- Suppose that f(x) is a function satisfying
ex≤f(x)≤ex+x2, |x|<1.
Find- f(0). (5%)
- f′(0). (10%)
- 取 x=0 代入即有
1=e0≤f(0)≤e0+02=1.
因此f(0)=1。 - 根據導數的定義有
f′(0)=limh→0f(h)−f(0)h=limh→0f(h)−1h.
而題幹的條件可以給我們有eh−1h≤f(h)−1h≤eh+h2−1h.
再者我們有limh→0eh−1h=1=limh→0eh+h2−1h.
因此由夾擠定理可知f′(0)=1。 - Suppose that f is a continuous function satisfying
f(x)=2+∫x0f(t)(t+2)(t+3)dt, x≥0.
Find- f(0). (5%)
- f(3). (10%)
- 取 x=0 代入,可得 f(0)=2。
- 將給定的方程對 x 微分可得
f′(x)=f(x)(x+2)(x+3).
容易整理為dff=dx(x+2)(x+3)=(1x+2−1x+3)dx.
對左右兩式同取積分可得lnf(x)=lnx+2x+3+lnC,
其中 C 為積分常數。藉由 f(0)=2 可知 C=3。因此我們可得f(x)=3(x+2)x+3,
如此有 f(3)=52。 - Compute the following:
- limn→∞an. Here a1=√6, a2=√6+√6, a3=√6+√6+√6,⋯ (5%)
- limt→0(∫10(1+x)tdx)1/t (10%)
首先證明有上界:當 n=1 時,則 a1=√6<3。設 n=k 時成立,即 ak<3,則 ak+1=√ak+6<3。因此由數學歸納法知 an<3,∀n∈N,亦即有上界。
再者由於 −2<ak<3,可知 (ak−3)(ak+2)<0,因此 ak+6>a2k,如此我們可以發現 ak+1=√ak+6>ak,因此數列遞增。
如此我們依單調有界定理可知其收斂。
設 limn→∞an=S,那麼 S 滿足 S=√6+S,因此 S=3。- 直接計算可知
∫10(1+x)tdx=(1+x)t+1t+1|10=2t+1−1t+1.
如此我們計算下列極限limt→0(2t+1−1t+1)1/t=limt→0exp(ln2t+1−1t+1t)=exp(limt→0ln2t+1−1t+1t)=4e,
其中最後的等號是根據下列的 L'Hôpital 法則的計算可知:limt→0ln2t+1−1t+1t=limt→0(t+12t+1−1⋅2t+1(t+1)ln2−2t+1+1(t+1)2)=2ln2−1=ln4e.
- (15%) Find all absolutely extreme values of the function
f(x,y)=x2+3y2+y
subject to the constraintx2+y2≤1.
- 若 x=0,則 y=±1。
- 若 λ=−1,則 y=−14、x=±√154。
- (10%) Find the normal line for the surface
z=x2−xy−y2
at the point (1,1,−1). - Evaluate the following:
- ∬Rex2+y2dxdy. Here R={(x,y):x2+y2≤1,y≥0}. (10%)
- ∫∞0e−x2dx. (5%)
- 令 x=rcosθ、y=rsinθ,根據題意所指出的區域可知 0≤r≤1、0≤θ≤π,如此可將原重積分改寫並計算如下
∫π0∫10er2rdrdθ=(∫π0dθ)(∫10rer2dr)=π2er2|10=π(e−1)2.
- 設此瑕積分值為 I,則
I2=(∫∞0e−x2dx)2=(∫∞0e−x2dx)(∫∞0e−y2dy)=∫∞0∫∞0e−(x2+y2)dxdy
使用極座標變換可改寫並計算此重積分如下I2=∫π/20∫∞0e−r2rdrdθ=π4∫∞0e−r2dr2=π4.
因此 I=√π2。 - Find the area of the region enclosed by the following:
- (5%) r=2acosθ, a>0.
- (10%) r=2(1+cosθ).
