國立臺灣大學一百零四學年度轉學生入學考試試題詳解

※注意：請於試卷上「非選擇題作答區」依序作答，並應註明作答之大題及小題題號。

1. 考試不可使用計算機。
2. 保留答案簿前兩面(四頁)為答案區，第五頁之後為計算草稿區。
3. 將 $1$ 至 $10$ 題填充題答案(含 $10$(C))寫在答案簿第一面(兩面)，任何計算皆不計分。
4. 第 $11$ 題為計算題，請將計算過程詳細寫在翻面的三、四頁。只寫答案不計分。

1. ($8\%$) $y=e^{-x^2}-2\cos x+1$ 在靠近 $x=0$ 時的圖形最接近底下那個圖形：　　　　。
   
訣竅
根據 Taylor 展開式判斷在 $x=0$ 附近處的單調性。
解法
首先這是一個偶函數，我們將其展開來有
$\begin{aligned}y&=\left(1-x^2+\frac{x^4}2-\frac{x^6}6\pm\cdots\right)-2\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\pm\cdots\right)+1\\&\approx\frac{5x^4}{12}+\cdots.\end{aligned}$
因此開口向上，故選 (A)。


2. ($8\%$) 有一方程式 $y^2=x^7+3x^4-2x+2$，若 $\left(0.998,b\right)$ 滿足此方程式，則 $b$ 大約等於　　　　(小數點下三位精確)。
訣竅
利用 Taylor 展開式並應用綜合除法的概念即可。
解法
考慮綜合除法並善用微分計算可得
$\begin{aligned}y^2&=4+17\left(x-1\right)+39\left(x-1\right)^2+47\left(x-1\right)^3\\&~~~+38\left(x-1\right)^4+21\left(x-1\right)^5+7\left(x-1\right)^6+\left(x-1\right)^7.\end{aligned}$
取 $x=0.998$ 代入可得
$y^2\approx4-0.034+0.000156=3.966156$.
並且利用
$\displaystyle\sqrt x\approx\sqrt{x_0}+\frac{x-x_0}{2\sqrt{x_0}}.$
因此可以知道
$\displaystyle y\approx2+\frac{3.966156-4}4=1.991539.$
因此取 $1.991$ 即可。


3. ($8\%$) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\sin^{-1}x}{\tan x-\tan^{-1}x}=$　　　　。
訣竅
應用 Taylor 展開式計算即可。
解法

應用 Taylor 展開式有

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\left(x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}-\cdots\right)-\left(x+\frac{x^3}6+\frac{3x^5}{40}-\cdots\right)}{\displaystyle\left(x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+\cdots\right)-\left(x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5+\cdots\right)}=-\frac12$.



4. ($8\%$) $\displaystyle\int_{-1}^2\frac1{x^3+x}\,dx=$　　　　。
訣竅
注意到這是一個暇積分，針對部分分式進行計算時應注意是否收斂。
解法
根據部分分式可得
$\displaystyle\int_{-1}^2\left(\frac1x-\frac x{x^2+1}\right)dx=\int_{-1}^2\frac{dx}x-\int_{-1}^2\frac{x\,dx}{x^2+1}$.
可以知道第二項式通常的 Riemann 積分，但第一項是瑕積分且發散，故原式發散。


5. ($8\%$) $\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$，在 $\left(-1,1\right)$ 點的所有方向導數(directional derivative)的最大值是　　　　。
訣竅
與梯度同方向的方向導數會有最大值。
解法
計算在 $\left(-1,1\right)$ 時的梯度如下
$\displaystyle\begin{aligned}\nabla f\left(-1,1\right)&=\left(f_x\left(-1,1\right),f_y\left(-1,1\right)\right)\\&=\left.\left(\frac{2x\left(x^2+y^2\right)-\left(x^2-y^2\right)\cdot\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2},\frac{-2y\left(x^2+y^2\right)-\left(x^2-y^2\right)\cdot\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right)\right|_{\left(-1,1\right)}\\&=\left.\left(\frac{4xy^2}{\left(x^2+y^2\right)^2},\frac{-4x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right)\right|_{\left(-1,1\right)}=\left(-1,-1\right).\end{aligned}$
因此最大的方向導數為 $\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt2$。


