八十三學年度數學學科能力測驗

八十三學年度
大學校院推薦甄選入學招生
學科能力測驗試題

數學考科

－考生作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 考試題數：
   (1) 單一選擇題七題，多重選擇題三題
   (2) 填充題十題
3. 作答用具：
   選擇題－用2B鉛筆在答案卡上選擇題（第一部分）答案區作答，修正時以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   填充題－用黑色或藍色筆在非選擇題答案卷上作答

※本卷附有常用對數表、三角函數表及公式摘要，供解題參考

－考試鈴聲響後開始作答－

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1. 選擇題
說明：下列第 $1$ 至第 $7$ 題為單一選擇題，每題 $5$ 分，答錯不倒扣。在答案卡上選擇題（第一部分）答案區作答。
1. 設 $a=\sqrt{7+\sqrt{47}}$，則 $a$ 在那兩個連續整數之間？（單選）
   1. $0$ 與 $1$
   2. $1$ 與 $2$
   3. $2$ 與 $3$
   4. $3$ 與 $4$
   5. $4$ 與 $5$
訣竅
對開方數作出基本的大小估計即可。
解法
依照開方的特性可知
$6=\sqrt{36}<\sqrt{47}<\sqrt{49}=7$.
同時增加 $7$ 可得
$13<7+\sqrt{47}<14$.
同時取開方可得
$3=\sqrt9<\sqrt{13}<a<\sqrt{14}<\sqrt{16}=4$.
因此 $a$ 介在 $3$ 與 $4$ 之間，故選 (D)。


2. 設直線 $L$ 的方程式為 $\displaystyle\frac{x-2}3=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}2$，則下列那一個平面與 $L$ 平行。（單選）
   1. $2x-y+z=1$
   2. $x+y-z=2$
   3. $3x-y+2z=1$
   4. $3x+2y+z=2$
   5. $x-3y+z=1$
訣竅
平面與直線平行時表明平面的法向量與直線的方向向量垂直，並且直線上的任何一點皆不落在該平面上。
解法
根據題設可知 $L$ 的方向向量為 $\left(3,-1,2\right)$，接著對各個選項分析如下
1. 此平面的法向量為 $\left(2,-1,1\right)$，藉由內積計算有 $\left(3,-1,2\right)\cdot\left(2,-1,1\right)=9\neq0$，因此兩向量互不垂直。
2. 此平面的法向量為 $\left(1,1,-1\right)$，藉由內積計算有 $\left(3,-1,2\right)\cdot\left(1,1,-1\right)=0$，因此兩向量互相垂直，至此可知直線 $L$ 與此平面平行或落於該平面上。又點 $\left(2,-1,1\right)$ 為直線 $L$ 上的點，藉由直接代入可知點 $\left(2,-1,1\right)$ 不落於平面 $x+y-z=2$ 上，因此直線 $L$ 平行於該平面。
3. 此平面的法向量為 $\left(3,-1,2\right)$，藉由內積計算有 $\left(3,-1,2\right)\cdot\left(3,-1,2\right)=14\neq0$，因此兩向量互不垂直。
4. 此平面的法向量為 $\left(3,2,1\right)$，藉由內積計算有 $\left(3,-1,2\right)\cdot\left(3,2,1\right)=9\neq0$，因此兩向量互不垂直。
5. 此平面的法向量為 $\left(1,-3,1\right)$，藉由內積計算有 $\left(3,-1,2\right)\cdot\left(1,-3,1\right)=8\neq0$，因此兩向量互不垂直。
綜上應選 (B)。


3. 同時擲兩枚均勻的硬幣，連續擲兩次，問至少有一次出現一正面一反面的機率為多少？（單選）
   1. $0$
   2. $\displaystyle\frac14$
   3. $\displaystyle\frac12$
   4. $\displaystyle\frac34$
   5. $1$
訣竅
關鍵詞「至少有一次」提示我們藉由刪去法來計算。
解法
每次擲兩枚均勻硬幣會有三種可能的情況：「兩個正面」或「兩個反面」或「一正一反」，其機率分別為 $\displaystyle\frac14$、$\displaystyle\frac14$、$\displaystyle\frac12$。
現在進行兩次這樣的擲幣，至少有一次一正一反的狀況可藉由排除完全沒有一正一反的機率來求得。兩次都不是一正一反的機率為 $\displaystyle\left(\frac12\right)^2=\frac14$，因此所求為 $\displaystyle1-\frac14=\frac34$。
故選 (D)。


