九十學年度大學申請入學筆試試題詳解

臺灣大學數學系
九十學年度學士班申請入學筆試試題
數學（一）

說明：每題$25$分。答題時，計算題要有計算過程，證明題要說明清楚。計算或證明不完全者，會視情況部分給分。

1. 求$x^{100}+1$除以$x^3+x^2+x$的餘式。
訣竅
利用除法原理取特殊值代入即可；當然完全沒有技巧地直接計算亦可得到正確答案。
解法一
設餘式為$ax^2+bx+c$，由除法原理可知
$x^{100}+1=x\left(x^2+x+1\right)Q\left(x\right)+\left(ax^2+bx+c\right)$
其中$Q\left(x\right)$為商式，其次數為$97$次。分別取$x=0$、$\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$代入，並且注意到$\displaystyle\left(\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\right)^{100}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$，如此可得
$\left\{\begin{aligned} &c=1\\&\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}a+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}b+c=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\\&\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}a+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}b+c=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\end{aligned}\right.$
因此$a=0$、$b=1$、$c=1$，因此餘式為$x+1$。
解法二
藉由直接計算可得
$\begin{aligned}x^{100}+1=&\left(x^{97}-x^{96}+x^{94}+x^{93}+x^{91}-x^{90}+x^{88}-x^{87}+x^{85}-x^{84}+x^{82}-x^{81}\right.\\&+x^{79}-x^{78}+x^{76}-x^{75}+x^{73}-x^{72}+x^{70}-x^{69}+x^{67}-x^{66}+x^{64}-x^{63}\\&+x^{61}-x^{60}+x^{58}-x^{57}+x^{55}-x^{54}+x^{52}-x^{51}+x^{49}-x^{48}+x^{46}-x^{45}\\&+x^{43}-x^{42}+x^{40}-x^{39}+x^{37}-x^{36}+x^{34}-x^{33}+x^{31}-x^{30}+x^{28}-x^{27}\\&+x^{25}-x^{24}+x^{22}-x^{21}+x^{19}-x^{18}+x^{16}-x^{15}+x^{13}-x^{12}+x^{10}-x^9\\&\left.+x^7-x^6+x^4-x^3+x-1\right)\left(x^3+x^2+x\right)+\left(x+1\right)\end{aligned}$
因此餘式為$x+1$。


2. 求集合$\left\{18n^4+2n^3-189n^2|n\mbox{為整數}\right\}$中的最小元素。
訣竅
運用微分考慮極值。
解法

考慮$f\left(x\right)=18x^4+2x^3-189x^2$為定義在實數上的函數，其最小值發生在$f'\left(x\right)=72x^4+6x^2-378x=0$處，可得$x=0$或$\displaystyle x=\frac{9}{4}$或$\displaystyle x=-\frac{7}{3}$，並且透過$f'$的符號可知極小值發生在$\displaystyle x=-\frac{7}{3}$、$\displaystyle x=\frac{9}{4}$處。

因此在$x$為整數的情況下，最小值僅可能發生在$x=2$或$x=3$或$x=-2$或$x=-3$處，代入後有

$f\left(2\right)=-452$　；　$f\left(3\right)=-189$

$f\left(-2\right)=-484$　；　$f\left(-3\right)=-297$

因此最小值發生在$n=-2$處，其值為$-484$。



3. 假設某社區為一三角形區域，包含$\bigtriangleup ABC$及其內部。在頂點$A,B,C$各有一家便利商店，住家$P$的便利指標為$P$到$A,B,C$三點的最短距離，此距離越長買東西越不方便。
   1. 試證：當$\bigtriangleup ABC$為銳角三角形時，買東西最不方便的住家位於$\bigtriangleup ABC$的外心。
   2. 試問：當$\bigtriangleup ABC$為鈍角三角形時，買東西最不方便的住家位於何處？請畫一鈍角三角形，圖示出答案並證明之。
訣竅
由圖形的幾何意義進行分析。
解法
1. 設銳角$\bigtriangleup ABC$之外心為$O$。若$P$異於$O$，則$P$位於$\bigtriangleup AOB$或$\bigtriangleup BOC$或$\bigtriangleup COA$之一的邊上或內部。不妨設$P$位於$AOB$的邊上或內部，且在$\overline{AB}$上取中點$D$使$\overline{OD}\perp\overline{AB}$。此時若$P$在$\bigtriangleup AOD$內部或邊上，則$\overline{OA}>\overline{PA}$；類似地，若$P$在$\bigtriangleup BOD$內部或邊上，則$\overline{OB}>\overline{PB}$。因此外心$O$為最不方便的位置。
2. 外心為最不方便的住家點，但對鈍角三角形而言，外心落在外部，亦即不在社區內，因此不合於討論。此時最不方便的位置落在最長邊與次長邊中垂線的交點，不妨設三邊長關係為$\overline{AB}>\overline{BC}\geq\overline{CA}$，那麼最不方便的位置為$\overline{AB}$與$\overline{BC}$中垂線交點。如下附圖：
   