6. ($8\%$) $f\left(x,y\right)=x^2 y^2-4x^2-y^2$ 共有　　　　個鞍點(saddle point)。
訣竅
首先根據 $f_x=0$ 和 $f_y=0$，再配合 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0$ 為鞍點。
解法
根據訣竅聯立解下列方程組
$\left\{\begin{aligned}&f_x\left(x,y\right)=2xy^2-8x=0,\\&f_y\left(x,y\right)=2x^2y-2y=0.\end{aligned}\right.$
由第二式可得 $2y\left(x^2-1\right)=0$，因此 $y=0$ 或 $x=\pm1$。
• 當 $y=0$ 時代回第一式可得 $x=0$；
• 當 $x=1$ 或 $x=-1$ 時代回第一式可得 $y^2=4$，即有 $y=\pm2$。
如此解得
$\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$ 或 $\left(1,2\right)$ 或 $\left(1,-2\right)$ 或 $\left(-1,2\right)$ 或 $\left(-1,-2\right)$
利用二階行列式判別如下
$\begin{aligned}D\left(x,y\right)&=\begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{vmatrix}=f_{xx}\left(x,y\right)f_{yy}\left(x,y\right)-f_{xy}^2\left(x,y\right)\\&=\left(2y^2-8\right)\left(2x^2-2\right)-\left(4xy\right)^2=-12x^2y^2-16x^2-4y^2+16.\end{aligned}$
代入後可知 $D\left(\pm1,\pm2\right)=-64<0$，$D\left(0,0\right)=16>0$。因此共有 $4$ 個鞍點。


7. ($8\%$) $y=\tan x$，$\displaystyle0\leq x\leq\frac\pi4$ 與 $x$ 軸所夾區域繞 $x$ 軸旋轉的旋轉體體積 $=$　　　　。
訣竅
根據旋轉體體積公式即可。
解法

$\displaystyle V=\int_0^{\pi/4}\pi\tan^2x\,dx=\pi\int_0^{\pi/4}\left(\sec^2x-1\right)dx=\pi\left(\tan x-x\right)\Big|_0^{\pi/4}=\pi-\frac{\pi^2}4.$



8. ($8\%$) $\displaystyle\int_{-1}^0\left(\int_{\sqrt{-x}}^1\cos\left(y^3\right)\,dy\right)\,dx=$　　　　。
訣竅
交換積分順序即可。
解法

由於原先的積分範圍為 $\sqrt{-x}\leq y\leq1$、$-1\leq x\leq0$ 可改寫為 $-y^2\leq x\leq0$、$0\leq y\leq1$，因此原重積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_{-1}^0\left(\int_{\sqrt{-x}}^1\cos\left(y^3\right)\,dy\right)\,dx&=\int_0^1\int_{-y^2}^0\cos\left(y^3\right)\,dx\,dy\\&=\int_0^1\left.x\cos\left(y^3\right)\right|_{-y^2}^0\,dy\\&=\int_0^1y^2\cos\left(y^3\right)\,dy\\&=\left.\frac{\sin\left(y^3\right)}3\right|_0^1=\frac{\sin1}3.\end{aligned}$