4. 設圖 $1$ 中，$A$、$B$、$C$ 三點共線，$D$、$E$、$F$ 三點共線。利用這六點的 $3$ 個點作頂點所形成的三角形共有多少個？（單選）
   
   1. $9$
   2. $14$
   3. $16$
   4. $18$
   5. $20$
訣竅
有系統的計數之，亦可直接列表出來即可。
解法
由於三角形有三個點，有一排會選取一個點，而另一排會選取兩個點，因此一開始有兩種選擇：是上排選一點還是下排選一點。接著無論是上排選一點或是下排選一點，這樣的選點都有三種選擇；而另一排選兩個點亦有三種選擇。從而所求的情形數為 $2\times3\times3=18$ 種。
也可以直接列表如下：
上排選一點：ADE、ADF、AEF；BDE、BDF、BEF；CDE、CDF、CEF
下排選一點：DAB、DAC、DBC；EAB、EAC、EBC；FAB、FAC、FBC
應選 (D)


5. 甲、乙、丙三位同學參加推薦甄選學科能力測驗，五科的成績如表一所示。設 $S_甲$、$S_乙$、$S_丙$ 分別代表甲、乙、丙三位同學五科成績的標準差。請仔細觀察表中數據，判斷下列那一選項表示 $S_甲$、$S_乙$、$S_丙$ 的大小關係？（單選）
   
   1. $S_甲>S_丙>S_乙$
   2. $S_丙>S_甲=S_乙$
   3. $S_甲>S_丙=S_乙$
   4. $S_乙>S_甲=S_丙$
   5. $S_甲=S_乙>S_丙$
訣竅
留意各項成績間的數據關係，從而可根據線性調整分數對標準差的影響判斷之。
解法
由於甲的各科成績為乙的各科成績多 $10$，而丙的成績為甲的 $0.8$ 倍，依據線性調整的特性可知三個人的各科成績標準差會滿足關係式 $S_甲=S_乙>0.8S_甲=S_丙$。故選 (E)。


6. 若 $\displaystyle x=\frac{\sqrt[3]{88.3}}{\sqrt{2.56}}$ 則下列那一個敘述是正確的？（可用查表法）（單選）
   1. $2.8<x<2.9$
   2. $2.7<x<2.8$
   3. $2.6<x<2.7$
   4. $2.5<x<2.6$
   5. $2.4<x<2.5$
訣竅
對 $x$ 取對數後查表計算之。
解法
為了找出 $x$ 的精確值，我們對 $x$ 取底數為 $10$ 的對數有
$\begin{aligned}\log x&=\frac13\log88.3-\frac12\log2.56\\&=\frac13+\frac13\log8.83-\log1.6\\&\approx\frac13+\frac{0.9460}3-0.2041=0.4445{\bar 6}.\end{aligned}$
由於 $\log2.78=0.4440$、$\log2.79=0.4456$，從而可知 $x$ 介於 $2.78$ 與 $2.79$ 之間，故選 (B)。


7. 武林高手上官琴魔，幸獲至寶「斷腸一弦琴」。如圖 $2$ 實線部分，琴身為一圓弧，琴弦 $\overline{AB}$ 長為 $1.6$ 尺。今欲增其威力，需加一長為 $1.2$ 尺的平行琴弦，乃在 $P$ 及 $Q$ 點鑽孔，加裝琴弦 $\overline{PQ}$。若知圓心在 $O$ 點，半徑為 $1$ 尺，敢問少(女)俠 $\angle AOP$ 大小若干？（單選）
   
   1. $13^\circ<\angle AOP\leq14^\circ$
   2. $14^\circ<\angle AOP\leq15^\circ$
   3. $15^\circ<\angle AOP\leq16^\circ$
   4. $16^\circ<\angle AOP\leq17^\circ$
   5. $17^\circ<\angle AOP\leq18^\circ$
訣竅
利用兩角度之相差估算之。
解法
分別記 $\overline{AB}$、$\overline{PQ}$ 之中點為 $C$、$R$，那麼 $\angle AOP=\angle AOC-\angle POR$，按照題設可知 $\overline{OA}=\overline{OP}=1$、$\overline{PR}=0.6$、$\overline{AC}=0.8$，因此有 $\sin\left(\angle AOC\right)=0.8$、$\sin\left(\angle POR\right)=0.6$。據此查表可知
$53^\circ<\angle AOC<53^\circ10'$,　$36^\circ50'<\angle POR<37^\circ$
因此有
$16^\circ<\angle AOP<16^\circ20'$
故應選 (D)。


