- Suppose that f(x) is a function satisfying
ex≤f(x)≤ex+x2, |x|<1.
Find- f(0). (5%)
- f′(0). (10%)
- 取 x=0 代入即有
1=e0≤f(0)≤e0+02=1.
因此f(0)=1。 - 根據導數的定義有
f′(0)=lim.
而題幹的條件可以給我們有\displaystyle\frac{e^h-1}h\leq\frac{f\left(h\right)-1}h\leq\frac{e^h+h^2-1}h.
再者我們有\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h=1=\lim_{h\to0}\frac{e^h+h^2-1}h.
因此由夾擠定理可知f'\left(0\right)=1。 - Suppose that f is a continuous function satisfying
\displaystyle f\left(x\right)=2+\int_0^x\frac{f\left(t\right)}{\left(t+2\right)\left(t+3\right)}\,dt, x\geq0.
Find- f\left(0\right). (5\%)
- f\left(3\right). (10\%)
- 取 x=0 代入,可得 f\left(0\right)=2。
- 將給定的方程對 x 微分可得
\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}.
容易整理為\displaystyle\frac{df}f=\frac{dx}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\left(\frac1{x+2}-\frac1{x+3}\right)dx.
對左右兩式同取積分可得\displaystyle\ln f\left(x\right)=\ln\frac{x+2}{x+3}+\ln C,
其中 C 為積分常數。藉由 f\left(0\right)=2 可知 C=3。因此我們可得\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3\left(x+2\right)}{x+3},
如此有 \displaystyle f\left(3\right)=\frac52。 - Compute the following:
- \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n. Here a_1=\sqrt6, a_2=\sqrt{6+\sqrt6}, a_3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt6}}, \cdots (5\%)
- \displaystyle\lim_{t\to0}\left(\int_0^1\left(1+x\right)^t\,dx\right)^{1/t} (10\%)
首先證明有上界:當 n=1 時,則 a_1=\sqrt6<3。設 n=k 時成立,即 a_k<3,則 a_{k+1}=\sqrt{a_k+6}<3。因此由數學歸納法知 a_n<3,\forall\,n\in\mathbb N,亦即有上界。
再者由於 -2<a_k<3,可知 \left(a_k-3\right)\left(a_k+2\right)<0,因此 a_k+6>a_k^2,如此我們可以發現 a_{k+1}=\sqrt{a_k+6}>a_k,因此數列遞增。
如此我們依單調有界定理可知其收斂。
設 \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=S,那麼 S 滿足 S=\sqrt{6+S},因此 S=3。- 直接計算可知
\displaystyle\int_0^1\left(1+x\right)^t\,dx=\left.\frac{\left(1+x\right)^{t+1}}{t+1}\right|_0^1=\frac{2^{t+1}-1}{t+1}.
如此我們計算下列極限\displaystyle\lim_{t\to0}\left(\frac{2^{t+1}-1}{t+1}\right)^{1/t}=\lim_{t\to0}\exp\left(\frac{\displaystyle\ln\frac{2^{t+1}-1}{t+1}}t\right)=\exp\left(\lim_{t\to0}\frac{\displaystyle\ln\frac{2^{t+1}-1}{t+1}}t\right)=\frac4e,
其中最後的等號是根據下列的 L'Hôpital 法則的計算可知:\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\displaystyle\ln\frac{2^{t+1}-1}{t+1}}t=\lim_{t\to0}\left(\frac{t+1}{2^{t+1}-1}\cdot\frac{2^{t+1}\left(t+1\right)\ln2-2^{t+1}+1}{\left(t+1\right)^2}\right)=2\ln2-1=\ln\frac4e.
- (15\%) Find all absolutely extreme values of the function
f\left(x,y\right)=x^2+3y^2+y
subject to the constraintx^2+y^2\leq1.
- 若 x=0,則 y=\pm1。
- 若 \lambda=-1,則 \displaystyle y=-\frac14、\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{15}}4。
- (10\%) Find the normal line for the surface
z=x^2-xy-y^2
at the point \left(1,1,-1\right). - Evaluate the following:
- \displaystyle\iint_Re^{x^2+y^2}\,dx\,dy. Here R=\left\{\left(x,y\right): x^2+y^2\leq1, y\geq0\right\}. (10\%)
- \displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx. (5\%)
- 令 x=r\cos\theta、y=r\sin\theta,根據題意所指出的區域可知 0\leq r\leq1、0\leq\theta\leq\pi,如此可將原重積分改寫並計算如下
\displaystyle\int_0^\pi\int_0^1e^{r^2}r\,dr\,d\theta=\left(\int_0^\pi d\theta\right)\left(\int_0^1re^{r^2}\,dr\right)=\left.\frac\pi2e^{r^2}\right|_0^1=\frac{\pi\left(e-1\right)}2.
- 設此瑕積分值為 I,則
\displaystyle I^2=\left(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\right)^2=\left(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\right)\left(\int_0^\infty e^{-y^2}\,dy\right)=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,dx\,dy
使用極座標變換可改寫並計算此重積分如下\displaystyle I^2=\int_0^{\pi/2}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta=\frac\pi4\int_0^\infty e^{-r^2}\,dr^2=\frac\pi4.
