2018年6月4日 星期一

九十學年度數學學科能力測驗

大學入學考試中心
九十學年度學科能力測驗試題

數學考科



－作答注意事項－

  1. 考試時間：$100$分鐘
  2. 題型題數：單一選擇題$3$題，多重選擇題$7$題，填充題第$A$至$J$題共$10$題
  3. 作答方式：
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

    2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與數值

第一部分：選擇題
  1. 單一選擇題
    2. 說明：第$1$至$3$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
    1. 設$\displaystyle a=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$，$\displaystyle b=\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$，$\displaystyle c=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}}$。下列選項何者為真？
      1. $a>b>c$
      2. $a<b<c$
      3. $a=c>b$
      4. $a=c<b$
      5. $a=b=c$
      2. 訣竅運用指數率將次方化為相同之後比較底數的大小即可。
      解法首先可以注意到

      $\displaystyle c=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^{\frac{1}{4}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=a$

      再者將$a$寫為$\displaystyle\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{6}}$、$b$寫為$\displaystyle\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{6}}$，由此可知$a>b$，故有$a=c>b$，應選(3)。

    2. 右下圖為依拋物線的部分圖形，且$A$、$B$、$C$、$D$、$E$五個點中有一為其焦點。試判斷哪一個點是其焦點？（可利用你手邊現有簡易測量工具）
      1. $A$
      2. $B$
      3. $C$
      4. $D$
      5. $E$
      3. 訣竅利用正焦弦長為焦距的四倍來判別之。
      解法首先焦點必落在拋物線凹向之處，故$A$與$B$必定不為焦點。經測量或目測可推斷出$C$至拋物線之頂點距離的四倍約為在該處所形成的正弦長度，故$C$為焦點，應選(3)。

    3. 令$X$代表每個高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計），則$W=7\left(24-X\right)$代表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間。令$Y$代表每個高中生數學學科能力測驗的成績。設$X,Y$之相關係數為$R_{XY}$，$W,Y$之相關係數為$R_{WY}$，則$R_{XY}$與$R_{WY}$兩數之間的關係，下列選項何者為真？
      1. $R_{WY}=7\left(24-R_{XY}\right)$
      2. $R_{WY}=7R_{XY}$
      3. $R_{WY}=-7R_{XY}$
      4. $R_{WY}=R_{XY}$
      5. $R_{WY}=-R_{XY}$
      4. 訣竅相關係數在線性變換下至多僅差正負號。
      解法由於$W=7\left(24-X\right)$為$X$的線性變換且隨著$X$增加時$W$將減少，因此$R_{XY}$的相關性與$R_{WY}$的相關性相反，亦即$R_{WY}=-R_{XY}$，故選(5)。

      註：事實上如果知道相關係數介於$-1$與$1$之間，那麼選項(1)(2)(3)明顯可以舉出反例；再者針對題目敘述之意義的合理性可以知道$X$與$Y$應為正相關，但$W$與$Y$應為負相關，因此選項(4)不合理，故選(5)。

  2. 多重選擇題
    3. 說明：第$4$至第$10$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
    1. 若$\displaystyle\sin x=\frac{3}{5}$，$\displaystyle\frac{\pi}{2}<x<\pi$，則下列選項何者為真？
      1. $\displaystyle\cos x=\frac{4}{5}$
      2. $\displaystyle\tan x=\frac{3}{4}$
      3. $\displaystyle\cot x=-\frac{4}{3}$
      4. $\displaystyle\sec x=-\frac{5}{4}$
      5. $\displaystyle\csc x=\frac{5}{3}$
      2. 訣竅依據廣義角三角函數的取值導出其它的三角函數值。
      解法由平方關係可知

      $\displaystyle\cos^2x=1-\sin^2x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

      由於$x$為第二象限角，因此$\displaystyle\cos x=-\frac{4}{5}$，因此選項(1)錯誤。而其餘三角函數值如下
      • $\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$；
      • $\displaystyle\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{4}{3}$；
      • $\displaystyle\sec x=\frac{1}{\cos x}=-\frac{5}{4}$；
      • $\displaystyle\csc x=\frac{1}{\sin x}=\frac{5}{3}$。
      由以上可知應選(3)(4)(5)。