說明：下列第 $8$ 至第 $10$ 題為多重選擇題，每題 $5$ 分，仍在答案卡上選擇題（第一部分）答案區作答。每題的五個選項各自獨立，至少有一個正確選項。只錯一個給 $2.5$ 分，錯兩個或兩個以上者不給分。不答不予計分。
8. 若函數 $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ 的圖形如圖 $3$，則下列各數那些為負數？（多選）
   
   1. $a$
   2. $b$
   3. $c$
   4. $b^2-4ac$
   5. $a-b+c$
訣竅
利用因式定理確定 $f$ 的係數間的關係。
解法
由於 $-2$ 與 $\displaystyle\frac12$ 皆為方程 $f\left(x\right)=0$ 的根，因此 $f$ 可寫為
$\displaystyle f\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x-\frac12\right)=ax^2+\frac{3a}2x-a$.
因此有 $\displaystyle b=\frac{3a}2$、$c=-a$。又因圖形開口向上可知 $a>0$，進而能推斷出 $b>0$、$c<0$，此時可知 (A)(B) 錯誤而 (C) 正確。
再者可透過直接計算有
$\displaystyle b^2-4ac=\frac{9a^2}4-4\cdot a\cdot\left(-a\right)=\frac{25a^2}4>0$.
除此之外也可由 $f$ 有兩相異零根推知判別式為正數，故 (D) 錯誤。
最後由圖可知 $f$ 在 $\left[-2,\frac12\right]$ 的圖形位於 $x$ 軸的下方，從而有 $f\left(-1\right)=a-b+c<0$，因此 (E) 正確。
根據以上的推理可知應選 (C)(E)。


9. 下列有關空間的敘述，那些是正確的？（多選）
   1. 過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線垂直
   2. 過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行
   3. 過已知平面外一點，「恰有」一直線與此平面平行
   4. 過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面垂直
   5. 過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行
訣竅
運用直觀的空間能力判斷之，亦可利用解析觀點判斷解之數量。
解法
1. 這是對的，因為當平面通過直線外一點且與該直線平行時，它的法向量就是直線的方向向量，因此運用點法式可知該平面唯一確定。
2. 這是錯的，因為與直線平行的平面之法向量無法唯一確定。
3. 這是錯的，因為與平面平行的直線之方向向量無法唯一確定。
4. 這是錯的。因為一平面與另外一個平面垂直時其法向量僅與另一個法向量垂直從而無法唯一確定。
5. 這是對的，因為平行的兩平面之法向量會相同，因此由點法式可確定出該平面。
由以上分析可知應選 (A)(E)。


10. 下列那些方程式的部分圖形「不可能」出現在圖 $4$ 中？（多選）
    
    1. $\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$
    2. $\displaystyle y=\log_2x$
    3. $y=\cot x$
    4. $5x^2+4x-6y-3=0$
    5. $x^2-y^2+4x-6y-10=0$
訣竅
熟悉個選項之圖形後即可篩選之。
解法
1. 由於 $\displaystyle y=\left(\frac12\right)^x$ 的圖形如下，因此有可能出現於圖 $4$ 中。
   
2. 由於 $y=\log_2x$ 的圖形如下，因此有可能出現於圖 $4$ 中。
   
3. 由於 $y=\cot x$ 的圖形如下，故不可能出現於圖 $4$ 中。
   
4. 由於 $5x^2+4x-6y-3=0$ 為開口向上的拋物線，故不可能出現於圖 $4$ 中。
   
5. $x^2-y^2+4x-6y-10$ 可整理為 $\left(x+2\right)^2-\left(y-3\right)^2=23$，因此為開口面向左右的雙曲線，圖形如下，故不可能出現於圖 $4$ 中。
   
