※注意:請於試卷上「非選擇題作答區」標明題號並依序作答。
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- Find the interval on which y=x3−3x2+2x+1 is both decreasing and concave downward. Answer. (1) .
- Find dydx= (2) and d2ydx2= (3) at the point x=1, y=1 of the curve x3+xy−2y4=0.
- Evaluate ∫32√3+2x−x2dx. Answer: (4) .
- 當 x=2 時則有 θ=π6;
- 當 x=3 時則有 θ=π2;
- 求導有 dx=2cosθdθ。
- Find the volume of the solid generated by revolving the following region about the y-axis: {(x,y):0≤x≤π and 0≤y≤sinx}. Answer: (5) .
- Find the arc length of the curve y=∫x0√sintdt from x=0 to x=π/3. Answer: (6) .
- Find the solution of the differential equation y′=(1+2x)(1+y2) with the initial condition y(0)=1. Answer: (7) .
- Find the solution of the differential equation y′+ytanx=secx with the initial condition y(0)=2. Answer: (8) .
- Find the first three nonzero terms of the McLaurin series of tanx. Answer: (9) .
- Let u=u(x,y) be a function of x, y. Express ∂u∂x in terms of polar coordinates r, θ together with ∂u∂r and ∂u∂θ. Answer: (10) .
- Find the directional derivative of f(x,y,z)=xyz2 at the point (e,e,1) in the direction u=313i+1213j+413k. Answer: (11) .
- Find the critical points of f(x,y)=x2+y4+3xy2−5x which are saddle points. Answer: (12) .
- 若 y=0,則 x=52;
- 若 2y2+3x=0,則代回第一式可得 x=−2,從而有 y=±√3。
- Find the minimum of x2+y2+z2 for (x,y,z) on the intersection curve of the two surfaces y+2z=1 and 3x2+y2−z2=1. Answer: (13) .
- 若 x=0,則代入第三式可得 z=0 或 z=43;
- 若 λ=−13,則代入第二式有 z=13,因此 x=±√33。
- 若 x=0,則第五式可寫為 y2−z2=1,而第四式表明 y=1−2z,代入則有 3z2−4z=0,因此 z=0 或 43,從而 y=1 或 y=−53。
- 若 λ2=−13,則第二式與第三式可分別寫為 4y+3λ1=0 及 8z+6λ1=0。將前者乘以兩倍後減去後者,即有 y=z。並由第四式可得 y=z=13,再代入最後一式則能解得 x=±√33。
- Evaluate ∫30∫1√x/3ey3dydx. Answer: (14) .
- Let R be the region in the first quadrant of the xy-plane bounded by xy=1, xy=2, y=x and y=2x. Evaluate ∬Rexydxdy. Answer: (15) .
- Evaluate ∭Ωcos√x2+y2+z2x2+y2+z2dxdydz, where Ω is given by Ω={(x,y,z):1≤x2+y2+z2≤2}. Answer: (16) .
- Evaluate ∭Ωzex2+y2+3z2dxdydz, where Ω is the cylinder defined by Ω={(x,y,z):x2+y2≤1 and 0≤z≤1}. Answer: (17) .
- Let S be the surface described by z=x2+y22 with 4x2+y2≤1 oriented with normals with positive k-components. F(x,y,z)=xi−yj+k. Evaluate ∬SF⋅dS. Answer: (18) .Also, evaluate ∬SdS. Answer: (19) .
- Let C be the counterclockwise oriented boundary of the region in the xy-plane enclosed by x2+y2−2x=0 and x2+y2−2y=0. Evaluate the line integral ∮C(y+e−x2)dx+(3x+sin(y2))dy. Answer: (20) .
訣竅
函數遞減表明 y′<0;而凹口向下表明 y″<0。解法
為了找出所求的區間,我們解下列的聯立不等式{y′=3x2−6x+2<0y″=6x−6<0
因此可得{1−1√3<x<1+1√3x<1
即1−1√3<x<1
訣竅
利用隱函數微分即可。解法
隱函數微分一次可得 3x2+y+xy′−8y3y′=0,取 (x,y)=(1,1) 代入後可得3+1+dydx|(x,y)=(1,1)−8dydx|(x,y)=(1,1)=0
整理即有 dydx|(x,y)=(1,1)=47。接著對已經隱函數微分一次後的方程再微分一次可得6x+2y′+(x−8y3)y″−24y2y′2=0
取 x=1、y=1、dydx|(x,y)=(1,1)=47 代入可得6+2⋅47+(1−8)d2ydx2|(x,y)=(1,1)−24⋅12⋅(47)2=0
整理求得 d2ydx2|(x,y)=(1,1)=−34343。訣竅
配方法後三角代換。解法
因為 3+2x−x2=4−(x−1)2,令 x=1+2sinθ,則∫32√3+2x−x2dx=∫π2π62cosθ⋅2cosθdθ=2∫π2π6(1+cos2θ)dθ=(2θ+sin2θ)|π2π6=2π3−√32.
