臺灣大學數學系
八十九學年度學士班申請入學第二階段筆試試題
- 如下圖，三個非零向量→v,→w,→z，其中→z垂直於直線L，且→v,→w與L之夾角相同皆為β。設|→v|=|→w|，試將→w表成→v和→z的組合。
- 試證向量→C=|→B|→A+|→A|→B等分向量→A與向量→B的夾角。
- 求一平面過點(2,1,−1)，並垂直於二平面2x+y−z=3和x+2y+z=2。
- 求拋物線y=x2和y=−x2+8x−10的所有的共同切線。
- 設A代表由y=sin2x和x軸在[0,π]上的區域；求由A區域繞直線y=−2所得旋轉體的體積。
訣竅
將→v按L拆解為水平方向與鉛直方向，如此可用這些量表達出→w。解法
先作→v在→z的正射影為→v⋅→z|→z|2→z，因此→w可表達如下→w=2→v⋅→z|→z|2→z−→v
訣竅
直接計算證明之。解法
先計算→A與→C的夾角如下：cos(∠(→A,→C))=→A⋅→C|→A||→C|=|→A||→B|+→A⋅→B|→C|
同理可得cos(∠(→B,→C))=|→A||→B|+→A⋅→B|→C|，因此→C等分→A與→B的夾角。訣竅
利用外積求法向量後用點法式表達平面方程即可。解法
設欲求平面的法向量為→n，由於此平面同時垂直於2x+y−z=3和x+2y+z=2，因此可利用外積求→n如下→n∥(2,1,−1)×(1,2,1)=(3,−3,3)
因此取→n=(1,−1,1)，由點法式可得所求平面方程如下(x−2)−(y−1)+(z+1)=0
或寫為x−y+z=0。訣竅
先在其中一條拋物線上考慮切線，並進一步考慮這條切線與另一條拋物線相切的必要條件，最後驗證之。解法
在y=x2上取動點A(a,a2)，過該點的切線為y−a2=2a(x−a)或寫為y=2ax−a2。若此切線也與y=−x2+8x−10相切，則兩者恰交一點，因此運用代入消去法後考慮判別式為零，即(2a−8)2−4(10−a2)=0
如此解得a=1或a=3。因此公切線為y=2x−1及y=6x−9。如下附圖：
訣竅
利用旋轉體體積公式即可。解法
按旋轉體體積公式可得V=∫π0π[(sin2x+2)2−22]dx=π4∫π0[(5−cos2x)2−16]dx=π4∫π0(9−10cos2x+cos22x)dx=π8∫π0(19−20cos2x+cos4x)dx=19π28
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