綜上可知應選 (C)(D)(E)。
2. 填充題
說明：
1. 答案寫在非選擇題答案卷上，每題 $5$ 分。
2. 不必列出演算過程
3. 切勿將無理數或無限小數寫成有限小數。
   例如：不要把 $\sqrt2$ 寫成 $1.414$
   　　　不要把 $\displaystyle\frac13$ 寫成 $0.333$
1. 函數 $y=4^x$ 與 $y=2^{3x+2}$ 的圖形之交點坐標為　(A)　。
訣竅
求交點坐標即解聯立方程。
解法
根據訣竅可知本題要解的是 $\left\{\begin{aligned} &y=4^x\\&y=2^{3x+2}\end{aligned}\right.$，運用代入消去法可知 $4^x=2^{3x+2}$。又因為由指數律可知 $4^x=2^{2x}$，故 $2^{2x}=2^{3x+2}$，所以有 $2x=3x+2$，如此解得 $x=-2$。代回 $y=4^x$ 有 $\displaystyle y=\frac1{16}$，因此交點坐標為 $\displaystyle\left(-2,\frac1{16}\right)$。


2. 一皮球自離地面 $10$ 公尺高處落下。首次反彈高度為 $\displaystyle\frac{10}3$ 公尺，此後每次反彈高度為其前次反彈高度的 $\displaystyle\frac13$，則此球到完全靜止前，所經過路徑的總長度為　(B)　公尺。
訣竅
運用無窮等比級數和公式即可。
解法

注意到彈起後將會落下與上升時相同的距離，因此所求可表達並計算如下為

$\displaystyle L=10+2\sum_{k=1}^\infty\frac{10}{3^k}=10+\frac{\frac{20}3}{1-\frac{1}3}=20$.



3. 平面上四點 $A\left(-1,2\right)$，$B\left(4,2\right)$，$C\left(2,-1\right)$ 和 $O\left(0,0\right)$。過 $B$ 點作直線 $OC$ 的平行線交直線 $OA$ 於 $D$ 點，$D$ 點的坐標為　(C)　。
訣竅
根據題設寫出直線方程式後解聯立即可。
解法
由於直線 $OC$ 的斜率為 $\displaystyle-\frac12$，因此運用點斜式可得過 $B$ 且平行直線 $OC$ 的直線方程式為
$\displaystyle y-2=-\frac12\left(x-4\right)$.
再者，直線 $OA$ 的方程式為 $y=-2x$。根據題意可知 $D$ 之座標為為如下方程組的解
$\left\{\begin{aligned} &y-2=-\frac12\left(x-4\right)\\&y=-2x\end{aligned}\right.$
可解得 $D$ 點坐標為 $\displaystyle\left(x,y\right)=\left(-\frac83,\frac{16}3\right)$。


4. 已知 $A\left(1,2\right)$ 與 $B\left(3,4\right)$ 為兩定點，$P\left(x,y\right)$ 為直線 $x+2y=3$ 上一點。問 $\overline{PA}=\overline{PB}$ 時，$P$ 的坐標為　(D)　。
訣竅
由條件直接化為代數式計算即可；亦可透過條件推知 $P$ 落於 $\overline{AB}$ 的中垂線上來求解。
解法一
按題設可知 $\left(x,y\right)$ 除了滿足 $x+2y=3$ 外尚滿足
$\overline{PA}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}=\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2}=\overline{PB}$.
平方後整理化簡可得 $x+y=5$。由此與 $x+2y=3$ 聯立解可得 $x=7$、$y=-2$，故 $P$ 之坐標為 $\left(7,-2\right)$。
解法二
根據題設 $\overline{PA}=\overline{PB}$ 可知 $P$ 落於 $\overline{AB}$ 的中垂線上。由於 $\overline{AB}$ 的中點坐標為 $\left(2,3\right)$ 而 $\overline{AB}$ 的斜率為 $1$，因此 $\overline{AB}$ 的中垂線方程式為 $y=-x+5$。故 $P$ 之座標為下列聯立方程組的解
$\left\{\begin{aligned} &x+2y=3\\&x+y=5\end{aligned}\right.$
可以解得 $x=7$、$y=-2$，亦即 $P$ 之座標為 $\left(7,-2\right)$。


