請依照題號順序作答。所有數字必須化為最簡分數，未依規定者該題不予計分。
除作圖外，答案限用黑色或藍色筆書寫。試題共三大題，第一大題為單選題，每題各佔 $5\%$。第二大題為多選題，每題各佔 $10\%$。第三大題為計算題，每題各佔 $15\%$。
- 單選題（占 $40$ 分） （說明：第 $1$ 題至第 $8$ 題，每題 $5$ 個選項，其中只有一個是最適當的答案，請作答於答案卷首頁之選擇題作答區，答案選項為大寫之 (A)～(E) $5$ 個選項。
- 已知 $3x^2+2xy+y^2=1$，$dy/dx$ 等於下列哪一個選項？
- $\displaystyle-\frac{3x+y}{y^2} $
- $\displaystyle-\frac{3x+y}{x+y}$
- $\displaystyle\frac{1-3x-y}{x+y}$
- $\displaystyle-\frac{3x}{1+y}$
- $\displaystyle-\frac{3x}{x+y}$
- 下述五個選項中，那個選項中的 $x$ 取值，使得級數 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n3^n}{x^n}$ 收斂？
- 除了 $x=0$ 之外
- $x=3$
- $-3\leq x\leq3$
- $\left|x\right|>3$
- 對所有的 $x$，該級數都發散。
- 已知 $df\left(x\right)/dx=g\left(x\right)$ 且 $h(x)=x^3$，則 $\displaystyle\frac d{dx}f\left(h\left(x\right)\right)$ 等於下列哪一個選項？
- $g\left(x^3\right)$
- $3x^2g\left(x\right)$
- $g'\left(x\right)$
- $3x^2g\left(x^3\right)$
- $x^3g\left(x^3\right)$
- 就下述之極限而言，哪一個選項正確？
$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos\left(\frac{3\pi}2+h\right)-\cos\left(\frac{3\pi}2\right)}h$
- 極限為 $1$
- 極限為 $2$
- 極限為 $0$
- 極限為 $-1$
- 極限不存在。
- 若對所有的實數 $x$，$F'\left(x\right)$ 皆為連續函數，則 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_3^{3+h^2}F'\left(x\right)\,dx$ 等於下列哪一個選項？
- $0$
- $F\left(0\right)$
- $F\left(3\right)$
- $F'\left(0\right)$
- $F'\left(3\right)$
- Note that $z=f(x,y)$ where $f$ is differentiable, $x=g(t)$, and $y=h(t)$. It is known that $g(3)=2$, $g'\left(3\right)=5$, $h\left(3\right)=7$, $h'\left(3\right)=-4$, $f_x\left(2,7\right)=6$, and $f_y\left(2,7\right)=-8$. Determine the value of $dz/dt$ at $t=3$.
- $62$
- $30$
- $32$
- $-2$
- $1$。
- Let $g$ be the function given by $\displaystyle g\left(x\right)=\int_1^x100\left(t^2-3t+2\right)\exp\left(-t^2\right)\,dt$. Which of the following statements about $g$ must be true?
- $g$ is increasing on the interval $\left(1,2\right)$.
- $g$ is increasing on the interval $\left(2,3\right)$.
- $g\left(3\right)>0$
- I only
- II only
- III only
- II and III only
- I, II, and III。
- If $dy/dx=y\sec^2x$ and $y=5$ when $x=0$, then $y=$
- $e^{\tan x}+4$
- $e^{\tan x}+5$
- $5e^{\tan x}$
- $\tan x+5$
- $\tan x+5e^x$。
- 多選題（占 $30$ 分） （說明：每題 $10$ 分，第 $9$ 題至第 $11$ 題，每題有 $5$ 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請作答於答案卷首頁之選擇題作答區，答案選項為大寫之 (A)～(E) $5$ 個選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 $10$ 分；每答錯一個選項扣 $3$ 分；所有選項均未作答或答錯多於 $2$ 個選項者，該題以零分計算。）
- 當 $z=f\left(x,y\right)$，且 $x=r\cos\theta$ 及 $y=r\sin\theta$。請問下列哪些選項是正確的？
- $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta$
- $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial\theta}=r\left(-\sin\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial x}+\cos\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial y}\right)$
- $\displaystyle\frac{\partial^2z}{\partial r^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\cos^2\theta+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\cos\theta\sin\theta$
- $\displaystyle\frac{\partial^2z}{\partial r^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\cos^2\theta+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\cos\theta\sin\theta+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\sin^2\theta$
- $\displaystyle\frac{\partial^2z}{\partial r\partial\theta}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\cos\theta-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\sin\theta$
- 令 $I$ 代表下列積分
$\displaystyle\int_0^2\int_0^{\sqrt{2x-x^2}}\left(x^2+y^2\right)\,dy\,dx$.
