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2017年5月6日 星期六

國立臺灣大學九十八學年度轉學生入學考試試題詳解

  1. Suppose that f(x) is a function satisfying

    exf(x)ex+x2, |x|<1.

    Find
    1. f(0). (5%)
    2. f(0). (10%)
  2. 訣竅計算導數應使用定義處理,並配合使用夾擠定理。
    解法
    1. x=0 代入即有

      1=e0f(0)e0+02=1.

      因此f(0)=1
    2. 根據導數的定義有

      f(0)=limh0f(h)f(0)h=limh0f(h)1h.

      而題幹的條件可以給我們有

      eh1hf(h)1heh+h21h.

      再者我們有

      limh0eh1h=1=limh0eh+h21h.

      因此由夾擠定理可知f(0)=1

  3. Suppose that f is a continuous function satisfying

    f(x)=2+x0f(t)(t+2)(t+3)dt, x0.

    Find
    1. f(0). (5%)
    2. f(3). (10%)
  4. 訣竅代入特殊值、配合微積分基本定理後解之。
    解法
    1. x=0 代入,可得 f(0)=2
    2. 將給定的方程對 x 微分可得

      f(x)=f(x)(x+2)(x+3).

      容易整理為

      dff=dx(x+2)(x+3)=(1x+21x+3)dx.

      對左右兩式同取積分可得

      lnf(x)=lnx+2x+3+lnC,

      其中 C 為積分常數。藉由 f(0)=2 可知 C=3。因此我們可得

      f(x)=3(x+2)x+3,

      如此有 f(3)=52

  5. Compute the following:
    1. limnan. Here a1=6, a2=6+6, a3=6+6+6, (5%)
    2. limt0(10(1+x)tdx)1/t (10%)
  6. 訣竅(a):先證明其收斂再計算其值;(b):直接計算積分後再用 L'Hôpital 法則。
    解法
    1. 首先證明有上界:當 n=1 時,則 a1=6<3。設 n=k 時成立,即 ak<3,則 ak+1=ak+6<3。因此由數學歸納法知 an<3nN,亦即有上界。

      再者由於 2<ak<3,可知 (ak3)(ak+2)<0,因此 ak+6>a2k,如此我們可以發現 ak+1=ak+6>ak,因此數列遞增。

      如此我們依單調有界定理可知其收斂。
      limnan=S,那麼 S 滿足 S=6+S,因此 S=3
    2. 直接計算可知

      10(1+x)tdx=(1+x)t+1t+1|10=2t+11t+1.

      如此我們計算下列極限

      limt0(2t+11t+1)1/t=limt0exp(ln2t+11t+1t)=exp(limt0ln2t+11t+1t)=4e,

      其中最後的等號是根據下列的 L'Hôpital 法則的計算可知:

      limt0ln2t+11t+1t=limt0(t+12t+112t+1(t+1)ln22t+1+1(t+1)2)=2ln21=ln4e.


  7. (15%) Find all absolutely extreme values of the function

    f(x,y)=x2+3y2+y

    subject to the constraint

    x2+y21.

  8. 訣竅將限制條件分為等號成立與不成立兩種情況思考,前者可以利用 Lagrange 乘子函數處理,後者可以單純利用各方向偏導為零來求得;此外我們也可以修改題目條件使之成為等號的限制式,進而僅使用 Lagrange 乘子函數來求解。

    事實上除了運用 Lagrange 或偏導數的方法外,運用基礎的不等式原理即可求解之。而且方法相較於以上兩種更為簡潔。

    解法一由於 f(x,y)=x2+3y2+y,我們可以配方法為 f(x,y)=x2+3(y+16)2112。因此當 (x,y)=(0,16) 時能使 f(x,y)=112 為最小值。

    另一方面,我們可以從限制式看出 1y1。如此 f(x,y)=x2+3y2+y1+2y2+y4。等號成立的條件分別為 x2+y2=1y=1,因此當 (x,y)=(0,1) 能使 f(x,y)=4 為最大值。

    解法二首先考慮等號不成立的情形,亦即要尋找滿足 fx=fy=0 的座標。容易求得座標為 (0,16),且此座標滿足限制條件。

    若等號成立,那麼我們可以使用 Lagrange 乘子法,設 Lagrange 乘子函數為

    F(x,y,λ)=x2+3y2+y+λ(x2+y21).

