八十四學年度數學學科能力測驗

八十四學年度
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學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$ 分鐘
2. 題型題數：
   
   • 選擇題共 $11$ 題
   • 填充題共 $9$ 題
3. 作答方式：
   • 選擇題用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 選擇題答錯不倒扣
   • 非選擇題用黑色或藍色筆在答案卷上作答

※試題後附有參考公式及對數表

－考試鈴聲響後始可翻頁－

祝考試順利

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第一部份：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第 $1$ 至第 $7$ 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「選擇題答案區」，每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣。
1. 圖 $1$ 中 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 為坐標平面上的五個點。將這五點的坐標 $\left(x,y\right)$ 分別代入 $x-y=k$，問那一點所得的 $k$ 值最大？
   
   1. $A$
   2. $B$
   3. $C$
   4. $D$
   5. $E$
訣竅
藉由思考如何使 $k$ 值放大而考察各點坐標的特性可知。
解法
為了使 $k$ 最大，那麼便要使 $x$ 盡量大而 $y$ 盡量小，如此可見 $E$ 點符合這樣的情境，從而應選 (E)。


2. 若將 $\displaystyle\frac1{4369}+\frac1{5911}$ 化為最簡分數，則其分母為何？
   1. $100487$
   2. $100489$
   3. $10280$
   4. $25825159$
   5. $25825161$
訣竅
運用輾轉相除法找出分母的最大公因數後再進行通分計算。
解法
根據輾轉相除法計算如下
$\begin{aligned} &5911=4369\cdot1+1542,\\&4369=1542\cdot2+1285,\\&1542=1285\cdot1+257,\\&1285=257\cdot5.\end{aligned}$
因此最大公因數為 $257$，如此所求可以計算如下
$\displaystyle\frac1{4369}+\frac1{5911}=\frac1{257\cdot17}+\frac1{257\cdot23}=\frac{40}{257\cdot17\cdot23}=\frac{40}{100487}$.
故選 (A)。


3. 圖 $2$ 表示長方形垛的疊法：
   
   某水果販將橘子堆成長方形垛。若最底層長邊有 $10$ 個橘子，短邊有 $5$ 個，則此長方形垛最多有幾個橘子？
   1. $110$
   2. $120$
   3. $130$
   4. $140$
   5. $150$
訣竅
藉由直接計算即可；或利用連加記號表示法來計算之。
解法
根據圖中的規律可以發現每往上一層長邊與短邊的數量會少一個，因此長方形垛若依此規律堆疊最多會有
$10\times5+9\times4+8\times3+7\times2+6\times1=130$.
或者可運用連加記號表示並計算如下
$\displaystyle\begin{aligned}\sum_{k=1}^5\left(11-k\right)\left(6-k\right)&=\sum_{k=1}^5\left(66-17k+k^2\right)\\&=66\cdot5-17\cdot\frac{5\cdot\left(5+1\right)}2+\frac{5\cdot\left(5+1\right)\cdot\left(2\cdot5+1\right)}6\\&=130.\end{aligned}$
故選 (C)。


4. 以下選項所列的各平面，那一個平面與球 $x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-19=0$ 相交所成的圓之面積最大？
   1. $x+y+z=0$
   2. $z=-1$
   3. $y=1$
   4. $x=2$
   5. $x=2y$
訣竅
若要使平面與球面所相交的圓面積盡量的大，那便須使該平面與球心盡量靠近。因此計算球心平面的距離並選擇最接近的即可。
解法
首先將該球面方程式改為標準式如下
$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+1\right)^2=25$.
因此球心座標為 $O\left(1,-2,-1\right)$。根據提示所述計算各選項的平面與球心之距離如下
1. 平面 $A:x+y+z=0$ 與球心 $O\left(1,-2,-1\right)$ 的距離為

   $\displaystyle d\left(A,O\right)=\frac{\left|1+\left(-2\right)+\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3.$

2. 平面 $B:z=-1$ 與球心 $O\left(1,-2,-1\right)$ 的距離為

   $\displaystyle d\left(B,O\right)=\frac{\left|-1+1\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=0$.

