九十一學年度數學學科能力測驗

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九十一學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單一選擇題$6$題，多重選擇題$6$題，填充題第$A$至$H$題共$8$題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

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第一部分：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第$1$至$8$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
1. 設$P\left(x,y\right)$為坐標平面上一點，且滿足

   $\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2}=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(4-2\right)^2}$

   那麼$P$點的位置在哪裡？
   1. 第一象限
   2. 第二象限
   3. 第三象限
   4. 第四象限
   5. $x$軸或$y$軸上
訣竅
考慮方程的幾何意義便可解答問題。
解法
記$A=\left(1,2\right)$、$B=\left(3,4\right)$，則該方程等價於$\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{AB}$，此表明$P$落在$\overline{AB}$上。又$A$與$B$皆在第一象限中，因此$\overline{AB}$也落於第一象限內，從而$P$也落於此，應選(1)。


2. 一群登山友，在山上發現一顆巨樹，隊中$10$位身高$170$公分的男生，手拉著手剛好環抱大樹一圈。問樹幹的直徑最接近下列何值？
   1. $3$公尺
   2. $5$公尺
   3. $7$公尺
   4. $9$公尺
   5. $11$公尺
訣竅
依據卷末所附的圖可知手臂寬與身高之關係，並且根據圓周長與直徑的關係求解。
解法
根據參考公式9之附圖可推知身高與手臂寬近乎相等，因此$10$位身高$170$公分的男生手拉著手環抱大樹一圈時，其圓周長近乎為$1700$公分，從而直徑約為$\displaystyle\frac{1700}{\pi}\approx541.1268$公分，即約莫$5.41$公尺，應選(2)。


3. 如圖，下面哪一選項中的向量與另兩個向量$\overset{\rightharpoonup}{PO}$、$\overset{\rightharpoonup}{QO}$之和等於零向量？
   1. $\overset{\rightharpoonup}{AO}$
   2. $\overset{\rightharpoonup}{BO}$
   3. $\overset{\rightharpoonup}{CO}$
   4. $\overset{\rightharpoonup}{DO}$
   5. $\overset{\rightharpoonup}{EO}$
   
訣竅
利用向量的座標表示法進行計算即可。
解法
利用圖中描述的坐標系，$\overset{\rightharpoonup}{PO}=\left(2,3\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{QO}=\left(-5,2\right)$，因此$\overset{\rightharpoonup}{PO}+\overset{\rightharpoonup}{QO}=\left(-3,5\right)$。如此與向量$\left(3,-5\right)$之和將為零向量。由圖可看出$\overset{\rightharpoonup}{CO}=\left(3,-5\right)$，此即所求，應選(3)。


4. 若某校$1000$位學生的數學段考成績平均分數是$65.24$分，樣本標準差是$5.24$分，而且已知成績分佈呈現常態分配。試問全校約有多少人數學成績低於$60$分？
   1. 約$80$人
   2. 約$160$人
   3. 約$240$人
   4. 約$320$人
   5. 約$400$人
訣竅
可以觀察數據知道要詢問的是低於一個標準差所占人數之比例。
解法
由於介在平均增減一個標準差內的人數約為總人數的$68\%$。由於對稱性可知介在$60$分至$65.24$分約為$34\%$。同樣由對稱性可知低於$60$分的人數約為$16\%$，故約$160$人左右，應選(2)。


5. 試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述右圖較恰當？
   
   1. $\left(x-2\right)^2-2$
   2. $2\sin\left(x\right)+2$
   3. $2\cos\left(x\right)$
   4. $-0.5\left(x-2\right)^2+4$
   5. $3-2^x$
訣竅
針對各個選項的特點與圖形比較即可知道何者最為恰當。
解法
1. 由於$\left(x-2\right)^2-2$的凹口向上，因此不可能是這個選項。
2. 若此圖形為正弦函數，則平衡位值為$y=2$，那麼該圖形在$y=2$之下應為凹口向上，此與圖形不符。
3. 餘弦函數在$x>0$時會先遞減後才遞增，與圖形不符。
4. 描點繪製可知凹口向下的二次函數與本題圖形最為相似。
5. 當$x=0$時$3-2^x$的值為$1$，因此過$\left(0,1\right)$與圖形不合。
由分析可知應選(4)。


