國立臺灣大學九十四學年度轉學生入學考試試題詳解

※請在答案卷上標明題號依序作答
答題若無列出計算過程，則該題不予計分。
每題 $10$ 分，共 $10$ 題，總分 $100$ 分。

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(e^x-1\right)}{\ln x}=$　　　　。
訣竅
運用 L'Hôpital 法則即可。
解法

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(e^x-1\right)}{\ln x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x/\left(e^x-1\right)}{1/x}=\lim_{x\to0}\frac{xe^x}{e^x-1}=\lim_{x\to0}\frac{e^x+xe^x}{e^x}=1$.



2. 王先生夫婦在 $1990$ 年時到銀行存了 $30$ 萬元。他們打算把這筆錢一直存在銀行裡，直到 $2010$ 年才將本金及利息一併提出去購屋。在這 $20$ 年中假設年利率維持 $5\%$ 不變而且連續滾利(compound continuously)。
   1. 問在 $2010$ 年時，銀行總共要付給王先生夫婦多少錢？　　　　
   2. 假若銀行在這 $20$ 年中，把王先生夫婦的錢拿去借給買車子的人。假設貸款利率定為 $10\%$，也是連續滾利。但是為了經營這項業務，銀行每年平均要支出處理費 $6000$ 元。問在 $2010$ 年銀行付完王先生夫婦的款項之後共賺進多少錢？。　　　　(若要取小數點計算，請取至小數點四位，然後四捨五入至三位為止)。
訣竅
理解題幹中所述的連續滾利之意義後方可作答
解法

1. 根據題意可列出 $2010$ 年時銀行所要付給王先生夫婦的錢如下：

   $\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}300,000\left(1+0.05\Delta t\right)^{20/\Delta t}=300,000e\approx300,000\cdot2.718281\approx815,484.5$ (元).

2. 根據題意來估算銀行所賺得的錢如下：

   $\displaystyle\lim_{\Delta\to0}300,000\left(1+0.1\Delta t\right)^{20/\Delta t}=300,000e^2$ (元).

   而支付的成本為 $6000\cdot20=120,000$ (元)，因此付給王先生夫婦 $300,000e$ (元) 後尚結餘

   $300,000e\left(e-1\right)-120,000\approx1,281,232.281$ (元).



3. $f\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$，則 $f''\left(x\right)=$　　　　。
訣竅
按連鎖律與基本的微分公式直接計算兩次即可。
解法

計算微分一次可得

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{1+\frac x{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\left(1+x^2\right)^{-1/2}$.

據此計算二階微分為

$\displaystyle f''\left(x\right)=-\frac12\left(1+x^2\right)^{-3/2}\cdot2x=-x\left(1+x^2\right)^{-3/2}$.



4. $\displaystyle f\left(x\right)=\int_{-3}^x\sqrt{t+3}\,dt$，$g\left(x\right)$ 為其反函數，則 $g'\left(18\right)=$　　　　。
訣竅
根據題幹所述，運用反函數定理即可。
解法

由於 $f\left(x\right)$ 與 $g\left(x\right)$ 互為反函數，因此假若有一實數 $a$ 滿足 $f\left(a\right)=18$，則 $g\left(18\right)=a$，如此運用反函數定理將有

$\displaystyle g'\left(18\right)=\frac1{f'\left(a\right)}$.

因此我們必須解出 $a$，並且進一步求出 $f$ 在 $x=a$ 的導數值。

根據 $f$ 的定義，我們有

$\displaystyle f\left(a\right)=\int_{-3}^a\sqrt{t+3}\,dt=18$.

容易得到

$\displaystyle\left.\frac23\left(t+3\right)^{3/2}\right|_{-3}^a=\frac23\left(a+3\right)^{3/2}=18$,

如此可得 $a=6$。因此最終利用微積分基本定理，我們有 $f'\left(x\right)=\sqrt{x+3}$，因此 $f'\left(6\right)=3$，故 $\displaystyle g'\left(18\right)=\frac13$。



5. $\displaystyle\int_{e^{\pi/6}}^{e^{\pi/3}}\frac{\sec^4\left(\ln x\right)}x\,dx=$　　　　。
訣竅
觀察被積分函數與積分之上下界可推測應使用變數代換。
解法

我們令 $t=\ln x$，那麼有 $x=e^t$，如此 $dx=e^t\,dt$，$t$ 的範圍為 $\pi/6\leq t\leq \pi/3$。這樣一來，原定積分可以改寫並計算如下：

$\begin{aligned} \int_{e^{\pi/6}}^{e^{\pi/3}}\frac{\sec^4\left(\ln x\right)}x\,dx&=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\sec^4t}{e^t}e^t\,dt\\&= \int_{\pi/6}^{\pi/3}\sec^4t\,dt\\&=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sec^2t\,d\left(\tan t\right)\\&= \int_{\pi/6}^{\pi/3}\left(1+\tan^2t\right)\,d\left(\tan t\right)\\&=\left.\left(\tan t+\frac{\tan^3t}3\right)\right|_{\pi/6}^{\pi/3}\\&=\frac{44\sqrt3}{27}.\end{aligned}$



6. 設 $\left(x,y\right)$ 滿足 $\sqrt{x+y}\left(x-2y\right)^2=27$，則在點 $\left(7,2\right)$ 的切線方程式為　　　　。
訣竅
利用隱函數微分求得特定點的切線斜率後列出點斜式表達切線方程式。
解法

對該方程式作隱函數微分可得

$\displaystyle\frac{1+\frac{dy}{dx}}{2\sqrt{x+y}}\left(x-2y\right)^2+\sqrt{x+y}\cdot2\left(x-2y\right)\left(1-2\frac{dy}{dx}\right)=0$.