請問下列哪些選項是正確的？- $\displaystyle I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta$
- $\displaystyle I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^2\,dr\,d\theta$
- $\displaystyle I=\iint_\Omega\left(x^2+y^2\right)\,dA$，其中 $\Omega$ 為以 $\left(1,0\right)$ 為圓心，半徑為 $1$ 的圓盤
- $\displaystyle I=4\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta$
- $I\leq4\pi$
- Let $A$ be the region bounded above by the graph of $y=\sin\left(\pi x\right)$ and below by the graph of $y=x^3-4x$.
- $\left(2.1,0.8\right)$ falls into the region $A$.
- The area of $A$ can be represented by $\displaystyle\int_0^2\left[\sin\left(\pi x\right)-\left(x^3-4x\right)\right]dx$.
- The area of $A$ is equal to $4$.
- The region $A$ is the base of a solid. For this solid, each cross section perpendicular to the $x$-axis is a square. The volume of this solid is equal to $\displaystyle\int_0^2\left[\sin\left(\pi x\right)-\left(x^3-4x\right)\right]^2dx$.
- The region $A$ models the surface of a small pond. At all points in $A$ at a distance $x$ from the $y$-axis, the depth of the water is given by $h\left(x\right)=3-x$. The volume of water in the pond is equal to $\displaystyle\int_0^2\left(3-x\right)\left[\sin\left(\pi x\right)-\left(x^3-4x\right)\right]dx$.
- 計算題（佔 $30$ 分） （說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號 $\left(12,13\right)$ 與子題號 $\left(\left(a\right)\right.$、$\left.\left(b\right)\right)$，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。各小題配分標於題末。）
- ($15$分) Let $f\left(x,y,z\right)=xyz$. Find the maximum and minimum values of $f$ subject to the constraint $x^2+y^2+z^2=3$.
- Use Lagrange multiplier to obtain the system of equations to be solved. ($7$分)
- Find the maximum and minimum values of $f$. ($8$分)
- 設 Lagrange 乘子函數如下
$F\left(x,y,z,\lambda\right)=xyz+\lambda\left(x^2+y^2+z^2-3\right).$
據此解下列聯立方程組$\left\{\begin{aligned}&F_x(x,y,z,\lambda)=yz+2x\lambda=0,\\&F_y(x,y,z,\lambda)=xz+2y\lambda=0,\\&F_z(x,y,z,\lambda)=xy+2z\lambda=0,\\&F_\lambda(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2-3=0.\end{aligned}\right.$
若當 $\lambda=0$，則由前三式可知 $xy=yz=xz=0$，則表明三個變數中至少其中兩者為 $0$，最後使用最後一式可知至少有一個變數為 $\pm\sqrt3$，因此解出 $\left(x,y,z\right)=\left(\pm\sqrt3,0,0\right)$、$\left(0,\pm\sqrt3,0\right)$、$\left(0,0,\pm\sqrt3\right)$。
