八十五學年度數學學科能力測驗

八十五學年度
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學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$ 分鐘
2. 題型題數：
   
   • 選擇題共 $14$ 題
   • 填充題共 $6$ 題
3. 作答方式：
   • 選擇題用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 非選擇題用黑色或藍色筆在答案卷上作答
4. 選擇題答錯不倒扣
5. ※試題後附有參考公式及三角函數表

－考試鈴聲響後始可翻頁－

祝考試順利

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第一部份：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第 $1$ 至第 $8$ 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「選擇題答案區」，每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣。
1. $\left(40\right)^{255}$ 除以 $13$ 的餘數為
   1. $1$
   2. $2$
   3. $4$
   4. $6$
   5. $8$
訣竅
依數論的知識即可看出答案。
解法
因為 $40$ 除以 $13$ 的餘數為 $1$，因此 $40^{255}$ 除以 $13$ 的餘數為 $1^{255}=1$，故選 (A)。


2. 坐標平面上點 $A\left(1,2\right)$ 到直線 $L$ 的垂足是 $D\left(3,2\right)$。問 $A$ 對於 $L$ 的對稱點是下列那一點？
   1. $\left(-2,0\right)$
   2. $\left(-1,2\right)$
   3. $\left(2,0\right)$
   4. $\left(2,2\right)$
   5. $\left(5,2\right)$
訣竅
垂足為對稱點之中點。
解法
設對稱點為 $A'$，那麼由
$\displaystyle D=\frac{A+A'}2$,
有
$A'=2D-A=2\left(3,2\right)-\left(1,2\right)=\left(5,2\right)$.
故選 (E)。


3. 已知直線 $L_1$，$L_2$ 交於 $\left(1,0,-1\right)$，且相互垂直，其中

   $L_1:\left\{\begin{aligned} &x=1+t\\&y=t\\&z=-1\end{aligned}\right.t\in\mathbb R$，　　$L_2:\left\{\begin{aligned} &x=1+t\\&y=-t\\&z=-1-t\end{aligned}\right.t\in\mathbb R$。

   若以 $L_1$ 為軸將 $L_2$ 旋轉一圈得一平面，則此平面的方程式為何？
   1. $x=1$
   2. $y=0$
   3. $x+y-1=0$
   4. $x-y-z=2$
   5. $x+y-3=0$
訣竅
找出該平面的法向量和通過的點坐標即可運用點法式找出平面方程式。
解法
根據題意可之該平面的法向量為 $L_1$ 的方向向量。再者該平面會過坐標 $\left(1,0,-1\right)$，因此運用點法式可得
$1\cdot\left(x-1\right)+1\cdot\left(y-0\right)=0$,
亦即為 $x+y-1=0$，故選 (C)。


4. 設 $f\left(x\right)$ 為實係數三次多項式，且 $f\left(i\right)=0$（$i=\sqrt{-1}$），則函數 $y=f\left(x\right)$ 的圖形與 $x$ 軸有幾個交點？
   1. $0$
   2. $1$
   3. $2$
   4. $3$
   5. 因 $f\left(x\right)$ 的不同而異
訣竅
利用代數基本定理以及虛根成對定理來說明多項式的實根與虛根的個數。
解法
由於 $f$ 為實係數多項式，因此滿足虛根成對定理，故 $x=\pm i$ 皆為 $f$ 的根。又依據代數基本定理可知三次多項式必有三個根，因此還有一個根。但這個根必須是實數，否則無法找到第四個根與之成對，故 $f\left(x\right)=0$ 有一實根，因此 $y=f\left(x\right)$ 的圖形與 $x$ 軸恰有一個交點。故選 (B)。


5. 坐標平面上有一橢圓，已知其長軸平行 $y$ 軸，短軸的一個頂點為 $\left(0,4\right)$，且其中一焦點為 $\left(4,0\right)$。問此橢圓長軸的長度為何？
   1. $2$
   2. $2\sqrt2$
   3. $6$
   4. $6\sqrt2$
   5. $8\sqrt2$
訣竅
依照橢圓的結構解題即可。
解法

由於長軸平行於 $y$ 軸，因此長軸所在的方程為 $x=k$。又因焦點必定落在長軸上，由此可知 $k=4$。再者可以知道短軸平行於 $x$ 軸，因此短軸所在的方程為 $y=4$。