5. 若直線 $L:y=mx+3$ 與圓 $x^2+y^2+2x=3$ 相切，則 $m=$　(E)　。
訣竅
幾何觀點：圓的切線至圓心的距離恰為半徑，運用點至直線的距離公式可以求出未知的係數，並且注意到本題的未知係數代表斜率，因此會有兩解。
代數觀點：相切代表重根，因此運用代入消去法所得若為二次方程則判別式為零。
解法一
將圓寫為標準式為 $\left(x+1\right)^2+y^2=2^2$，因此圓心為 $\left(-1,0\right)$ 而半徑為 $2$。因此圓心 $\left(-1,0\right)$ 到 $L$ 的距離為 $2$，運用點到直線的距離公式可得 $$\frac{\left|m\cdot\left(-1\right)-0+3\right|}{\sqrt{m^2+1}}=2.$$ 因此將 $\sqrt{m^2+1}$ 移項後取平方可得 $$m^2-6m+9=4m^2+4.$$ 整理有 $3m^2+6m-5=0$，從而可得 $\displaystyle m=\frac{-3\pm2\sqrt{6}}3$。驗證可知兩者皆為合於條件。
解法二
運用代入消去法可得 $$x^2+\left(mx+3\right)^2+2x=3.$$ 整理有 $$\left(m^2+1\right)x^2+\left(6m+2\right)x+6=0.$$ 由於相切代表這樣的二次方程有重根，因此其判別式為零，亦即有 $$\left(6m+2\right)^2-4\cdot6\cdot\left(m^2+1\right)=0.$$ 整理可得 $3m^2+6m-5=0$，從而可得 $\displaystyle m=\frac{-3\pm2\sqrt{6}}3$。


6. 平面 $E:x+3y+z=1$ 與球面 $x^2+y^2+z^2+2x-4y-11=0$ 相交成一個圓。則此圓的面積為　(F)　。
訣竅
球面與平面相交未必為圓。若假定可以發現此圖形為圓，那目標便是找出其半徑，其關鍵是使用畢氏定理。
解法
球面的標準式為 $\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+z^2=4^2$，因此球心為 $O\left(-1,2,0\right)$，而半徑為 $4$。現假定平面 $E$ 交球面為一圓 $C$ 並設 $C$ 之圓心為 $P$，根據點到平面的距離公式可知
$\displaystyle\overline{OP}=d\left(O,E\right)=\frac{\left|-1+3\cdot2+0-1\right|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\frac4{\sqrt{11}}$.
再取圓 $C$ 上的任意點 $Q$，那麼 $\bigtriangleup OPQ$ 為直角三角形，運用有畢氏定理有
$\displaystyle\overline{PQ}^2=\overline{OQ}^2-\overline{OP}^2=4^2-\left(\frac{5}{\sqrt{11}}\right)^2=\frac{160}{11}$.
如此圓 $C$ 的面積即為 $\displaystyle\frac{160\pi}{11}$。


7. 設 $L$ 為 $x-y+z=1$ 與 $x+y-z=1$ 兩平面的交線，則直線 $L$ 上與點 $\left(1,2,3\right)$ 距離最近之點的坐標為　(G)　。
訣竅
找出 $L$ 的參數式後將距離表達為參數的函數，隨後運用配方法求最小值即可。
解法
由於 $L$ 為兩平面之交線，將兩平面之方程相加可得 $x=1$，從而 $L$ 上之座標為 $\left(1,t,t\right)$，其中 $t$ 為實數。因此 $L$ 上的動點 $P\left(1,t,t\right)$ 與 $\left(1,2,3\right)$ 的距離可表達為 $t$ 的函數如下
$\displaystyle f\left(t\right)=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(t-3\right)^2}=\sqrt{2\left(t-\frac52\right)^2+\frac12}.$
因此當 $\displaystyle t=\frac52$ 時有最小值 $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}2$，此時動點 $P$ 之座標為 $\displaystyle\left(1,\frac52,\frac52\right)$。


8. 每次用 $20$ 根相同的火柴棒圍成一個三角形，共可圍成　(H)　種不全等的三角形。
訣竅
為了圍成三角形，三個正數需滿足其中兩數之和大於第三數。
解法
設可用 $20$ 根相同的火柴棒圍成一個三邊為 $x,y,z$ 的三角形，那麼 $x,y,z$ 為正整數且滿足
$\left\{\begin{aligned} &x+y+z=20,\\&x+y>z,~y+z>x,~z+x>y\end{aligned}\right.$
由於僅需找出不全等三角形的個數，因此可以假定 $x\geq y\geq z$，進而三角不等式僅需考慮 $y+z>x$。
可以直接條列符合條件的三元組如下：當 $x=9$ 時有 $\left(9,9,2\right)$、$\left(9,8,3\right)$、$\left(9,7,4\right)$、$\left(9,6,5\right)$，共四種；
當 $x=8$ 時有 $\left(8,8,4\right)$、$\left(8,7,5\right)$、$\left(8,6,6\right)$，共三種。
當 $x=7$ 時有 $\left(7,7,6\right)$，共一種。
共計有 $8$ 種。