    2. 設$a,b,c$為實數。若二次函數

      $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

      的圖形通過$\left(0,-1\right)$且與$x$軸相切，則下列選項何者為真？
      1. $a<0$
      2. $b>0$
      3. $c=-1$
      4. $b^2+4ac=0$
      5. $a+b+c\leq0$
      3. 訣竅按相切的特點進一步描述該二次函數，若能留意二次函數的係數與圖形的關係則可簡單看出選項的成立與否。
      解法假定切點為$\left(k,0\right)$，那麼可將$ax^2+bx+c$寫為$a\left(x-k\right)^2$，由於通過$\left(0,-1\right)$可以知道$ak^2=-1$，而$k^\geq0$，因此$a\leq0$，又$a\neq0$，因此$a<0$，此表明選項(1)正確。

      由於展開後有

      $ax^2+bx+c=ax^2-2akx+ak^2=ax^2-2akx-1$

      故$b=-2ak$，由於$k$的正負號未定，因此$b$的正負亦未能確定；而$c=-1$。因此選項(2)錯誤而選項(3)正確。

      由於二次函數的圖形與$x$軸相切，此表明$ax^2+bx+c=0$有重根，故其判別式$b^2-4ac=0$，從而有$b^2+4ac=8ac>0$，因此選項(4)錯誤。

      由選項(1)以及$ax^2+bx+c=a\left(x-k\right)^2$，那麼取$x=1$代入後有

      $a+b+c=a\left(1-k\right)^2\leq0$

      故選項(5)正確。

      由以上的分析可知應選(1)(3)(5)。

    3. 若正整數$a,b,q,r$滿足

      $a=bq+r$

      且令$\left(a,b\right)$表示$a$與$b$的最大公因數，則下列選項何者為真？
      1. $\left(a,b\right)=\left(b,r\right)$
      2. $\left(a,b\right)=\left(q,r\right)$
      3. $\left(a,q\right)=\left(b,r\right)$
      4. $\left(a,q\right)=\left(q,r\right)$
      5. $\left(a,r\right)=\left(b,q\right)$
      4. 訣竅運用整數論中的輾轉相除法的結構找出類似的選項；至於不類似的選項則試著使用質數來造出反例。
      解法利用輾轉相除法的思想可得$\left(a,b\right)=\left(b,r\right)$以及$\left(a,q\right)=\left(q,r\right)$，亦即選項(1)(4)正確。而其餘選項可給出反例如下：

      選項(2)：取$a=8$、$b=2$、$q=3$、$r=2$，如此有

      $\left(a,b\right)=\left(8,2\right)=2\neq1=\left(3,2\right)=\left(q,r\right)$

      選項(3)：取$a=8$、$b=3$、$q=2$、$r=2$，如此有

      $\left(a,q\right)=\left(8,2\right)=2\neq1=\left(3,2\right)=\left(b,r\right)$

      選項(5)：取$a=5$、$b=2$、$q=2$、$r=1$，那麼有

      $\left(a,r\right)=\left(5,1\right)=1\neq2=\left(2,2\right)=\left(b,q\right)$

      因此應選(1)(4)。

    4. 古代的足球運動，有一種計分法，規定踢進一球得$16$分，犯規後的罰踢，進一球得$6$分。請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現？
      1. $26$
      2. $28$
      3. $82$
      4. $103$
      5. $284$
      5. 訣竅運用整數論或不定方程的知識求解，對於可能出現的分數可以直接舉出例子，而對於不可能的分數可藉由窮舉來說明。
      解法
      1. 假設踢進$n$球而罰球進$m$球有$16n+6m=26$，此等價於$8n+3m=13$。若$n=0$，則$3m=13$，顯然無整數解；若$n=1$，則$3m=5$，顯然無整數解；若$n\geq2$，則$8n\geq16$，從而$8n+3m\geq16$，故不可能等於$13$。因此沒有任何方式獲得$26$分。
      2. $28$分是有可能獲得的分數，因為$16+6+6=28$。這表示踢進一球後再踢進兩顆罰球即有$28$分。
      3. $82$是有可能獲得的分數，因為$16+6\cdot11=82$。這表示踢進一球後再踢入$11$次罰球即有$82$分。
      4. 由於得分皆為偶數，因此不可能獲得奇數分數。
      5. 假設踢進$n$球而罰球進$m$球有$16n+6m=284$，此等價於$8n+3m=142$。取$n=17$、$m=2$即可，這表示踢進$17$球以及踢進$2$次罰球可得$284$分。
      綜合以上的描述可知應選(2)(3)(5)。

