八十九學年度數學學科能力測驗

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八十九學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單一選擇題$7$題，多重選擇題$3$題，填充題第$A$至$J$題共$10$題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，［亦即選項(3)］時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值

---

第一部分：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第$1$至$7$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
1. 有一等腰三角形底邊為$10$，頂角$72^\circ$。下列何者可以表示腰長？
   1. $5\cdot\sin36^\circ$
   2. $5\cdot\tan36^\circ$
   3. $5\cdot\cot36^\circ$
   4. $5\cdot\sec36^\circ$
   5. $5\cdot\csc36^\circ$
訣竅
留意選項與頂角的關係可知道應作中垂線，並觀察相關的直角三角形後根據三角函數之定義答題。
解法
作通過頂角的中垂線，並觀察其中一個直角三角形，其角度分別為$36^\circ$、$54^\circ$與$90^\circ$，而$36^\circ$的對邊長度為$5$。所求之長度為$90^\circ$的對邊，亦即為直角三角形的斜邊。那麼根據正弦的定義有
$\displaystyle\sin36^\circ=\frac{5}{腰長}$
因此腰長可表示如下
腰長$\displaystyle=\frac{5}{\sin36^\circ}=5\csc36^\circ$
故選(5)。


2. 在坐標平面上，根據方程式$x+5y-7=0$，$2x+y+4=0$，$x-y-1=0$畫出三條直線$L_1,L_2,L_3$，如圖所示。試選出方程式與直線間正確的配置？
   
   1. $L_1:x+5y-7=0$；$L_2:2x+y+4=0$；$L_3:x-y-1=0$
   2. $L_1:x-y-1=0$；$L_2:x+5y-7=0$；$L_3:2x+y+4=0$
   3. $L_1:2x+y+4=0$；$L_2:x+5y-7=0$；$L_3:x-y-1=0$
   4. $L_1:x-y-1=0$；$L_2:2x+y+4=0$；$L_3:x+5y-7=0$
   5. $L_1:2x+y+4=0$；$L_2:x-y-1=0$；$L_3:x+5y-7=0$
訣竅
直接計算各條直線方程式之斜率後比較即可；亦可將圖畫出後進行配對。
解法一
題幹所表示的三條直線方程式的斜率依序為$\displaystyle-\frac{1}{5}$、$-2$、$1$。由圖中可注意到$L_1$、$L_2$、$L_3$之斜率大小關係為$m_{L_1}>m_{L_3}>m_{L_2}$，因此$L_1$配$x-y-1=0$，$L_2$配$2x+y+4=0$，$L_3$配$x+5y-7=0$，故選(4)。
解法二
由於$x+5y-7=0$通過$A\left(2,1\right)$與$B\left(-3,2\right)$、$2x+y-4=0$通過$B\left(-3,2\right)$與$C\left(-1,-2\right)$、$x-y-1=0$通過$C\left(-1,-2\right)$與$A\left(2,1\right)$，因此將各條直線方程式繪出如下可得圖形如下

因此可知應選(4)


3. 下列$5$組資料（每組各有$10$筆）

   $A$：$1,~~1,~~1,~~1,~~1,~~10,~~10,~~10,~~10,~~10$
   $B$：$1,~~1,~~1,~~1,~~1,~~5,~~5,~~5,~~5,~~5$
   $C$：$4,~~4,~~4,~~5,~~5,~~5,~~5,~~6,~~6,~~6$
   $D$：$1,~~1,~~2,~~2,~~3,~~3,~~4,~~4,~~5,~~5$
   $E$：$1,~~2,~~3,~~4,~~5,~~6,~~7,~~8,~~9,~~10$

   試問哪一組資料的標準差最大？
   1. $A$
   2. $B$
   3. $C$
   4. $D$
   5. $E$
訣竅
依據標準差的特性知道標準差越大代表數據越分散。
解法
藉由觀察可知數據$A$的資料最分散，故選(1)。


