國立臺灣大學一百零三學年度轉學生入學考試試題詳解

要有演算過程或寫出理由，否則扣分。

1. ($10\%$) Find the value of $c$ such that the limit exists and evaluate the limit.

   $\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{c}{x^3-1}\right)$

訣竅
通分後計算後即可，目的要消去分母的因子 $x-1$。
解法
整理原式可得
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2+x+\left(1-c\right)}{x^3-1}$.
若 $c=3$，則分子有因式 $x-1$，約去後可以計算
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^2+x+1}=1$.
若 $c\neq3$，則分子沒有 $x-1$ 作為因式，從而極限不存在。


2. ($15\%$) Find the extreme values of $f\left(x\right)=x^x$ for $x>0$.
訣竅
極值發生在端點或不可微分點或微分為零處。
解法
將函數改寫為 $f\left(x\right)=e^{x\ln x}$，進行微分可得
$f'\left(x\right)=e^{x\ln x}\left(1+\ln x\right)=0$,
如此可解得 $x=e^{-1}$。
進一步地，我們有 $f''\left(x\right)=x^x\left(1+\ln x\right)^2+x^{x-1}$，故 $f''\left(e^{-1}\right)=e^{1-e^{-1}}>0$，因此凹口向上從而為極小，故 $f\left(e^{-1}\right)=e^{-e^{-1}}$ 為極小值。


3. ($15\%$) Evaluate the indefinite integral.

   $\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}}$

訣竅
藉由變數代換可以化簡問題。
解法

令 $u=1+x^2$，從而有 $du=2x\,dx$，因此原不定積分化為

$\displaystyle\frac12\int\frac{du}{\sqrt{u+u^{3/2}}}$.

再令 $v=\sqrt u$，因此化為

$\displaystyle\int\frac{v\,dv}{\sqrt{v^2+v^3}}=\int\frac{dv}{\sqrt{1+v}}=2\sqrt{1+v}+C$.

因此所求為

$\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}}=2\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+C$.



4. ($15\%$) Find an equation for the line through the origin (原點) tangent to the graph of $y=\ln x$.
訣竅
由於圖形不過原點，因此要找出特定的點使得其切線能過原點。
解法
設切點為 $\left(x_0,\ln x_0\right)$，則其切線斜率為 $\displaystyle f'\left(x_0\right)=\frac1{x_0}$，從而切線方程式為
$\displaystyle y=\ln x_0+\frac1{x_0}\left(x-x_0\right)$.
由於通過原點，代入後可得 $0=-1+\ln x_0$，因此 $x_0=e$，故切點為 $\left(e,1\right)$，如此切線方程為
$\displaystyle y-1=\frac1e\left(x-e\right)$,
或寫為 $x-ey=0$。


5. ($15\%$) Find the sum of the series or show that it diverges.

   $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\left(n+3\right)}.$

訣竅
分項對消即可。
解法

改寫並計算如下

$\begin{aligned}\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\frac1{n\left(n+3\right)}&=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\frac13\left(\frac1n-\frac1{n+3}\right)\\&=\frac13\lim_{k\to\infty}\left(\frac11+\frac12+\frac13-\frac1{k+1}-\frac1{k+2}-\frac1{k+3}\right)=\frac{11}{18}.\end{aligned}$



6. 1. ($5\%$) Give the definition of the directional derivative of $f\left(x,y\right)$ at $\left(a,b\right)$ in the direction of a unit vector ${\bf u}=\left(u,v\right)$, $u^2+v^2=1$.
   2. ($5\%$) Show that the directional derivative of the following function exists in every direction ${\bf u}=\left(u,v\right)$ at $\left(0,0\right)$, where

      $f\left(x,y\right)=\begin{cases}\displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4},&\mbox{if }\left(x,y\right)\neq\left(0,0\right);\\0,&\mbox{if }\left(x,y\right)=\left(0,0\right).\end{cases}$

   3. ($5\%$) Show that the above function $f\left(x,y\right)$ is not differentiable at $\left(0,0\right)$.
訣竅
根據定義即可。
解法
1. 定義如下

   $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial{\bf u}}\left(a,b\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+hu,b+hv\right)-f\left(a,b\right)}h.$

2. 按如上的定義，我們有

   $\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial{\bf u}}\left(0,0\right)&=\lim_{h\to0}\frac{f\left(hu,hv\right)-f\left(a,b\right)}h\\&=\lim_{h\to0}\left(\frac1h\cdot\frac{\left(hu\right)\left(hv\right)^2}{\left(hu\right)^2+\left(hv\right)^4}\right)=\lim_{h\to0}\frac{uv^2}{u^2+h^2v^4}.\end{aligned}$

   若 $u\neq0$，則極限值為 $v^2/u$。
   若 $u=0$，則 $v^2=1$，從而極限值為 $0$。
3. 由於可微分函數必連續，但這個函數不連續。延 $y=m\sqrt{\left|x\right|}$ 方向逼近時，我們有

   $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{m^2x^2}{x^2+m^4x^2}=\frac{m^2}{1+m^4}.$

   從而知極限值隨 $m$ 而變，即不連續。故本函數不可微分。


7. ($15\%$) Use the transformation $x=u/v$, $y=v$ to evaluate the double integral

   $\displaystyle\iint_Rxy\,dA$,

   where $R$ is the region in the first quadrant (象限) bounded by the lines $y=x$, $y=3x$, and the hyperbolas $xy=1$, $xy=3$.
訣竅
按照要求進行變數代換，並且按區域給出正確的範圍。
解法

設 $u=xy$、$v=y$，明顯由雙曲線的條件可以知道 $u$ 介於 $1$ 與 $3$ 之間，而前者的條件則可知道 $y/x$ 介於 $1$ 與 $3$ 之間，可以觀察到 $v^2/u=y/x$，這表明 $v^2/u$ 介於 $1$ 與 $3$ 之間，即有 $u\leq v^2\leq3u$。整理這些資訊，故範圍為 $1\leq u\leq3$、$\sqrt u\leq v\leq\sqrt{3u}$，從而改寫計算如下

$\begin{aligned}\iint_Rxy\,dA&=\int_1^3\int_{\sqrt u}^{\sqrt{3u}}u|\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right||\,dv\,du\\&=\int_1^3\int_{\sqrt u}^{\sqrt{3u}}\frac uv\,dv\,du\\&=\int_1^3u\ln v\Big|_{v=\sqrt u}^{v=\sqrt{3u}}\,du\\&=\left(\ln\sqrt3\right)\int_1^3u\,du=2\ln3,\end{aligned}$

其中 $\displaystyle\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|$ 為 Jacobian 行列式，計算如下

$\displaystyle\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac1v&\displaystyle-\frac u{v^2}\\\displaystyle0&\displaystyle1\end{vmatrix}=\frac1v$.