    5. 在坐標平面上，$A\left(150,200\right)$，$B\left(146,203\right)$，$C\left(-4,3\right)$，$O\left(0,0\right)$，則下列選項何者為真？
      1. 四邊形$ABCO$是一個平行四邊形
      2. 四邊形$ABCO$是一個長方形
      3. 四邊形$ABCO$的兩對角線互相垂直
      4. 四邊形$ABCO$的對角線$AC$長度大於$251$
      5. 四邊形$ABCO$的面積為$1250$
      6. 訣竅運用向量的表示法檢查各個選項。
      解法
      1. 根據題意可檢驗下列的計算

        $\overset{\rightharpoonup}{AB}=B-A=\left(-4,3\right)=C-O=\overset{\rightharpoonup}{OC}$

        因此$\overline{AB}=\overline{OC}$且$\overline{AB}$平行$\overline{OC}$，故四邊形$ABCO$為平行四邊形。本選項正確。
      2. 由於$\overline{OA}=\left(150,200\right)$、$\overline{OC}=\left(-4,3\right)$，因此內積計算有

        $\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OC}=\left(150,200\right)\cdot\left(-4,3\right)=0$

        這表明$\overline{OA}$與$\overline{OC}$垂直，又因選項(1)已知此為平行四邊形，如此可知四邊形$ABCO$為長方形。本選項正確。
      3. 由於$\overline{OB}=\left(146,203\right)$、$\overline{AC}=\left(-154,-197\right)$，因此內積計算有

        $\overset{\rightharpoonup}{OB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AC}=\left(146,203\right)\cdot\left(-154,-197\right)<0$

        這表明兩對角線$\overline{OB}$與$\overline{AC}$不互相垂直。本選項錯誤。
      4. 由兩點的直線公式直接計算有

        $\overline{AC}=\sqrt{154^2+197^2}=\sqrt{150^2+2\cdot150\cdot4+16+200^2-2\cdot200\cdot3+9}=\sqrt{250^2+25}<251$

        本選項錯誤。
      5. 由於$\overline{OC}=5$、$\overline{OA}=250$且根據選項(2)可知此為長方形，因此面積為$5\cdot250=1250$，故本選項正確。
      由以上分析可知應選(1)(2)(5)。

    6. 在坐標平面上，請問下列哪些直線與雙曲線$\displaystyle\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{4}=1$不相交？
      1. $5y=2x$
      2. $5y=3x$
      3. $5y=2x+1$
      4. $5y=-2x$
      5. $y=100$
      7. 訣竅可運用解聯立方程來加以判定
      details>解法
      1. 將$\displaystyle y=\frac{2x}{5}$代入雙曲線方程式中有$\displaystyle\frac{x^2}{25}-\frac{x^2}{25}=0\neq1$，因此該直線與雙曲線不相交。
      2. 將$\displaystyle y=\frac{3x}{5}$代入雙曲線方程式中有$\displaystyle\frac{x^2}{25}-\frac{9x^2}{100}=-\frac{x^2}{20}<0<1$，因此該直線與雙曲線不相交。
      3. 將$\displaystyle y=\frac{2x+1}{5}$代入

        $\displaystyle\frac{x^2}{25}-\frac{\left(2x+1\right)^2}{100}=\frac{-4x-1}{100}=1$

        如此可得$\displaystyle x=-\frac{101}{4}$，這表明該直線與雙曲線相交。
      4. 將$\displaystyle y=\frac{-2x}{5}$代入雙曲線方程式中有$\displaystyle\frac{x^2}{25}-\frac{x^2}{25}=0\neq1$，因此該直線與雙曲線不相交。
      5. 將$y=100$代入可得$x$的二次方程可以容易解得$x$之值，從而表明該直線與雙曲線相交。
      由以上討論可知選項(1)(2)(4)與雙曲線不相交，故選此三個選項。
    7. 令$z$為複數且$z^6=1$，$z\neq1$，則下列選項何者為真？
      1. $\left|z\right|=1$
      2. $z^2=1$
      3. $z^3=1$或$z^3=-1$
      4. $\left|z^4\right|=1$
      5. $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=0$
      8. 訣竅利用複數的極座標表示解，進而回答各個選項。
      解法$z^6=1$的六個根可使用極座標表示為$\displaystyle\cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}$，$k=0,1,2,3,4,5$。由於$z\neq1$，因此$k\neq0$。可以知道此五個點皆落在複數平面上以原點為圓心的單位圓上，
      1. 由於落在以原點為圓心的單位圓上，因此$\left|z\right|=1$，本選項正確。
      2. 直接檢查可以發現