3. 平面 $C:y=1$ 與球心 $O\left(1,-2,-1\right)$ 的距離為

   $\displaystyle d\left(C,O\right)=\frac{\left|-2-1\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=3$.

4. 平面 $D:x=2$ 與球心 $O\left(1,-2,-1\right)$ 的距離為

   $\displaystyle d\left(D,O\right)=\frac{\left|1-2\right|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=1$.

5. 平面 $E:x=2y$ 與球心 $O\left(1,-2,-1\right)$ 的距離為

   $\displaystyle d\left(E,O\right)=\frac{\left|1-2\cdot\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2+0^2}}=\sqrt5$.
可以發現 B 選項的平面距離球心最近，事實上球心就在該平面上，故選 (B)。


5. 我國自用小汽車的牌照號碼，前兩位為大寫英文字母，後四位為數字，例如 $AB－0950$。若最後一位數字不用 $4$，且後四位數字沒有 $0000$ 這個號碼，那麼我國可能有的自用小汽車牌照號碼有多少個？
   1. $26\times25\times\left(4320-1\right)$
   2. $26\times25\times4320-1$
   3. $26\times25\times\left(5040-1\right)$
   4. $26\times26\times\left(9000-1\right)$
   5. $26\times26\times9000-1$
訣竅
按題意考慮符合的組合並運用乘法原理思考之。
解法
運用乘法原理考慮分別考慮車牌號碼中的字母與數字的組合：首先前兩個字母沒有任何限制，因此為 $26\cdot26$ 種，而關於數字號碼部分則因為最後一位不使用 $4$ 的四位數計有 $10\cdot10\cdot10\cdot9$ 種，最後還要排除 $0000$ 這個號碼，因此需要扣除 $1$ 種，從而數量如下
$\underbrace{26}_{\text{第一個字母}}\times\underbrace{26}_{\text{第二個字母}}\times\underbrace{(\overbrace{9000}^{\text{末位不用}4}-\overbrace{1}^{\text{不使用}0000})}_{\text{號碼數量}}$
應選 (D)。


6. 某肥皂廠商欲推出一種新產品，在上市前以不同的單價 $x$（單位：十元）調查市場的需求量 $y$（單位：萬盒）。調查結果如下：

   $x$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
   $y$	$11$	$12$	$10$	$8$	$9$

   問 $x$ 和 $y$ 的相關係數最接近下列那一個值？
   1. $\displaystyle\frac45$
   2. $\displaystyle\frac25$
   3. $0$
   4. $\displaystyle-\frac25$
   5. $\displaystyle-\frac45$
訣竅
根據相關係數的定義計算即可，其中至少可以根據其趨勢注意到遞減，因此至少為負值。
解法
容易知道 $\bar x=\bar y=10$，於是可建立表格如下
$x-\bar x$	$y-\bar y$	$\left(x-\bar x\right)\left(y-\bar y\right)$	$\left(x-\bar x\right)^2$	$\left(y-\bar y\right)^2$
$-2$	$1$	$-2$	$4$	$1$
$-1$	$2$	$-2$	$1$	$4$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$-2$	$-2$	$1$	$4$
$2$	$-1$	$-2$	$4$	$1$
因此相關係數可計算如下
$\displaystyle r=\frac{\sum\left(x-\bar x\right)\left(y-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x-\bar x\right)^2}\sqrt{\sum\left(y-\bar y\right)^2}}=\frac{-8}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=-\frac45$.
故選 (E)。