   若有異於$P$的點$Q$，則$Q$落在$\bigtriangleup BPD$或$\bigtriangleup CPD$或$\bigtriangleup ACP$之中。前兩者的情形可有$\overline{BQ}<\overline{BP}$或$\overline{CQ}<\overline{CP}$，而後者則有$\overline{AQ}<\overline{AP}$，其原因自$P$作$\overline{AC}$的垂線可發現以$\overline{AP}$作為斜邊會更長，究其根本乃在於$\angle C>90^\circ$才能使垂線與直線$AC$的交點不落在$\overline{AC}$上。綜合上述之說明，$P$點確實為最不方便的點。


4. 甲乙兩人競選某縣縣長，已知甲得$n$票，乙得$m$票，$n>m$。
   1. 求$m=1$時，開票過程中甲一路領先（平手不算領先）到底的機率。
   2. 求$m=2$時，開票過程中甲一路領先到底的機率。
   3. 根據$m=0,1,2$時，甲一路領先到底的機率，猜測$m$為一般的正整數時，甲一路領先到底的機率並證明之。
訣竅
直接計數所有組合數後考慮其機率即可。
解法

1. 所有開票的可能計有$\displaystyle\frac{\left(n+1\right)!}{n!1!}=n+1$，其中僅有兩種情況使得甲並非一路領先到底：乙先得一票、甲得一票後乙也得一票。故甲一路領先到底的機率為$\displaystyle\frac{n-1}{n+1}$。
2. 所有開票的可能計有$\displaystyle\frac{\left(n+2\right)!}{n!2!}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{2}$種可能，其中下列$2n+2$種為甲並非一路領先到底。
   • 乙先得一票，此等計有$n+1$種；
   • 甲先得一票後，乙再得票等，此計$n$種
   • 甲連得兩票後，乙亦連得兩票，此計$1$種
   因此甲一路領先到底的機率為$\displaystyle\frac{n-2}{n+2}$
3. 並且顯然地，當$m=0$時甲必然領先到底，其機率為$1$，因此由前兩小題之規律可推測一般的機率為$\displaystyle\frac{n-m}{n+m}$。證明如下：
   

   為此考慮一$n\times m$之正方格棋盤，起始於左下角之點（座標為$\left(0,0\right)$），並且作$45^\circ$線，其餘交會點稱為平手點，因此平手點計有$m$個，座標分別為$\left(1,1\right)$至$\left(m,m\right)$。其中座標$\left(x,y\right)$代表甲得$x$票而乙得$y$票

   因此我們欲求的甲一路領先的方法數可視為自$\left(0,0\right)$出發走捷徑至$\left(n,m\right)$但不經過平手點的方法數。技術性地，我們記$\left(1,0\right)$為$P$、$\left(0,1\right)$為$P'$，而且可以注意到$\left(0,1\right)$必然會經過平手點。

   藉由以上的處理，我們可以知道求由$\left(1,0\right)$至$\left(n,m\right)$的方法數為「$\left(1,0\right)$至$\left(n,m\right)$的所有手法」扣去「$\left(1,0\right)$至$\left(n,m\right)$經過平手點的走法」，又後者可等同於$\left(0,1\right)$至$\left(n,m\right)$的走法，因此方法數為$\displaystyle\frac{\left(m+n-1\right)!}{m!\left(n-1\right)!}-\frac{\left(m+n-1\right)!}{\left(m-1\right)!n!}$

   故所求的機率為

   $\displaystyle\frac{m!n!}{\left(m+n\right)!}\left(\frac{\left(m+n-1\right)!}{m!\left(n-1\right)!}-\frac{\left(m+n-1\right)!}{\left(m-1\right)!n!}\right)=\frac{n-m}{n+m}$

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臺灣大學數學系
九十學年度學士班申請入學筆試試題
數學（二）