9. 若 $\displaystyle\frac{3\pi}2<\theta<2\pi$ 且 $\displaystyle\sin\theta+\cos\theta=\frac15$，則 $\cos\theta=$　(I)　。
訣竅
利用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 將建立起關於 $\cos\theta$ 的二次方程。
解法
首先將 $\cos\theta$ 移項後平方可得
$\displaystyle 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta=\left(\frac15-\cos\theta\right)^2=\frac1{25}-\frac{2\cos\theta}5+\cos^2\theta$.
整理可得 $25\cos^2\theta-5\cos\theta-12=0$，亦即 $\left(5\cos\theta-4\right)\left(5\cos\theta+3\right)=0$，從而可解得 $\displaystyle\cos\theta=\frac45$ 或 $\displaystyle\cos\theta=-\frac35$。由於 $\theta$ 為第四象限角，因此 $\displaystyle\cos\theta=-\frac35$ 不合於所求，故得 $\displaystyle\cos\theta=\frac45$。


10. 已知 $p$ 為常數，若 $x^2+px+6$ 與 $x^3+px+6$ 的最低公倍式為四次式，則$p=$　(J)　。
訣竅
根據條件可注意到兩者有一次公因式，運用輾轉相除法找出最高公因式，最終利用該公因式求出 $p$ 值。
解法
由於二次式與三次式的最低公倍式為四次式，從而可知最高公因式為一次式。運用輾轉相除法的原理可知
$\left(x^3+px+6\right)-\left(x^2+px+6\right)=x^3-x^2=x^2\left(x-1\right)$.
被最高公因式可整除，如此么領最高公因式為 $x$ 或 $x-1$。但明顯 $x$ 不為公因式，故公因式為 $x-1$，從而取 $x=1$ 代入之函數值為零，據此可知 $p=-7$。

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〈附錄〉

常用對數表 $y=\log_{10}x$

$\begin{array}{|c|ccccc|ccccc|}\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline10&0000&0043&0086&0128&0170&0212&0253&0294&0334&0374\\11&0414&0453&0492&0531&0569&0607&0645&0682&0719&0755\\12&0792&0828&0864&0899&0934&0969&1004&1038&1072&1106\\13&1139&1173&1206&1239&1271&1303&1335&1367&1399&1430\\14&1461&1492&1523&1553&1584&1614&1644&1673&1703&1732\\\\15&1761&1790&1818&1847&1875&1903&1931&1959&1987&2014\\16&2041&2068&2095&2122&2148&2175&2201&2227&2253&2279\\17&2304&2330&2355&2380&2405&2430&2455&2480&2504&2529\\18&2553&2577&2601&2625&2648&2672&2695&2718&2742&2765\\19&2788&2810&2833&2856&2878&2900&2923&2945&2967&2989\\\\20&3010&3032&3054&3075&3096&3118&3139&3160&3181&3201\\21&3222&3243&3263&3284&3304&3324&3345&3365&3385&3404\\22&3424&3444&3464&3483&3502&3522&3541&3560&3579&3598\\23&3617&3636&3655&3674&3692&3711&3729&3747&3766&3784\\24&3802&3820&3838&3856&3874&3892&3909&3927&3945&3962\\\\25&3979&3997&4014&4031&4048&4065&4082&4099&4116&4133\\26&4150&4166&4183&4200&4216&4232&4249&4265&4281&4298\\27&4314&4330&4346&4362&4378&4393&4409&4425&4440&4456\\28&4472&4487&4502&4518&4533&4548&4564&4579&4594&4609\\29&4624&4639&4654&4669&4683&4698&4713&4728&4742&4757\\\\30&4771&4786&4800&4814&4829&4843&4857&4871&4886&4900\\31&4914&4928&4942&4955&4969&4983&4997&5011&5024&5038\\32&5051&5065&5079&5092&5105&5119&5132&5145&5159&5172\\33&5185&5198&5211&5224&5237&5250&5263&5276&5289&5302\\34&5315&5328&5340&5353&5366&5378&5391&5403&5416&5428\\\\35&5441&5453&5465&5478&5490&5502&5514&5527&5539&5551\\36&5563&5575&5587&5599&5611&5623&5635&5647&5658&5670\\37&5682&5694&5705&5717&5729&5740&5752&5763&5775&5786\\38&5798&5809&5821&5832&5843&5855&5866&5877&5888&5899\\39&5911&5922&5933&5944&5955&5966&5977&5988&5999&6010\\\\40&6021&6031&6042&6053&6064&6075&6085&6096&6107&6117\\41&6128&6138&6149&6160&6170&6180&6191&6201&6212&6222\\42&6232&6243&6253&6263&6274&6284&6294&6304&6314&6325\\43&6335&6345&6355&6365&6375&6385&6395&6405&6415&6425\\44&6435&6444&6454&6464&6474&6484&6493&6503&6513&6522\\\\45&6532&6542&6551&6561&6571&6580&6590&6599&6609&6618\\46&6628&6637&6646&6656&6665&6675&6684&6693&6702&6712\\47&6721&6730&6739&6749&6758&6767&6776&6785&6794&6803\\48&6812&6821&6830&6839&6848&6857&6866&6875&6884&6893\\49&6902&6911&6920&6928&6937&6946&6955&6964&6972&6981\\\\50&6990&6998&7007&7016&7024&7033&7042&7050&7059&7067\\51&7076&7084&7093&7101&7110&7118&7126&7135&7143&7152\\52&7160&7168&7177&7185&7193&7202&7210&7218&7226&7235\\53&7243&7251&7259&7267&7275&7284&7292&7300&7308&7316\\54&7324&7332&7340&7348&7356&7364&7372&7380&7388&7396\\\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline\end{array}$