6. 在坐標平面上有一橢圓，它的長軸落在$x$軸上，短軸落在$y$軸上，長軸、短軸的長度分別為$4$、$2$。如圖所示，通過橢圓的中心$O$且與$x$軸夾角為$45$度的直線在第一象限跟橢圓相交於$P$。則此交點$P$與中心$O$的距離為
   1. $1.5$
   2. $\sqrt{1.6}$
   3. $\sqrt{2}$
   4. $\sqrt{2.5}$
   5. $\sqrt{3.2}$
   
訣竅
運用橢圓的標準式解聯立後求得$P$點坐標後即可求$\overline{OP}$。
解法
由於長軸、短軸的長度分別為$4$、$2$，因此$2a=4$、$2b=2$。又因長軸落於$x$軸上、短軸落於$y$軸上，因此中心為$\left(0,0\right)$，且可知橢圓方程為
$\displaystyle\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$
如此與$y=x$解聯立，運用代入消去法可得
$\displaystyle\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{1}=1$
亦即有$\displaystyle x^2=\frac{4}{5}$。由於$P$點位於第一象限，因此坐標為$\displaystyle P=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$。故
$\displaystyle\overline{OP}=\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{4}{5}}=\sqrt{1.6}$
應選(2)。
2. 多重選擇題
說明：第$7$至第$12$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
7. 若實數$a,b,c$滿足$abc>0$，$ab+bc+ca<0$，$a+b+c>0$，$a>b>c$，則下列選項何者為真？
   1. $a>0$
   2. $b>0$
   3. $c>0$
   4. $\left|a\right|>\left|b\right|$
   5. $a^2>c^2$
訣竅
藉由條件進行嚴謹的邏輯推理始能推斷各選項的真確性。
解法
由於實數$a,b,c$滿足$abc>0$，這表明$a,b,c$全為正或一正兩負。又因$ab+bc+ca<0$可推知不可能全為正數，這就說明$a,b,c$中恰有一個正數兩個負數。再因$a>b>c$能知道$a>0>b>c$。至此可知選項(1)正確而選項(2)(3)錯誤。
由前一段的分析，並配合$a+b+c>0$，我們有
$a>-b-c>-b>0$
故$\left|a\right|=a>-b=\left|b\right|$，這便說明了選項(4)正確。運用相同的道理可得$a>-c>0$，同取平方即有$a^2>c^2$，故選項(5)正確。
經由以上的討論可知應選(1)(4)(5)。


8. 一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進$3$步，然後再後退$2$步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以$1$步的距離為$1$單位長。令$P\left(n\right)$表示第$n$秒時機器狗所在位置的坐標，且$P\left(0\right)=0$。那麼下列選項何者為真？
   1. $P\left(3\right)=3$
   2. $P\left(5\right)=1$
   3. $P\left(10\right)=2$
   4. $P\left(101\right)=21$
   5. $P\left(103\right)<P\left(104\right)$
訣竅
觀察機器狗的移動規律，應特別留意關於每五秒所呈現的週期性規律。
解法
可以知道機器狗每五秒將前進一單位，這表明$P\left(5k\right)=k$，其中$k$為非負整數，進而可知$P\left(5k+1\right)=k+1$、$P\left(5k+2\right)=P\left(5k+4\right)=k+2$、$P\left(5k+3\right)=k+3$。據此可直接知道
1. 取$k=0$有$P\left(3\right)=3$，正確。
2. 取$k=1$有$P\left(5\right)=1$，正確。
3. 取$k=2$有$P\left(10\right)=2$，正確。
4. 取$k=20$有$P\left(101\right)=21$，正確。
5. 取$k=20$有$P\left(103\right)=23$，而$P\left(104\right)=22$，錯誤。
由以上可知應選(1)(2)(3)(4)。


