2018年6月19日 星期二

九十一學年度數學學科能力測驗

大學入學考試中心
九十一學年度學科能力測驗試題

數學考科



-作答注意事項-

  1. 考試時間:$100$分鐘
  2. 題型題數:單一選擇題$6$題,多重選擇題$6$題,填充題第$A$至$H$題共$8$題
  3. 作答方式:
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答,修正時應以橡皮擦拭,切勿使用修正液
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明:在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時,只用$1$,$2$,$3$,$4$,$5$等五個格子,而不需要用到$-$,$±$,以及$6$,$7$,$8$,$9$,$0$等格子。
      例:若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$,而正確的答案為$7$,亦即選項(3)時,考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記(注意不是$7$)如:

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例:若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時,考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記,如:

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

    2. 填充題的題號是A,B,C,……,而答案的格式每題可能不同,考生必須依各題的格式填答,且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例:若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$,而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$,則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記,如:

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例:若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$,而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時,則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記,如:

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值


第一部分:選擇題
  1. 單一選擇題
  2. 說明:第$1$至$8$題,每題選出最適當的一個選項,標示在答案卡之「解答欄」,每題答對得$5$分,答錯不倒扣。
    1. 設$P\left(x,y\right)$為坐標平面上一點,且滿足

      $\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2}=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(4-2\right)^2}$

      那麼$P$點的位置在哪裡?
      1. 第一象限
      2. 第二象限
      3. 第三象限
      4. 第四象限
      5. $x$軸或$y$軸上
    2. 訣竅考慮方程的幾何意義便可解答問題。
      解法記$A=\left(1,2\right)$、$B=\left(3,4\right)$,則該方程等價於$\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{AB}$,此表明$P$落在$\overline{AB}$上。又$A$與$B$皆在第一象限中,因此$\overline{AB}$也落於第一象限內,從而$P$也落於此,應選(1)。

    3. 一群登山友,在山上發現一顆巨樹,隊中$10$位身高$170$公分的男生,手拉著手剛好環抱大樹一圈。問樹幹的直徑最接近下列何值?
      1. $3$公尺
      2. $5$公尺
      3. $7$公尺
      4. $9$公尺
      5. $11$公尺
    4. 訣竅依據卷末所附的圖可知手臂寬與身高之關係,並且根據圓周長與直徑的關係求解。
      解法根據參考公式9之附圖可推知身高與手臂寬近乎相等,因此$10$位身高$170$公分的男生手拉著手環抱大樹一圈時,其圓周長近乎為$1700$公分,從而直徑約為$\displaystyle\frac{1700}{\pi}\approx541.1268$公分,即約莫$5.41$公尺,應選(2)。

    5. 如圖,下面哪一選項中的向量與另兩個向量$\overset{\rightharpoonup}{PO}$、$\overset{\rightharpoonup}{QO}$之和等於零向量?
      1. $\overset{\rightharpoonup}{AO}$
      2. $\overset{\rightharpoonup}{BO}$
      3. $\overset{\rightharpoonup}{CO}$
      4. $\overset{\rightharpoonup}{DO}$
      5. $\overset{\rightharpoonup}{EO}$
    6. 訣竅利用向量的座標表示法進行計算即可。
      解法利用圖中描述的坐標系,$\overset{\rightharpoonup}{PO}=\left(2,3\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{QO}=\left(-5,2\right)$,因此$\overset{\rightharpoonup}{PO}+\overset{\rightharpoonup}{QO}=\left(-3,5\right)$。如此與向量$\left(3,-5\right)$之和將為零向量。由圖可看出$\overset{\rightharpoonup}{CO}=\left(3,-5\right)$,此即所求,應選(3)。

    7. 若某校$1000$位學生的數學段考成績平均分數是$65.24$分,樣本標準差是$5.24$分,而且已知成績分佈呈現常態分配。試問全校約有多少人數學成績低於$60$分?
      1. 約$80$人
      2. 約$160$人
      3. 約$240$人
      4. 約$320$人
      5. 約$400$人
    8. 訣竅可以觀察數據知道要詢問的是低於一個標準差所占人數之比例。
      解法由於介在平均增減一個標準差內的人數約為總人數的$68\%$。由於對稱性可知介在$60$分至$65.24$分約為$34\%$。同樣由對稱性可知低於$60$分的人數約為$16\%$,故約$160$人左右,應選(2)。