7. 設 $m$ 為實數，若二次函數 $y=mx^2+10x+m+6$ 的圖形在直線 $y=2$ 的上方，則 $m$ 的範圍為何？
   1. $m>0$
   2. $m>-2+\sqrt{29}$
   3. $0<m<-2+\sqrt{29}$
   4. $-2-\sqrt{29}<m<-2+\sqrt{29}$
   5. $m>-2+\sqrt{29}$ 或 $m<-2-\sqrt{29}$
訣竅
首先考慮拋物線的開口方向，接著配合判別式來決定出 $m$ 應滿足的條件。
解法
由於二次函數在 $y=2$ 上方，因此拋物線開口向上，故 $m>0$。再者，$mx^2+10x+m+6>2$ 等價於 $mx^2+10x+m+4>0$，因此判別式為負，即有
$10^2-4\cdot m\cdot\left(m+4\right)<0$.
如此有 $m^2+4m+4>29$，故 $m>-2+\sqrt{29}$ 或 $m<-2-\sqrt{29}$。因此如此 $m$ 滿足
$m\in\left(0,\infty\right)\cap\left[\left(-\infty,-2-\sqrt{29}\right)\cup\left(-2+\sqrt{29},\infty\right)\right]=\left(-2+\sqrt{29},\infty\right)$.
應選 (B)。


2. 多重選擇題
說明：第 $8$ 至第 $11$ 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「選擇題答案區」。每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲 $2.5$ 分，錯兩個或兩個以上不給分。
8. 下面有五組函數，那些組的兩個函數，其圖形互相對稱於 $y$ 軸？
   1. $\displaystyle y=\left(\frac12\right)^{3x}$ 和 $y=2^{3x}$
   2. $y=2^{3x}$ 和 $y=3^{2x}$
   3. $y=x^2$ 和 $y=-x^2$
   4. $y=\log x$ 和 $y=\log\left(-x\right)$
   5. $y=\cos x$ 和 $\displaystyle y=\sin\left(x-\frac\pi2\right)$
訣竅
若兩函數 $y=f\left(x\right)$ 與 $y=g\left(x\right)$ 對稱於 $y$ 軸則表示 $f\left(-x\right)=g\left(x\right)$。
解法
1. 設 $\displaystyle f\left(x\right)=\left(\frac12\right)^{3x}$、$g\left(x\right)=2^{3x}$，由於 $\displaystyle f\left(-x\right)=\left(\frac12\right)^{-3x}=2^{3x}=g\left(x\right)$，因此兩函數圖形對稱於 $y$ 軸。
2. 設 $f\left(x\right)=2^{3x}$、$g\left(x\right)=3^{2x}$，由於 $f\left(-x\right)=2^{-3x}\neq3^{2x}=g\left(x\right)$，因此兩函數圖形不對稱於 $y$ 軸。
3. 設 $f\left(x\right)=x^2$、$g\left(x\right)=-x^2$，由於 $f\left(-x\right)=\left(-x\right)^2=x^2\neq-x^2=g\left(x\right)$，因此兩函數圖形不對稱於 $y$ 軸。
4. 設 $f\left(x\right)=\log x$、$g\left(x\right)=\log\left(-x\right)$，明顯有 $f\left(-x\right)=g\left(x\right)$，因此兩函數圖形對稱於 $y$ 軸。
5. 設 $f\left(x\right)=\cos x$、$\displaystyle g\left(x\right)=\sin\left(x-\frac\pi2\right)$，由於 $f\left(-x\right)=\cos\left(-x\right)=\cos x$，而 $\displaystyle g\left(x\right)=\sin\left(x-\frac\pi2\right)=-\cos x$，因其兩者不相等故兩函數圖形不對稱於 $y$ 軸。
由以上討論可知應選 (A)(D)。


9. $\cos74^\circ-\cos14^\circ$ 等於下列那些式子？
   1. $\cos60^\circ$
   2. $2\sin30^\circ\sin44^\circ$
   3. $2\cos30^\circ\cos44^\circ$
   4. $\sin16^\circ-\sin76^\circ$
   5. $\sin164^\circ+\cos166^\circ$
訣竅
根據三角函數的各種特性來判定是否可能相等。
解法
1. 由於 $\cos74^\circ<\cos14^\circ$，因此 $\cos74^\circ-\cos14^\circ<0$，但 $\displaystyle\cos60^\circ=\frac12$，從而不可能相等。
2. 同選項 (A) 的理由可知 $\cos74^\circ-\cos14^\circ<0$，但 $2\sin30^\circ\sin44^\circ>0$，故不可能相等。
3. 同選項 (A) 的理由可知 $\cos74^\circ-\cos14^\circ<0$，但 $2\cos30^\circ\cos44^\circ>0$，故不可能相等。
4. 由餘角關係可知 $\cos74^\circ=\sin16^\circ$、$\cos14^\circ=\sin76^\circ$，因此

   $\cos74^\circ-\cos14^\circ=\sin16^\circ-\sin76^\circ$.

