臺灣大學數學系
八十八學年度學士班申請入學第二階段筆試試題
- 若一三角形之三邊長分別為a,b,c,且滿足c2=a2+b2。求證此三角形一定是一個直角三角形。(20分)
- 空間中有四個非零向量→u,→v,→w,→s。求證它們之間不可能兩兩互相垂直。(20分)
- 設L1,L2是空間中的兩直線L1:x−114=y+5−3=z−6−2,L2:x+53=y−4−4=z−6−2。求直線L1和直線L2間的距離。(20分)
- 如下圖所示之凸四邊形,其四邊長為a,b,c,e,邊長為a,b之兩邊的夾角為α,邊長為c,e之兩邊的夾角為β。當此四邊長a,b,c,e固定之下,而該四邊形的面積達最大值,請證明α+β=π。(20分)
- 所謂牛頓法求根是指,由an出發,求an+1的過程。如圖一所示,an+1為(an,f(an))的切線與x軸的交點。今設f′>0,f″>0,如圖二所示,且甲乙兩人分別從a1=A及b1=B出發,以牛頓法求根。如果方程式f(x)=0的根R與出發點B,A有R<B<A的關係(參考圖二),求證乙所求的第n步bn與甲所求的第n步an間須有R<bn<an的關係。
注意:有關牛頓法的相關資料,可參閱所附高級中學理科數學下冊教本。
訣竅
本題即證明畢氏定理的逆定理,其重點在於考慮三角形的三種情況並對非直角三角形的情況予以排除。解法
設a,b,c分別對應的角為∠A,∠B,∠C。運用反證法,假設∠C≠90∘。先考慮∠C<90∘的情形,此時在¯BC上取點D使¯AD⊥¯BC,因此△ADB為直角三角形,因此按畢氏定理有
c2=¯AD2+¯BD2
但又有¯AD<b、¯BC<b,由此導出c2<a2+b2,此與題設矛盾。另一方面,當∠C>90∘時,延長¯BC成直線,並在其上取點D使¯AD⊥¯BC,如此△ADC、△ADB皆為直角三角形,因此由畢氏定理可得
c2=¯AD2+¯BD2 ; b2=¯AD2+¯CD2
於是有a2=c2−b2=(¯BD−¯CD)(¯BD+¯CD)=a(a+2¯CD),即¯CD=0,此即D與C重合,意旨∠C為直角,與假定矛盾。綜上,∠C必為90∘,因此△ABC為直角三角形。
訣竅
運用反證法,假定任兩者互相垂直,導出其中兩者為互相平行。解法
假定四個空間向量兩兩互相垂直,則由於→w垂直→u且垂直→v,因此存在非零常數k使得→w=k→u×→v;同理,存在非零常數m使得→s=m→u×→v。此時即有→w=km→s。依假設,有→w與→s互相垂直,因此→w⋅→s=0,即km|→s|2=0,此表明→s為零向量,與題設矛盾。訣竅
利用配方法求最小值即可;或用幾何直覺可知當直線上兩點連線距離最短時該線段會與直線分別垂直。解法一
自L1與L2上分別取動點P1與P2,利用參數化可得座標分別為P1(11+4t,−5−3t,6−2t)、P2(−5+3s,4−4s,6−2s),其中t,s∈R。因此計算¯P1P2並配方如下¯P1P2=√(16+4t−3s)2+(−9−3t+4s)2+(−2t+2s)2=√29t2−56st+29s2+182t−168s+337=√29t2+(182−56s)t+(29s2−168s+337)=√29(t+91−28s29)2+57s2+224s+149229=√29(t+91−28s29)2+5729(s+11257)2+250057≥50√57
其中等號成立條件為t=−28757、s=−11257解法二
自L1與L2上分別取動點P1與P2,利用參數化可得座標分別為P1(11+4t,−5−3t,6−2t)、P2(−5+3s,4−4s,6−2s),其中t,s∈R。由此有→P2P1=(16+4t−3s,−9−3t+4s,−2t+2s)
又當→P2P1有最短長度時,有→P2P1⊥L1、→P2P1⊥L2,依此可得(16+4t−3s,−9−3t+4s,−2t+2s)⋅(4,−3,−2)=0(16+4t−3s,−9−3t+4s,−2t+2s)⋅(3,−4,−2)=0
由此解聯立可得t=−28757、s=−11257。故此時最短距離為|→P2P1|=√(16+4t−3s)2+(−9−3t+4s)2+(−2t+2s)2=√(16−81257)2+(−9+41357)2+(35057)2=157√(16⋅57−812)2+(−9⋅57+413)2+3502=157√142500=50√57
訣竅
本命題可視為托勒密定理推廣至非圓內接四邊形的情況下,並依此求出四邊形面積,欲使之極大之條件便可求得。解法
首先可將∠α與∠β用對角線分開,記開對角線長為x,且記四邊形面積為S,如此有4S=2absinα+2cesinβ
a2+b2−2abcosα=x2=c2+e2−2cecosβ
此即a2+b2−c2−e2=2abcosα−2cecosβ
16S2+(a2+b2−c2−e2)2=4a2b2+4c2e2−8abcecos(α+β)≤4a2b2+4c2e2+8abce=4(ab+ce)2
其中等號成立條件為cos(α+β)=−1,此即α+β=π,證明完畢。訣竅
應用數學歸納法與牛頓法的設定即可。解法
在第0步時有a0=A>B=b0>R,因此在n=0時關係成立。
現假設n=k時關係成立,即有R<bk<ak。按牛頓法分別於(ak,f(ak))、(bk,f(bk))處作切線方程如下
Lak: y−f(ak)=f′(ak)(x−ak)Lbk: y−f(bk)=f′(bk)(x−bk)
因此能分別得到ak+1=ak−f(ak)f′(ak)、bk+1=bk−f(bk)f′(bk)。由於f″>0表示f′為遞增函數,藉由均值定理可知f′(bk)<f(ak)−f(bk)ak−bk<f′(ak)
藉由第二個不等號以及f′>0可得f(ak)f′(ak)−f(bk)f′(ak)<ak−bk
移項並且利用f′(ak)>f′(bk)可得0<ak−bk−f(ak)f′(ak)+f(bk)f′(ak)<ak−bk−f(ak)f′(ak)+f(bk)f′(bk)=ak+1−bk+1
即有ak+1>bk+1。類似地由
f(bk)−f(R)bk−R<f′(bk)
即有R<bk−f(bk)f′(bk)=bk+1。綜上有R<bk+1<ak+1,因此由數學歸納法知對所有正整數n恆有R<bn<an。
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