    9. 試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述右圖較恰當?
      1. $\left(x-2\right)^2-2$
      2. $2\sin\left(x\right)+2$
      3. $2\cos\left(x\right)$
      4. $-0.5\left(x-2\right)^2+4$
      5. $3-2^x$
    10. 訣竅針對各個選項的特點與圖形比較即可知道何者最為恰當。
      解法
      1. 由於$\left(x-2\right)^2-2$的凹口向上,因此不可能是這個選項。
      2. 若此圖形為正弦函數,則平衡位值為$y=2$,那麼該圖形在$y=2$之下應為凹口向上,此與圖形不符。
      3. 餘弦函數在$x>0$時會先遞減後才遞增,與圖形不符。
      4. 描點繪製可知凹口向下的二次函數與本題圖形最為相似。
      5. 當$x=0$時$3-2^x$的值為$1$,因此過$\left(0,1\right)$與圖形不合。
      由分析可知應選(4)。

    11. 在坐標平面上有一橢圓,它的長軸落在$x$軸上,短軸落在$y$軸上,長軸、短軸的長度分別為$4$、$2$。如圖所示,通過橢圓的中心$O$且與$x$軸夾角為$45$度的直線在第一象限跟橢圓相交於$P$。則此交點$P$與中心$O$的距離為
      1. $1.5$
      2. $\sqrt{1.6}$
      3. $\sqrt{2}$
      4. $\sqrt{2.5}$
      5. $\sqrt{3.2}$
    12. 訣竅運用橢圓的標準式解聯立後求得$P$點坐標後即可求$\overline{OP}$。
      解法由於長軸、短軸的長度分別為$4$、$2$,因此$2a=4$、$2b=2$。又因長軸落於$x$軸上、短軸落於$y$軸上,因此中心為$\left(0,0\right)$,且可知橢圓方程為

      $\displaystyle\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$

      如此與$y=x$解聯立,運用代入消去法可得

      $\displaystyle\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{1}=1$

      亦即有$\displaystyle x^2=\frac{4}{5}$。由於$P$點位於第一象限,因此坐標為$\displaystyle P=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$。故

      $\displaystyle\overline{OP}=\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{4}{5}}=\sqrt{1.6}$

      應選(2)。
  3. 多重選擇題
  4. 說明:第$7$至第$12$題,每題至少有一個選項是正確的,選出正確選項,標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分,答錯不倒扣,未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分,錯兩個或兩個以上不給分。
    1. 若實數$a,b,c$滿足$abc>0$,$ab+bc+ca<0$,$a+b+c>0$,$a>b>c$,則下列選項何者為真?
      1. $a>0$
      2. $b>0$
      3. $c>0$
      4. $\left|a\right|>\left|b\right|$
      5. $a^2>c^2$
    2. 訣竅藉由條件進行嚴謹的邏輯推理始能推斷各選項的真確性。
      解法由於實數$a,b,c$滿足$abc>0$,這表明$a,b,c$全為正或一正兩負。又因$ab+bc+ca<0$可推知不可能全為正數,這就說明$a,b,c$中恰有一個正數兩個負數。再因$a>b>c$能知道$a>0>b>c$。至此可知選項(1)正確而選項(2)(3)錯誤。

      由前一段的分析,並配合$a+b+c>0$,我們有

      $a>-b-c>-b>0$

      故$\left|a\right|=a>-b=\left|b\right|$,這便說明了選項(4)正確。運用相同的道理可得$a>-c>0$,同取平方即有$a^2>c^2$,故選項(5)正確。