代入座標 $\left(x,y\right)=\left(7,2\right)$ 可得 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(7,2\right)}=\frac{13}{23}$，因此切線方程式為

$\displaystyle y-2=\frac{13}{23}\left(x-7\right)$.



7. 點 $P\left(x,y,z\right)$ 在 $x^2+2y^2+3z^2=6$ 之上，則 $f\left(x,y,z\right)=xyz$ 之最大值等於　　　　，最小值等於　　　　。
訣竅
本題可用 Lagrange 乘子法或算術幾何不等式來求解。
解法一

根據 Lagrange 乘子法，我們設 Lagrange 乘子函數為

$F\left(x,y,z,\lambda\right)=xyz+\lambda\left(x^2+2y^2+3z^2-6\right)$.

據此我們聯立解

$\left\{\begin{aligned}&F_x(x,y,z,\lambda)=yz+2\lambda x=0,\\&F_y(x,y,z,\lambda)=xz+4\lambda y=0,\\&F_z(x,y,z,\lambda)=xy+6\lambda z=0,\\&F_\lambda(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2-6=0.\end{aligned}\right.$

我們將第一式乘上 $x$ 加上第二式乘上 $y$，再加上第三式乘上 $z$，最後配合第四式可得 $3xyz+12\lambda=0$，因此 $xyz=-4\lambda$。

仔細分類討論可得下列點座標

$\displaystyle\left(0,0,\pm\sqrt2\right),\left(\pm\sqrt6,0,0\right),\left(0,\pm\sqrt{3},0\right),\left(\pm\sqrt2,\pm1,\pm\frac{\sqrt6}3\right)$，

經檢驗可知最大值為 $\displaystyle\frac2{\sqrt3}$，而最小值為 $\displaystyle-\frac2{\sqrt3}$。

解法二
由算術幾何不等式可知
$\displaystyle\frac{x^2+2y^2+3z^2}3\geq\sqrt[3]{x^2\cdot2y^2\cdot3z^2}$.
此等價於 $8\geq6\left(xyz\right)^2$，亦即$\displaystyle\frac2{\sqrt3}\geq xyz\geq-\frac2{\sqrt3}$。


8. $D$：在第一卦限內，曲線 $y^2=x$，$\displaystyle y=\frac\pi2$，$y=\pi$ 和 $x=0$ 所圍封閉區域，問 $\displaystyle\iint_D\sin\frac xy\,dA=$　　　　。
訣竅
根據題意列出雙重迭代積分，直接積分即可。
解法

容易表達出範圍為 $0\leq x\leq y^2$、$\pi/2\leq y\leq\pi$，如此可將重積分表達如下並計算之

$\begin{aligned}\iint_D\sin\frac xy\,dA&=\int_{\pi/2}^\pi\int_0^{y^2}\sin\frac xy\,dx\,dy\\&=-\int_{\pi/2}^\pi\left.y\cos\frac xy\right|_{x=0}^{x=y^2}\,dy\\&=\int_{\pi/2}^\pi\left(y-y\cos y\right)\,dy\\&=\left.\left(\frac{y^2}2-y\sin y-\cos y\right)\right|_{\pi/2}^\pi\\&=\frac{3\pi^2}8+\frac\pi2+1.\end{aligned}$



9. 在注射 $x$ (單位：毫克)劑量的副腎素 $t$ 小時候其反應為 $R$ 單位。設 $R\left(x,t\right)=te^{-t}\left(c-x\right)x$，其中 $c$ 為正的常數。若 $\left(x^*,t^*\right)$ 能使 $R\left(x,t\right)$ 有最大值。問 $\left(x^*,t^*\right)=\left(\right.$　　　,　　　$\left.\right)$。
訣竅
直接作偏微分等於零來求極值即可，應注意題目所給定的定義域範圍。最後配合二次微分來檢查極大極小值或鞍點。
解法
聯立解
$\left\{\begin{aligned}&R_x(x,t)=te^{-t}(c-2x)=0,\\&R_t(x,t)=(1-t)e^{-t}(cx-x^2)=0.\end{aligned}\right.$
如此得到 $2x=c$，代入第二條式子可得 $t=1$，因此我們得到座標$\displaystyle\left(\frac c2,1\right)$。根據二階偏微分如下
$\displaystyle R_{xx}\left(\frac c2,1\right)=-2e^{-1}<0$、$\displaystyle R_{tx}\left(\frac c2,1\right)=R_{xt}\left(\frac c2,1\right)=0$、$\displaystyle R_{tt}\left(\frac c2,1\right)=-\frac{e^{-1}c^2}4<0$.
因此可知此點為極大值。


10. $f\left(x,y,z\right)=y^2\sin xz^2$ 在 $\left(0,3,-1\right)$ 的最大方向導數為　　　　。
訣竅
根據方向導數的公式求解即可。
解法
由於 $\nabla f=\left(y^2z^2\cos\left(xz^2\right),2y\sin\left(xz^2\right),2xy^2z\cos\left(xz^2\right)\right)$。因此在 $\left(0,3,-1\right)$ 的梯度向量為 $\left(9,0,0\right)$，因此方向導數的最大值為 $9$。