5. 承選項 (D)，由於 $\sin\theta=\sin\left(180^\circ-\theta\right)$ 可知 $\sin16^\circ=\sin164^\circ$。再者由於 $\cos\theta=-\cos\left(180^\circ-\theta\right)$，因此 $\cos14^\circ=-\cos166^\circ$。由這兩個恆等關係可得

   $\cos74^\circ-\cos14^\circ=\sin16^\circ-\left(-\cos166^\circ\right)=\sin164^\circ+\cos166^\circ$.
經由以上的分析可知應選 (D)(E)。


10. 已知等軸雙曲線 $\Gamma$ 的一條漸近線為 $x-y=0$，中心的坐標為 $\left(1,1\right)$，且 $\Gamma$ 通過點 $\left(3,0\right)$。試問下列敘述那些是正確的？
    1. $\Gamma$ 的兩條漸近線互相垂直
    2. $x+y=0$ 為 $\Gamma$ 的另外一條漸近線
    3. $\Gamma$ 的貫軸在直線 $y=1$ 上
    4. 點 $\left(1,\sqrt3-1\right)$ 為 $\Gamma$ 的一個頂點
    5. 點 $\left(1,\sqrt6-1\right)$ 為 $\Gamma$ 的一個焦點
訣竅
等軸雙曲線的定義和雙曲線的基本知識解題即可。
解法
中心座標為 $\left(1,1\right)$ 且為等軸雙曲線，因此 $\Gamma$ 的方程為 $\displaystyle\frac{\left(x-1\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-1\right)^2}{a^2}=1$ 或 $\displaystyle-\frac{\left(x-1\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-1\right)^2}{a^2}=1$。由於 $\Gamma$ 通過 $\left(3,0\right)$ 可以知道為前一種情形且 $a^2=3$，故 $\Gamma$ 的方程為
$\displaystyle\frac{\left(x-1\right)^2}3-\frac{\left(y-1\right)^2}3=1$.
據此可回答各選項之問題
1. 事實上等軸雙曲線的漸近線必定互相垂直。於本題之另一條漸近線為 $x+y=2$，故選項 (A) 正確。
2. 由於漸近線必定要通過中心故 $x+y=0$ 不為另一條漸近線，因此選項 (B) 錯誤。
3. 根據 $\Gamma$ 的方程可知貫軸平行 $x$ 軸，又貫軸通過中心，因此貫軸落在直線 $y=1$ 上，因此選項 (C) 正確。
4. 由於 $a^2=b^2=3$，故半貫軸長為 $a=\sqrt3$，又貫軸平行於 $x$ 軸，因此頂點為 $\left(1\pm\sqrt3,1\right)$，據此可知選項 (D) 錯誤。
5. 由於 $c^2=a^2+b^2=6$，因此焦距 $c=\sqrt6$。又因貫軸平行於 $x$ 軸，因此焦點坐標為 $\left(1\pm\sqrt6,1\right)$，如此可知選項 (E) 錯誤。
按上述的分析可知應選 (A)(C)。


11. 圖 $3$ 中 $ABCD$ 為正四面體，$M$ 為 $\overline{CD}$ 的中點，試問下列那些敘述是正確的？
    
    1. 直線 $CD$ 與平面 $ABM$ 垂直
    2. 向量 $AB$ 與向量 $CD$ 垂直
    3. $\angle AMC>\angle ADB$
    4. 平面 $ACD$ 與平面 $BCD$ 的二面角（銳角）大於 $60^\circ$
    5. $\overline{BA}=\overline{BM}$
訣竅
依照立體幾何的觀察並注意各平面內的關係即可答題。
解法
1. 由於 $M$ 為 $\overline{CD}$ 的中點，因此 $\overline{AM}$ 垂直於 $\overline{CD}$ 且 $\overline{BM}$ 垂直於 $\overline{CD}$，由於平面 $ABM$ 上存在兩個相異直線與 $\overline{CD}$ 垂直，因此直線 $CD$ 與平面 $ABM$ 垂直，故選項 (A) 正確。
2. 承選項 (A)，因為平面 $ABM$ 與直線 $CD$ 垂直，因此平面 $ABM$ 上的向量亦與向量 $CD$ 垂直，故選項 (B) 正確。