9. 下列哪些選項與方程組$\left\{\begin{aligned} &2x+y+3z=0\\&4x+3y+6z=0\end{aligned}\right.$的解集合相同？
   1. $y=0$
   2. $\left\{\begin{aligned} &2x+3z=0\\&y=0\end{aligned}\right.$
   3. $x=y=0$
   4. $\left\{\begin{aligned} &x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}z=0\\&4x+3y+6z=0\end{aligned}\right.$
   5. $\left\{\begin{aligned} &6x+4y+9z=0\\&2x+y+3z=0\end{aligned}\right.$
訣竅
留意三元一次方程所代表的幾何意義。
解法
題幹所述之方程組為空間中的非平行的兩平面相交於一直線。
1. 此選項表為$xz$平面，因此與直線集合不相同。或者也可以注意到$\left(1,0,0\right)$滿足$y=0$但並不滿足題幹的方程組。
2. 由於題幹之方程可藉由第一式乘以$2$倍後減去第二式而得到$y=0$，隨後代入第一式便有$2x+3z=0$。反之，由於$y=0$可由$2x+3z=0$推論出$2x+y+3z=0$；並且也能推出$4x+6z=0$，進而有$4x+3y+6z=0$。由於兩方程組可互相推論獲得，因此解集合相同。
3. $x=y=0$為$z$軸，此與方程組所表達的直線不同。如$\left(-3,0,2\right)$滿足題幹所述之方程組但並不符合此方程。
4. 可以注意到題幹的方程的第一式除以$2$可得該選項之第一式，反之乘以$2$可得題幹的第一式。由於兩方程組可互相推論獲得，因此解集合相同。
5. 題幹方程兩式相加可得此選項之第一式；反之選項中的第一式減去第二式可得題幹的第一式。由於兩方程組可互相推論獲得，因此解集合相同。


10. 觀察相關的函數圖形，判斷下列選項何者為真？
    1. $10^x=x$有實數解
    2. $10^x=x^2$有實數解
    3. $x$為實數時，$10^x>x$恆成立
    4. $x>0$時，$10^x>x^2$恆成立
    5. $10^x=-x$有實數解
訣竅
細心的描點作圖始能判別各選項是否正確。
解法
作圖如下

1. 由圖可知$y=10^x$與$y=x$無交點，因此$10^x=x$無實數解，故本選項錯誤。
2. 由圖可見交點，故$10^x=x^2$有實數解，本選項正確。
3. 由圖可發現$y=10^x$的圖形均在$y=x$的上方，因此對所有實數$x$恆有$10^x>x$，故本選項正確。
4. 由圖可知當$x>0$時$y=10^x$的圖形均在$y=x^2的上方，因此對所有正數$x$恆有$10^x>x^2$，故本選項正確。
5. 如圖可見$y=10^x$與$y=-x$有交點，因此本選項正確。
由以上分析可知應選(2)(3)(4)(5)。


11. 某甲自$89$年$7$月起，每月$1$日均存入銀行$1000$元，言明以月利率$0.5\%$按月複利計息，到$90$年$7$月$1$日提出。某乙則於$89$年$7$月起，每單月(一月、三月、五月…)$1$日均存入銀行$2000$元，亦以月利率$0.5\%$按月複利計息，到$90$年$7$月$1$日提出。一整年中，兩人都存入本金$12000$元。提出時，甲得本利和$A$元，乙得本利和$B$元。問下列選項何者為真？
    1. $\displaystyle B>A$
    2. $\displaystyle A=1000\left[\sum_{k=1}^{12}\left(\frac{1005}{1000}\right)^k\right]$
    3. $\displaystyle B=2000\left[\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{1005}{1000}\right)^{2k}\right]$
    4. $\displaystyle A<12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$
    5. $\displaystyle B<12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$
訣竅
本題之關鍵在於注意到盡早存入的金錢可以獲得更多的利息。
解法
1. 由於乙盡早把錢都存入，因此它獲得的本利和較多，故有$B>A$，本選項正確。