說明：每題$25$分。答題時，計算題要有計算過程，證明題要說明清楚。計算或證明不完全者，會視情況部分給分。

1. $x$滿足方程式$\tan\left(\pi\cot x\right)=\cot\left(\pi\tan x\right)$，求$\tan x$之值。
訣竅
由三角函數的特性與關係詳細計算即可求解。
解法
由餘角關係可知$\displaystyle\tan\left(\pi\cot x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\pi\tan x\right)$，因此有
$\displaystyle\pi\cot x=\frac{\pi}{2}-\pi\tan x+n\pi$
其中$n$為整數。約去$\pi$後可整理為
$\displaystyle\frac{2}{\sin2x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\tan x+\cot x=\frac{2n+1}{2}$
因此
$\displaystyle\sin2x=\frac{4}{2n+1}$
故當$n=-2,-1,0,1$時無解，除此之外可解得
$\displaystyle x=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{4}{2n+1}\right)$
其中$n$為整數但不含$-2,-1,0,1$等四數。


2. 令集合$\displaystyle F=\left\{b|b\mbox{為正整數，且存在正整數}a\mbox{使得有理數}\frac{a}{b}\mbox{之循環節長為}3\right\}$。求$F$中的最小元素。
訣竅
將循環小數考慮為分數形式後，針對最簡分數進行分析。
解法
循環節長度為$3$的純小數部分之形式為$0.\bar{abc}$，其分數形式為$\displaystyle\frac{abc}{999}$，其中分子為三位數而非三數相乘。分母的因數有$1$、$3$、$9$、$27$、$37$、$111$、$333$、$999$。明顯地當最簡分數之分母為$1$、$3$、$9$時，其為循環節長度為$1$的小數。另一方面$\displaystyle\frac{1}{27}=0.\bar{037}$，因此此集合之最小值為$27$。


3. 設實係數多項式函數$f\left(x\right)$滿足下列(a),(b)的條件
   1. $\left(0,f\left(0\right)\right)$為圖形$y=f\left(x\right)$的反曲點（拐點）；
   2. $\left(1,f\left(1\right)\right)$為圖形$y=f\left(x\right)$的反曲點。
   問$f\left(x\right)$在閉區間$\left[0,1\right]$中是否一定有極值（極大值或極小值）？請解釋之。
訣竅
直接根據連續函數在緊緻集上的性質說明即可。
解法
由於$f$為多項式，因而為連續函數，因此在閉區間上必定可以達到最大值與最小值，因此有極大值與極小值。


4. 已知錐面$z^2=x^2+y^2$與平面$7y-z+24=0$的相交曲線是雙曲線，以$\Gamma$稱呼之。
   1. 已知$\Gamma$在$xy$平面上之投影為一雙曲線，請寫出其標準式。
   2. 求$\Gamma$的兩個頂點。
   3. 求$\Gamma$的貫軸所在之直線方程式或者一條漸近線之方程式。
   4. 求$\Gamma$的焦點。
訣竅
空間的二次曲線投影到平面上的許多性質不會因此改變，利用這樣的關係可以將空間問題轉換為平面上的問題來處理。
解法
1. 運用代入消去法有

   $\left(7y+24\right)^2=x^2+y^2$

   此即$x^2-48y^2-336y-576=0$，或寫為$x^2-48\left(y+\frac{7}{2}\right)^2=-12$。其標準式為

   $\displaystyle-\frac{x^2}{12}+\frac{\left(y+\frac{7}{2}\right)^2}{1/4}=1$

2. 由於$\Gamma$投影在$xy$平面上的雙曲線的頂點為$\displaystyle\left(0,-3\right)$、$\left(0,-4\right)$，因此對應回$\Gamma$的頂點則為$\left(0,-3,3\right)$、$\left(0,-4,-4\right)$。
3. 由於貫軸為通過兩頂點的直線，因此貫軸的參數式為

   $\left\{\begin{aligned} &x=0\\&y=-3-t\\&z=3-7t\end{aligned}\right.$

   另一方面，$\Gamma$投影在$xy$平面上的雙曲線之漸近線方程分別為

   $x=4\sqrt{3}y+14\sqrt{3}$　與　$-x=4\sqrt{3}y+14\sqrt{3}$

   由此對應回空間的漸近參數式分別為

   $\left\{\begin{aligned} &x=4\sqrt{3}t+14\sqrt{3}\\&y=t\\&z=7t+24\end{aligned}\right.$　與　$\left\{\begin{aligned} &x=-4\sqrt{3}t-14\sqrt{3}\\&y=t\\&z=7t+24\end{aligned}\right.$

4. 對投影於$xy$平面的雙曲線可求得其雙焦點分別為$\left(0,0\right)$、$\left(0,-7\right)$，因此於空間中的焦點分別為$\left(0,0,24\right)$、$\left(0,-7,-25\right)$。