4. 如圖所示有$5$筆$\left(X,Y\right)$資料。試問：去掉哪一筆資料後，剩下來$4$筆資料的相關係數最大？
   
   1. $A$
   2. $B$
   3. $C$
   4. $D$
   5. $E$
訣竅
相關係數代表迴歸直線的預測能力的強弱，為了使相關係數愈大，應剔除離群的資料。
解法
據圖觀察，離群的資料點為$D$，故選(4)。


5. 假設世界人口自$1980$年起，$50$年內每年增長率均固定。已知$1987$年世界人口達$50$億，$1999$年第$60$億人誕生在賽拉佛耶。根據這些資料推測$2023$年世界人口數最接近下列哪一個數？
   1. $75$億
   2. $80$億
   3. $86$億
   4. $92$億
   5. $100$億
訣竅
依據題目的設定可推知人口數呈現等比數列，因此每隔固定的時距人口總數將乘以一固定的數，透過不同時距的觀察會有不同的做法。
解法一
注意到$1987$年至$1999$年間隔$12$年，人口成長率為$\displaystyle\frac{60}{50}=1.2$。而$2023$年與$1999$年間隔$24$年，因此$2023$年時的人口可以近似的計算如下
$60\cdot1.2\cdot1.2=72\cdot1.2=86.4$
故選(3)
解法二
設每年成長率為$r$，由於$1987$年與$1999$年間隔$12$年，因此有
$50\cdot r^{12}=60$
故$r^{12}=1.2$，亦即$r=\sqrt[12]{1.2}$。而$2023$年與$1987$年間隔$36$年，因此$2023$年的人口數可以被預測如下
$50\cdot r^{36}=50\cdot\left(\sqrt[12]{1.2}\right)^{36}=50\cdot1.2^3=86.4$
故選(3)。


6. 在$1999$年$6$月$1$日數學家利用超級電腦驗證出$2^{6972593}-1$是一個質數。若想要列印出此質數至少需要多少張$A4$紙？假定每張$A4$紙，可列印出$3000$個數字。在下列選項中，選出最接近的張數。[$\log_{10}2\approx0.3010$]
   1. $50$
   2. $100$
   3. $200$
   4. $500$
   5. $700$
訣竅
將一個數字取常用對數後考慮其首數能估算出它的位數。
解法
由於$2^{6972593}-1$的位數與$2^{6972593}$的相同，因此我們記$2^{6972593}$為$a$，對$a$取常用對數可得
$\log a=6972593\log2\approx6972593\cdot0.301=2098750.493$
因此$\log a$的首數為$2098750$，因此約莫有$2098751$位數。由於每頁可列印出$3000$個數字，因此至少需要$\displaystyle\frac{2098751}{3000}\approx699.5$，故約莫七百張紙。故選(5)。