   舉例言之，乙第一個月存入兩千元，我們可視之為兩個一千元，則兩個一千元皆會計習；反之甲第一個月存入一千元，則計息時只有考慮該一千元，而第二個月存入的一千元則少了一次計算利息。

2. 由於甲每個月都存入一千元，將存入$12$個月，可試想甲有$12$帳戶可分別存入金錢，第一個帳戶存入的$1000$將計息$12$次，第二個帳戶的$1000$元將計息$11$次，依此類推，乃至第十二個帳戶的$1000$元將計息$1$次後得

   $\displaystyle A=1000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}+1000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{11}+\cdots+1000\cdot\frac{1005}{1000}=1000\sum_{k=1}^{12}\left(\frac{1005}{1000}\right)^k$

   故本選項正確。
3. 由於甲每兩個月都存入兩千元，將存入$12$個月，可試想甲有$6$帳戶可分別存入金錢，第一個帳戶存入的$2000$將計息$12$次，第二個帳戶的$2000$元將計息$10$次，依此類推，乃至第六個帳戶的$2000$元將計息$2$次後得

   $\displaystyle A=2000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}+2000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{10}+\cdots+2000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^2=2000\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{1005}{1000}\right)^{2k}$

   故本選項正確。
4. 注意到$\displaystyle12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$代表將$12000$元全額於一開始就存入銀行計息$12$個月，因此此值將比甲所獲得的本利和大，本選項正確。
5. 注意到$\displaystyle12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$代表將$12000$元全額於一開始就存入銀行計息$12$個月，因此此值將比乙所獲得的本利和大，本選項正確。
由以上的分析可知應選(1)(2)(3)(4)(5)。


12. 在$\bigtriangleup ABC$中，下列哪些選項的條件有可能成立？
    1. $\displaystyle\sin A=\sin B=\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$
    2. $\sin A,\sin B,\sin C$均小於$\displaystyle\frac{1}{2}$
    3. $\sin A,\sin B,\sin C$均大於$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$
    4. $\displaystyle\sin A=\sin B=\sin C=\frac{1}{2}$
    5. $\displaystyle\sin A=\sin B=\frac{1}{2}$，$\displaystyle\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$
訣竅
由於正弦的取值可能為銳角或鈍角，藉由常見的三角函數值試探之。
解法
1. 取$A=B=C=60^\circ$即可，因此本選項可能成立。
2. $\displaystyle\sin\theta<\frac{1}{2}$表明$0^\circ<\theta<30^\circ$或$150^\circ<\theta<180^\circ$。取$A=B=10^\circ$、$C=160^\circ$即可，因此本選項可能成立。
3. $\displaystyle\sin\theta>\frac{\sqrt{3}}{2}$表明$60^\circ<\theta<120^\circ$，由此可知本選項是不可能的。假若有一個三角形滿足該條件，則$A,B,C>60^\circ$，如此有$A+B+C>180^\circ$，這是一個矛盾。
4. $\displaystyle\sin\theta=\frac{1}{2}$表明$\theta=30^\circ$或$\theta=150^\circ$，由此可知本選項是不可能的。一個三角形至多一個鈍角，假若沒有鈍角，則三個角應皆為$30^\circ$，不可能；假若有一個鈍角，則該鈍角為$150^\circ$，則其餘銳角為$30^\circ$，亦不可能。
5. 取$A=B=30^\circ$，$C=120^\circ$即可，因此本選項可能成立。
由上述分析可知應選(1)(2)(5)。

第二部分：填充題

說明：

1. 第$A$至$H$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-32)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花台，此花台在窗口的中央往外伸出$72$公分，窗口的寬度是$168$公分。則此圓弧的圓半徑為$\underline{⑬⑭}$公分。
   