        $\displaystyle\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)^2=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\neq1$

        故本選項錯誤。
      3. 由於$z^6-1=0$，因式分解有$\left(z^3-1\right)\left(z^3+1\right)=0$，從而有$z^3=1$或$z^3=-1$。本選項正確。
      4. 直接計算可知

        $\displaystyle z^4=\cos\frac{4k\pi}{3}+i\sin\frac{4k\pi}{3}$

        計算與原點的長度可得$\left|z^4\right|=1$，因此本選項正確。
      5. 將$z^6-1$因式分解可得

        $z^6-1=\left(z-1\right)\left(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1\right)=0$

        由於$z\neq1$，因此$z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$，故本選項正確。
      由以上可知應選(1)(3)(4)(5)。
第二部分：填充題
說明：
  1. 第$A$至$J$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(11-32)。
  2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
  1. 將一張B4的長方形紙張對折剪開之後，成為B5的紙張，其形狀跟原來B4的形狀相似。已知B4紙張的長邊為$36.4$公分，則B4紙張的短邊長為$\underline{　⑪⑫.⑬　}$公分。(小數點後第二位四捨五入)
    2. 訣竅設定恰當的未知數後依題意列出方程後求解，並捨棄與題意不合的解。
    解法設B4紙張短邊長為$x$公分，其中按題意可知$x$介於$0$至$36.4$之間。再者由題意可知B5之長邊為$x$公分而短邊為$36.4\div2=18.2$公分，由相似可得比例式

    $\displaystyle\frac{x}{36.4}=\frac{18.2}{x}$

    或寫為$x^2=18.2\cdot36.4=2\cdot18.2^2$，因此可得$x=\pm18.2\sqrt{2}$，其中負不合理，故有$x=18.2\sqrt{2}$，由$\sqrt{2}\approx1.414$可得

    $x\approx18.2\cdot1.414=25.7348$

    四捨五入至小數點後第二位可得$x\approx25.7$，因此填$⑪=2$、$⑫=5$、$⑬=7$。

  2. 調查某新興工業都市的市民對市長施政的滿意情況，依據隨機抽樣，共抽樣男性$600$人、女性$400$人，由甲、乙兩組人分別調查男性與女性市民。調查結果男性中有$36\%$滿意市長的施政，女性市民中有$46\%$滿意市長的施政，則滿意市長施政的樣本佔全體樣本的百分比為$\underline{⑭⑮\%}$。
    3. 訣竅藉由滿意度可得各族群的滿意人數，從而獲得全體的滿意人術後即可獲得整體的滿意度。
    解法依據滿意度的意義可知男性的滿意人數為$600\cdot36\%=216$人，女性的滿意人數為$400\cdot46\%=184$人，因此整體的滿意度為

    $\displaystyle\frac{216+184}{600+400}=\frac{400}{1000}=40\%$

    故填$⑭=4$、$⑮=0$。

  3. 從$1,2,3,4,5,6,7,8,9$中，任取兩相異數，則其積為完全立方數的機率為$\displaystyle\underline{　\frac{1}{⑯⑰}　}$。
    4. 訣竅考慮各個數字的質因數分解後可較容易判斷何者組合可為完全立方數，藉此直接列表可以計算其數量。
    解法首先，自$1$至$9$的整數中任取兩數有$9\times8\div2=36$種組合，在這$36$種組合中有「取$1$與$8$」、「取$2$與$4$」、「取$3$與$9$」等$3$組，故機率為$\displaystyle\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$，因此填$⑯=1$、$⑰=2$。

    註：由於可以容易知道分母為$36$，又由答案格式之分子為$1$且分母為二位數，因此分母之解僅有三種可能分別為$36$、$18$、$12$，藉此觀察可以提高猜對之可能性。


  4. 設多項式$f\left(x\right)$除以$x^2-5x+4$，餘式為$x+2$；除以$x^2-5x+6$，餘式為$3x+4$。則多項式$f\left(x\right)$除以$x^2-4x+3$，餘式為$\underline{　⑱x-⑲　}$。
    5. 訣竅運用除法原理和餘式定理獲得關於所求餘式的係數的資訊後進行聯立解即可。
    解法設所求的餘式為$ax+b$，而條件可由除法原理列得如下\begin{align*} &f\left(x\right)=\left(x^2-5x+4\right)q_1\left(x\right)+\left(x+2\right),\\&f\left(x\right)=\left(x^2-5x+6\right)q_2\left(x\right)+\left(3x+4\right),\\&f\left(x\right)=\left(x^2-4x+3\right)q_3\left(x\right)+\left(ax+b\right).\end{align*}在第一式中取$x=1$有$f\left(1\right)=3$，在第二式中取$x=3$有$f\left(3\right)=13$。由此代入第三式之中可得聯立方程組