7. 設$P_1$表示丟$2$個公正硬幣時，恰好出現$1$個正面的機率，$P_2$表示擲$2$個均勻骰子，恰好出現$1$個偶數點的機率，$P_3$表示丟$4$個公正硬幣時，恰好出現$2$個正面的機率。試問下列選項何者為真？
   1. $P_1=P_2=P_3$
   2. $P_1=P_2>P_3$
   3. $P_1=P_3<P_2$
   4. $P_1=P_3>P_2$
   5. $P_3>P_2>P_1$
訣竅
直接列舉所有情形即可求出各項機率。
解法
丟兩個公正硬幣有四種情如下
$\left(+,+\right),~\left(+,-\right),~\left(-,+\right),~\left(-,-\right)$
恰好出現一個正面的機率是四種中的兩種，亦即$\displaystyle P_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
擲兩個均勻的骰子有$6^2=36$種情形，其中恰好出現一個偶數點的狀況如下
$\begin{aligned} &\left(1,2\right),\left(1,4\right),\left(1,6\right),\left(2,1\right),\left(2,3\right),\left(2,5\right)\\&\left(3,2\right),\left(3,4\right),\left(3,6\right),\left(4,1\right),\left(4,3\right),\left(4,5\right)\\&\left(5,2\right),\left(5,4\right),\left(5,6\right),\left(6,1\right),\left(6,3\right),\left(6,5\right)\end{aligned}$
或者由於第一數個有$6$種選擇，無論是奇數或偶數，第二個數字將只剩下$3$種選擇，共計$18$種。因此$\displaystyle P_2=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$。
丟四個公正硬幣會有$2^4=16$種情形，其中恰好出現$2$的正面的情形有如下$6$種
$\left(+,+,-,-\right),\left(+,-,+,-\right),\left(+,-,-,+\right),\left(-,+,+,-\right),\left(-,+,-,+\right),\left(-,-,+,+\right)$
因此恰出現兩個正面的機率為$\displaystyle P_3=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
透過以上的計算可知$P_1=P_2>P_3$，故選(2)。
2. 多重選擇題
說明：第$8$至第$10$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
8. 在坐標平面上，以$\left(-1,1\right)$，$\left(3,1\right)$為焦點，且通過點$\left(3,4\right)$畫一雙曲線。試問此雙曲線也會通過下列哪些點？
   1. $\left(1,1\right)$
   2. $\left(-1,4\right)$
   3. $\left(3,-2\right)$
   4. $\left(-1,-2\right)$
   5. $\left(3,1\right)$
訣竅
依據雙曲線定義直接檢查；亦可根據條件求出雙曲線方程後將各個選項代入檢驗；此外也可以利用對稱性等觀點知道正確的選項。
解法一
設$F_1\left(-1,1\right)$、$F_2\left(3,1\right)$、$P\left(3,4\right)$，那麼依據雙曲線的定義計算$2a$如下
$2a=\left|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right|=5-3=2$
據此檢查各個選項是的點坐標是否滿足與兩焦點距離的差為$2$：
1. 設$A\left(1,1\right)$，那麼

   $\left|\overline{AF_1}-\overline{AF_2}\right|=\left|2-2\right|=0\neq2$

   因此$\left(1,1\right)$不在雙曲線上
2. 設$B\left(-1,4\right)$，那麼

   $\left|\overline{BF_1}-\overline{BF_2}\right|=\left|3-5\right|=2$

   故$\left(-1,4\right)$落在雙曲線上。
3. 設$C\left(3,-2\right)$，那麼

   $\left|\overline{CF_1}-\overline{CF_2}\right|=\left|5-3\right|=2$

   故$\left(3,-2\right)$落在雙曲線上。
4. 設$D\left(-1,-2\right)$，那麼

   $\left|\overline{DF_1}-\overline{DF_2}\right|=\left|3-5\right|=2$

   故$\left(-1,-2\right)$落在雙曲線上。
5. 設$E\left(3,1\right)$，那麼

   $\left|\overline{EF_1}-\overline{EF_2}\right|=\left|4-0\right|=4\neq2$

   故$\left(4,2\right)$不落在雙曲線上。
由以上的分析可知應選(2)(3)(4)。
解法二
由於$F_1\left(-1,1\right)$、$F_2\left(3,1\right)$為焦點，因此可以知道雙曲線的中心為$\left(1,1\right)$，且焦距$c=2$。那麼運用$P\left(3,4\right)$落在雙曲線上來求貫軸長$2a$：
$2a=\left|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right|=5-3=2$
因此$a=1$，從而由$c^2=a^2+b^2$推出$b^2=3$。故雙曲線方程式為
$\displaystyle\frac{\left(x-1\right)^2}{1}+\frac{\left(y-1\right)^2}{3}=1$
那麼直接檢查各個選項代入後之結果是否滿足方程就可以知道(2)(3)(4)吻合。
解法三
作圖後可發現$\left(3,4\right)$落於其中一個焦點$\left(3,1\right)$上方三格之處，因此對稱可得$\left(3,-2\right)$也落於雙曲線上；同理$\left(-1,1\right)$的上方三格處與下方三格處$\left(-1,4\right)$與$\left(-1,-2\right)$也都落在雙曲線上，因此知道選項(2)(3)(4)正確。
而選項(1)為雙曲線中心，選項(5)為其中一個焦點，根據雙曲線的特性可知不會通過這兩個點。
由以上可知應選(2)(3)(4)。