訣竅
根據旋轉體體積公式即可。解法
利用旋轉體體積公式可得V=∫π02πxf(x)dx=2π∫π0xsinxdx=(−2πxcosx)|π0+2π∫π0cosxdx=2π2+(2πsinx)|π0=2π2.
訣竅
利用曲線弧長的公式即可。解法
運用弧長的計算公式列式並計算如下:s=∫π30√1+f′2(x)dx=∫π30√1+sinxdx=∫π30(sinx2+cosx2)dx=−2cosx2+2sinx2|π30=3−√3.
訣竅
利用分離變數法即可。解法
移項整理有dy1+y2=(1+2x)dx
同取範圍為 [0,x] 的定積分可得arctany(x)−arctany(0)=x+x2
運用初始條件並整理之可得y(x)=tan(x2+x+π4)
訣竅
利用積分因子即可。解法
對該微分方程同乘以 secx 如此可得(ysecx)′=y′secx+ysecxtanx=sec2x
同取範圍為 [0,x] 的定積分,於是有y(x)secx−y(0)sec(0)=tanx
使用初始條件並整理之,可解得y(x)=(2+tanx)cosx
訣竅
直接計算 Taylor 展開式即可。解法
設 f(x)=tanx,則f′(x)=sec2xf″(x)=2sec2xtanxf‴(x)=2sec4+4sec2xtan2xf(4)(x)=16sec4xtanx+8sec2xtan2xf(5)(x)=16sec6x+32sec4xtan2x+16sec4xtanx+16sec2xtan3x
如此我們有f″(0)=0=f(4)(0) ; f′(0)=1 ; f‴(0)=2 ; f(5)(0)=16
因此 Taylor 展開後的前三個非零項為 x+x33+2x515。訣竅
用多變數微分的連鎖律。解法
直接計算有∂u∂x=∂u∂r∂r∂x+∂u∂θ∂θ∂x=cosθ∂u∂r−sinθr∂u∂θ
其中∂r∂x=∂∂x√x2+y2=12√x2+y2⋅2x=rcosθr=cosθ∂θ∂x=11+(yx)2⋅−yx2=−rsinθr2=−sinθr.
訣竅
方向導數可利用梯度與方向的內積求解即可。解法
首先計算梯度為 ∇f=(yxy−1z2,xyz2lnx,2xyz),於是在 (e,e,1) 時的梯度為∇f(e,e,1)=(ee,ee,2ee)
因此方向導數為Duf(e,e,1)=(ee,ee,2ee)⋅(313,1213,413)=23ee13
訣竅
利用一階偏導為零求出臨界點,再用二階判別式找出鞍點。解法
為了找出臨界點,我們解以下的聯立方程組:
{fx=2x+3y2−5=0fy=4y3+6xy=0
由第二式可知 y=0 或 2y2+3x=0。再者,我們計算二階偏導函數可得
fxx=2 ;fxy=6y=fyx ; fyy=12y2+6x
如此由 Hessian 行列式有H(x,y)=|fxxfxyfyxfyy|=|26y6y12y2+6x|=12x−12y2
因此代入座標檢查可知H(52,0)=30>0,因此不為鞍點;
H(−2,±√3)=−48<0,故皆為鞍點。
訣竅
本題使用限制條件並搭配基本的不等式即可求解;亦可先化簡後再利用 Lagrange 乘子法來求解;亦可直接使用多條件的 Lagrange 乘子法直接計算。解法一
由 3x2+y2−z2=1 來消去 x2+y2+z2 中的 x 可得x2+y2+z2=1−y2+z23+y2+z2=1+2y23
接著運用 Cauchy 不等式與另一個限制條件可知(y2+(√2z)2)(12+√22)≥(y+2z)2=1
這表明x2+y2+z2=13+23(y2+2z2)≥13+23⋅13=59
由不等式的等號成立條件容易知道 y=z,故得 y=z=13、x=±√33。解法二
欲求極小值的函數可先透過第一個條件改寫為 f(x,z)=x2+5z2−4z+1,而第二個條件則改寫為 3x2+3z2−4z=0,如此我們設 Lagrange 乘子函數為F(x,z,λ)=(x2+5z2−4z+1)+λ(3x2+3z2−4z)
如此解下列聯立方程組:{Fx(x,z,λ)=2x+6xλ=0,Fz(x,z,λ)=10z−4+λ(6z−4)=0,Fλ(x,z,λ)=3x2+3z2−4z=0.