    $\left\{\begin{aligned} &a+b=3,\\&3a+b=13.\end{aligned}\right.$

    可解得$a=5$、$b=-2$，因此所求的餘式為$5x-2$，故填$⑱=5$、$⑲=2$。

  5. 兩條公路$k$及$m$，如果筆直延伸將交會於$C$處成$60^\circ$夾角，如圖所示。為銜接此二公路，規劃在兩公路各距$C$處$450$公尺的$A$、$B$兩點間開拓成圓弧形公路，使$k,m$分別在$A,B$與此圓弧相切，則此圓弧長$=\underline{　⑳㉑㉒　}$公尺。（公尺以下四捨五入）【$\sqrt{3}\approx1.732$，$\pi\approx3.142$】
    6. 訣竅作出該圓弧的圓心$O$後可以求出圓心角和半徑，如此可得圓弧長。
    解法分別作過$A$且垂直$\overline{AC}$的直線以及過$B$且垂直$\overline{BC}$，兩直線交會於$O$。由於$OACB$為四邊形，且$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ$、$\angle ACB=60^\circ$，因此$\angle AOB=120^\circ$。

    連$\overline{OC}$，那麼直角三角形$\bigtriangleup OAC$之角度分別為$30^\circ-60^\circ-90^\circ$，並由$\overline{AC}=450$可推知$\overline{OA}=450/\sqrt{3}=150\sqrt{3}$。因此圓弧長可列式並近似計算如下如下

    $\displaystyle2\pi\cdot150\sqrt{3}\cdot\frac{120^\circ}{360^\circ}=100\sqrt{3}\pi\approx100\cdot1.732\cdot3.142=544.1944$

    四捨五入得$544$，故填$⑳=5$、$㉑=4$、$㉒=4$。


  6. 如右圖的四角錐展開圖，四角錐底面為邊長$2$的正方形，四個側面都是腰長為$4$的等腰三角形，則此四角錐的高度為$\underline{\sqrt{㉓㉔}}$。
    7. 訣竅利用三垂線定理以及畢氏定理求解。
    解法由對稱的特性可知頂點落於底面正方形中心之上，記頂點為$A$而底面中心為$O$，底邊正方形四點則記為$BCDE$，接著在底面作過$O$且垂直邊$\overline{BC}$於$M$，那麼由三垂線定理可知$\overline{AM}$亦垂直$\overline{BC}$。

    由於$\bigtriangleup AOM$為直角三角形，因此由畢氏定理可知

    $\overline{AO}^2=\overline{AM}^2-\overline{OM}^2$

    又因$\bigtriangleup ABM$為直角三角形，因此再次使用畢氏定理有

    $\overline{AM}^2=\overline{AB}^2-\overline{BM}^2$

    兩式結合並代入$\overline{AB}=4$以及$\overline{OM}=\overline{BM}=1$可得

    $\overline{AO}^2=\overline{AB}^2-\overline{BM}^2-\overline{OM}^2=4^2-1^2-1^2=14$

    故四角椎的高度為$\overline{AO}=\sqrt{14}$。因此填入$㉓=1$、$㉔=4$。


  7. 在坐標平面上的$x$軸上有$A\left(2,0\right)$，$B\left(-4,0\right)$兩觀測站，同時觀察在$x$軸上方的一目標$C$點，測得$\angle BAC$及$\angle ABC$之值後，通知在$\displaystyle D\left(\frac{5}{2},-8\right)$的砲台此兩個角的正切值分別為$\displaystyle\frac{8}{9}$及$\displaystyle\frac{8}{3}$。那麼砲台$D$至目標$C$的距離為$\underline{㉕㉖}$。
    8. 訣竅與$x$軸正向夾角的正切值表示斜率，透過斜率確定$C$點坐標後便可求出$\overline{CD}$之值。
    解法設點$C$坐標為$\left(a,b\right)$。由於$\angle BAC$為$\overline{CA}$與$x$軸負向的夾角，因此$-\tan\angle BAC$為斜率；而$\angle ABC$為$\overline{CB}$與$x$軸正向的夾角，因此$\tan\angle ABC$為斜率：