現在可知橢圓之中心為 $\left(4,4\right)$，因此半短軸長 $b=4$，而焦距 $c=4$，因此 $a=\sqrt{b^2+c^4}=4\sqrt2$。因此長軸長為 $2a=8\sqrt2$，故選 (E)。



6. 已知拋物線 $\Gamma$ 的方程式為 $y=\left(x+1\right)^2+1$，且直線 $y=2x+2$ 與 $\Gamma$ 相切。設 $L$ 為斜率等於 $2$ 的直線，若 $L$ 與 $\Gamma$ 有兩個交點，則 $L$ 上任一點 $P$ 的坐標 $\left(x,y\right)$ 滿足下列那個關係式？（參考圖 $1$）
   
   1. $y>\left(x+1\right)^2+1$
   2. $y<\left(x+1\right)^2+1$
   3. $y=\left(x+1\right)^2+1$
   4. $y>2x+2$
   5. $y<2x+2$
訣竅
試著作圖後試著去考慮該直線座標的相對位置即可。
解法

由於直線 $L$ 上的坐標 $\left(x,y\right)$ 可能會在拋物線的上方也可能在拋物線的下方或者就在拋物線上，因此 (A)(B)(C) 都有可能發生但都不必然。

再者由於 $\Gamma$ 開口向上，因此要相交兩點則可知道 $L$ 位於直線 $y=2x+2$ 的上方，從而有 $y>2x+2$。故選 (D)。



7. 已知下列五個圖形中有一個是 $y=-x\left(\cos x\right)$ 的部分圖形，判斷那一個選項是該圖形？
   
訣竅
取特殊的 $x$ 代入並運用餘弦函數取值的特性判斷即可。
解法
設 $f\left(x\right)=-x\cos x$，那麼有 $\displaystyle f\left(0\right)=f\left(-\frac\pi2\right)=f\left(\frac\pi2\right)=0$。由於當 $x$ 介在 $0$ 與 $\displaystyle\frac\pi2$ 之間時 $\cos x>0$，因此 $f\left(x\right)<0$，而當 $x$ 介在 $\displaystyle-\frac\pi2$ 與 $0$ 之間時 $\cos x>0$，因此 $f\left(x\right)>0$。
根據上述的分析可知答案應選 (B)。


8. 設想地球是個圓球體，已知沿著赤道，經度 $10$ 度間的距離是 $1113$ 公里，那麼沿北緯 $20^\circ$ 線，經度 $10$ 度間的距離最接近下面那個數值？（參考圖 $2$）
   
   1. $1019$
   2. $1027$
   3. $1035$
   4. $1046$
   5. $1054$
訣竅
利用條件求出球體半徑，隨後導出在北緯 $20^\circ$ 的圓之半徑後始能求弧長。
解法
由於在球體赤道上的經度 $10$ 度間的距離是 $1113$ 公里，因此赤道總長為 $1113\cdot36$ 公里，從而球體之半徑為
$\displaystyle R=\frac{1113\cdot36}{2\pi}$.
設球體球心為 $O$，那麼 $\overline{OC}=R$。再者記北緯 $20$ 度形成的圓之圓心為 $O'$，那麼 $OO'C$ 為直角三角形。根據緯度的定義可知 $\angle COA=20^\circ$，因此 $\angle COO'=70^\circ$，故 $\overline{OC}=R\sin80^\circ$。因此北緯 $20$ 度的全長為
$2\pi\overline{OC}=2\pi R\sin70^\circ=1113\cdot36\cdot\sin70^\circ$.
最終要求的是北緯 $20$ 度上的經度 $10$ 度間的距離，可知為
$1113\sin70^\circ=1113\cos20^\circ=1113\cdot0.9397=1045.8861$.
因此選 (C)。
2. 多重選擇題
說明：第 $9$ 至第 $14$ 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「選擇題答案區」。每題答對得 $5$ 分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲 $2.5$ 分，錯兩個或兩個以上不給分。
9. 設 $y=f\left(x\right)$ 及 $y=g\left(x\right)$ 的圖形都是拋物線，一個開口向上，一個開口向下，則 $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ 的圖形可能出現下列那些情形？
   1. 兩條拋物線
   2. 一條拋物線
   3. 一條直線
   4. 橢圓
   5. 雙曲線
訣竅
拋物線為二次函數的圖形，因此相加後為至多二次函數。
解法
根據題設可知 $f$ 與 $g$ 為二次函數，其中 $f$ 的二次項係數為正數而 $g$ 的二次項係數為負，因此 $f+g$ 可能為二次函數或一次函數，亦即 $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ 可能為一條拋物線或一條直線，故選 (B)(C)。


