國立臺灣大學九十五學年度轉學生入學考試試題詳解

請在答案卷上標明題號，按序作答。
若無列出計算過程，則不予計分。一共 $10$ 題，每題 $10$ 分。

1. 求極限值 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac\pi n\right)^n$。
訣竅
此極限之形式與 $e$ 的定義類似，故依此變形後求解。
解法

我們可以做出如下改寫並利用 $e$ 的定義：

$\displaystyle\left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n/\left(-\pi\right)}\right)^{n/(-\pi)}\right]^{-\pi}=e^{-\pi}$.



2. 假設函數 $f$ 定義為：$f\left(0\right)=0$，並且當 $x\neq0$ 時，$\displaystyle f\left(x\right)=x+x^2\sin\left(\frac1x\right)$，求一階導數 $f'\left(0\right)$。
訣竅
按微分的定義計算之。
解法
根據導數的定義，我們有
$\displaystyle f'\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x+x^2\sin\left(1/x\right)}x=\lim_{x\to0}\left(1+x\sin\left(\frac1x\right)\right)=1$,
其中 $\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin\left(1/x\right)=0$，這是根據夾擠定理容易獲得的式子。


3. 求函數 $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}\left(x+5\right)$ 的極大值與極小值。
訣竅
利用一階微分等於零求得極值的位置，再由二階微分判斷極值的類型。
解法
由於 $f'\left(x\right)=\frac53x^{2/3}+\frac{10}3x^{-1/3}$，其中 $x\neq0$。因此求解 $f'\left(x\right)=0$ 容易得到 $x=-2$。此外我們也應考察 $x=0$ 附近的變化情形。綜上考慮可知極小值發生在 $x=0$ 處，$f\left(0\right)=0$；極大值發生在 $x=-2$，$f\left(-2\right)=3\sqrt[3]{4}$。


4. 設 $\displaystyle f\left(x\right)=\int_x^0f\left(t\right)\,dt+3$，求 $f\left(x\right)$。
訣竅
利用微分改為微分方程後求解之。
解法
首先利用微積分基本定理，可以得到 $f'\left(x\right)=-f\left(x\right)$，亦即
$\displaystyle\frac{df\left(x\right)}{f\left(x\right)}=-dx$.
同取積分可得 $\ln\left(f\left(x\right)\right)=-x+\ln C$，其中 $C$ 為積分常數。因此 $f\left(x\right)=Ce^{-x}$。但根據題目中給定的條件，取 $x=0$ 可以得到 $f\left(0\right)=3$，進而得到 $C=3$，因此 $f\left(x\right)=3e^{-x}$。


5. 判別無窮級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$ 收斂或發散。
訣竅
使用比值審歛法即可。
解法
設 $\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}$，則 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{n+1}}\times\frac{n^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{\left(n+1\right)^n}=e^{-1}<1$，因此原級數收斂。


6. 求不定積分 $\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{\left(e^x+1\right)^2}\,dx$。
訣竅
將指數函數視為一整體，如此可以視之為多項式來計算。
解法

根據提示將原不定積分改寫並計算如下

$\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2}\,dx=\int\frac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\,de^x=\int\left(\frac1{e^x+1}-\frac1{\left(e^x+1\right)^2}\right)de^x=\ln\left(e^x+1\right)+\frac1{e^x+1}+C$.



7. 求瑕積分 $\displaystyle\int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx$。
訣竅
此為特殊函數──Gamma函數
解法
由於此為特殊函數，因此瑕積分結果為 $\Gamma\left(n+1\right)=n\Gamma\left(n\right)=n!$。


8. 在曲面 $x^2y+y^2z+z^2x=5$ 上，求通過 $P=\left(1,-1,2\right)$ 點的切平面方程式。
訣竅
先利用梯度求該平面的法向量，再由點法式可求得該平面。
解法

由於 $\nabla\left(x^2y+y^2z+z^2x-5\right)=\left(2xy+z^2,2yz+x^2,2zx+y^2\right)$，因此在 $\left(1,-1,2\right)$ 的法向量為 $\left(2,-3,5\right)$。運用點法式可得切平面為

$2x-3y+5z=15$.



9. 求逐次積分 $\displaystyle\int_0^1\left(\int_{3y}^3e^{x^2}\,dx\right)dy$。
訣竅
由於 $e^{x^2}$ 無法直接積分，因此需使用 Fubini 定理來交換積分次序求解。
解法

原先的積分範圍為 $3y\leq x\leq3$、$0\leq y\leq1$，容易改為 $0\leq x\leq3$、$0\leq y\leq x/3$，因此原迭代積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_0^1\left(\int_{3y}^3e^{x^2}\,dx\right)dy &=\int_0^3\left(\int_0^{x/3}e^{x^2}\,dy\right)dx\\&=\int_0^3\left.\left(ye^{x^2}\right)\right|_{y=0}^{y=x/3}dx\\&=\frac13\int_0^3xe^{x^2}\,dx\\&=\left.\frac16e^{x^2}\right|_0^3\\&=\frac{e^9-1}6.\end{aligned}$



10. 在圓錐面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 之上方與球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 之下方所圍成的立體領域，求它的體積。
訣竅
鎖定底部的 $D$ 區域進行分析，之後再對於 $z=z(x,y)$ 進行積分。
解法

此立體領域其上曲面為 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，下曲面為 $z=\sqrt{x^2+y^2}$。兩曲面之交線為圓：$x^2+y^2=1/2$、$z=1/\sqrt2$。因此我們設 $D=\left\{\left(x,y\right):x^2+y^2\leq1/2\right\}$，如此體積為

$\displaystyle\iint_D\left(\sqrt{1-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2}\right)dA$.

由於區域為圓盤，因此運用極座標代換可將此重積分改寫並計算如下

$\begin{aligned}V&=\int_0^{2\pi}\int_0^{1/\sqrt2}\left(\sqrt{1-r^2}-r\right)r\,dr\,d\theta\\&=2\pi\int_0^{1/\sqrt2}\left(r\sqrt{1-r^2}-r^2\right)dr\\&=2\pi\left.\left[-\frac13\left(1-r^2\right)^{3/2}-\frac{r^3}3\right]\right|_0^{1/\sqrt2}\\&=\frac{\left(2-\sqrt2\right)\pi}3.\end{aligned}$