訣竅
釐清圓心之位置後運用畢氏定理求出$r$之值。
解法
由於窗口寬度為$168$公分，這表明直徑至少有$168$公分，從而半徑至少有$84$公分。如此可知圓心位置在光台內並記為$O$，而窗口記為$\overline{AB}$，其中點記為$M$。那麼$\bigtriangleup OAM$形成直角三角形，其三邊長分別為$r$、$84$、$r-72$。依據畢氏定理可得
$r^2=84^2+\left(r-72\right)^2$
展開並同時減去去$r^2$有$84^2-2\cdot72\cdot r+72^2=0$，因此
$\displaystyle r=\frac{72^2+84^2}{2\cdot72}=\frac{72\cdot6+84\cdot7}{2\cdot6}=36+49=85$
故填$⑬=8$、$⑭=5$。


2. $2^{20}-1$與$2^{19}+1$的最大公因數為$\underline{⑮}$。
訣竅
用輾轉相除法求最大公因數。
解法
以$2^{19}+1$除$2^{20}-1$有
$2^{20}-1=\left(2^{19}+1\right)\cdot2-3$
又$2^{19}+1$確實為$3$之倍數，因此最大公因數為$3$。故填$⑮=3$。


3. 某公司民國$85$年營業額為$4$億元，民國$86$年營業額為$6$億元，該年的成長率為$50\%$。$87$、$88$、$89$三年的成長率皆相同，且民國$89$年的營業額為$48$億元。則該公司$89$年的成長率為$\underline{⑯⑰⑱}\%$。
訣竅
直接計算即可。
解法
設成長率為$r$，那麼$6\cdot\left(1+r\right)^3=48$，故$\left(1+r\right)^3=8$，即$1+r=2$，解得$r=1$，這表明成長率為$100\%$，因此填入$⑯=1$、$⑰=0$、$⑱=0$。


4. 在一個圓的圓周上，平均分佈了$60$個洞，兩洞間稱為一間隔。在$A$洞打上一支木樁並綁上線，然後依逆時針方向前進每隔$9$個間隔就再打一支木樁，並綁上線，依此繼續操作，如右圖所示。試問輪回到$A$洞需再打樁前，總共已經打了幾支木樁？答：$\underline{⑲⑳}$支。
   
訣竅
假設打了$n$支木樁，依據條件可列出等式，其中應利用正整數的特性來進一步確定出$n$之值。
解法
設打了$n$支木樁，並且設此時所繞支圈數為$m$，那麼有$9n=60m$，即有$3n=20m$。由於$20m$是$3$的倍數，故$m$為$3$之倍數，取其最小為$m=3$，此時$n=20$。因此填入$⑲=2$、$⑳=0$。


5. 某次網球比賽共有$128$位選手參加，採單淘汰制，每輪淘汰一半的選手，剩下一半的選手進入下一輪。在第$1$輪被淘汰的選手可獲得$1$萬元，在第$2$輪被淘汰的選手可獲得$2$萬元，在第$k$輪被淘汰的選手可獲得$2^{k-1}$萬元，而冠軍則可獲得$128$萬元。試問全部比賽獎金共多少萬元？答：$\underline{㉑㉒㉓}$萬元。
訣竅
直接運算即可。
解法
直接列式並計算如下
$64\cdot1+32\cdot2+16\cdot4+8\cdot8+4\cdot16+2\cdot32+1\cdot64+1\cdot128=64\cdot7+128=576$(萬元)
故填$㉑=5$、$㉒=7$、$㉓=6$。


