx)2.
- f(x)=x4(1−2x3)12,則 f(10)(0)= 。
訣竅
為了計算高階導數,我們可以使用 Taylor 展開式尋找高次方的係數來求得。解法
因為題目想求 f(10)(0) 的值,此值等同於 10!a10,其中 a10 為 f(x) 的 Taylor 展開式的 10 次方的係數。再者,我們可以容易看出我們僅需計算 (1−2x3)1/2 展開後的六次方係數。我們運用二項式定理如下(1−2x3)1/2=1−x3−12x6+⋯.因此 a10=−1/2,故答案為 −1814400。
- f(x,y)=3x2y−6x−4y3+7 在 (1,−1) 點沿著 ⇀v=⇀i+⇀j 方向的方向導數是 。
訣竅
運用已知事實:函數在該點的梯度與單位方向的內積等於方向導數的值。解法
根據訣竅計算如下∇f(1,−1)⋅(1,1)√2=1√2(6xy−6,3x2−12y2)|(1,−1)⋅(1,1)=−21√2.
- 已知 ∫∞0e−x2dx=√π2,則 ∫∞0xe−x2dx= ,∫∞0x2e−x2dx= 。
訣竅
應注意第一小題可以直接計算瑕積分,而第二小題運用分部積分後利用題幹的已知事實即可。解法
第一小題直接積分有∫∞0xe−x2dx=−12e−x2|∞0=0−(−12)=12.
第二小題運用分部積分有∫∞0x2e−x2dx=12∫∞0xe−x2dx2=−12∫∞0xde−x2=−12xe−x2|∞0+12∫∞0e−x2dx=√π4,
其中使用 L'Hôpital 法則可知 limx→∞xe−x2=0。
- ∫10∫1√xsin(y3+12)dydx= 。
訣竅
此雙重積分無法直接積分,因此應交換順序後再予以積分。解法
依據訣竅更動積分順序後計算如下∫10∫1√xsin(y3+12)dydx=∫10∫y20sin(y3+12)dxdy=∫10y2sin(y3+12)dy=−23cos(y3+12)|10=23(cos(12)−cos(1)).
- 冪級數 ∞∑n=1(−1)n−1(2x−1)nn3n 的收斂區間為 。
訣竅
運用比值審歛法確定收斂半徑,接著再檢查端點的收斂性。解法
由於 limn→∞|(2x−1)n+1(n+1)3n+1⋅n3n(2x−1)n|<1,因此知 |2x−1|<3。現在讓我們考慮端點的情況,即當 x=2 或 x=−1 時的情況。當 x=2 時,由交錯級數審歛法可知會收斂;當 x=−1 時,由 p 級數在 p=1 時發散。因此收斂區間為 (−1,2]。
- 若 f(x)=∞∑n=1(−1)n−1xnn,則 f(1/2)= 。
訣竅
注意此函數級數為某一特殊函數的 Taylor 展開式,藉此可求得特定點的函數值。解法
容易注意到 f′(x)=∞∑n=1(−x)n−1=11+x,因此 f(x)=ln|1+x|+C,其中 C 為積分常數。我們取 x=0 可知 C=0,最後我們代入 x=1/2 求得 f(1/2)=ln(3/2)。
- f(x)=2x3x2−1 的所有漸近線為 。(可能有垂直、水平及斜漸近線)
訣竅
根據漸近線的定義及公式逐步求解。解法
為了找出垂直漸近線,我們探求分母可能為零的地方,容易知道為 x=±1,計算其極限值亦發散到正負無窮。為了找出水平漸近線,我們計算 x→±∞ 的極限,結果皆發散,因此不存在水平漸近線。最後為了找出斜漸近線,我們首先計算 limx→±∞f(x)x=2,而 limx→±∞(f(x)−2x)=0,因此斜漸近線為 y=2x。綜上所述,全部的漸近線為 x=1、x=−1、y=2x。
- 方程式 x5−5x+1=0 有 個相異實根。
訣竅
運用代數基本定理可知至多有 5 個實根,再使用勘根定理來確認根的個數。必要時可以根據函數的斜率確認其遞增遞減來確定不會有更多的根。解法
設 f(x)=x5−5x+1,由於 f′(x)=5(x4−1)。由此可知 f 在 (−1,1) 遞減,其餘遞增。又 f(−1)=1、f(1)=−3,因此在 (−∞,−1)、(−1,1)、(1,∞) 之間各有一實根,因此共有三個相異實根。
(二)
f(x) 滿足
f(x)=2+∫x0√t2+2t+2ef(t)dt,
x∈R。求
f(x)。(
11 分)
訣竅
運用微積分基本定理,微分後整理再進行積分。而進行積分的過程中需要使用三角代換,此外積分常數可以透過原積分方程中取特殊值而得。解法
首先根據微積分基本定理可得f′(t)=√x2+2x+2ef(x).可以看出(ef(x))′=√x2+2x+2=√(x+1)2+1.為了積分右式,我們利用三角代換:令 tanθ=x+1,如此右式的積分可化為 ∫sec3θdθ。運用分部積分與三角恆等式變換可知結果如下∫sec3θdθ=secθtanθ+ln|secθ+tanθ|2+C,其中 C 為積分常數。如此代換回來可得ef(x)=(x+1)√x2+2x+2+ln|x+1+√x2+2x+2|2+C.代入 x=0 可知 f(0)=2,因此 C=e2−√2+ln(1+√2)2,如此解得f(x)=ln((x+1)√x2+2x+2+ln|x+1+√x2+2x+2|2+e2−√2+ln(1+√2)2).
(三)想要製作一個容量為
13 立方公寸的直圓錐形容器,則底半徑應為多少,才使所用材料最少?(即全部表面積最小)(
11 分)
訣竅
根據題意列出所需的變量並建立起相關的等式與函數,並利用微分求極值。解法
設底半徑為 r、高為 h。由體積公式 V=πr2h/3=1/3,我們有 r2=(πh)−1。而全部的表面積為 π(r2+r√h2+r2)=h−1+√πh+h−2。因此我們設f(h)=h−1+√πh+h−2.計算微分得f′(h)=−h−2+π−2h−32√πh+h−2=0.可以解得 h=h0=2π−1/3。再者,我們也可以注意到 limh→0f(h)=∞、limh→∞f(h)=∞,因此可知在 h=h0 處有總表面積的極小值。此時 r=2−1/2π−1/3。
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