3. 直觀的看可以將 $M$ 視為動點，在 $\overline{CD}$ 中點時角度 $\angle AMB$ 會最大，而偏離中點時其角度會縮小，故選項 (C) 正確。

   較為詳盡的計算如下，首先可以知道 $\bigtriangleup ABD$ 為正三角形，因此 $\angle ADB=60^\circ$。而 $\bigtriangleup AMB$ 為等腰三角形。若假定 $\overline{AB}=2a$，則可得 $\overline{AM}=\overline{BM}=\sqrt3a$，從而使用餘弦定理可得

   $\displaystyle\cos\angle AMB=\frac{\left(\sqrt3a\right)^2+\left(\sqrt3a\right)^2-\left(2a\right)^2}{2\cdot\sqrt3a\cdot\sqrt3a}=\frac13$.

   但 $\displaystyle\cos\angle ADB=\frac12$，由於 $\cos$ 在 $\left[0,90^\circ\right]$ 會隨著角度的增加而減少，因此 $\angle AMB>\angle ADB$。

4. 由於平面 $ACD$ 與平面 $BCD$ 的截線為 $CD$，而 $\overline{AM}$ 與 $\overline{BM}$ 皆於 $M$ 處垂直於直線 $CD$，因此 $\angle AMB$ 為兩平面的銳兩面角，根據選項 (C) 可知該角度確實大於 $60^\circ$，故選項 (D) 正確。
5. 依照選項 (C) 的計算過程中可知本選項錯誤。
依照上述的分析可知應選 (A)(B)(C)(D)。

第二部份、填充題

說明：

1. 第 $12$ 至 $20$ 題，每題 $5$ 分。
2. 將答案寫在答案卷上，不必列出演算過程
3. 切勿將無理數或無限小數寫成有限小數。
   例如：不要把 $\sqrt2$ 寫成 $1.414$
   　　　不要把 $\displaystyle\frac13$ 寫成 $0.333$

12. 已知兩拋物線 $x=y^2+3y-2$ 與 $y=x^2+kx+19$ 有交點，其中兩個交點在直線 $x+y=3$ 上，則 $k$ 的值等於多少？　(A)　。
訣竅
運用聯立解找出題目所提及的兩交點坐標後代入具有未知係數的拋物線方程式中求出該係數。
解法
由於 $x=y^2+3y-2$ 與 $y=x^2+kx+19$ 的其中兩個交點落在 $x+y=3$，又由代入消去法可知 $x=y^2+3y-2$ 與 $x+y=3$ 的交點為 $\left(8,-5\right)$、$\left(2,1\right)$。因此 $\left(8,-5\right)$ 與 $\left(2,1\right)$ 也在拋物線 $y=x^2+kx+19$ 上，將兩點坐標代入可得
$\left\{\begin{aligned} &-5=64+8k+19\\&1=4+2k+19\end{aligned}\right.$
兩者皆可獲得 $k=-11$，可以驗證此合於所求。


13. 已知二多項式 $\displaystyle P\left(x\right)=1+2x+3x^2+\cdots+10x^9+11x^{10}=\sum_{i=0}^{10}\left(i+1\right)x^i$，與 $\displaystyle Q\left(x\right)=1+3x^2+5x^4+\cdots+9x^8+11x^{10}=\sum_{i=0}^5\left(2i+1\right)x^{2i}$。則 $P\left(x\right)$ 和 $Q\left(x\right)$ 的乘積中，$x^9$ 的係數為　(B)　。
訣竅
為了要獲得 $x^9$ 的係數僅需運用分配律並觀察相乘次數和為 $9$ 的項即可。
解法

在分配律的過程中僅須注意與 $x^9$ 有關的項並進行加總如下

$2x\cdot9x^8+4x^3\cdot7x^6+6x^5+5x^4+8x^7\cdot3x^2+10x^9\cdot1=110x^9$.



