國立臺灣大學九十九學年度轉學生入學考試試題詳解

※注意：請於答案卷上依序作答，並應註明作答之大題及其題號。

1. Compute the following integrals.
   1. ($10\%$)

      $\displaystyle\int x^3e^{x^2}\,dx$.

   2. ($10\%$)

      $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}$.

訣竅
使用變數代換法、分部積分法與有理函數積分法。
解法

1. 先使用變數代換如 $u=x^2$，則 $\displaystyle x^3\,dx=\frac12u\,du$，因此所求的積分可改寫為

   $\begin{aligned}\int x^3e^{x^2}dx&=\frac12\int ue^u\,du\\&=\frac12\left(ue^u-\int e^u\,du\right)\\&=\frac12\left(ue^u-e^u\right)+C\\&=\frac12\left(x^2e^{x^2}-e^{x^2}\right)+C.\end{aligned}$

2. 此題使用有理函數積分法，計算如下

   $\displaystyle\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+2x+2}=\int_0^\infty\frac{dx}{\left(x+1\right)^2+1}=\arctan\left(x+1\right)\Big|_0^\infty=\frac\pi2-\frac\pi4=\frac\pi4$.



2. Let

   $\begin{aligned}f\left(x\right)&=\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}-x^2,\\g\left(x\right)&=\cos x\sin\left(x^2\right)-x^2.\end{aligned}$

   1. ($10\%$) Compute the coefficients of $x^4$ and $x^9$ in the Taylor series of $f\left(x\right)$ at $x=0$.
   2. ($10\%$) Compute the coefficients of $x^4$ and $x^6$ in the Taylor series of $g\left(x\right)$ at $x=0$.
   3. ($10\%$) Compute $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.
訣竅
整理公因式後尋找需求的次方。
解法

1. 整理 $f\left(x\right)$ 可得 $\displaystyle f\left(x\right)=x^2\left(\frac1{\sqrt{1+x^2}}-1\right)$。因此我們僅需考慮 $\displaystyle\frac1{\sqrt{1+x^2}}$ 的 Taylor 展開式如下

   $\displaystyle\frac1{\sqrt{1+x^2}}=\left(1+x^2\right)^{-1/2}=\sum_{k=0}^\infty{-1/2\choose k}x^{2k}=\sum_{k=0}^\infty\left(-1\right)^k\frac{\left(2k\right)!}{2^{2k}\left(k!\right)^2}x^{2k}=1-\frac{x^2}2+\frac{3x^4}8-\frac{5x^6}{16}\pm\cdots$

   其中 ${-1/2\choose k}$ 計算如下

   $\begin{aligned}{-1/2\choose k}&=\frac{\displaystyle\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\cdots\left(-\frac{2k-1}2\right)}{1\cdot2\cdot\cdots\cdot k}\\&=\left(-1\right)^k\frac{1\cdot3\cdot\cdots\cdot\left(2k-1\right)}{2^kk!}\stackrel{\displaystyle\mbox{同乘以}~2\cdot4\cdot\cdots\cdot2k}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\left(-1\right)^k\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\cdots\cdot\left(2k-1\right)\cdot2k}{2^kk!\cdot2\cdot4\cdot\cdots\cdot2k}\\&=\left(-1\right)^k\frac{\left(2k\right)!}{2^{2k}\left(k!\right)^2}.\end{aligned}$

   因此可以代入求得

   $\displaystyle f\left(x\right)=-\frac{x^4}2+\frac{3x^6}8-\frac{5x^8}{16}\pm\cdots$.

   故 $f\left(x\right)$ 的 $x^4$ 的係數為 $\displaystyle-\frac12$，而 $x^9$ 的係數為 $0$。
2. 直接代入已知的 Taylor 展開式至 $g\left(x\right)$ 中可以得到

   $\displaystyle\begin{aligned}g\left(x\right)&=\left(1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\pm\cdots\right)\left(x^2-\frac{x^6}6+\frac{x^{10}}{120}\pm\cdots\right)-x^2\\&=-\frac{x^4}2-\frac{x^6}8\pm\cdots.\end{aligned}$

   因此 $g\left(x\right)$ 的 $x^4$ 的係數為 $\displaystyle-\frac12$，而 $x^6$ 的係數為 $\displaystyle-\frac18$。
3. 根據前兩個小題的結果，我們可以知道

   $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1.$



3. Let $\Omega=\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2\leq1\right\}$. Given

   $\displaystyle\begin{aligned}A&=\iint_\Omega\sin\left(x^2\right)\cos\left(y^2\right)\,dx\,dy,\\B&=\iint_\Omega\cos\left(x^2\right)\sin\left(y^2\right)\,dx\,dy.\end{aligned}$