若當 $\lambda\neq0$，則第一式給出 $\displaystyle x=-\frac{yz}{2\lambda}$，代入第二式中有 $\displaystyle-\frac{yz^2}{2\lambda}+2y\lambda=0$，兩邊同乘以 $2\lambda$ 並提出公因式 $y$ 有 $y\left(4\lambda^2-z^2\right)=0$，故 $y=0$ 或 $z^2=4\lambda^2$。當 $y=0$ 時則由第一式與第三式可知 $x\lambda=z\lambda=0$，但根據討論的假設考慮 $\lambda\neq0$，因而有 $x=y=z=0$，這與第四式不合。因此得 $z^2=4\lambda^2$。
另一方面，我們也可將 $\displaystyle x=-\frac{yz}{2\lambda}$ 代入第三式後同乘以 $2\lambda$ 並提出公因式 $z$ 可得 $z\left(4\lambda^2-y^2\right)=0$，並且當 $z=0$ 時亦會推出 $x=y=z=0$ 而矛盾，故 $y^2=4\lambda^2$。
除此之外，從第二式分析下去也可以得出 $x^2=4\lambda^2$，因此最後我們利用第四式可以結論出 $x^2=y^2=z^2=1$，亦即我們能得出座標 $\left(x,y,z\right)=\left(\pm1,1,1\right)$、$\left(\pm1,-1,1\right)$、$\left(\pm1,1,-1\right)$、$\left(\pm1,-1,-1\right)$，共八點。至終，透過前述分析的全部座標檢查可知最大值與最小值分別為 $1$ 與 $-1$。 - 【方法一】 承上小題可知 $f$ 的極大值為 $1$；極小值為 $-1$。
【方法二】由算幾不等式可知$\displaystyle1=\frac{x^2+y^2+z^2}3\geq\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}$.
因此有 $1\geq xyz\geq-1$。 - ($15$分)
$\displaystyle I\left(r\right)=\int\int_{\Omega_r}\exp\left[-\left(x^2+2xy+3y^2\right)\right]dA$
where $\Omega_r=\left\{\left(x,y\right)|x^2+2xy+3y^2\leq r^2\right\}$.- Evaluate $I\left(1\right)$.
- Find $\displaystyle\lim_{r\to\infty}I\left(r\right)$.
- 由於 $-\left(x^2+2xy+3y^2\right)=-\left(x+y\right)^2-\left(\sqrt2y\right)^2$，因此令 $u=x+y$、$v=\sqrt2y$，我們有
$\begin{aligned}I\left(1\right)&=\iint_{\Omega_1}\exp\left[-\left(x^2+2xy+3y^2\right)\right]dA\\&=\iint_{\Omega_1}e^{-\left(u^2+v^2\right)}\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|\,du\,dv\\&=\frac1{\sqrt2}\iint_{\Omega_1}e^{-\left(u^2+v^2\right)}\,du\,dv.\end{aligned}$
此時採取極座標變換可得$\displaystyle I\left(1\right)=\frac1{\sqrt2}\int_0^{2\pi}\int_0^1e^{-r^2}r\,dr\,d\theta=\frac{2\pi}{\sqrt2}\int_0^1\frac{e^{-r^2}}2\,dr^2=-\left.\frac\pi{\sqrt2}e^{-r^2}\right|_0^1=\frac{\pi\left(1-e^{-1}\right)}{\sqrt2}.$
- 方法同上小題可得 $\displaystyle I\left(r\right)=\frac\pi{\sqrt2}\left(1-e^{-r^2}\right)$，因此可知 $\displaystyle\lim_{r\to\infty}I\left(r\right)=\frac\pi{\sqrt2}$。
各題答對得 $5$ 分；未作答、答錯或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。）
訣竅
使用隱函數微分即可。解法
將題幹所給定的方程對 $x$ 微分可得$\displaystyle6x+2y+2x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0$.
整理後有$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{3x+y}{x+y}$.