9. 阿山家在一條東西向馬路的北方$D$點處，為了不同目的，他走到馬路的路線有下列三條：
   向南走$a$公尺到$A$點之後，繼續向南走$a$公尺到達馬路；
   向東南走$b$公尺到$B$點之後，繼續向南走$b$公尺到達馬路；
   向東走$c$公尺到$C$點之後，繼續向南走$c$公尺到達馬路。
   根據上述資料，下列選項何者為真？
   1. $c=2a$
   2. $a<b<c$
   3. $b=\sqrt{2}a$
   4. $A,B,C,D$四點共圓
   5. $A,B,C$三點剛好在以$D$點為焦點的拋物線上
訣竅
利用題目的要求繪製圖形，並且留意到各個路徑都是先走一段距離後都往南走相同的距離，這樣的描述符合拋物線的定義。
解法
根據題目的敘述可以繪圖如下

依據方向所代表的角度可知$CDEG$為長方形，但由於長寬相等可知其為正方形，從而$c=2a$，且由圖中的長度所示可知道$c>b>a$，因此選項(1)(2)正確。
由於$\angle BDA=45^\circ$，因此自$B$作$\overline{AD}$的垂線交$\overline{AD}$於$H$，那麼有
$\displaystyle2a=\overline{DE}=\overline{DH}+\overline{HE}=\frac{b}{\sqrt{2}}+b$
從而解得$\displaystyle b=\left(4-\sqrt{2}\right)a$，故選項(3)錯誤。
對於選項(4)，我們可以考慮$\bigtriangleup ACD$的外接圓，其圓心為$\overline{AC}$的中點，如此作圓則必不通過$B$點，故本選項錯誤。而對於選項(5)則可依拋物線之定義知道$A$、$B$、$C$三點落在以$D$為焦點、馬路為準線的拋物線上。
根據以上的討論可知應選(1)(2)(5)。


10. 將行列式

    $\left|\begin{matrix}x&1&2\\1&x&2\\1&2&x\end{matrix}\right|$

    展開得到多項式$f\left(x\right)$。下列有關$f\left(x\right)$的敘述，何者為真？
    1. $f\left(x\right)$是一個三次多項式
    2. $f\left(1\right)=0$
    3. $f\left(2\right)=0$
    4. $f\left(-3\right)=0$
    5. $f\left(5\right)=0$
訣竅
直接將行列式展開後代入檢驗即可。
解法
將行列式展開化簡後有
$f\left(x\right)=x\cdot x\cdot x+1\cdot2\cdot1+2\cdot1\cdot2-x\cdot 2\cdot2-1\cdot1\cdot x-2\cdot x\cdot1=x^3-7x+6=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)$
因此可以知道選項(1)(2)(3)(4)正確而選項(5)錯誤，故選(1)(2)(3)(4)。

第二部分：填充題

說明：

1. 第$A$至$J$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(11-36)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 今年(公元$2000$年是閏年)的$1$月$1$日是星期六。試問下一個$1$月$1$日也是星期六，發生在公元哪一年？
   答：20⑪⑫年。
訣竅
依據餘數的概念求解。
解法

假設某年的1月1日是星期$x$，其中$x\in\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}$，其中$x=7$代表星期日／星期天。若該年有$365$天，則隔年的$1$月$1$日為星期$x+1$（若超過七則減去$7$）；若該年有$366$天，則隔年的$1$月$1$日為星期$x+2$（若超過七則減去$7$）。