由第一條式子可知 x=0 或 λ=−13。f(0,0)=1 ; f(0,43)=419 ; f(±√33,13)=59
因此最小值為 59。解法三
設 Lagrange 乘子函數如下F(x,y,z,λ1,λ2)=x2+y2+z2+λ1(y+2z−1)+λ2(3x2+y2−z2−1)
據此解下列聯立方程組:{Fx(x,y,z,λ1,λ2)=2x+6λ2x=0,Fy(x,y,z,λ1,λ2)=2y+λ1+2λ2y=0,Fz(x,y,z,λ1,λ2)=2z+2λ1−2λ2z=0,Fλ1(x,y,z,λ1,λ2)=y+2z−1=0,Fλ2(x,y,z,λ1,λ2)=3x2+y2−z2−1=0.
由第一式可知 x=0 或 λ2=−13。f(0,1,0)=1 ; f(0,−53,43)=419 ; f(±√33,13,13)=59
因此最小值為 59。訣竅
交換積分順序計算即可解法
原先的積分範圍為 {0≤x≤3√x/3≤y≤1,可改寫為 {0≤x≤3y20≤y≤1,如此原重積分可改寫並計算如下:∫10∫3y20ey3dxdy=∫10xey3|x=3y2x=0dy=∫103y2ey3dy=ey3|10=e−1.
訣竅
利用變數代換後改寫積分範圍。解法
令 u=xy、v=yx,如此有∫21∫21eu|∂(x,y)∂(u,v)|dvdu=∫21∫21eu⋅12vdvdu=(∫21eudu)(∫21dv2v)=e(e−1)ln22.
其中 |∂(x,y)∂(u,v)| 計算如下:∂(x,y)∂(u,v)=|∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v|=|12√uv−√u2√v3√v2√u√u2√v|=12v
訣竅
利用球極座標代換即可。解法
運用球極座標代換,令 {x=ρsinϕcosθy=ρsinϕsinθz=ρcosϕ,其中範圍為 {1≤ρ≤√20≤θ≤2π0≤ϕ≤π,如此原三重積分可改寫並計算如下:∫√21∫2π0∫π0cos(ρ)ρ2ρ2sinϕdϕdθdρ=2π(∫√21cosρdρ)(∫π0sinϕdϕ)=4π(sin(√2)−sin(1)).
訣竅
利用圓柱座標代換即可。解法
利用圓柱座標代換 {x=rcosθy=rsinθz=z,則 {0≤r≤10≤θ≤2π0≤z≤1,如此原三重積分可改寫並計算如下:∭Ωzex2+y2+z2dxdydz=∫10∫2π0∫10zer2+3z2rdrdθdz=2π(∫10ze3z2dz)(∫10rer2dr)=2π⋅e3z26|10⋅er22|10=π(e3−1)(e−1)6.
訣竅
運用曲面積分的定義即可。解法
首先由 z 分量為正,求出 dS=(−2x,−y,1)dA,因此有∬SF⋅dS=∬S(−2x2+y2+1)dA
運用橢圓座標變換,令 {x=rcosθ/2y=rsinθ,其中範圍為 {0≤r≤10≤θ≤2π,如此上式可改寫並計算如下:∬SF⋅dS=∫2π0∫10(−2r2cos2θ4+r2sin2θ+1)r2drdθ=∫2π0−r4cos2θ16+r4sin2θ8+r24|10dθ=∫2π0(14+sin2θ8−cos2θ16)dθ=∫2π0(932−3cos2θ32)dθ=9θ32−3sin2θ64|2π0=9π16.
另一方面,我們有∬SdS=∬S√4x2+y2+1dA=∫2π0∫10√r2+1r2drdθ=2π(r2+1)326|10=(2√2−1)π3.
L題有解法3:
回覆刪除利用題目給定之兩平面,可求出兩平面之交線參數式x=f(t),y=g(t),z=h(t),接著將其代入至x^2+y^2+z^2,可得到一串t的函數,接著微分=0可得出t值,再代回x^2+y^2+z^2即可得出最小值為5/9
給定的兩平面?
刪除