因此選 (B)。訣竅
應用比值審斂法即可。解法
設 $\displaystyle a_n=\frac{n3^n}{x^n}$，則由比值審歛法知收斂條件為$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac3x\cdot\frac{n+1}n\right|<1$,
即 $\left|x\right|>3$。再者檢查 $x=3$ 與 $x=-3$ 的情形易知皆不合，因此選 (D)。訣竅
根據連鎖律進行微分即可。解法
按連鎖律計算如下$\displaystyle\frac d{dx}f\left(h\left(x\right)\right)=\frac{df}{dx}\left(h\left(x\right)\right)\cdot\frac{dh}{dx}\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)\cdot3x^2=3x^2g\left(x^3\right)$,
故選 (D)。訣竅
根據極限的定義求解即可；或使用 L'Hôpital 法則亦可（但有倒因為果之嫌）。解法一
可以看出此為求 $\cos x$ 在 $\displaystyle x=\frac{3\pi}2$ 的導數，故其值為 $\displaystyle-\sin\frac{3\pi}2=1$。故選 (A)。解法二
使用和角公式展開，且 $\displaystyle\cos\frac{3\pi}2=0$，則原式可化為 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}h=1$。故選 (A)。解法三
直接使用 L'Hôpital 法則即有 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{-\sin\left(\frac{3\pi}2+h\right)}1=1$。故選 (A)。訣竅
使用 L'Hôpital 法則以及微積分基本定理即可。解法一
先使用 L'Hôpital 法則後使用微積分基本定理：$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_3^{3+h^2}F'\left(x\right)\,dx=\lim_{h\to0}\frac{F'\left(3+h^2\right)\cdot2h}1=0$,
故選 (A)。解法二
先積分後再使用 L'Hôpital 法則：$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_3^{3+h^2}F'\left(x\right)\,dx=\lim_{h\to0}\frac{F\left(3+h^2\right)-F\left(3\right)}h=\lim_{h\to0}\frac{F'\left(3+h^2\right)\cdot2h}1=0$,
故選 (A)。訣竅
根據雙變數微分的連鎖律。解法
由於$\displaystyle\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$,
故$\begin{aligned}\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}&=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x,y\right)=\left(2,7\right)}\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=3}+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\left(x,y\right)=\left(2,7\right)}\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=3}\\&=6\cdot5+\left(-8\right)\cdot\left(-4\right)=62.\end{aligned}$
因此選 (A)。訣竅
使用微分並配合微積分基本定理來判斷函數在該區間大於零是否遞增。解法
運用微積分基本定理，立即有$g'\left(x\right)=100\left(x-1\right)\left(x-2\right)e^{-x^2}$.
因此可以知道在 $t\in\left(1,2\right)$ 時，$g'\left(t\right)<0$；在 $t\in\left(2,3\right)$ 時，$g'\left(t\right)>0$，因此 I 錯，II 對。另一方面，
$\begin{aligned}g\left(3\right)&=100\int_1^3\left(t^2-3t+2\right)\exp\left(-t^2\right)dt\\&=100\int_1^2\left(t-1\right)\left(t-2\right)e^{-t^2}dt+100\int_2^3\left(t-1\right)\left(t-2\right)e^{-t^2}dt.\end{aligned}$
仔細觀察可知第一項為負而第二項為正，但根據 $e^{-t^2}$ 遞減可知整體為負，如下圖
$\begin{aligned}100\int_1^2\left(t-1\right)\left(t-2\right)e^{-t^2}dt&\leq100\int_1^2\left(t^2-3t+2\right)e^{-2t}dt\\=&-50(t^2-3t+2)e^{-2t}\Big|_1^2+50\int_1^2(2t-3)e^{-2t}dt\\&=-25\left(2t-3\right)e^{-2t}\Big|_1^2+50\int_1^2e^{-2t}dt=-50e^{-4}.\end{aligned}$
另一方面，在 $[2,3]$ 上有 $t^2\geq2t$，從而有 $e^{-t^2}\leq e^{-2t}$，故使用分部積分法計算可知$\begin{aligned}100\int_2^3(t-1)(t-2)e^{-t^2}dt&\leq100\int_2^3(t^2-3t+2)e^{-2t}dt\\&=-50(t^2-3t+2)e^{-2t}\Big|_2^3+50\int_2^3(2t-3)e^{-2t}dt\\&=-100e^{-6}+\left[-25(2t-3)e^{-2t}\Big|_2^3+50\int_2^3e^{-2t}dt\right]\\&=-200e^{-6}+50e^{-4}.\end{aligned}$
如此 $g(3)\leq-200e^{-6}$，因此 III 錯。故選 (B)。
訣竅
使用分離變數法解微分方程；或直接將選項微分後檢查是否滿足題幹，請自行驗證。解法
可以整理題幹的方程為 $\displaystyle\frac{dy}y=\sec^2x\,dx$，如此同取積分後可得 $\ln y=\tan x+C$，其中 $C$ 為積分常數。透過 $y=5$、$x=0$ 可決定 $C=\ln5$，因此 $y=5e^{\tan x}$，故選 (C)。訣竅
根據多變數偏微分的連鎖律計算即可。解法