      經由以上的討論可知應選(1)(4)(5)。

    3. 一機器狗每秒鐘前進或者後退一步,程式設計師讓機器狗以前進$3$步,然後再後退$2$步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點,面向正的方向,以$1$步的距離為$1$單位長。令$P\left(n\right)$表示第$n$秒時機器狗所在位置的坐標,且$P\left(0\right)=0$。那麼下列選項何者為真?
      1. $P\left(3\right)=3$
      2. $P\left(5\right)=1$
      3. $P\left(10\right)=2$
      4. $P\left(101\right)=21$
      5. $P\left(103\right)<P\left(104\right)$
    4. 訣竅觀察機器狗的移動規律,應特別留意關於每五秒所呈現的週期性規律。
      解法可以知道機器狗每五秒將前進一單位,這表明$P\left(5k\right)=k$,其中$k$為非負整數,進而可知$P\left(5k+1\right)=k+1$、$P\left(5k+2\right)=P\left(5k+4\right)=k+2$、$P\left(5k+3\right)=k+3$。據此可直接知道
      1. 取$k=0$有$P\left(3\right)=3$,正確。
      2. 取$k=1$有$P\left(5\right)=1$,正確。
      3. 取$k=2$有$P\left(10\right)=2$,正確。
      4. 取$k=20$有$P\left(101\right)=21$,正確。
      5. 取$k=20$有$P\left(103\right)=23$,而$P\left(104\right)=22$,錯誤。
      由以上可知應選(1)(2)(3)(4)。

    5. 下列哪些選項與方程組$\left\{\begin{aligned} &2x+y+3z=0\\&4x+3y+6z=0\end{aligned}\right.$的解集合相同?
      1. $y=0$
      2. $\left\{\begin{aligned} &2x+3z=0\\&y=0\end{aligned}\right.$
      3. $x=y=0$
      4. $\left\{\begin{aligned} &x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}z=0\\&4x+3y+6z=0\end{aligned}\right.$
      5. $\left\{\begin{aligned} &6x+4y+9z=0\\&2x+y+3z=0\end{aligned}\right.$
    6. 訣竅留意三元一次方程所代表的幾何意義。
      解法題幹所述之方程組為空間中的非平行的兩平面相交於一直線。
      1. 此選項表為$xz$平面,因此與直線集合不相同。或者也可以注意到$\left(1,0,0\right)$滿足$y=0$但並不滿足題幹的方程組。
      2. 由於題幹之方程可藉由第一式乘以$2$倍後減去第二式而得到$y=0$,隨後代入第一式便有$2x+3z=0$。反之,由於$y=0$可由$2x+3z=0$推論出$2x+y+3z=0$;並且也能推出$4x+6z=0$,進而有$4x+3y+6z=0$。由於兩方程組可互相推論獲得,因此解集合相同。
      3. $x=y=0$為$z$軸,此與方程組所表達的直線不同。如$\left(-3,0,2\right)$滿足題幹所述之方程組但並不符合此方程。
      4. 可以注意到題幹的方程的第一式除以$2$可得該選項之第一式,反之乘以$2$可得題幹的第一式。由於兩方程組可互相推論獲得,因此解集合相同。
      5. 題幹方程兩式相加可得此選項之第一式;反之選項中的第一式減去第二式可得題幹的第一式。由於兩方程組可互相推論獲得,因此解集合相同。

    7. 觀察相關的函數圖形,判斷下列選項何者為真?
      1. $10^x=x$有實數解
      2. $10^x=x^2$有實數解
      3. $x$為實數時,$10^x>x$恆成立
      4. $x>0$時,$10^x>x^2$恆成立
      5. $10^x=-x$有實數解
    8. 訣竅細心的描點作圖始能判別各選項是否正確。
      解法作圖如下
      1. 由圖可知$y=10^x$與$y=x$無交點,因此$10^x=x$無實數解,故本選項錯誤。
      2. 由圖可見交點,故$10^x=x^2$有實數解,本選項正確。
      3. 由圖可發現$y=10^x$的圖形均在$y=x$的上方,因此對所有實數$x$恆有$10^x>x$,故本選項正確。
      4. 由圖可知當$x>0$時$y=10^x$的圖形均在$y=x^2的上方,因此對所有正數$x$恆有$10^x>x^2$,故本選項正確。
      5. 如圖可見$y=10^x$與$y=-x$有交點,因此本選項正確。
      由以上分析可知應選(2)(3)(4)(5)。

    9. 某甲自$89$年$7$月起,每月$1$日均存入銀行$1000$元,言明以月利率$0.5\%$按月複利計息,到$90$年$7$月$1$日提出。某乙則於$89$年$7$月起,每單月(一月、三月、五月…)$1$日均存入銀行$2000$元,亦以月利率$0.5\%$按月複利計息,到$90$年$7$月$1$日提出。一整年中,兩人都存入本金$12000$元。提出時,甲得本利和$A$元,乙得本利和$B$元。問下列選項何者為真?
      1. $\displaystyle B>A$
      2. $\displaystyle A=1000\left[\sum_{k=1}^{12}\left(\frac{1005}{1000}\right)^k\right]$
      3. $\displaystyle B=2000\left[\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{1005}{1000}\right)^{2k}\right]$
      4. $\displaystyle A<12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$
      5. $\displaystyle B<12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$
    10. 訣竅本題之關鍵在於注意到盡早存入的金錢可以獲得更多的利息。
      解法
      1. 由於乙盡早把錢都存入,因此它獲得的本利和較多,故有$B>A$,本選項正確。