   Let $C=A+B$. Then $C$ is equal to an iterated integral which is expressed in terms of polar coordinates $r$ and $\theta$.
   1. ($10\%$) First derive this iterated integral expression for $C$ in polar coordinates, then compute the value of $C$.
   2. ($10\%$) Prove that $A=B$.
訣竅
根據題意使用極座標變換，注意可使用和差角公式化簡；或使用變數代換的技巧。
解法

1. 根據 $C$ 的定義，我們知

   $\displaystyle C=\iint_\Omega\sin\left(x^2+y^2\right)\,dx\,dy$

   因此利用極座標變換可以改寫並計算如下

   $\displaystyle C=\int_0^{2\pi}\int_0^1\sin\left(r^2\right)r\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^1r\sin\left(r^2\right)\,dr=-\pi\cos\left(r^2\right)\Big|_0^1=\pi\left(1-\cos\left(1\right)\right).$

2. 將雙重積分改為迭代積分，其中將變數名稱交替即可發現如下事實：

   $\displaystyle\begin{aligned}A&=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\sin\left(x^2\right)\cos\left(y^2\right)\,dy\,dx\\&=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\sin\left(y^2\right)\cos\left(x^2\right)\,dx\,dy=B.\end{aligned}$



4. Let $f\left(x,y\right)=x^2+4xy+y^2$. We call the region $\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2<1\right\}$ open disk $D_1$, $\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2\leq1\right\}$ the closed disk $D_2$, and $\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2=1\right\}$ the circle $C$.
   1. ($10\%$) On the open disk $D_1$ find, if there is any, those points on which $f\left(x,y\right)$ is a relative minimum, relative maximum or a saddle point.
   2. ($10\%$) On the circle $C$ compute the absolute maximum value and absolute minimum value of $f\left(x,y\right)$.
   3. ($10\%$) On the closed disk $D_2$ give your reasons to find the absolute maximum value and absolute minimum value of $f\left(x,y\right)$.
訣竅
使用偏微分尋求極值或鞍點可能出現的位置，再以二次偏微分確認其類型。
解法
1. 首先解聯立方程

   $\left\{\begin{aligned}&f_x\left(x,y\right)=2x+4y=0,\\&f_y\left(x,y\right)=4x+2y=0.\end{aligned}\right.$

   易得 $\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$，且 $f\left(0,0\right)=0$。再者 $f_{xx}=2$、$f_{xy}=4=f_{yx}$、$f_{yy}=2$，如此有 $f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=-12<0$，因此 $\left(0,0\right)$ 為鞍點。結論：$f$ 在 $D_1$ 上僅有鞍點 $\left(0,0\right)$，而無相對極大與相對極小值。
2. 此處我們提供兩種解法。

   【解法一】首先可以看出

   $f\left(x,y\right)=1+4xy\leq1+2\left(x^2+y^2\right)=3$.

   容易看出等號成立條件為 $x=y$，因此當 $\displaystyle x=y=\pm\frac1{\sqrt2}$ 時可得最大值 $3$。另一方面，也可以發現

   $f\left(x,y\right)=1+4xy\geq1-2\left(x^2+y^2\right)=-1$,

   其中等號成立條件為 $x+y=0$，因此當 $\displaystyle x=-y=\pm\frac1{\sqrt2}$時可得最小值 $-1$。

   【解法二】運用 Lagrange 乘子法，設

   $F\left(x,y,\lambda\right)=x^2+4xy+y^2+\lambda\left(x^2+y^2-1\right)$.

   據此解聯立方程式

   $\left\{\begin{aligned} &F_x\left(x,y,\lambda\right)=2x+4y+2\lambda x=0,\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=4x+2y+2\lambda y=0,\\&F_\lambda\left(x,y,\lambda\right)=x^2+y^2-1=0.\end{aligned}\right.$

   前兩式相加可得 $6\left(x+y\right)+2\lambda\left(x+y\right)=0$，如此可知 $\lambda=-3$ 或 $x+y=0$。
   • 若 $x+y=0$，則由第三式可知 $\displaystyle x=-y=\pm\frac1{\sqrt2}$；
   • 若 $\lambda=-3$，代回第一式有 $x=y$，如此由第三式可知 $\displaystyle x=y=\frac1{\sqrt2}$。
   代入檢驗後可知絕對極大值為 $\displaystyle f\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)=f\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)=3$，
   而絕對極小值為 $\displaystyle f\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)=f\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)=-1$。

3. 因為 $D_2=D_1\cup C$，因此我們可以綜合前兩小題的結論，最大值為 $3$，最小值為 $-1$。