依照上述的說明可以列表如下

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}年&2000&2001&2002&2003&2004&2005\\\hline星期&6&1&2&3&4&6\end{array}$

因此在$2005$年的$1$月$1$日是星期六，故填$⑪=0$、$⑫=5$。



2. 將自然數按下列規律排列，每一列比前一列多一個數，如下表所示：
   
   試問第$100$列第$3$數是多少？答：$\underline{⑬⑭⑮⑯}$。
訣竅
可以注意到第$n$列有$n$個數字，且數字為由上而下由左而右持續增加，因此每列最右側之數值為$1+\cdots+n$。
解法
根據訣竅可以計算第$99$列最右側之值為
$\displaystyle1+\cdots+99=\frac{99\cdot\left(99+1\right)}{2}=4950$
因此第$100$列最左側的三個數字分別為$4951$、$4952$、$4953$，故所求為$4953$，因此填入$⑬=4$、$⑭=9$、$⑮=5$、$⑯=3$。


3. 設三次方程式$x^3-17x^2+32x-30=0$有兩複數根$a+i,~1+bi$，其中$a,b$是不為$0$的實數。試求它的實根。答：$\underline{⑰⑱}$。
訣竅
運用代數基本定理與實係數多項式虛根成對定理可以獲知題目提及的兩複數根共軛。
解法
由於三次多項式會有三個複數根，那麼依據虛根成對定理可知實係數三次多項式可能有「三個實根」或者「一個實根與兩個共軛虛根」。又根據提及已知有兩複數根形如$a+i$與$1+bi$，因此可以知道此兩複數根互相共軛，因此$a=1$、$b=-1$。那麼依據因式定理可知$\left[x-\left(1+i\right)\right]\left[x-\left(1-i\right)\right]=x^2-2x+2$為$x^3-17x^2+3x-30$的因式。據此因式分解可得
$x^3-17x^2+32x-30=\left(x^2-2x+2\right)\left(x-15\right)=0$
故實根為$x=15$，填$⑰=1$、$⑱=5$。


4. 空間中有一直線$L$與平面$E:x+2y+3z=9$垂直。試求通過點$\left(2,-3,4\right)$且與直線$L$垂直的平面方程式。答：$\underline{x+⑲y+⑳z=㉑}$。
訣竅
依據空間幾何的觀念可以知道同時垂直空間直線的兩平面會有相同的法向量。
解法
依照提示可知所求的平面之法向量為$\left(1,2,3\right)$，因此可設所求之平面為$x+2y+3z=d$。又因為通過點$\left(2,-3,4\right)$可知
$d=2+2\cdot\left(-3\right)+3\cdot4=8$
因此所求的平面為$x+2y+3z=8$。故填$⑲=2$、$⑳=3$、$㉑=8$。


5. 在某海防觀測站的東方$12$海浬處有$A$、$B$兩艘船相會之後，$A$船以每小時$12$海浬的速度往南航行，$B$船以每小時$3$海浬的速度向北航行。問幾小時後，觀測站及$A$、$B$兩船恰成一直角三角形？答：㉒小時。
訣竅
運用座標化後進行處理，其中直角三角形的條件可以讓我們使用畢氏定理、根據垂直的斜率相乘為$-1$或內積為零來處理。
解法

設觀測站的座標為$\left(0,0\right)$，那麼$A$與$B$兩船在$\left(12,0\right)$處相會。假設經過$t$小時候，可以根據$A$與$B$的船速知道$A$船會在$\left(12,-12t\right)$的位置，而$B$船會在$\left(12,3t\right)$的位置。

【方法一】假若觀測站$O$與$A$、$B$兩船等三點形成直角三角形，那麼依照畢氏定理有

$\left[12^2+\left(-12t\right)^2\right]+\left[12^2+\left(3t\right)^2\right]=\left(15t\right)^2$

