國立臺灣大學一百零六學年度轉學生入學考試試題詳解

※注意：禁止使用計算機
※注意：請於答案卷上依序作答，並應註明作答之大題及其題號。

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^2+2x}\right)=$? ($10\%$)
訣竅
有理化後直接計算之。
解法

有理化後直接計算如下

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{-2x}{x+\sqrt{x^2+2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-2}{\displaystyle1+\sqrt{1+\frac2x}}=\frac{-2}{1+1}=-1.$



2. Find $\displaystyle\frac d{dx}2^{\left(x^2\right)}=$? ($10\%$)
訣竅
運用連鎖律即可。
解法

設 $f\left(x\right)=2^x$、$g\left(x\right)=x^2$，因此設給定的函數為 $h\left(x\right)$，則有 $h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$，運用連鎖律即有

$h'\left(x\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)=2^{x^2}\ln2\cdot2x=2^{x^2+1}x\ln2.$



3. It is known that $2x^3+y^3=5xy$. Determine the value of $dy/dx$ when $\left(x,y\right)=\left(1,2\right)$. ($10\%$)
訣竅
運用隱函數微分即可。
解法
將給定的方程對 $x$ 微分可得
$\displaystyle6x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=5y+5x\frac{dy}{dx}.$
因此取 $x=1$、$y=2$ 可得
$\displaystyle6+12\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(1,2\right)}=10+5\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(1,2\right)}$.
整理可解得 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(x,y\right)=\left(1,2\right)}=\frac47$。


4. Find the arc length determined by the curve $\displaystyle y=\frac1{12}x^3+\frac1x$ over $1\leq x\leq2$. ($10\%$)
訣竅
利用曲線弧長公式即可。
解法

運用弧長公式可得

$\begin{aligned}s&=\int_1^2\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\\&=\int_1^2\sqrt{1+\left(\frac14x^2-\frac1{x^2}\right)^2}\,dx\\&=\int_1^2\sqrt{1+\frac1{16}x^4-\frac12+\frac1{x^4}}\,dx\\&=\int_1^2\sqrt{\frac1{16}x^4+\frac12+\frac1{x^4}}\,dx\\&=\int_1^2\left(\frac14x^2+\frac1{x^2}\right)\,dx\\&=\left.\left(\frac1{12}x^3-\frac1x\right)\right|_1^2=\frac{13}{12}.\end{aligned}$



5. $\displaystyle\int_0^\pi\left(\cos^2x+\sec^2x\right)dx=$? ($10\%$)
訣竅
此為陷阱題，應注意到 $\displaystyle x=\frac\pi2$ 時對 $\sec\left(x\right)$ 無定義，因此本題為瑕積分。
解法
由於 $\displaystyle x=\frac\pi2$ 為瑕點，因此我們需考慮下列兩個瑕積分是否收斂：
$\displaystyle\int_0^{{\frac\pi2}^-}\left(\cos^2\left(x\right)+\sec^2\left(x\right)\right)dx$　、　$\displaystyle\int_{{\frac\pi2}^+}^\pi\left(\cos^2\left(x\right)+\sec^2\left(x\right)\right)dx.$
我們先計算前者，可得
$\displaystyle\lim_{a\to{\frac\pi2}^-}\int_0^a\left(\frac12+\frac{\cos\left(2x\right)}2+\sec^2\left(x\right)\right)dx=\lim_{a\to{\frac\pi2}^-}\left.\frac x2+\frac{\sin2x}4+\tan\left(x\right)\right|_0^a=\infty.$
由於此項瑕積分發散，因此本題所求知瑕積分亦發散。


6. $\displaystyle1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\cdots=$? ($10\%$)
訣竅
運用經典函數的 Taylor 展開取積分的特殊值證明之。
解法

可以注意到

$\displaystyle\frac\pi4=\tan^{-1}\left(1\right)=\int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx.$

另一方面，我們有 $\displaystyle\frac1{1+x^2}=\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^kx^{2k}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}$，因此

$\begin{aligned}\int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx&=\int_0^1\left(\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^kx^{2k}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}\right)\,dx\\&=\sum_{k=0}^n\frac{\left(-1\right)^k}{2k+1}+\left(-1\right)^{n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx.\end{aligned}$

再者，我們注意到

$\displaystyle0<\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx<\int_0^1x^{2n+2}\,dx=\frac1{2n+3}.$

因此利用夾擠定理，我們可得

$\displaystyle\frac\pi4=\sum_{k=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^k}{2k+1}.$



7. $\displaystyle\int_0^1\left[\int_y^1\sin x^2\,dx\right]\,dy=$? ($10\%$)
訣竅
交換積分順序後即可計算之。
解法

原積分範圍為 $y\leq x\leq1$、$0\leq y\leq1$，可改寫為 $0\leq x\leq1$、$0\leq y\leq x$，從而原先的重積分可改寫並計算如下