10. 圖 $3$ 為某年級國文、英文、歷史三科成績分佈情形的直方圖。根據該圖，下列那些推論是合理的？
    
    1. 歷史的平均分數比國文的平均分數低
    2. 歷史的平均分數最低
    3. 英文的標準差比國文的標準差小
    4. 英文的標準差最大
    5. 「國文與歷史之相關係數」比「國文與英文之相關係數」高
訣竅
理解平均分數、標準差以及相關係數的意義即可。
解法
藉由圖表可以判斷各個選項如下
1. 由圖中可以看到國文的分數集中在 $60$ 至 $70$ 之間，而在歷史的分數則集中在 $30$ 至 $40$ 之間，可以推論出歷史的平均分數比國文的平均分數低。因此 (A) 正確。
2. 由圖表可推測英文的平均分數可能介於 $60$ 至 $70$ 之間，承 (A) 可以知道歷史的平均分數最低。因此 (B) 正確。
3. 根據圖表可看出英文成績的分布較國文的成績分布廣，因此英文成績的標準差比國文成績的標準差來得大，故 (C) 錯誤。
4. 由圖表可以知道三個科目中僅有英文的成績最為分散，因此標準差最大，故 (D) 正確。
5. 運用題目所提供的圖表無從計算相關係數，因此無法判推論出兩個相關係數之大小，因此 (E) 錯誤。
由以上可知應選 (A)(B)(D)。


11. 某品牌之燈泡由 $A$ 廠及 $B$ 廠各生產 $30\%$ 及 $70\%$。$A$ 廠生產的產品中有 $1\%$ 瑕疵品；$B$ 廠生產的產品中有 $5\%$ 瑕疵品。某日退貨部門回收一件瑕疵品，則下列敘述那些是正確的？
    1. 猜此瑕疵品是由 $A$ 廠製造的，猜對的機率較大
    2. 猜此瑕疵品是由 $B$ 廠製造的，猜對的機率較大
    3. 此瑕疵品由 $A$ 廠製造的機率為 $3/38$
    4. 此瑕疵品由 $A$ 廠製造的機率為 $30/10000$
    5. 此瑕疵品由 $B$ 廠製造的機率為 $350/10000$
訣竅
運用條件機率的思想來思考問題或者假定總產品數後清楚計算各廠生產的情形後即可求得正確的機率。
解法
設全部的產品有 $1000N$ 個，其中有 $300N$ 個為 $A$ 廠生產的，而 $700N$ 個為 $B$ 廠生產的；又 $A$ 廠的 $300N$ 個燈泡中有 $3N$ 個為瑕疵品，$B$ 廠的 $700N$ 個燈泡中有 $35N$ 個為瑕疵品。故全部的 $1000N$ 個產品中共有 $38N$ 個瑕疵品，其中這 $38N$ 個瑕疵品中有 $3N$ 個來自 $A$ 廠而 $35N$ 個來自 $B$ 廠，因此 (A) 錯誤而 (B) 正確。
事實上，瑕疵品來自 $A$ 廠的機率為 $\displaystyle\frac3{38}$，而來自 $B$ 廠的機率則為 $\displaystyle\frac{35}{38}$。故 (C) 正確，而 (D)(E) 錯誤。
因此應選 (B)(C)。


12. 設 $a>b>1000$。令 $p=\sqrt{\log_7a\cdot\log_7b}$，$\displaystyle q=\frac{1}{2}\left(\log_7a+\log_7b\right)$，$\displaystyle r=\log_7\left(\frac{a+b}2\right)$，則下列敘述何者正確？
    1. $q=\log_7\sqrt{ab}$
    2. $q>r$
    3. $r<p<q$
    4. $p<q<r$
    5. $q<p<r$
訣竅
運用對數函數的特性以及算術幾何不等式來解題。
解法
首先根據對數函數的特性可知
$\displaystyle q=\frac12\left(\log_7a+\log_7b\right)=\frac12\log_7ab=\log_7\left(ab\right)^{\frac12}=\log_7\sqrt{ab}$.
因此 (A) 正確。
接著運用 (A) 的結果以及算術幾何不等式可知
$\displaystyle r=\log_7\left(\frac{a+b}2\right)>\log_7\sqrt{ab}=q$.
再使用算術幾何不等式可知
$\displaystyle q=\frac12\left(\log_7a+\log_7b\right)\geq\sqrt{\log_7a\cdot\log_7b}=p$.
因此 $r>q>p$。選項 (D) 正確，而 (B)(C)(E) 錯誤
應選 (A)(D)。