因此有$72t^2=288$，即$t^2=4$，因此$t=\pm2$。但$t=-2$並不符合題意，因此$t=2$，故填$㉒=2$。

【方法二】可以注意到$\overline{OA}$的斜率為$\displaystyle\frac{-12t}{12}=-t$、$\overline{OB}$的斜率為$\displaystyle\frac{3t}{12}=\frac{t}{4}$。由於兩者垂直，因此有

$\displaystyle\left(-t\right)\cdot\frac{t}{4}=-1$

故$t^2=4$，因此$t=\pm2$，但$t=-2$不合，故$t=2$，填$㉒=2$。

【方法三】可以注意到$\overset{\rightharpoonup}{OA}=\left(12,-12t\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{OB}=\left(12,3t\right)$，由於兩者垂直因此內積為零：

$\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OB}=\left(12,-12t\right)\cdot\left(12,3t\right)=0$

從而有$t^2=4$，因此$t=\pm2$，但$t=-2$不合，故$t=2$，填$㉒=2$。



6. 氣象局測出在$20$小時期間，颱風中心的位置由恆春東南方$400$公里直線移動到恆春南$15^\circ$西的$200$公里處，試求颱風移動的平均速度。（整數以下，四捨五入）答：㉓㉔公里/時。
訣竅
座標化後使用餘弦定理求出兩點間的距離後即可求初期速度。
解法
設恆春的位置為原點$\left(0,0\right)$，並且設一開始颱風中心位置為$A$、$20$小時候的颱風位置為$B$，那麼根據條件有$\overline{OA}=400$、$\overline{OB}=200$，而且$\angle AOB=45^\circ+15^\circ=60^\circ$。因此運用餘弦定理有
$\begin{aligned}\displaystyle\overline{AB}=&\sqrt{\overline{OA}^2+\overline{OB}^2-2\cdot\overline{OA}\cdot\overline{OB}\cdot\cos60^\circ}\\=&\sqrt{400^2+200^2-2\cdot400\cdot200\cdot\frac{1}{2}}\\=&\sqrt{120000}\\=&200\sqrt{3}\end{aligned}$
因此$20$小時移動了$200\sqrt{3}$公里，故時速為$10\sqrt{3}\approx10\cdot1.7321=17.321$公里/時，四捨五入後之答案為$17$公里/時，應填$㉓=1$、$㉔=7$。


7. 桌面上有大小兩顆球，相互靠在一起。已知大球的半徑為$20$公分，小球半徑$5$公分。試求這兩顆球分別與桌面相接處的兩點之間的距離。答：㉕㉖公分。
訣竅
將立體問題簡化為平面問題透過將線段平移形成直角三角形後使用畢氏定理求解。
解法
設大圓圓心為$A$、小圓圓心為$B$，按側面觀察可知$\overline{AB}=20+5=25$。且記$C$與$D$分別為球$A$與球$B$和桌面相接處的點，那麼$\overline{CD}$長度即為所求。現在作過$B$且平行$\overline{CD}$的直線交$\overline{AC}$於$E$點，那麼$BDCE$形成長方形，因此$\overline{CD}=\overline{BE}$。最後觀察三角形$\bigtriangleup ABE$為直角三角形，其中斜邊為$\overline{AB}=25$，其中一股$\overline{AE}=\overline{AC}-\overline{CE}=20-5=15$，因此由畢氏定理可求得$\overline{BE}=20$。故本題所求之長度為$15$公分，填$㉕=2$、$㉖=0$。