$\begin{array}{|c|ccccc|ccccc|}\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline55&7404&7412&7419&7427&7435&7443&7451&7459&7466&7474\\56&7482&7490&7497&7505&7513&7520&7528&7536&7543&7551\\57&7559&7566&7574&7582&7589&7597&7604&7612&7619&7627\\58&7634&7642&7649&7657&7664&7672&7679&7686&7694&7701\\59&7709&7716&7723&7731&7738&7745&7752&7760&7767&7774\\\\60&7782&7789&7796&7803&7810&7818&7825&7832&7839&7846\\61&7853&7860&7868&7875&7882&7889&7896&7903&7910&7917\\62&7924&7931&7938&7945&7952&7959&7966&7973&7980&7987\\63&7993&8000&8007&8014&8021&8028&8035&8041&8048&8055\\64&8062&8069&8075&8082&8089&8096&8102&8109&8116&8122\\\\65&8129&8136&8142&8149&8156&8162&8169&8176&8182&8189\\66&8195&8202&8209&8215&8222&8228&8235&8241&8248&8254\\67&8261&8267&8274&8280&8287&8293&8299&8306&8312&8319\\68&8325&8331&8338&8344&8351&8357&8363&8370&8376&8382\\69&8388&8395&8401&8407&8414&8420&8426&8432&8439&8445\\\\70&8451&8457&8463&8470&8476&8482&8488&8494&8500&8506\\71&8513&8519&8525&8531&8537&8543&8549&8555&8561&8567\\72&8573&8579&8585&8591&8597&8603&8609&8615&8621&8627\\73&8633&8639&8645&8651&8657&8663&8669&8675&8681&8686\\74&8692&8698&8704&8710&8716&8722&8727&8733&8739&8745\\\\75&8751&8756&8762&8768&8774&8779&8785&8791&8797&8802\\76&8808&8814&8820&8825&8831&8837&8842&8848&8854&8859\\77&8865&8871&8876&8882&8887&8893&8899&8904&8910&8915\\78&8921&8927&8932&8938&8943&8949&8954&8960&8965&8971\\79&8976&8982&8987&8993&8998&9004&9009&9015&9020&9025\\\\80&9031&9036&9042&9047&9053&9058&9063&9069&9074&9079\\81&9085&9090&9096&9101&9106&9112&9117&9122&9128&9133\\82&9138&9143&9149&9154&9159&9165&9170&9175&9180&9186\\83&9191&9196&9201&9206&9212&9217&9222&9227&9232&9238\\84&9243&9248&9253&8258&9263&9269&9274&9279&9284&9289\\\\85&9294&9299&9304&9309&9315&9320&9325&9330&9335&9340\\86&9345&9350&9355&9360&9365&9370&9375&9380&9385&9390\\87&9395&9400&9405&9410&9415&9420&9425&9430&9435&9440\\88&9445&9450&9455&9460&9465&9469&9474&9479&9484&9489\\89&9494&9499&9504&9509&9513&9518&9523&9528&9533&9538\\\\90&9542&9547&9552&9557&9562&9566&9571&9576&9581&9586\\91&9590&9595&9600&9605&9609&9614&9619&9624&9628&9633\\92&9638&9643&9647&9652&9657&9661&9666&9671&9675&9680\\93&9685&9689&9694&9699&9703&9708&9713&9717&9722&9727\\94&9731&9736&9741&9745&9750&9754&9759&9763&9768&9773\\\\95&9777&9782&9786&9791&9795&9800&9805&9809&9814&9818\\96&9823&9827&9832&9836&9841&9845&9850&9854&9859&9863\\97&9868&9872&9877&9881&9886&9890&9894&9899&9903&9908\\98&9912&9917&9921&9926&9930&9934&9939&9943&9948&9952\\99&9956&9961&9965&9969&9974&9978&9983&9987&9991&9996\\\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline\end{array}$

