八十九學年度大學申請入學第二階段筆試試題詳解

臺灣大學數學系
八十九學年度學士班申請入學第二階段筆試試題

1. 如下圖，三個非零向量$\vec{v},\vec{w},\vec{z}$，其中$\vec{z}$垂直於直線$L$，且$\vec{v},\vec{w}$與$L$之夾角相同皆為$\beta$。設$\left|\vec{v}\right|=\left|\vec{w}\right|$，試將$\vec{w}$表成$\vec{v}$和$\vec{z}$的組合。
   
訣竅
將$\vec{v}$按$L$拆解為水平方向與鉛直方向，如此可用這些量表達出$\vec{w}$。
解法

先作$\vec{v}$在$\vec{z}$的正射影為$\displaystyle\frac{\vec{v}\cdot\vec{z}}{\left|\vec{z}\right|^2}\vec{z}$，因此$\vec{w}$可表達如下

$\displaystyle\vec{w}=\frac{2\vec{v}\cdot\vec{z}}{\left|\vec{z}\right|^2}\vec{z}-\vec{v}$



2. 試證向量$\vec{C}=\left|\vec{B}\right|\vec{A}+\left|\vec{A}\right|\vec{B}$等分向量$\vec{A}$與向量$\vec{B}$的夾角。
訣竅
直接計算證明之。
解法
先計算$\vec{A}$與$\vec{C}$的夾角如下：
$\displaystyle\cos\left(\angle\left(\vec{A},\vec{C}\right)\right)=\frac{\vec{A}\cdot\vec{C}}{\left|\vec{A}\right|\left|\vec{C}\right|}=\frac{\left|\vec{A}\right|\left|\vec{B}\right|+\vec{A}\cdot\vec{B}}{\left|\vec{C}\right|}$
同理可得$\displaystyle\cos\left(\angle\left(\vec{B},\vec{C}\right)\right)=\frac{\left|\vec{A}\right|\left|\vec{B}\right|+\vec{A}\cdot\vec{B}}{\left|\vec{C}\right|}$，因此$\vec{C}$等分$\vec{A}$與$\vec{B}$的夾角。


3. 求一平面過點$\left(2,1,-1\right)$，並垂直於二平面$2x+y-z=3$和$x+2y+z=2$。
訣竅
利用外積求法向量後用點法式表達平面方程即可。
解法
設欲求平面的法向量為$\vec{n}$，由於此平面同時垂直於$2x+y-z=3$和$x+2y+z=2$，因此可利用外積求$\vec{n}$如下
$\vec{n}\parallel\left(2,1,-1\right)\times\left(1,2,1\right)=\left(3,-3,3\right)$
因此取$\vec{n}=\left(1,-1,1\right)$，由點法式可得所求平面方程如下
$\left(x-2\right)-\left(y-1\right)+\left(z+1\right)=0$
或寫為$x-y+z=0$。


4. 求拋物線$y=x^2$和$y=-x^2+8x-10$的所有的共同切線。
訣竅
先在其中一條拋物線上考慮切線，並進一步考慮這條切線與另一條拋物線相切的必要條件，最後驗證之。
解法
在$y=x^2$上取動點$A\left(a,a^2\right)$，過該點的切線為$y-a^2=2a\left(x-a\right)$或寫為$y=2ax-a^2$。若此切線也與$y=-x^2+8x-10$相切，則兩者恰交一點，因此運用代入消去法後考慮判別式為零，即
$\left(2a-8\right)^2-4\left(10-a^2\right)=0$
如此解得$a=1$或$a=3$。因此公切線為$y=2x-1$及$y=6x-9$。如下附圖：



5. 設$A$代表由$y=\sin^2x$和$x$軸在$\left[0,\pi\right]$上的區域；求由$A$區域繞直線$y=-2$所得旋轉體的體積。
訣竅
利用旋轉體體積公式即可。
解法

按旋轉體體積公式可得

$\displaystyle\begin{aligned}V=&\int_0^{\pi}\pi\left[\left(\sin^2x+2\right)^2-2^2\right]dx\\=&\frac{\pi}{4}\int_0^{\pi}\left[\left(5-\cos2x\right)^2-16\right]dx\\=&\frac{\pi}{4}\int_0^{\pi}\left(9-10\cos2x+\cos^22x\right)dx\\=&\frac{\pi}{8}\int_0^{\pi}\left(19-20\cos2x+\cos4x\right)dx\\=&\frac{19\pi^2}{8}\end{aligned}$