    $\displaystyle-\frac{8}{9}=\tan\angle BAC=\frac{b}{a-2}$　；　$\displaystyle\frac{8}{3}=-\tan\angle ABC=\frac{b}{a+4}$

    整理有下列聯立方程組

    $\left\{\begin{aligned} &8\left(a-2\right)=-9b,\\&8\left(a+4\right)=3b.\end{aligned}\right.$

    可解得$\displaystyle a=-\frac{5}{2}$、$b=4$。故$C$之坐標為$\displaystyle C\left(-\frac{5}{2},4\right)$，因此

    $\overline{CD}=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\right)^2+\left(-8-4\right)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$

    如此填入$㉕=1$、$㉖=3$。

  8. 將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體及一個正八面體，如下圖所示。如果原四面體$ABCD$的體積為$12$，那麼此正八面體的體積為$\underline{㉗}$。
    9. 訣竅運用相似的觀點可求出小正四面體的體積，從而扣去後可留下正八面體的體積。
    解法由於小正四面體之邊長為大正四面體邊長的一半，因此體積為大正四面體的八分之一倍，亦即每個小正四面體的體積為$\displaystyle12\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{2}$，因此所有小正四面體之體積總計有$\displaystyle\frac{3}{2}\cdot4=6$，因此餘下的正八面體體積為$12-6=6$，填入$㉗=6$。

  9. 根據過去紀錄知，某電腦工廠檢驗其產品的過程中，將良品檢驗為不良品的機率為$0.20$，將不良品檢驗為良品的機率為$0.16$。又知該產品中，不良品佔$5\%$，良品佔$95\%$。若一件產品被檢驗為良品，但該產品實際上為不良品之機率為$\underline{0.㉘㉙}$。（小數點後第三位四捨五入）
    10. 訣竅運用條件機率的概念或貝氏定理求解。
    解法設$A$為實際上為不良品的事件而$B$為檢驗為良品的事件，則根據貝氏定理有

    $\displaystyle P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)P\left(B|A\right)+P\left(A'\right)P\left(B|A'\right)}$

    根據題設有$P\left(A\right)=0.05$、$P\left(A'\right)=0.95$、$P\left(B|A\right)=0.16$、$P\left(B|A'\right)=0.8$，因此所求為

    $\displaystyle P\left(A|B\right)=\frac{0.05\cdot0.16}{0.05\cdot0.16+0.95\cdot0.80}=\frac{5\cdot16}{5\cdot16+95\cdot80}=\frac{16}{16+19\cdot80}=\frac{1}{1+19\cdot5}\approx0.0104$

    四捨五入後機率為$0.01$，因此填入$㉘=0$、$㉙=1$。

  10. 籃球$3$人鬥牛賽，共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬$9$人參加，組成$3$隊，且甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種？答：$\underline{㉚㉛㉜}$種。
    11. 訣竅替隊伍命名後使用乘法原理依序考慮組合數即可。
    解法考慮甲所在的隊伍稱為$A$隊，乙所在的隊伍稱為$B$隊，而另一隊則稱為$C$隊，那麼七人中與甲同一隊伍的有$C^7_2$種，餘下五人與$B$同隊有$C^5_2$種，而剩下三人一隊。因此方法數有

    $\displaystyle C^7_2C^5_2=\frac{7\cdot6}{2}\cdot\frac{5\cdot4}{2}=21\cdot10=210$種

    因此填$㉚=2$、$㉛=1$、$㉜=0$。

參考公式及可能用到的數值

  1. 一元二次方程式的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
  4. $\Delta ABC$的正弦與餘弦定律
    (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，$R$為外接圓的半徑（正弦定理）
    (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定理）
  5. 統計公式
    算術平均數　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
    標　準　差　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{X}^2}$
    相關係數　$\displaystyle r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{n\cdot S_XS_Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)^2\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\bar{Y}\right)^2}}$
    其中$S_X$為隨機變數$X$之標準差，$S_Y$為隨機變數$Y$之標準差

  6. 貝氏定理

    $\displaystyle P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)P\left(B|A\right)+P\left(A'\right)P\left(B|A'\right)}$

  7. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{7}\approx2.646$；　$\pi\approx3.142$
  8. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$

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