        舉例言之,乙第一個月存入兩千元,我們可視之為兩個一千元,則兩個一千元皆會計習;反之甲第一個月存入一千元,則計息時只有考慮該一千元,而第二個月存入的一千元則少了一次計算利息。

      2. 由於甲每個月都存入一千元,將存入$12$個月,可試想甲有$12$帳戶可分別存入金錢,第一個帳戶存入的$1000$將計息$12$次,第二個帳戶的$1000$元將計息$11$次,依此類推,乃至第十二個帳戶的$1000$元將計息$1$次後得

        $\displaystyle A=1000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}+1000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{11}+\cdots+1000\cdot\frac{1005}{1000}=1000\sum_{k=1}^{12}\left(\frac{1005}{1000}\right)^k$

        故本選項正確。
      3. 由於甲每兩個月都存入兩千元,將存入$12$個月,可試想甲有$6$帳戶可分別存入金錢,第一個帳戶存入的$2000$將計息$12$次,第二個帳戶的$2000$元將計息$10$次,依此類推,乃至第六個帳戶的$2000$元將計息$2$次後得

        $\displaystyle A=2000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}+2000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^{10}+\cdots+2000\cdot\left(\frac{1005}{1000}\right)^2=2000\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{1005}{1000}\right)^{2k}$

        故本選項正確。
      4. 注意到$\displaystyle12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$代表將$12000$元全額於一開始就存入銀行計息$12$個月,因此此值將比甲所獲得的本利和大,本選項正確。
      5. 注意到$\displaystyle12000\left(\frac{1005}{1000}\right)^{12}$代表將$12000$元全額於一開始就存入銀行計息$12$個月,因此此值將比乙所獲得的本利和大,本選項正確。
      由以上的分析可知應選(1)(2)(3)(4)(5)。

    11. 在$\bigtriangleup ABC$中,下列哪些選項的條件有可能成立?
      1. $\displaystyle\sin A=\sin B=\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$
      2. $\sin A,\sin B,\sin C$均小於$\displaystyle\frac{1}{2}$
      3. $\sin A,\sin B,\sin C$均大於$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$
      4. $\displaystyle\sin A=\sin B=\sin C=\frac{1}{2}$
      5. $\displaystyle\sin A=\sin B=\frac{1}{2}$,$\displaystyle\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$
    12. 訣竅由於正弦的取值可能為銳角或鈍角,藉由常見的三角函數值試探之。
      解法
      1. 取$A=B=C=60^\circ$即可,因此本選項可能成立。
      2. $\displaystyle\sin\theta<\frac{1}{2}$表明$0^\circ<\theta<30^\circ$或$150^\circ<\theta<180^\circ$。取$A=B=10^\circ$、$C=160^\circ$即可,因此本選項可能成立。
      3. $\displaystyle\sin\theta>\frac{\sqrt{3}}{2}$表明$60^\circ<\theta<120^\circ$,由此可知本選項是不可能的。假若有一個三角形滿足該條件,則$A,B,C>60^\circ$,如此有$A+B+C>180^\circ$,這是一個矛盾。
      4. $\displaystyle\sin\theta=\frac{1}{2}$表明$\theta=30^\circ$或$\theta=150^\circ$,由此可知本選項是不可能的。一個三角形至多一個鈍角,假若沒有鈍角,則三個角應皆為$30^\circ$,不可能;假若有一個鈍角,則該鈍角為$150^\circ$,則其餘銳角為$30^\circ$,亦不可能。
      5. 取$A=B=30^\circ$,$C=120^\circ$即可,因此本選項可能成立。
      由上述分析可知應選(1)(2)(5)。
第二部分:填充題
說明:
  1. 第$A$至$H$題,將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-32)處。
  2. 每題完全答對給$5$分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
  1. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花台,此花台在窗口的中央往外伸出$72$公分,窗口的寬度是$168$公分。則此圓弧的圓半徑為$\underline{⑬⑭}$公分。
  2. 訣竅釐清圓心之位置後運用畢氏定理求出$r$之值。
    解法由於窗口寬度為$168$公分,這表明直徑至少有$168$公分,從而半徑至少有$84$公分。如此可知圓心位置在光台內並記為$O$,而窗口記為$\overline{AB}$,其中點記為$M$。那麼$\bigtriangleup OAM$形成直角三角形,其三邊長分別為$r$、$84$、$r-72$。依據畢氏定理可得

