國立臺灣大學九十二學年度轉學生入學考試試題詳解

請在答案卷上，標明題號(A～J)，依序作答。

填充題：（每格 $10$%）

1. 極限值 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin^2x}{x^4}=$　　　　。
訣竅
使用處理極限的常用手法，L'Hôpital 法則、Taylor 展開代入。
解法一

使用 L'Hôpital 法則(L'Hospital's Rule)，則有

$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin^2x}{x^4}&=\lim_{x\to0}\frac{2x-2\sin x\cos x}{4x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2-2\cos2x}{12x^2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{2\sin2x}{12x}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x}6=\frac13.\end{aligned}$

解法二

由於 $\sin x$ 的 Taylor 展開式為 $\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$，代入後可知

$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin^2x}{x^4}&=\lim_{x\to0}\frac{x^2-\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)^2}{x^4}\\&=\lim_{x\to0}\frac{x^2-\left(x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{20}-\frac{x^8}{315}+\cdots\right)}{x^4}\\&=\lim_{x\to0}\left(\frac13-\frac{x^2}{20}+\frac{x^4}{315}+\cdots\right)\\&=\frac13.\end{aligned}$



2. 設函數 $f$ 滿足 $f\left(a\right)=0$ 並且 $f'\left(a\right)=3$，則 $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{xf\left(a\right)-af\left(x\right)}{x-a}$ 的值為　　　　。
訣竅
處理未知函數的極限時務必使用定義。
解法

由於 $f(a)=0$，故 $xf(a)=0=af(a)$，故在分子進行調整：

$\begin{aligned}\lim_{x\to a}\frac{xf\left(a\right)-af\left(x\right)}{x-a}&=\lim_{x\to a}\frac{-af\left(x\right)+af\left(a\right)}{x-a}\\&=-a\lim_{x\to a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\\&=-af'\left(a\right)= -3a.\end{aligned}$



3. 設 $\displaystyle x_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{n+n}$，則$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=$　　　　。
訣竅
無限多個有規律的東西相加可視為 Riemann sum，如此化為定積分求解。
解法

可以將原極限化為如下

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(\frac1{1+1/n}+\frac1{1+2/n}+\cdots+\frac1{1+n/n}\right)$.

因此我們取定義在 $\left[0,1\right]$ 上的函數 $\displaystyle f\left(x\right)=\frac1{1+x}$，可以注意到若將此區間等分割為 $n$ 等分，則該極限收斂到定積分，因此計算如下

$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln\left(1+x\right)\Big|_0^1=\ln2$.



4. 考慮曲線 $x^3+y^3=6xy$，則通過 $\left(3,3\right)$ 點的切線方程式為　　　　。
訣竅
平面的切線方程式需要斜率，顯式直接微分，隱式就隱函數微分，最後配合點斜式列出切線方程式即可。此外本題同88年度轉學考的第2題
解法

運用隱函數微分可得
$\displaystyle3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=6y+6x\frac{dy}{dx}$,
取 $\left(x,y\right)=\left(3,3\right)$ 代入可得 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(3,3\right)}=-1$。因此由點斜式知切線方程為 $x+y=6$。


5. 設連續函數 $f$ 滿足 $\displaystyle f\left(x\right)=\int_0^xf\left(t\right)\,dt+2$，則 $f\left(x\right)=$　　　　。
訣竅
遇到未知函數所作的積分與原函數的關係，應當微分後求解微分方程。
解法
由於連續函數的積分是可微分函數，因此我們對原式兩邊求導可得 $f'\left(x\right)=f\left(x\right)$，因此由微分方程的知識容易注意此方程之解為 $f\left(x\right)=Ce^x$，其中 $C$ 為待定常數。此時我們取 $x=0$，如此有
$\displaystyle C=f\left(0\right)=\int_0^0f\left(t\right)\,dt+2=2$.
故解得 $f\left(x\right)=2e^x$。


6. $\displaystyle\frac d{dx}\int_0^{\cos x}\frac1{1+t^4}\,dt=$　　　　。
訣竅
根據微積分基本定理與連鎖律即可。
解法

根據訣竅容易知道所求為

$\displaystyle\frac d{dx}\int_0^{\cos x}\frac1{1+t^4}\,dt=\left.\frac1{1+t^4}\right|_{t=\cos x}\cdot\left(\cos x\right)'=-\frac{\sin x}{1+\cos^4x}$.



7. 心臟線 $r=2\left(1+\cos\theta\right)$ 所圍成領域的面積為　　　　。
訣竅
極座標圍面積，可以試著先做簡圖，判斷 $\theta$ 的範圍，並利用公式 $\displaystyle A=\frac12\int_a^br^2\left(\theta\right)\,d\theta$ 即可求解。
解法



由圖，容易看出 $\theta$ 的範圍為 $\left[0,2\pi\right]$，因此面積為

$\begin{aligned} A&= \frac12\int_0^{2\pi}\left[2\left(1+\cos\theta\right)\right]^2\,d\theta\\&=2\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)\,d\theta\\&=2\int_0^{2\pi}\left(\frac32+2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}2\right)\,d\theta\\&=2\left.\left(\frac32\theta+2\sin\theta+\frac14\sin2\theta\right)\right|_0^{2\pi}=6\pi.\end{aligned}$