13. 設 $y=f\left(x\right)$ 的圖形是兩條半線，其原點附近的部分圖形如圖 $4$。令 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x-6\right)$，則 $h\left(x\right)$ 有下列那些性質？
    
    1. 有最小值 $-6$
    2. 有最小值 $-3$
    3. 有最小值 $0$
    4. 有最大值 $3$
    5. 有最大值 $6$
訣竅
利用絕對值函數表達函數 $f$，從而可以藉由分段討論或三角不等式求最大或最小值。
解法
按照圖形可以知道 $f$ 為分段定義函數如下
$f\left(x\right)=\begin{cases}\displaystyle\frac x2,&\text{若}~x\geq0,\\-x,&\text{若}~x\leq0.\end{cases}$
運用絕對值函數可得
$\displaystyle f\left(x\right)=-\frac{x}{4}+\left|\frac{3x}4\right|$.
因此函數 $h$ 可表達如下
$\displaystyle h\left(x\right)=-\frac{x}{4}+\left|\frac{3x}4\right|+\frac{x-6}4-\left|\frac{3x-18}4\right|=-\frac32+\frac34\left(\left|x\right|-\left|x-6\right|\right)$.
因此按區間討論可知
• 當 $x>6$ 時，則 $h\left(x\right)=3$；
• 當 $0<x<6$ 時，則 $\displaystyle h\left(x\right)=\frac{3x}2-6$；
• 當 $x<0$ 時 $h\left(x\right)=-6$。
因此 $h$ 的最大值為 $3$ 而最小值為 $-6$，故應選 (A)(D)。


14. 有一個 $101$ 項的等差數列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{101}$，其和為 $0$，且 $a_{71}=71$。問下列選項那些正確？
    1. $a_1+a_{101}>0$
    2. $a_2+a_{100}<0$
    3. $a_3+a_{99}=0$
    4. $a_{51}=51$
    5. $a_1<0$
訣竅
利用等差數列特性可求出首項與公差，亦可運用等差中項或遞增的特性直接看出正確或錯誤。
解法
由於等差數列的特性可知 $S_{101}=101a_{51}=0$，因此 $a_{51}=0$。由此有
1. 運用等差中項的概念可知

   $a_1+a_{101}=2a_{51}=0$.

   因此 (A) 選項錯誤。
2. 運用等差中項的概念可知

   $a_2+a_{100}=2a_{51}=0$.

   因此 (B) 選項錯誤。
3. 運用等差中項的概念可知

   $a_3+a_{99}=2a_{51}=0$.

   因此 (C) 選項正確。
4. 根據先前可知 $a_{51}=0$，故 (D) 選項錯誤。
5. 由於 $a_{71}>0$，因此該等差數列是遞增數列（也就是公差為正數），從而 $a_1<0$。事實上，由等差數列的特性可知

   $71=a_{71}=a_{51}+20d=20d$.

   如此有 $\displaystyle d=\frac{71}{20}=3.55$。再由等差數列的特性有 $a_{51}=a_1+50d$，故得

   $a_1=a_{51}-50d=0-50\cdot3.55=-177.5<0$.

   故 (E) 選項正確。
由上可知應選 (C)(E)。

第二部份、填充題

說明：

1. 第 $15$ 至 $20$ 題，每題 $5$ 分。
2. 將答案寫在「答案卷」上，不必列出演算過程
3. 切勿將無理數或無限小數寫成有限小數。
   例如：不要把 $\sqrt2$ 寫成 $1.414$
   　　　不要把 $\displaystyle\frac13$ 寫成 $0.333$