    $r^2=84^2+\left(r-72\right)^2$

    展開並同時減去去$r^2$有$84^2-2\cdot72\cdot r+72^2=0$,因此

    $\displaystyle r=\frac{72^2+84^2}{2\cdot72}=\frac{72\cdot6+84\cdot7}{2\cdot6}=36+49=85$

    故填$⑬=8$、$⑭=5$。

  3. $2^{20}-1$與$2^{19}+1$的最大公因數為$\underline{⑮}$。
  4. 訣竅用輾轉相除法求最大公因數。
    解法以$2^{19}+1$除$2^{20}-1$有

    $2^{20}-1=\left(2^{19}+1\right)\cdot2-3$

    又$2^{19}+1$確實為$3$之倍數,因此最大公因數為$3$。故填$⑮=3$。

  5. 某公司民國$85$年營業額為$4$億元,民國$86$年營業額為$6$億元,該年的成長率為$50\%$。$87$、$88$、$89$三年的成長率皆相同,且民國$89$年的營業額為$48$億元。則該公司$89$年的成長率為$\underline{⑯⑰⑱}\%$。
  6. 訣竅直接計算即可。
    解法設成長率為$r$,那麼$6\cdot\left(1+r\right)^3=48$,故$\left(1+r\right)^3=8$,即$1+r=2$,解得$r=1$,這表明成長率為$100\%$,因此填入$⑯=1$、$⑰=0$、$⑱=0$。

  7. 在一個圓的圓周上,平均分佈了$60$個洞,兩洞間稱為一間隔。在$A$洞打上一支木樁並綁上線,然後依逆時針方向前進每隔$9$個間隔就再打一支木樁,並綁上線,依此繼續操作,如右圖所示。試問輪回到$A$洞需再打樁前,總共已經打了幾支木樁?答:$\underline{⑲⑳}$支。
  8. 訣竅假設打了$n$支木樁,依據條件可列出等式,其中應利用正整數的特性來進一步確定出$n$之值。
    解法設打了$n$支木樁,並且設此時所繞支圈數為$m$,那麼有$9n=60m$,即有$3n=20m$。由於$20m$是$3$的倍數,故$m$為$3$之倍數,取其最小為$m=3$,此時$n=20$。因此填入$⑲=2$、$⑳=0$。

  9. 某次網球比賽共有$128$位選手參加,採單淘汰制,每輪淘汰一半的選手,剩下一半的選手進入下一輪。在第$1$輪被淘汰的選手可獲得$1$萬元,在第$2$輪被淘汰的選手可獲得$2$萬元,在第$k$輪被淘汰的選手可獲得$2^{k-1}$萬元,而冠軍則可獲得$128$萬元。試問全部比賽獎金共多少萬元?答:$\underline{㉑㉒㉓}$萬元。
  10. 訣竅直接運算即可。
    解法直接列式並計算如下

    $64\cdot1+32\cdot2+16\cdot4+8\cdot8+4\cdot16+2\cdot32+1\cdot64+1\cdot128=64\cdot7+128=576$(萬元)

    故填$㉑=5$、$㉒=7$、$㉓=6$。

  11. 某人隔河測一山高,在$A$點觀測山時,山的方位為東偏北$60^\circ$,山頂的仰角為$45^\circ$,某人自$A$點向東行$600$公尺到達$B$點,山的方位變成在西偏北$60^\circ$,則山有多高?答:$\underline{㉔㉕㉖}$公尺。
  12. 訣竅設定適當的變數後將立體幾何問題化為平面幾何問題,隨後運用餘弦定理解題。
    解法設山頂為$H$點,山腰為$O$以及山高為$\overline{OH}=h$。按題設連$\overline{OA}$與$\overline{AH}$,由$\bigtriangleup OAH$為直角三角形且仰角為$45^\circ$,因此$\overline{OA}=h$。現留意平面上的三角形$\bigtriangleup OAB$,按題設有$\angle BAO=60^\circ$、$\overline{AB}=600$公尺、$\angle ABO=60^\circ$。可以發現此三角形為等角三角形(三個角皆為$60^\circ$),因此為正三角形,故$h=\overline{OA}=600$公尺。填入$㉔=6$、$㉕=0$、$㉖=0$。