計算題：（注意：若無計算過程，則不予計分。）

8. ($15$%) 將單位圓形的鐵皮，切掉一個扇形，剩餘的部分作成一個圓錐形容器。欲此容器的容積為最大，問切掉的扇形之圓心角為多少？
訣竅
應用問題應確認問題核心，本題：設圓心角為 $\theta$，建立體積與圓心角的關係式，由微分等於零確認極值所在。
解法一

設圓錐的高為 $h$，則底圓半徑為 $\sqrt{1-h^2}$，其中 $h$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，因此圓錐體積為 $h$ 的函數如下

$\displaystyle V\left(h\right)=\frac13\cdot\pi\sqrt{1-h^2}^2\cdot h=\frac\pi3\left(h-h^3\right)$.

藉由 $V'\left(h\right)=0$ 來求極值發生的位置：

$\displaystyle V'\left(h\right)=\frac\pi3\left(1-3h^2\right)=0$.

可解得 $h=\pm\sqrt3/3$，其中負不合理。再由 $V''\left(\sqrt3/3\right)=-2\sqrt3\pi/3<0$ 可知在 $h=\sqrt3/3$ 時有極大值。又 $V$ 在 $\left[0,1\right]$ 上僅有此極大值，故此值極為最大值。

由於 $h=\sqrt3/3$，那麼底圓之圓周長為 $2\pi\cdot\sqrt{1-h^2}=2\sqrt6\pi/3$，故挖去的圓心角為 $2\pi(3-\sqrt6)/3$。

解法二
設挖掉的圓心角為 $\theta$（$0<\theta<2\pi$），則剩下的圓周長為 $2\pi-\theta$，因此底部圓錐半徑為 $(2\pi-\theta)/(2\pi)$、高為 $\displaystyle\sqrt{\frac\theta\pi-\frac{\theta^2}{4\pi^2}}$，故體積可表達為
$\displaystyle V\left(\theta\right)=\frac13\left(1-\frac\theta{2\pi}\right)^2\sqrt{\frac\theta\pi-\frac{\theta^2}{4\pi^2}}$.
因此由 $V'\left(\theta\right)=0$ 來求極值發生的位置：
$\begin{aligned}V'\left(\theta\right)&=-\frac1{3\pi}\left(1-\frac\theta{2\pi}\right)\sqrt{\frac\theta\pi-\frac{\theta^2}{4\pi^2}}+\frac16\left(1-\frac\theta{2\pi}\right)^2\left(\frac\theta\pi-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)^{-1/2}\left(\frac1\pi-\frac{\theta}{2\pi^2}\right)\\&=\frac1{6\pi}\left(1-\frac\theta{2\pi}\right)\left(\frac\theta\pi-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)^{-1/2}\left[-2\left(\frac\theta\pi-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)+\pi\left(1-\frac\theta{2\pi}\right)\left(\frac1\pi-\frac\theta{2\pi^2}\right)\right]\\&=\frac1{6\pi}\left(1-\frac\theta{2\pi}\right)\left(\frac\theta\pi-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)^{-1/2}\left(1-\frac{3\theta}\pi+\frac{3\theta^2}{4\pi^2}\right).\end{aligned}$
因此可解得 $\theta=2\pi(3\pm\sqrt6)/3$，其中正不合。最後再由 $V''\left(2\pi(3-\sqrt6)/3\right)<0$，可知當 $\theta=2\pi(3-\sqrt6)/3$ 時可使體積有最大值。


9. ($8$%) 求定積分 $\displaystyle\int_0^1xe^{\sqrt x}\,dx$。
訣竅
看到根號做變數代換，多項式與指數函數可用分部積分。
解法

令 $t=\sqrt x$，則 $x=t^2$，那麼上下界分別從 $x=0$ 至 $x=1$ 換為 $t=0$ 至 $t=1$，且 $dx=2t\,dt$，因此原定積分轉換如下並計算之

$\begin{aligned}\int_0^1xe^{\sqrt x}\,dx &=\int_0^1t^2e^t\cdot2t\,dt\\&=2\int_0^1t^3e^t\,dt\\&=2t^3e^t\big|_0^1-6\int_0^1t^2e^t\,dt\\&=2e-6t^2e^t\big|_0^1+12\int_0^1te^t\,dt\\&=-4e+12te^t\big|_0^1-12\int_0^1e^t\,dt\\&=-4e+12.\end{aligned}$



10. ($7$%) 求二重積分 $\displaystyle\iint_\Omega e^{x^2+y^2}\,dx\,dy$，其中 $\Omega$ 為坐標平面上 $x$ 軸與 $y=\sqrt{1-x^2}$ 所圍成的半圓盤。
訣竅
雙重積分若積分區域為圓盤可化為極座標處理。
解法

令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，而範圍為 $0\leq r\leq1$、$0\leq\theta\leq\pi$，因此原重積分可改寫並計算如下

$\displaystyle\iint_\Omega e^{x^2+y^2}\,dx\,dy=\int_0^\pi\int_0^1re^{r^2}\,dr\,d\theta=\left(\int_0^1re^{r^2}dr\right)\left(\int_0^\pi d\theta\right)=\frac{\pi\left(e-1\right)}2$.