因此 \displaystyle I=\frac{\sqrt\pi}2。 - Find the area of the region enclosed by the following:
- (5\%) r=2a\cos\theta, a>0.
- (10\%) r=2\left(1+\cos\theta\right).
- 將方程式同乘以 r 可以得到 x^2+y^2=2ax,亦即 \left(x-a\right)^2+y^2=a^2。這表明這是一個圓心在 \left(a,0\right),而半徑為 a 的圓,此時我們根據圖形的意義知道面積為 \pi a^2。
若以嚴格的微積分論證來說明其面積,將採以下方法說明:首先可以知道 \theta 的範圍為 \left[-\pi/2,\pi/2\right]。如此所求的面積可以表達並計算如下
\begin{aligned}A&=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^2\,d\theta\\&=2a^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\\&=a^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\cos2\theta\right)\,d\theta\\&=a^2\left.\left(\theta+\frac{\sin2\theta}2\right)\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}\\&=\pi a^2.\end{aligned}
- 由於 1+\cos\theta\geq0,因此在 \theta\in\left[0,2\pi\right] 時不會產生軌跡重疊的現象。故所求面積可以列式並計算如下
\begin{aligned}A&=\frac12\int_0^{2\pi}4\left(1+\cos\theta\right)^2\,d\theta\\&=2\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)\,d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\left(3+4\cos\theta+\cos2\theta\right)\,d\theta\\&=\left.\left(3\theta+4\sin\theta+\frac{\sin2\theta}2\right)\right|_0^{2\pi}\\&=6\pi.\end{aligned}
訣竅
計算導數應使用定義處理,並配合使用夾擠定理。解法
訣竅
代入特殊值、配合微積分基本定理後解之。解法
訣竅
(a):先證明其收斂再計算其值;(b):直接計算積分後再用 L'Hôpital 法則。解法
訣竅
將限制條件分為等號成立與不成立兩種情況思考,前者可以利用 Lagrange 乘子函數處理,後者可以單純利用各方向偏導為零來求得;此外我們也可以修改題目條件使之成為等號的限制式,進而僅使用 Lagrange 乘子函數來求解。事實上除了運用 Lagrange 或偏導數的方法外,運用基礎的不等式原理即可求解之。而且方法相較於以上兩種更為簡潔。
解法一
由於 f\left(x,y\right)=x^2+3y^2+y,我們可以配方法為 \displaystyle f\left(x,y\right)=x^2+3\left(y+\frac16\right)^2-\frac1{12}。因此當 \displaystyle\left(x,y\right)=\left(0,-\frac16\right) 時能使 \displaystyle f\left(x,y\right)=-\frac1{12} 為最小值。另一方面,我們可以從限制式看出 -1\leq y\leq1。如此 f\left(x,y\right)=x^2+3y^2+y\leq1+2y^2+y\leq4。等號成立的條件分別為 x^2+y^2=1、y=1,因此當 \left(x,y\right)=\left(0,1\right) 能使 f\left(x,y\right)=4 為最大值。
解法二
首先考慮等號不成立的情形,亦即要尋找滿足 f_x=f_y=0 的座標。容易求得座標為 \displaystyle\left(0,-\frac16\right),且此座標滿足限制條件。若等號成立,那麼我們可以使用 Lagrange 乘子法,設 Lagrange 乘子函數為
F\left(x,y,\lambda\right)=x^2+3y^2+y+\lambda\left(x^2+y^2-1\right).
如此解下列聯立方程式\left\{\begin{aligned} &F_x\left(x,y,\lambda\right)=2x+2\lambda x=0,\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=6y+2\lambda y=0,\\&F_\lambda\left(x,y,\lambda\right)=x^2+y^2-1=0.\end{aligned}\right.
第一條方程給我們 x=0 或 \lambda=-1。f\left(0,1\right)=4、f\left(0,-1\right)=2、\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{15}}4,-\frac14\right)=\frac78、\displaystyle f\left(-\frac{\sqrt{15}}4,-\frac14\right)=\frac{11}8.
因此最大值為 4,最小值為 \displaystyle-\frac1{12}。
解法三
引入輔助變數 s,將限制條件式改寫為 x^2+y^2+s^2=1。如此設 Lagrange 乘子函數為\displaystyle F\left(x,y,s,\lambda\right)=x^2+3y^2+y+\lambda\left(x^2+y^2+s^2-1\right).
如此解下列聯立方程組\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial s}=\frac{\partial F}{\partial\lambda}=0.
如此能(根據解法二的方式)解得 \displaystyle\left(x,y\right)=\left(0,-\frac16\right)、\left(0,\pm1\right)、\displaystyle\left(\pm\frac{\sqrt{15}}4,-\frac14\right),因此代入檢驗可知最大值為 4,而最小值為 \displaystyle-\frac1{12}。訣竅
使用梯度計算法向量,使用對稱比例式列出直線方程式。解法
將方程寫為 x^2-xy-y^2-z=0,取梯度計算可得\nabla\left(x^2-xy-y^2-z\right)=\left(2x-y,-x-2y,-1\right).
於是在 \left(x,y,z\right)=\left(1,1,-1\right) 的法向量為 \left(1,-3,-1\right),因此根據對稱比例式可得\displaystyle\frac{x-1}1=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+1}{-1}.
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