15. 設 $D$ 點在 $\bigtriangleup ABC$ 的 $\overline{BC}$ 邊上，且 $\bigtriangleup ABD$ 的面積 $\displaystyle=\frac23\bigtriangleup ADC$ 的面積，若 $B$ 的坐標為 $\left(0,5\right)$，$C$ 的坐標為 $\left(7,0\right)$，則 $D$ 的坐標為　(A)　。
訣竅
根據題目的第一條敘述可以推知 $\overline{BD}:\overline{CD}$，隨後可以使用分點公式求出 $D$ 的坐標。
解法

由於 $D$ 在 $\overline{BC}$ 邊上，運用同底等高的概念，可以知道當 $\bigtriangleup ABD$ 與 $\bigtriangleup ADC$ 皆以 $\overline{BC}$ 為底時，兩者的高會相同，可記為 $h$，那麼

$\displaystyle3\cdot\left(\frac12\overline{BD}\cdot h\right)=3\bigtriangleup AB=2\bigtriangleup ADC=2\cdot\left(\frac12\overline{CD}\cdot h\right)$.

這樣便有 $3\overline{BD}=2\overline{CD}$，亦即有 $\overline{BD}:\overline{CD}=2:3$.

運用分點公式可知

$\displaystyle D=\frac{2C+3B}5=\frac{2\left(7,0\right)+3\left(0,5\right)}5=\left(\frac{14}5,3\right)$.



16. 圓心在原點的兩個同心圓，面積分別為 $75\pi$ 和 $27\pi$。設 $P$ 點在第一象限。若 $P$ 點到大圓、小圓、$x$ 軸的距離均相等，則 $P$ 點的坐標為　(B)　。
訣竅
首先可根據條件得知兩圓之半徑，再根據條件推斷 $P$ 點坐標應滿足的條件後求解即可。
解法
由圓面積可以知道兩圓的半徑分別為 $5\sqrt3$ 以及 $3\sqrt3$。設 $P$ 座標為 $\left(x,y\right)$，那麼 $P$ 到大圓的距離為 $\left|\sqrt{x^2+y^2}-5\sqrt3\right|$、到小圓的距離為 $\left|\sqrt{x^2+y^2}-3\sqrt3\right|$，而到 $x$ 軸的距離為 $y$。
由於三者相等，因此
$\left|\sqrt{x^2+y^2}-5\sqrt3\right|=\left|\sqrt{x^2+y^2}-3\sqrt3\right|=y$.
由第一個等號可得 $\sqrt{x^2+y^2}=4\sqrt3$，這表明 $y=\sqrt3$，從而 $x=3\sqrt5$，故 $P$ 之坐標為 $\left(3\sqrt5,\sqrt3\right)$。


17. 圖 $5$ 中，至少包含 $A$ 或 $B$ 兩點之一的長方形共有　(C)　個。
    
訣竅
關鍵在思考長方形的特性：它具有上下左右共四個邊，因此僅需在橫豎的線段中挑選出上下左右的線段後就可以唯一決定出長方形。
解法

按照題意，設 $n_A,n_B,n_C$ 為包含 $A$、$B$ 以及同時包含 $A$ 和 $B$ 的長方形數量，因此所求為 $n_A+n_B-n_C$。

根據提示，我們注意位於 $A$ 的上下左右的直線段分別有 $3$、$1$、$1$、$3$，因此有九個長方形包含點 $A$；類似地包含 $B$ 的長方形亦有九個。而同時包含 $A$、$B$ 的上下左右的線段分別有 $3$、$1$、$1$、$1$，因此有 $3$ 個，故所求的長方形共有 $9+9-3=15$ 個。



18. 擲一均勻硬幣三次，每出現一個正面得 $5$ 元，一個反面賠 $2$ 元，則所得總額之期望值為　(D)　元。
訣竅
根據期望值倍數的特性可立即獲得答案。
解法
由於擲一枚硬幣的期望值為
$\displaystyle\frac12\cdot5+\frac12\cdot\left(-2\right)=\frac32$.
因此擲三次的期望值為 $\displaystyle3\cdot\frac32=\frac92$ 元。


19. 空間中三向量 $\vec u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$，$\vec v=\left(v_1,v_2,v_3\right)$，$\vec w=\left(w_1,w_2,w_3\right)$，所張平行六面體的體積為 $\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}$ 的絕對值。今已知 $\vec a$，$\vec b$，$\vec c$ 三向量所張平行六面體的體積為 $5$，則 $2\vec a+3\vec b$，$\vec b$，$\vec c$ 三向量所張平行六面體的體積為　(E)　。
訣竅
運用行列式值的特性簡化計算即可。
解法