$\begin{aligned}\int_0^1\left[\int_y^1\sin x^2\,dx\right]\,dy&=\int_0^1\int_0^x\sin\left(x^2\right)\,dy\,dx\\&=\int_0^1\left.y\sin\left(x^2\right)\right|_0^x\,dx\\&=\int_0^1x\sin\left(x^2\right)\,dx\\&=\left.-\frac{\cos\left(x^2\right)}2\right|_0^1\\&=\frac{1-\cos\left(1\right)}2.\end{aligned}$



8. When $2x^2-4xy+5y^2=1$, $f\left(x,y\right)=x^2+y^2$, determine the maximum value and minimum value of $f\left(x,y\right)$. ($10\%$)
訣竅
運用 Lagrange 乘子法計算即可。
解法
設 Lagrange 乘子函數 $F$ 如下
$F\left(x,y,\lambda\right)=x^2+y^2+\lambda\left(2x^2-4xy+5y^2-1\right).$
據此解下列聯立方程組
$\left\{\begin{aligned} &F_x\left(x,y,\lambda\right)=2x+\lambda\left(4x-4y\right)=0,\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=2y+\lambda\left(-4x+10y\right)=0,\\&F_\lambda\left(x,y,\lambda\right)=2x^2-4xy+5y^2-1=0.\end{aligned}\right.$
前兩式可整理為
$\left\{\begin{aligned}&\left(2+4\lambda\right)x-4\lambda y=0,\\&-4\lambda x+\left(2+10\lambda\right)y=0.\end{aligned}\right.$
由於 $\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$ 不為第三式的解，因此存在非零解，這表明這個聯立方程組的係數成比例，亦即 $\displaystyle\frac{2+4\lambda}{-4\lambda}=\frac{-4\lambda}{2+10\lambda}$，或寫為 $\begin{vmatrix}2+4\lambda&-4\lambda\\-4\lambda&2+10\lambda\end{vmatrix}=0$，即能解得 $\lambda=-1$ 或 $\displaystyle\lambda=-\frac16$。
• 當 $\lambda=-1$ 時，有 $x=2y$，代入第三式可得 $5y^2=1$，因此 $\displaystyle y=\pm\frac{\sqrt5}5$，而 $\displaystyle x=\pm\frac{2\sqrt5}5$。
• 當 $\displaystyle\lambda=-\frac16$ 時，有 $y=-2x$，代入第三式可得 $30x^2=1$，因此 $\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{30}}{30}$，而 $\displaystyle y=\mp\frac{\sqrt{30}}{15}$。
綜上可得四個座標：$\displaystyle\left(\frac{2\sqrt5}5,\frac{\sqrt5}5\right)$、$\displaystyle\left(-\frac{2\sqrt5}5,-\frac{\sqrt5}5\right)$、$\displaystyle\left(\frac{\sqrt{30}}{30},-\frac{\sqrt{30}}{15}\right)$、$\displaystyle\left(-\frac{\sqrt{30}}{30},\frac{\sqrt{30}}{15}\right)$，代入後可得
$\displaystyle f\left(\frac{2\sqrt5}5,\frac{\sqrt5}5\right)=f\left(-\frac{2\sqrt5}5,-\frac{\sqrt5}5\right)=1,$
$\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{30}}{30},-\frac{\sqrt{30}}{15}\right)=f\left(-\frac{\sqrt{30}}{30},\frac{\sqrt{30}}{15}\right)=\frac16.$
因此最大值為 $1$ 而最小值為 $\displaystyle\frac16$。


9. $\displaystyle\int_0^\infty\exp\left(-2x^2\right)\,dx=$? ($10\%$)
訣竅
利用已知的經典瑕積分之值，並對本題進行變數代換即可。
解法

已知 $\displaystyle\int_0^\infty e^{-u^2}\,du=\frac{\sqrt\pi}2$。因此我們可以令 $u=\sqrt2x$，如此原瑕積分可改寫如下

$\displaystyle\int_0^\infty\exp\left(-2x^2\right)\,dx=\int_0^\infty e^{-u^2}\cdot\frac1{\sqrt2}\,du=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt{2\pi}}4.$



10. $y=f\left(x\right)$ satisfies $\displaystyle\frac{dy}{dx}=2\frac yx$. When $x=1$, $y=2$, what is $f\left(x\right)$? ($10\%$)
訣竅
運用分離變數法後取定積分即可。
解法
移項後可得
$\displaystyle\frac{dy}y=\frac{2dx}x$.
在 $\left[1,x\right]$ 上同取定積分可得
$\displaystyle\ln\left(y\left(x\right)\right)-\ln\left(y\left(1\right)\right)=2\ln\left(x\right)-2\ln\left(1\right)$,
此可寫為 $y\left(x\right)=2x^2$。