14. 林先生和陳小姐一起到遊樂場玩打靶遊戲。林先生涉及命中靶的機率是 $2/5$，陳小姐的機率是 $1/2$。林先生先射，陳小姐後射；林先生射中與否不會影響陳小姐的命中率。若他們兩人向靶各射一次，問只有陳小姐射中的機率為多少？　(C)　。
訣竅
「只有陳小姐射中」意味著林先生沒射中而陳小姐射中，藉由兩者為獨立事件的條件來計算之。
解法

根據語意的分析與獨立事件的條件可知所求如下

$\displaystyle\begin{aligned}P\left(\text{只有陳小姐射中}\right)&=P\left(\text{林先生沒射中,陳小姐射中}\right)\\&=P\left(\text{林先生沒射中}\right)P\left(\text{陳小姐射中}\right)\\&=\frac35\cdot\frac12=\frac3{10}.\end{aligned}$



15. 設 $n$ 為自然數，則滿足 $10^{n-1}>9^n$ 的 $n$ 值中最小的為　(D)　。
訣竅
利用對數的方法求此 $n$ 值。
解法
藉由移項可得
$\displaystyle\left(\frac{10}9\right)^n>10$.
兩邊取以 $10$ 為底的對數可得
$n\left(1-2\log3\right)>1$.
因此有
$\displaystyle n>\frac1{1-2\log3}\approx\frac1{1-2\cdot0.4771}=\frac{5000}{229}\approx21.83$.
故 $n$ 的最小正數值為 $22$。


16. 有四條直線 $L_1:x-y=1$，$L_2:x+y=4$，$L_3:8x+y=-10$ 和 $L_4:x=2$。這四條直線圍出一個四邊形。請問此四邊形較短的對角線長度為多少？　(E)　
訣竅
直接繪出圖形計算即可。
解法
直接繪製出圖形如下

可知道四邊形的四個頂點分別由 $L_1$ 與 $L_3$、$L_3$ 與 $L_2$、$L_2$ 與 $L_4$ 以及 $L_4$ 與 $L_1$ 相交而得，其座標分別為 $A\left(-1,-2\right)$、$B\left(-2,6\right)$、$C\left(2,2\right)$ 以及 $D\left(2,1\right)$。其對角線長分別為
$\begin{aligned} &\overline{AC}=\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(-2-2\right)^2}=5\\&\overline{BD}=\sqrt{\left(-2-2\right)^2+\left(6-1\right)^2}=\sqrt{41}\end{aligned}$
故較短的對角線長為 $5$。


17. 一汽艇在湖上沿直線前進，有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 $50^\circ$，距離為 $200$ 公尺。一分鐘後，於原點再測，知汽艇駛到正前方偏右 $70^\circ$，距離為 $300$ 公尺。那麼此艇在這一分鐘內行駛了　(F)　公尺。
訣竅
繪製圖形並標示題目所給定之條件後運用餘弦定理求線段長度即可。
解法

設該岸為 $x$ 軸而湖為 $y>0$ 並且觀察者位於原點 $O\left(0,0\right)$ 處。那麼一開始的汽艇位於 $A\left(200\cos140^\circ,200\sin140^\circ\right)$，一分鐘後汽艇駛至 $B\left(300\cos20^\circ,300\sin20^\circ\right)$。可以知道 $\overline{OA}=200$、$\overline{OB}=300$ 以及 $\angle AOB=120^\circ$，如此使用餘弦定理可知

$\begin{aligned}\overline{AB}&=\sqrt{\overline{OA}^2+\overline{OB}^2-2\cdot\overline{OA}\cdot\overline{OB}\cos\angle AOB}\\&=\sqrt{200^2+300^2-2\cdot200\cdot300\cdot\left(-1/2\right)}\\&=100\sqrt{19}.\end{aligned}$