9. ($8\%$) 銀行年利率為 $1\%$，若存進 $10$ 萬元，以月計算複利，大約　　　　年後存款會變成 $40$ 萬元(在個位數四捨五入，差距在 $\pm2$ 年內都算對。)
訣竅
列式後應用 Taylor 展開式計算近似值即可。
解法
列式可得
$\displaystyle10\left(1+\frac1{100}\times\frac1{12}\right)^{12t}=40$.
即
$\displaystyle\left(\frac{1201}{1200}\right)^{6t}=2$.
因此可得
$\displaystyle t=\frac{\ln2}{\displaystyle6\ln\left(1+\frac1{1200}\right)}$.
利用 Taylor 展開式能注意到當 $x$ 很小時有 $\ln\left(1+x\right)\approx x$，因此 $\displaystyle\ln\left(1+\frac1{1200}\right)\approx\frac1{1200}$。再者，也能得到
$\displaystyle\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln\left(1+x\right)-\ln\left(1-x\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^kx^{k+1}}{k+1}+\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{k+1}}{k+1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{2x^{2k+1}}{2k+1}$.
此時取 $\displaystyle x=\frac13$ 時並考慮前兩項即有 $\displaystyle\ln2\approx\frac23+\frac2{81}$，因此所求可以估計如下
$\displaystyle t\approx\frac{\displaystyle\frac23+\frac2{81}}{\displaystyle6\cdot\frac1{1200}}=\frac{11200}{81}\approx138.2$ (年).
Note：上列算式僅需到第一項是不夠的，這是因為分母近似於 $\displaystyle\frac1{200}$，這表示分子的小數字也很有可能被放大，因此多算幾項較為保險。另外使用電腦程式可以知道 $\displaystyle\frac{\ln2}{6\left(\ln1201-\ln1200\right)}\approx138.687$。


10. ($18\%$) (本大題請標出底下各小題前的編號) $\displaystyle f\left(x\right)=\int_0^x\frac t{t^2+t+1}\,dt$，回答下列問題，並作答：
    1. ($6\%$) 此函數圖形遞減凹向下(concave down)的範圍在　　　　。
    2. ($6\%$) 此函數圖形是否有漸近線？若有，請寫出漸近線方程式：　　　　。
    3. ($6\%$) 請在答案本作 $y=f\left(x\right)$ 的略圖。
訣竅
根據各小題所問的關鍵字來應用觀念，遞減乃微分小於零，凹向下乃二階微分小於零。
解法
1. 根據微積分基本定理有

   $\displaystyle f'\left(x\right)=\frac x{x^2+x+1}\leq0$.

   因此在 $x\leq0$ 時遞減。我們對一階導函數再次求導可得

   $\displaystyle f''\left(x\right)=\frac1{x^2+x+1}-\frac{2x^2+x}{\left(x^2+x+1\right)^2}\leq0$.

   此式等同於 $-x^2+1\leq0$，因此解得 $x\geq1$ 或 $x\leq-1$，因此僅當在 $x\leq-1$ 時遞減且凹口向下。
2. 可以直接計算其積分為

   $\begin{aligned}f\left(x\right)&=\int_0^x\frac{\displaystyle t+\frac12}{t^2+t+1}\,dt-\frac12\int_0^x\frac1{\displaystyle\left(t+\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2}\,dt\\&=\frac12\ln\left(x^2+x+1\right)-\frac1{\sqrt3}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt3}\right)+\frac{\sqrt3\pi}{18}.\end{aligned}$

   可以看出無水平漸近線與鉛直漸近線，故試著考慮斜漸近線如下（使用 L'Hôpital 法則）：

   $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f\left(x\right)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\frac x{x^2+x+1}}1=0$.

   因此也沒有斜漸近線。
3. 根據極小值與反曲點和遞增遞減與凹口方向繪圖如下：
   


11. 計算題：($10\%$) 求 $\displaystyle\int_0^1x^2\sin\left(x+1\right)\,dx$。
訣竅
應用分部積分即可。
解法

直接運用分部積分計算如下

$\begin{aligned}\int_0^1x^2\sin\left(x+1\right)\,dx&=-x^2\cos\left(x+1\right)\Big|_0^1+2\int_0^1x\cos\left(x+1\right)\,dx\\&=-\cos2+2\left(x\sin\left(x+1\right)\Big|_0^1-\int_0^1\sin\left(x+1\right)\,dx\right)\\&=2\sin2-\cos2+\left.2\cos\left(x+1\right)\right|_0^1=2\sin2+\cos2-2\cos1.\end{aligned}$