- 將方程式同乘以 r 可以得到 x2+y2=2ax,亦即 (x−a)2+y2=a2。這表明這是一個圓心在 (a,0),而半徑為 a 的圓,此時我們根據圖形的意義知道面積為 πa2。
若以嚴格的微積分論證來說明其面積,將採以下方法說明:首先可以知道 θ 的範圍為 [−π/2,π/2]。如此所求的面積可以表達並計算如下
A=12∫π/2−π/2r2dθ=2a2∫π/2−π/2cos2θdθ=a2∫π/2−π/2(1+cos2θ)dθ=a2(θ+sin2θ2)|π/2−π/2=πa2.
- 由於 1+cosθ≥0,因此在 θ∈[0,2π] 時不會產生軌跡重疊的現象。故所求面積可以列式並計算如下
A=12∫2π04(1+cosθ)2dθ=2∫2π0(1+2cosθ+cos2θ)dθ=∫2π0(3+4cosθ+cos2θ)dθ=(3θ+4sinθ+sin2θ2)|2π0=6π.
訣竅
計算導數應使用定義處理,並配合使用夾擠定理。解法
訣竅
代入特殊值、配合微積分基本定理後解之。解法
訣竅
(a):先證明其收斂再計算其值;(b):直接計算積分後再用 L'Hôpital 法則。解法
訣竅
將限制條件分為等號成立與不成立兩種情況思考,前者可以利用 Lagrange 乘子函數處理,後者可以單純利用各方向偏導為零來求得;此外我們也可以修改題目條件使之成為等號的限制式,進而僅使用 Lagrange 乘子函數來求解。事實上除了運用 Lagrange 或偏導數的方法外,運用基礎的不等式原理即可求解之。而且方法相較於以上兩種更為簡潔。
解法一
由於 f(x,y)=x2+3y2+y,我們可以配方法為 f(x,y)=x2+3(y+16)2−112。因此當 (x,y)=(0,−16) 時能使 f(x,y)=−112 為最小值。另一方面,我們可以從限制式看出 −1≤y≤1。如此 f(x,y)=x2+3y2+y≤1+2y2+y≤4。等號成立的條件分別為 x2+y2=1、y=1,因此當 (x,y)=(0,1) 能使 f(x,y)=4 為最大值。
解法二
首先考慮等號不成立的情形,亦即要尋找滿足 fx=fy=0 的座標。容易求得座標為 (0,−16),且此座標滿足限制條件。若等號成立,那麼我們可以使用 Lagrange 乘子法,設 Lagrange 乘子函數為
F(x,y,λ)=x2+3y2+y+λ(x2+y2−1).
如此解下列聯立方程式{Fx(x,y,λ)=2x+2λx=0,Fy(x,y,λ)=6y+2λy=0,Fλ(x,y,λ)=x2+y2−1=0.
第一條方程給我們 x=0 或 λ=−1。f(0,1)=4、f(0,−1)=2、f(√154,−14)=78、f(−√154,−14)=118.
因此最大值為 4,最小值為 −112。
解法三
引入輔助變數 s,將限制條件式改寫為 x2+y2+s2=1。如此設 Lagrange 乘子函數為F(x,y,s,λ)=x2+3y2+y+λ(x2+y2+s2−1).
如此解下列聯立方程組∂F∂x=∂F∂y=∂F∂s=∂F∂λ=0.
如此能(根據解法二的方式)解得 (x,y)=(0,−16)、(0,±1)、(±√154,−14),因此代入檢驗可知最大值為 4,而最小值為 −112。訣竅
使用梯度計算法向量,使用對稱比例式列出直線方程式。解法
將方程寫為 x2−xy−y2−z=0,取梯度計算可得∇(x2−xy−y2−z)=(2x−y,−x−2y,−1).
於是在 (x,y,z)=(1,1,−1) 的法向量為 (1,−3,−1),因此根據對稱比例式可得x−11=y−1−3=z+1−1.
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