國立臺灣大學九十三學年度轉學生入學考試試題詳解

請標明題號，依序作答

填充題：每格 $10$ 分。

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\left(e^x-1\right)^3}{\left(x-2\right)e^x+x+2}=$　　　　。
訣竅
使用 L'Hôpital 法則、Taylor 展開式皆可解題。
解法一

運用 L'Hôpital 法則可以計算如下

$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\left(e^x-1\right)^3}{\left(x-2\right)e^x+x+2}&=\lim_{x\to0}\frac{\left(e^x-1\right)^3}{\left(x-2\right)e^x+x+2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{3\left(e^x-1\right)^2e^x}{\left(x-1\right)e^x+1}\\&=\lim_{x\to0}\frac{6\left(e^x-1\right)e^{2x}+3\left(e^x-1\right)^2e^x}{xe^x}\\&=\lim_{x\to0}\frac{6e^{3x}+18\left(e^x-1\right)e^{2x}+3\left(e^x-1\right)^2e^x}{e^x+xe^x}=6.\end{aligned}$

解法二

根據 $e^x$ 的 Taylor 展開式為 $\displaystyle1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+\cdots$，代入可得

$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\left(e^x-1\right)^3}{\left(x-2\right)e^x+x+2}&=\lim_{x\to0}\frac{\left[\left(1+x+\cdots\right)-1\right]^3}{\left(x-2\right)\left(1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+\cdots\right)+x+2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{x^3+\cdots}{\frac{x^3}6+\cdots}=6.\end{aligned}$



2. $\displaystyle\frac d{dx}\int_0^\pi\sin xy\,dy=$　　　　。
訣竅
僅需直接積分後再對 $x$ 微分即可求解。
解法

直接計算定積分可得

$\displaystyle\int_0^\pi\sin\left(xy\right)\,dy=-\left.\frac{\cos\left(xy\right)}x\right|_{y=0}^{y=\pi}=\frac{1-\cos\pi x}x.$

因此所求為

$\displaystyle\frac d{dx}\int_0^\pi\sin xy\,dy=\frac d{dx}\left(\frac{1-\cos\pi x}{x}\right)=\frac{\pi x\sin\pi x+\cos\pi x-1}{x^2}$.



3. 設 $P$ 為曲線 $y=x^2$ 上之一點。$O$ 為原點。作線段 $\overline{OP}$。設 $Q\left(0,a\right)$ 為 $\overline{OP}$ 的垂直平分線相交於 $y$ 軸的點。當 $P$ 趨近於 $O$ 時，問 $a$ 趨近於　　　　。
訣竅
由參數式設定 $P$ 的座標後即可求解。
解法
設 $P\left(2b,4b^2\right)$，$b\in\mathbb R$，則 $\overline{OP}$ 的中點為 $(b,2b^2)$，而斜率為 $2b$，從而其中垂線為 $\displaystyle y-2b^2=-\frac1{2b}\left(x-b\right)$，將 $Q$ 的坐標代入中垂線可得：
$\displaystyle a-2b^2=-\frac1{2b}\cdot\left(-b\right)=\frac12$.
故 $\displaystyle a=2b^2+\frac12$，則當 $b\to0$，則 $\displaystyle a\to\frac12$。


4. 設連續函數 $f\left(x\right)$ 滿足 $\displaystyle 6+\int_a^x\frac{f\left(t\right)}{t^2}\,dt=2\sqrt x$，則 $f\left(x\right)=$　　　　，$a=$　　　　。
訣竅
應用微積分基本定理即可。
解法
兩邊同對 $x$ 微分可得
$\displaystyle\frac{f\left(x\right)}{x^2}=\frac1{\sqrt x}$.
因此 $f\left(x\right)=x\sqrt x$。再者，我們可以兩邊同取 $x=a$ 代入即可得到 $a=9$。


5. $\displaystyle f\left(x\right)=\frac1{\sqrt{1+x^3}}$，則$f^{\left(6\right)}\left(0\right)=$　　　　。
訣竅
求解高階導數的策略為 Taylor 展開式。
解法
根據二項式展開即可得到
$\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{k=0}^\infty{-1/2\choose k}x^{3k}=1-\frac12x^3+\frac38x^6+\cdots$.
因此所求為 $\displaystyle6!\cdot\frac38=270$。


6. $\displaystyle\int_1^3\frac{\ln\left(x+1\right)}{x^2}\,dx=$　　　　。
訣竅
直接應用分部積分即可。
解法

$\begin{aligned}\int_1^3\frac{\ln\left(x+1\right)}{x^2}\,dx&=\int_1^3\frac{\ln\left(x+1\right)}{x^2}\,dx\\&= -\left.\frac{\ln\left(x+1\right)}{x}\right|_1^3+\int_1^3\frac{dx}{x\left(x+1\right)}\\&=-\frac{\ln4}3+\ln2+\int_1^3\left(\frac1x-\frac1{x+1}\right)\,dx\\&=\frac{\ln2}3+\left.\ln\frac{x}{x+1}\right|_1^3\\&=-\frac23\ln2+\ln3.\end{aligned}$



7. $\displaystyle\int_0^{2a}\int_0^{\sqrt{2ax-x^2}}\left(x^2+y^2\right)\,dy\,dx=$　　　　。
訣竅
本題的被積分函數與積分區域提示我們運用極座標來處理較為恰當。
解法