註：

1. 表中所給的對數值為小數點後的值。
2. 表中最左欄的數字表示 $x$ 的個位數及小數點後第一位，最上欄的數字表示 $x$ 的小數點後第二位。

三角函數表

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline角度&\text{Sin}&\text{Cos}&\text{Tan}&\text{Cot}&\text{Sec}&\text{Csc}&\\\hline36^\circ~00'&.5878&.8090&.7265&1.376&1.236&1.701&54^\circ~00'\\~~~~~~10'&.5901&.8073&.7310&1.368&1.239&1.695&~~~~~~50'\\~~~~~~20'&.5925&.8056&.7355&1.360&1.241&1.688&~~~~~~40'\\~~~~~~30'&.5948&.8039&.7400&1.351&1.244&1.681&~~~~~~30'\\~~~~~~40'&.5972&.8021&.7445&1.343&1.247&1.675&~~~~~~20'\\~~~~~~50'&.5995&.8004&.7490&1.335&1.249&1.668&~~~~~~10'\\\\37^\circ~00'&.6018&.7986&.7536&1.327&1.252&1.662&53^\circ~00'\\~~~~~~10'&.6041&.7969&.7581&1.319&1.255&1.655&~~~~~~50'\\~~~~~~20'&.6065&.7951&.7627&1.311&1.258&1.649&~~~~~~40'\\~~~~~~30'&.6088&.7934&.7673&1.303&1.260&1.643&~~~~~~30'\\~~~~~~40'&.6111&.7916&.7720&1.295&1.263&1.636&~~~~~~20'\\~~~~~~50'&.6134&.7898&.7766&1.288&1.266&1.630&~~~~~~10'\\\\38^\circ~00'&.6157&.7880&.7813&1.280&1.269&1.624&52^\circ~00'\\~~~~~~10'&.6180&.7862&.7860&1.272&1.272&1.618&~~~~~~50'\\~~~~~~20'&.6202&.7844&.7907&1.265&1.275&1.612&~~~~~~40'\\~~~~~~30'&.6225&.7826&.7954&1.257&1.278&1.606&~~~~~~30'\\~~~~~~40'&.6248&.7808&.8002&1.250&1.281&1.601&~~~~~~20'\\~~~~~~50'&.6271&.7790&.8050&1.242&1.284&1.595&~~~~~~10'\\\hline&\text{Cos}&\text{Sin}&\text{Cot}&\text{Tan}&\text{Csc}&\text{Sec}&角度\\\hline\end{array}$

〈公式摘要〉

1. 一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 標準差 $\displaystyle S=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)^2}=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^2-\bar X^2}$
3. 等比級數 $\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$ 前 $n$ 項之和 $\displaystyle S_n=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}=\frac a{1-r}-\frac{ar^n}{1-r}$　($r\neq1$)
4. $P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$ 兩點間的距離 $\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
5. $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,$　$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta,$　$\cot^2\theta+1=\csc^2\theta$
6. $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$　$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
7. 點 $P\left(x_0,y_0\right)$ 到直線 $L:ax+by+c=0$ 的距離為：$\displaystyle\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
8. 點 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 到平面 $E:ax+by+cz+d=0$ 的距離為：$\displaystyle\frac{\left|ax_0+by_0+cz_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
9. $\displaystyle\log_a\left(\frac{1}{x}\right)=-\log_ax,$　$\log_a\left(xy\right)=\log_ax+\log_ay,$　$\log_a\left(x^y\right)=y\log_ax$