設 $\vec a=\left(a_1,a_2,a_3\right)$、$\vec b=\left(b_1,b_2,b_3\right)$、$\vec c=\left(c_1,c_2,c_3\right)$，那麼按照題幹所給定的資訊可知

$|\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}|=5$

據此使用行列式的特性可計算 $2\vec a+3\vec b$，$\vec b$，$\vec c$三向量所張成的平行六面體的體積為

$|\begin{vmatrix}2a_1+3b_1&2a_2+3b_2&2a_3+3b_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}|=|\begin{vmatrix}2a_1&2a_2&2a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}|=2|\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}|=10$.



20. 學校蓋了一棟正四面體的玻璃溫室（如圖 $6$）。今欲將依鋼柱架在室中，作為吊花的橫梁。其兩端分別固定在兩面牆 $ABC$ 和 $ACD$ 的重心 $E$，$F$ 處。生物老師要先知道這個鋼柱多長，才能請工人製作。雖然 $\overline{BD}$ 的長度很容易量出，卻很難爬到 $E$，$F$ 點測量 $\overline{EF}$ 長。生物老師在上課時說出他的問題，立刻有一同學舉手說他有辦法。這位同學在紙上畫出圖 $6$，算出 $\overline{EF}:\overline{BD}$ 就解決了問題。問 $\overline{EF}:\overline{BD}=$　(F)　。
    
訣竅
運用重心為三中線的交點的特性。
解法

延長 $\overline{AE}$ 與 $\overline{AF}$ 分別交 $\overline{BC}$、$\overline{CD}$ 於 $M$、$N$，那麼依照重心的特性可知 $\overline{AE}:\overline{AM}=\overline{AF}=\overline{AN}=2:3$，從而 $\overline{EF}:\overline{MN}=2:3$。

並且依照重心的特性可知 $M$ 與 $N$ 分別為 $\overline{BC}$、$\overline{CD}$ 的中點，從而 $\overline{MN}:\overline{BD}=1:2=3:6$。因此 $\overline{EF}:\overline{BD}=2:6=1:3$。

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參考公式及對數表

1. 等差級數前 $n$ 項和為：$\displaystyle S_n=\frac n2\left[2a+\left(n-1\right)d\right]$
2. 等比級數 $\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$ 前 $n$ 項之和
   當 $r\neq1$ 時 $\displaystyle S_n=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}=\frac a{1-r}-\frac{ar^n}{1-r}$
   當 $r=1$ 時 $S_n=na$
3. $P_1$，$P_2$ 兩點間的距離 $\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
4. 扇形面積 $\displaystyle A=\frac12r^2\theta=\frac12rs$
5. 點 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 到平面 $E:ax+by+cz+d=0$ 的距離為：$\displaystyle\frac{\left|ax_0+by_0+cz_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
6. 三階行列式$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1$
7. $n$ 種不同物件中，每次取 $m$ 個為一組，若每組中每種物件可以重複選取，則 $n$ 中取 $m$ 的重複組合為 $H_m^n=C_m^{n+m-1}$
8. 二項式定理

   $\displaystyle\left(x+y\right)^n=C_0^nx^n+C_1^nx^{n-1}u+\cdots+C_r^nx^{n-r}y^r+\cdots+C_{n-1}^nxy^{n-1}+C_n^ny^n=\sum_{r=0}^nC_r^nx^{n-r}y^r$

9. 貝氏定理

   $\displaystyle P\left\langle A_k|B\right\rangle=\frac{P\left(A_k\right)P\left\langle B|A_k\right\rangle}{\displaystyle\sum_{i=1}^rP\left(A_i\right)P\left\langle B|A_i\right\rangle}$

10. 對數換底公式 $\displaystyle\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$
11. 統計公式
    算術平均

    $\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac1n\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$

    標準差

    $\displaystyle S=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^2-\bar X^2}$

    
    相關係數

    $\displaystyle r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)\left(y_i-\bar Y\right)}{n\cdot S_XS_Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)\left(y_i-\bar Y\right)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar X\right)^2\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar Y\right)^2}}$

    $S_X$ 為隨機變數 $X$ 之標準差
    $S_Y$ 為隨機變數 $Y$ 之標準差

12. 三角函式值表