    如此解下列聯立方程式

    {Fx(x,y,λ)=2x+2λx=0,Fy(x,y,λ)=6y+2λy=0,Fλ(x,y,λ)=x2+y21=0.

    第一條方程給我們 x=0λ=1
    • x=0,則 y=±1
    • λ=1,則 y=14x=±154
    因此有 (x,y)=(0,±1)(x,y)=(±154,14)。代入有

    f(0,1)=4f(0,1)=2f(154,14)=78f(154,14)=118.

    因此最大值為 4,最小值為 112

    解法三引入輔助變數 s,將限制條件式改寫為 x2+y2+s2=1。如此設 Lagrange 乘子函數為

    F(x,y,s,λ)=x2+3y2+y+λ(x2+y2+s21).

    如此解下列聯立方程組

    Fx=Fy=Fs=Fλ=0.

    如此能(根據解法二的方式)解得 (x,y)=(0,16)(0,±1)(±154,14),因此代入檢驗可知最大值為 4,而最小值為 112

  9. (10%) Find the normal line for the surface

    z=x2xyy2

    at the point (1,1,1).
  10. 訣竅使用梯度計算法向量,使用對稱比例式列出直線方程式。
    解法將方程寫為 x2xyy2z=0,取梯度計算可得

    (x2xyy2z)=(2xy,x2y,1).

    於是在 (x,y,z)=(1,1,1) 的法向量為 (1,3,1),因此根據對稱比例式可得

    x11=y13=z+11.


  11. Evaluate the following:
    1. Rex2+y2dxdy. Here R={(x,y):x2+y21,y0}. (10%)
    2. 0ex2dx. (5%)
  12. 訣竅兩者均使用極座標變換。
    解法
    1. x=rcosθy=rsinθ,根據題意所指出的區域可知 0r10θπ,如此可將原重積分改寫並計算如下

      π010er2rdrdθ=(π0dθ)(10rer2dr)=π2er2|10=π(e1)2.

    2. 設此瑕積分值為 I,則

      I2=(0ex2dx)2=(0ex2dx)(0ey2dy)=00e(x2+y2)dxdy

      使用極座標變換可改寫並計算此重積分如下

      I2=π/200er2rdrdθ=π40er2dr2=π4.

      因此 I=π2

  13. Find the area of the region enclosed by the following:
    1. (5%) r=2acosθ, a>0.
    2. (10%) r=2(1+cosθ).
  14. 訣竅使用極座標面積公式即可求解。
    解法
    1. 將方程式同乘以 r 可以得到 x2+y2=2ax,亦即 (xa)2+y2=a2。這表明這是一個圓心在 (a,0),而半徑為 a 的圓,此時我們根據圖形的意義知道面積為 πa2

      若以嚴格的微積分論證來說明其面積,將採以下方法說明:首先可以知道 θ 的範圍為 [π/2,π/2]。如此所求的面積可以表達並計算如下

      A=12π/2π/2r2dθ=2a2π/2π/2cos2θdθ=a2π/2π/2(1+cos2θ)dθ=a2(θ+sin2θ2)|π/2π/2=πa2.

    2. 由於 1+cosθ0,因此在 θ[0,2π] 時不會產生軌跡重疊的現象。故所求面積可以列式並計算如下

      A=122π04(1+cosθ)2dθ=22π0(1+2cosθ+cos2θ)dθ=2π0(3+4cosθ+cos2θ)dθ=(3θ+4sinθ+sin2θ2)|2π0=6π.

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