6. 某人隔河測一山高，在$A$點觀測山時，山的方位為東偏北$60^\circ$，山頂的仰角為$45^\circ$，某人自$A$點向東行$600$公尺到達$B$點，山的方位變成在西偏北$60^\circ$，則山有多高？答：$\underline{㉔㉕㉖}$公尺。
訣竅
設定適當的變數後將立體幾何問題化為平面幾何問題，隨後運用餘弦定理解題。
解法
設山頂為$H$點，山腰為$O$以及山高為$\overline{OH}=h$。按題設連$\overline{OA}$與$\overline{AH}$，由$\bigtriangleup OAH$為直角三角形且仰角為$45^\circ$，因此$\overline{OA}=h$。現留意平面上的三角形$\bigtriangleup OAB$，按題設有$\angle BAO=60^\circ$、$\overline{AB}=600$公尺、$\angle ABO=60^\circ$。可以發現此三角形為等角三角形（三個角皆為$60^\circ$），因此為正三角形，故$h=\overline{OA}=600$公尺。填入$㉔=6$、$㉕=0$、$㉖=0$。


7. 有一群體有九位成員，其身高分別為(單位：公分)

   $160,~163,~166,~170,~172,~174,~176,~178,~180,$

   此九人的平均身高為$171$公分。今隨機抽樣$3$人，則抽到$3$人的平均身高等於母體平均身高的機率為$\displaystyle\underline{　\frac{㉗}{㉘㉙}　}$。(化成最簡分數)
訣竅
由於數據較為大，計算較為不易，可先透過平移後始數據變小後再計算平均。
解法
九人取三人之方法數有$C_3^9=84$種。欲找出三人組合使其平均為$171$，我們可先將原始數據皆減去$171$後找三人組合平均為$0$：
$-11,~-8,~-5,~-1,~1,~3,~5,~7,9$
為了使三數平均為$0$，那麼便是要找三數之和為$0$。特別留意，奇數與奇數之和為偶數，而偶數與奇數之和為奇數，且$0$為偶數，這表明我們需要使用三個偶數或一個偶數配合兩個奇數。因此必須使用數字$-8$，從而另外兩個數可為「$-1$與$9$」或「$1$與$7$」或「$3$與$5$」，共三種情形。因此其機率為$\displaystyle\frac{3}{84}=\frac{1}{28}$，故$㉗=1$、$㉘=2$、$㉙=8$。


8. 右圖為一正立方體，被一平面截出一個四邊形$ABCD$，其中$B,D$分別為稜的中點，且$\overline{EA}:\overline{AF}=1:2$，則$\displaystyle\cos\angle DAB=\underline{　\frac{㉚}{㉛㉜}　}$。(化成最簡分數)
   
訣竅
設定空間坐標後運用向量內積求解。
解法
如題目所給定之圖，設$F=\left(0,0,0\right)$、$E=\left(0,0,6\right)$、$A=\left(0,0,4\right)$、$B=\left(6,0,3\right)$、$D=\left(0,6,3\right)$。那麼向量$\overset{\rightharpoonup}{AB}=\left(6,0,-1\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{AD}=\left(0,6,-1\right)$，則所求角度的餘弦值可運用內積計算如下
$\displaystyle\cos\angle DAB=\frac{\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AD}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{AB}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{AD}\right|}=\frac{\left(6,0,-1\right)\cdot\left(0,6,-1\right)}{\left|\left(6,0,-1\right)\right|\left|\left(0,6,-1\right)\right|}=\frac{1}{37}$
因此填入$㉚=1$、$㉛=3$、$㉜=7$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
4. $\bigtriangleup ABC$的正弦與餘弦定理
   (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，$R$為外接圓半徑（正弦定理）
   (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定理）
5. 統計公式
   算術平均數　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標準差　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{X}^2}$
   相關係數　$\displaystyle r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{n\cdot S_XS_Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)^2\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\bar{Y}\right)^2}}$
   其中$S_X$為隨機變數$X$之標準差，$S_Y$為隨機變數$Y$之標準差

6. 常態分佈的資料對稱於平均數$M$。且當標準差為$S$時，該資料大約有$68\%$ 落在區間$\left(M-S,M+S\right)$內，約有$95\%$落在區間$\left(M-2S,M+2S\right)$內，約有$99.7\%$落在區間$\left(M-3S,M+3S\right)$內。
7. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
8. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$
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