因為 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta$，故 (A) 錯誤。因為 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial\theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot-r\sin\theta+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot r\cos\theta=r\left(-\sin\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial x}+\cos\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial y}\right)$，故 (B) 正確。
因為
$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial^2z}{\partial r^2}&=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta\right)\\&=\left[\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}\right)\frac{\partial x}{\partial r}+\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}\right)\frac{\partial y}{\partial r}\right]\cos\theta+\left[\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\partial x}{\partial r}+\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\partial y}{\partial r}\right]\sin\theta\\&=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\cos^2\theta+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\cos\theta\sin\theta+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\sin^2\theta,\end{aligned}$
故 (C) 錯誤，(D) 正確。因為
$\begin{aligned}\frac{\partial^2z}{\partial r\partial\theta}&=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial\theta}\right)=\frac{\partial}{\partial r}\left[r\left(-\sin\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial x}+\cos\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]\\&=\left(-\sin\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial x}+\cos\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial y}\right)+r\left[-\sin\theta\cdot\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)+\cos\theta\cdot\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]\\&=-\sin\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial x}+\cos\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial y}+r\left[-\sin\theta\cdot\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\cos\theta+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\sin\theta\right)+\cos\theta\cdot\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\cos\theta+\frac{\partial^2f}{\partial^2y}\sin\theta\right)\right]\\&=-\sin\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial x}+\cos\theta\cdot\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}r\cos2\theta+\left(\frac{\partial^2f}{\partial y^2}-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)r\cos\theta\sin\theta,\end{aligned}$
故 (E) 錯誤。因此應選 (B)(D)。
訣竅
根據選項可知其測驗目的為利用極座標概念等來修改積分區域，並計算其值。解法
根據極座標變換，原重積分可化為如下$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta$,
故 (A)(B) 皆錯誤。而 (C) 的敘述應修改為「$\Omega$ 為以 $\left(1,0\right)$ 為圓心，半徑為 $1$ 的上半圓。」，故也錯誤。繼續計算其值有$\displaystyle I=\frac14\int_0^{\pi/2}r^4\Big|_0^{2\cos\theta}d\theta=4\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta$.
因此 (D) 也錯誤，但承上式可看出$\displaystyle I<4\int_0^{\pi/2}1d\theta=2\pi<4\pi$.
因此 (E) 正確，故僅選 (E)。訣竅
根據選項，此題應先建立其區域範圍的概念，據此進行列式即可。解法
欲計算 $A$ 區域面積可以列式並計算如下
$\displaystyle A=\int_0^2\left[\sin\left(\pi x\right)-\left(x^3-4x\right)\right]dx=\left.\left(-\frac{\cos\left(\pi x\right)}\pi-\frac{x^4}4+2x^2\right)\right|_0^2=4$.
因此 (B)(C) 正確。根據 (D) 的題意考慮一個立體圖形，以 $A$ 區域為基準面，且垂直 $x$ 軸的正方形平面，因此可列式如 (D) 選項從而正確。
根據 (E) 的題意指出考慮 $A$ 區域為小池塘的表面，且水深為 $h\left(x\right)=3-x$，因此根據體積為體積元的積分，表達起來即如 (E) 選項所述，因此 (E) 正確。
應選 (B)(C)(D)(E)。
第11題如果直接上減下，sin(πx)在屬於0~2間面積會抵消，這樣只有算到(x^3+4x)的面積，所以應該BC不對?
回覆刪除就是直接上減下計算沒錯，就算sin的面積會抵消又如何呢？
刪除