  13. 有一群體有九位成員,其身高分別為(單位:公分)

    $160,~163,~166,~170,~172,~174,~176,~178,~180,$

    此九人的平均身高為$171$公分。今隨機抽樣$3$人,則抽到$3$人的平均身高等於母體平均身高的機率為$\displaystyle\underline{ \frac{㉗}{㉘㉙} }$。(化成最簡分數)
  14. 訣竅由於數據較為大,計算較為不易,可先透過平移後始數據變小後再計算平均。
    解法九人取三人之方法數有$C_3^9=84$種。欲找出三人組合使其平均為$171$,我們可先將原始數據皆減去$171$後找三人組合平均為$0$:

    $-11,~-8,~-5,~-1,~1,~3,~5,~7,9$

    為了使三數平均為$0$,那麼便是要找三數之和為$0$。特別留意,奇數與奇數之和為偶數,而偶數與奇數之和為奇數,且$0$為偶數,這表明我們需要使用三個偶數或一個偶數配合兩個奇數。因此必須使用數字$-8$,從而另外兩個數可為「$-1$與$9$」或「$1$與$7$」或「$3$與$5$」,共三種情形。因此其機率為$\displaystyle\frac{3}{84}=\frac{1}{28}$,故$㉗=1$、$㉘=2$、$㉙=8$。

  15. 右圖為一正立方體,被一平面截出一個四邊形$ABCD$,其中$B,D$分別為稜的中點,且$\overline{EA}:\overline{AF}=1:2$,則$\displaystyle\cos\angle DAB=\underline{ \frac{㉚}{㉛㉜} }$。(化成最簡分數)
  16. 訣竅設定空間坐標後運用向量內積求解。
    解法如題目所給定之圖,設$F=\left(0,0,0\right)$、$E=\left(0,0,6\right)$、$A=\left(0,0,4\right)$、$B=\left(6,0,3\right)$、$D=\left(0,6,3\right)$。那麼向量$\overset{\rightharpoonup}{AB}=\left(6,0,-1\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{AD}=\left(0,6,-1\right)$,則所求角度的餘弦值可運用內積計算如下

    $\displaystyle\cos\angle DAB=\frac{\overset{\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AD}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{AB}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{AD}\right|}=\frac{\left(6,0,-1\right)\cdot\left(0,6,-1\right)}{\left|\left(6,0,-1\right)\right|\left|\left(0,6,-1\right)\right|}=\frac{1}{37}$

    因此填入$㉚=1$、$㉛=3$、$㉜=7$。

參考公式及可能用到的數值

  1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解:$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$,$r\neq1$。
  4. $\bigtriangleup ABC$的正弦與餘弦定理
    (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$,$R$為外接圓半徑(正弦定理)
    (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$  (餘弦定理)
  5. 統計公式
    算術平均數 $\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
    標準差 $\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{X}^2}$
    相關係數 $\displaystyle r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{n\cdot S_XS_Y}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)\left(y_i-\bar{Y}\right)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{X}\right)^2\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-\bar{Y}\right)^2}}$
    其中$S_X$為隨機變數$X$之標準差,$S_Y$為隨機變數$Y$之標準差

  6. 常態分佈的資料對稱於平均數$M$。且當標準差為$S$時,該資料大約有$68\%$ 落在區間$\left(M-S,M+S\right)$內,約有$95\%$落在區間$\left(M-2S,M+2S\right)$內,約有$99.7\%$落在區間$\left(M-3S,M+3S\right)$內。
  7. 參考數值:$\sqrt{2}\approx1.414$; $\sqrt{3}\approx1.732$; $\sqrt{5}\approx2.236$; $\sqrt{6}\approx2.449$; $\pi\approx3.142$
  8. 對數值:$\log_{10}2\approx0.3010$,$\log_{10}3\approx0.4771$,$\log_{10}5\approx0.6990$,$\log_{10}7\approx0.8451$

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