設 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，如此可知範圍為 $0\leq r\leq2a\cos\theta$、$0\leq\theta\leq\pi/2$。因此原雙重積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned} \int_0^{2a}\int_0^{\sqrt{2ax-x^2}}\left(x^2+y^2\right)\,dy\,dx=&=\int_0^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta\\&=\frac14\int_0^{\pi/2}\left(2a\cos\theta\right)^4\,d\theta\\&=4a^4\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta\\&=a^4\int_0^{\pi/2}\left(1+\cos2\theta\right)^2\,d\theta\\&=a^4\int_0^{\pi/2}\left(\frac32+2\cos2\theta+\frac{\cos4\theta}2\right)\,d\theta\\&=a^4\left.\left(\frac{3\theta}2+\sin2\theta+\frac{\sin4\theta}8\right)\right|_0^{\pi/2}= \frac{3a^4\pi}4.\end{aligned}$

計算題：各 $10$ 分（要有計算過程，才予以計分）。

8. 光源照在一物上的照明度與光源強度成正比，而與光源的距離平方成反比。今有兩光源 $A$ 與 $B$ 彼此相距 $10$ 尺，$A$ 之強度是 $B$ 的三倍。現在要在此二光源之間放一個物體 $C$，問 $C$ 要放在距 $B$ 多遠處才會有最弱的照明度。
訣竅
應用問題應確認問題核心，本題應設 $C$ 與 $B$ 的距離 $r$，建立照明度與距離的關係式，由微分等於零確認極值所在。
解法
設 $B$ 與 $C$ 的距離為 $r$，$A$ 與 $C$ 的距離為 $10-r$，且設 $A$ 的光強度為 $3S$，$B$ 的光強度為 $S$，則 $C$ 所接受到的光強度 $P\left(r\right)$ 為
$\displaystyle P\left(r\right)=\frac{3S}{\left(10-r\right)^2}+\frac S{r^2}$.
因此由 $P'\left(r\right)=0$ 來求極值發生的位置：
$\displaystyle P'\left(r\right)=\frac{6S}{\left(10-r\right)^3}-\frac{2S}{r^3}=0$.
可以解得 $\displaystyle r=r_0=\frac{10}{1+\sqrt[3]3}$。再由 $\displaystyle P''\left(r_0\right)=6S\left[3\left(\frac{1+\sqrt[3]3}{10\sqrt[3]3}\right)^4+\left(\frac{1+\sqrt[3]3}{10}\right)^4\right]>0$，因此當 $r=r_0$ 時有極小值。


9. 求 $f\left(x,y\right)=x^2y$ 在 $x^2+y^2\leq1$ 之最大值與最小值。
訣竅
本題解法甚多。基本思路可以應用算術幾何不等式，其次可以針對限制條件運用 Lagrange 乘子法。
解法一

根據算術幾何不等式可得

$\displaystyle\frac13\geq\frac{x^2+y^2}3=\frac{\frac{x^2}2+\frac{x^2}2+y^2}3\geq\sqrt[3]{\left(\frac{x^2}2\right)^2y^2}$,

即

$\displaystyle\frac1{27}\geq\frac14x^4y^2$.

最終可得

$\displaystyle\frac{2\sqrt3}9\geq x^2y\geq-\frac{2\sqrt3}9$.

解法二

當 $x^2+y^2<1$ 時，我們解聯立方程式：

$\left\{\begin{aligned}&f_x(x,y)=2xy=0,\\&f_y(x,y)=x^2=0.\end{aligned}\right.$

如此可得 $\left(x,y\right)=\left(0,a\right)$，其中這對所有在 $\left(-1,1\right)$ 中的 $a$ 皆成立。

又當 $x^2+y^2=1$ 時，我們考慮 Lagrange 乘子函數如下

$F\left(x,y,\lambda\right)=f\left(x,y\right)+\lambda\left(x^2+y^2-1\right)$.

據此解聯立方程式：

$\left\{\begin{aligned}&F_x(x,y,\lambda)=2xy+2\lambda x=0,\\&F_y(x,y,\lambda)=x^2+2\lambda y=0,\\&F_\lambda(x,y,\lambda)=x^2+y^2-1=0.\end{aligned}\right.$

由第一式可得 $x\left(y+\lambda\right)=0$。

• 若 $x=0$，則 $\left(y,\lambda\right)=\left(1,0\right)$ 或 $\left(y,\lambda\right)=\left(-1,0\right)$。
• 若 $y+\lambda=0$，則代入第二式可得 $x^2-2y^2=0$，將此代入第三式便有 $3y^2=1$。因此我們可得

  $\displaystyle\left(x,y,\lambda\right)=\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3}\right)$ 或 $\displaystyle\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)$ 或 $\displaystyle\left(-\frac{\sqrt2}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3}\right)$ 或 $\displaystyle\left(-\frac{\sqrt2}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)$.

代入計算後可知最大值發生在$\displaystyle\left(x,y\right)= \displaystyle\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)$ 或 $\displaystyle\left(-\frac{\sqrt2}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)$，其最大值為 $\displaystyle\frac{2\sqrt3}9$；最小值發生在 $\displaystyle\left(x,y\right)= \displaystyle\left(-\frac{\sqrt2}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3}\right)$ 或 $\displaystyle\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3}\right)$，其最小值為 $\displaystyle-\frac{2\sqrt3}9$。

解法三
由於 $x^2+y^2\leq1$，因此存在實函數 $s\left(x,y\right)=1-x^2-y^2$，故我們考慮 Lagrange 乘子函數為
$F\left(x,y,s,\lambda\right)=x^2y+\lambda\left(x^2+y^2+s^2-1\right)$.
我們聯立解
$\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial s}=\frac{\partial F}{\partial\lambda}=0$,
其中由 $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial s}=0$，可知 $s\lambda=0$。
若 $s=0$，則可承解法二中的第二部分；若 $\lambda=0$，則可承解法二中的第一部分。從而代入比較後可找出極小值與極大值的座標與函數值。