18. 假設某鎮每年的人口數逐年成長，且成一等比數列。已知此鎮十年前有 $25$ 萬人，現在有 $30$ 萬人，那麼二十年後，此鎮人口應有　(G)　萬人。（求到小數點後一位）
訣竅
每年人口數成等比數列可推知每十年的人口數也為等比數列。
解法
由於十年前為 $25$ 萬人而現今有 $30$ 萬人，則每十年的公比為 $\displaystyle\frac{30}{25}=\frac65$，因此十年後的人口數為 $\displaystyle30\cdot\frac65=36$ 萬人，而二十年後的人口數為 $\displaystyle36\cdot\frac65=43.2$ 萬人。


19. 設 $f\left(x\right)=\left(\sin x+\cos x\right)^2+4\left(\sin x+\cos x\right)$，則 $f\left(x\right)$ 的最小值為　(H)　。
訣竅
運用變數代換將 $f$ 表達為二次函數，其中要特別注意新變數的限制範圍。
解法

令 $t=\sin x+\cos x$，則依據三角疊合的基礎知識可知 $t\in\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]$，如此有

$f\left(t\right)=t^2+4t=\left(t+2\right)^2-4$.

由於 $-2\notin\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]$，因此最小值發生於 $t=-\sqrt2$，即最小值發生在 $\displaystyle x=\frac{5\pi}4$ 可得

$\displaystyle f\left(\frac{5\pi}4\right)=2-4\sqrt2$.



20. 在空間坐標中，設 $xy$ 平面為一鏡面。有一光線通過點 $P\left(1,2,1\right)$，射向鏡面上的點 $O\left(0,0,0\right)$，經鏡面反射後通過點 $R$。若 $\overline{OR}=2\overline{PO}$，則 $R$ 點的坐標為　(I)　。
訣竅
入射向量與等長的反射向量相加為鏡面的法向量為本題之關鍵。
解法
首先入射向量為 $\overrightarrow{PO}=\left(-1,-2,-1\right)$，因此等長的反射向量為 $\left(-1,-2,1\right)$，故 $\overrightarrow{OR}=2\left(-1,-2,1\right)=\left(-2,-4,2\right)$，故 $R$ 點的坐標即為 $\left(-2,-4,2\right)$。

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參考公式及對數表

1. 一元二次方程式的解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 等比級數 $\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$ 前 $n$ 項之和
   當 $r\neq1$ 時 $\displaystyle S_n=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}=\frac a{1-r}-\frac{ar^n}{1-r}$
   當 $r=1$ 時 $S_n=na$
3. $P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$ 兩點間的距離 $\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
4. $\Delta ABC$ 的正弦與餘弦定律
   (1) $\displaystyle\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=d$，$d$ 為外接圓直徑　　（正弦定律）
   (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定律）
5. 正弦函數的和角公式為
   $\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
   $\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
6. 餘弦函數的和角公式為
   $\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
   $\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
7. 正餘弦函數的積化為和的公式
   $\displaystyle\sin\alpha\cos\beta=\frac12\left[\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right]$
   $\displaystyle\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right]$
   $\displaystyle\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right]$
   $\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right]$
8. 點 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 到平面 $E:ax+by+cz+d=0$ 的距離為：$\displaystyle\frac{\left|ax_0+by_0+cz_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
9. 統計公式
   算術平均

   $\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac1n\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$

   標準差

   $\displaystyle S=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^2-\bar X^2}$

   
   相關係數

   $\displaystyle r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)\left(y_i-\bar Y\right)}{n\cdot S_XS_Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)\left(y_i-\bar Y\right)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)^2\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar Y\right)^2}}$

   $S_X$ 為隨機變數 $X$ 之標準差
   $S_Y$ 為隨機變數 $Y$ 之標準差

10. 常用對數表 $y=\log_{10}x$
    
    註：
    1. 表中所給的對數值為小數點後的值。
    2. 表中最左欄的數字表示 $x$ 的個位數及小數點後第一位，最上一欄的數字表示 $x$ 的小數點後第二位。