8. 體操委員會由$10$位女性委員與$5$位男性委員組成。委員會要由$6$位委員組團出國考察，如以性別做分層，並在各層依比例隨機抽樣，試問此考察團共有多少種組成方式？答：㉗㉘㉙㉚種。
訣竅
先運用分層的概念瞭解$6$位委員的組成方式，隨後在各個性別中選出適當的委員數量並運用乘法原理獲得總數。
解法
由於女性與男性的比例為$10:5=2:1$，因此$6$名委員中按比例要有$4$位女性及$2$位男性。女性委員的安排方式有$\displaystyle C_4^{10}=\frac{10!}{4!6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=210$種，而男性委員的安排方式有$\displaystyle C_2^5=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot4}{1\cdot2}=10$種，因此考察團的組成方式共計有
$210\cdot10=2100$種
故填$㉗=2$、$㉘=1$、$㉙=0$、$㉚=0$。


9. 交通規則測驗時，答對有兩種可能，一種是會做而答對，一種是不會做但猜對。已知小華練習交通規則筆試測驗，會做的機率是0.8。現有一題$5$選$1$的交通規則選擇題，設小華會做就答對，不會做就亂猜。已知此題小華答對，試問在此條件之下，此題小華是因為會做而答對(不是亂猜)的機率是多少？
   答：$\displaystyle\underline{\frac{㉛㉜}{㉝㉞}}$。(以最簡分數表示)
訣竅
運用條件機率的觀念思考。
解法
今天小華答對有可能是因為會而答對，也有可能是因為亂猜而答對，其機率分別如下
• 會而答對的機率為$0.8$；
• 不會而猜對的機率為$0.2\cdot0.2=0.04$。
因此答對的機率為$0.84$。在答對的狀況下是因為會作而答對的機率則是$\displaystyle\frac{0.8}{0.84}=\frac{80}{84}=\frac{20}{21}$。故填$㉛=2$、$㉜=0$、$㉝=2$、$㉞=1$。


10. 如下圖所示，有一船位於假港口的東方$27$公里北方$8$公里$A$處，直朝位於港口的東方$2$公里北方$3$公里$B$處的航標駛去，到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。試問船在行標處的航向修正應該向左轉多少度？(整數以下，四捨五入)答：㉟㊱度。
    
訣竅
將本問題坐標化後運用內積求其角度的餘弦值。
解法
設甲港口$O$座標為$\left(0,0\right)$，$A$處坐標為$\left(27,8\right)$，$B$處坐標為$\left(2,3\right)$以及修正角度為$\theta$，那麼$\overset{\rightharpoonup}{BA}=\left(25,5\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{BO}=\left(-2,-3\right)$，如此運用內積有
$-78=\left(27,8\right)\cdot\left(-2,-3\right)=\overset{\rightharpoonup}{BA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{BO}=\left|\overset{\rightharpoonup}{BA}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{BO}\right|\cos\left(180^\circ-\theta\right)=-\sqrt{793}\cdot\sqrt{13}\cos\theta=-13\sqrt{61}\cos\theta$
因此$\displaystyle\cos\theta=\frac{6}{\sqrt{61}}=\frac{6\sqrt{61}}{61}$。根據$\theta$的餘弦值可以推知此角度的為鄰邊為$6$，對邊為$5$，因此$\theta$約莫$45^\circ$，故填$㉟=4$、$㊱=5$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}$，$r\neq1$。
4. $\Delta ABC$的正弦與餘弦定理
   (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=d$，$d$為外接圓直徑　　（正弦定理）
   (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定理）
5. 統計公式
   算術平均　　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標準差　　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{X}^2}$
   相關係數　　$\displaystyle r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{n\cdot S_XS_Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)^2\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\bar{Y}\right)^2}}$
   其中$S_X$為隨機變數$X$之標準差，$S_Y$為隨機變數$Y$之標準差

6. 貝氏定理

   $\displaystyle P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)P\left(B|A\right)+P\left(A'\right)P\left(B|A'\right)}$

7. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.4142$；　$\sqrt{3}\approx1.7321$；　$\sqrt{5}\approx2.2361$；　$\sqrt{7}\approx2.6458$
8. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$