九十三學年度數學學科能力測驗

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九十三學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單一選擇題$6$題，多重選擇題$5$題，填充題第$A$至$I$題共$9$題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值、參考數值與常用對數表

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第一部分：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第$1$至$6$題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
1. 已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為$15$，偶數項之和為$30$，則下列哪一選項為此數列之公差？
   1. $1$
   2. $2$
   3. $3$
   4. $4$
   5. $5$
訣竅
按等差數列的特性將兩個級數相減後可獲得關於公差的資訊。
解法
由題設可得兩式
$\begin{aligned} &a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=15,\\&a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=30\end{aligned}$
第二式減去第一式可得$5d=15$，其中$d$為公差，如此解得$d=3$，應選(3)。


2. 下列選項中的數，何者最大？　　［其中$n!=n\times\left(n-1\right)\times\cdots\times2\times1$］
   1. $100^{10}$
   2. $10^{100}$
   3. $50^{50}$
   4. $50!$
   5. $\displaystyle\frac{100!}{50!}$
訣竅
試圖改寫為$50$個數字的相乘後觀察其中的數字大小後來判斷之。
解法

首先可以注意到$100^{10}=10^{20}$，故小於$10^{100}$，再者$10^{100}=100^{50}>50^{50}$，故在選項(1)(2)(3)中以選項(2)最大。

再者，$50^{50}$表$50$自乘$50$次而$50!=1\times2\times\cdots\times50$，從而$50^{50}>50!$。至此可知在選項(1)(2)(3)(4)中以選項(2)最大。

最後，注意到$10^{100}=100^{50}$，即$100$自乘$50$次，而$\displaystyle\frac{100!}{50!}=51\times52\times\cdots\times100$，從而選項(2)最大，應選(2)。



3. 右圖陰影部分所示為複數平面上區域

   $\displaystyle A=\left\{z:z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right),~0\leq r\leq1,~\frac{3\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{5\pi}{4}\right\}$

   之略圖。
   
   令$D=\left\{w:w=z^3,~z\in A\right\}$，試問下列選項中之略圖，何者之陰影部分與區域$D$最接近？
   
訣竅
利用棣美弗定理求出$D$所指示的區域。
解法
利用棣美弗定理可知
$\displaystyle\begin{aligned}D=&\left\{w:w=r^3\left(\cos3\theta+i\sin3\theta\right),~0\leq r\leq1,~\frac{3\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{5\pi}{4}\right\}\\=&\left\{w:w=s\left(\cos\phi+i\sin\phi\right),~0\leq s\leq1,~\frac{9\pi}{4}\leq\phi\leq\frac{15\pi}{4}\right\}\\=&\left\{w:w=s\left(\cos\phi+i\sin\phi\right),~0\leq s\leq1,~\frac{\pi}{4}\leq\phi\leq\frac{7\pi}{4}\right\}\end{aligned}$
亦即$D$為長度不超過$1$且幅角介於$\displaystyle\frac{\pi}{4}$、$\displaystyle\frac{7\pi}{4}$的區域，故選(5)。


4. 在坐標空間中給定兩點$A\left(1,2,3\right)$與$B\left(7,6,5\right)$。令$S$為$xy$-平面上所有使得向量$\overset{\rightharpoonup}{PA}$垂直於向量$\overset{\rightharpoonup}{PB}$的$P$點所成的集合，則
   1. $S$為空集合
   2. $S$恰含一點
   3. $S$恰含兩點
   4. $S$為一線段
   5. $S$為一圓
訣竅
兩個向量垂直表示兩向量內積為$0$。
解法
設$P$之坐標為$\left(x,y,0\right)$，那麼由兩向量垂直可知
$\left(1-x\right)\left(7-x\right)+\left(2-y\right)\left(6-y\right)+15=\left(1-x,2-y,3\right)\cdot\left(7-x,6-y,5\right)=\overset{\rightharpoonup}{PA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PB}=0$
整理可得
$x^2-8x+7+y^2-8y+12+15=0$
亦即為$\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2+2=0$，從而沒有實數$x,y$能滿足該方程，故該集合為空集合，應選(1)。


5. 設$\Delta ABC$為平面上的一個三角形，$P$為平面上一點且$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup}{AB}+t\overset{\rightharpoonup}{AC}$，其中$t$為一實數。試問下列哪一選項為$t$的最大範圍，使得$P$落在$\Delta ABC$的內部？
   1. $\displaystyle0<t<\frac{1}{4}$
   2. $\displaystyle0<t<\frac{1}{3}$
   3. $\displaystyle0<t<\frac{1}{2}$
   4. $\displaystyle0<t<\frac{2}{3}$
   5. $\displaystyle0<t<\frac{3}{4}$
訣竅
利用分點公式的概念求解。
解法
假若$\displaystyle0<t<\frac{2}{3}$，那麼有
$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AD}=\frac{1}{\frac{1}{3}+t}\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{1}{\frac{1}{3}+t}\left(\frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup}{AB}+t\overset{\rightharpoonup}{AC}\right)=\frac{1}{1+3t}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{3t}{1+3t}\overset{\rightharpoonup}{AC}$
其中$D$落於$\overline{BC}$上，且由於$\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{3}+t}>1$，因此$P$落於$\Delta ABC$內部。而當$\displaystyle t=\frac{2}{3}$時$P$落於$\overline{BC}$上，而不在$\Delta ABC$內部，應選(4)。


6. 台灣證劵交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成交價)的漲、跌$7\%$範圍內變動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股$100$元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在$93$元至$107$元之間。假設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價是每股$40$元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就是每天跌$7\%$)，緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲$7\%$)。請問經過這十個交易日後，該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格？
   1. $39$元
   2. $39.5$元
   3. $40$元
   4. $40.5$元
   5. $41$元
訣竅
按照題意運用指數律列式，並運用對數表來估算其值。
解法
按題意列式並計算如下
$40\left(1.07\right)^5\left(0.93\right)^5$
設$S=\left(1.07\right)^5\left(0.93\right)^5$，那麼取以$10$為底的對數可得
$\begin{aligned}\log S=&5\left(\log1.07+\log9.3-1\right)\approx5\left(0.0294+0.9685-1\right)\\=&-0.0105=-1+0.9895\approx-\log10+\log9.762=\log0.9762\end{aligned}$
因此所求近似為$40\cdot0.9762=39.048$元，故選(1)。
2. 多重選擇題
說明：第$7$至第$11$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
7. 中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌「外側車道 大客車專用」。請選出不違反此規定的選項：
   1. 小型車行駛內側車道
   2. 小型車行駛外側車道
   3. 大客車行駛內側車道
   4. 大客車行駛外側車道
   5. 大貨車行駛外側車道
訣竅
根據基礎邏輯的語句進行判斷。
解法
按照中文語言的概念，我們僅限制外側車道的使用情形，至於內側車道則不予限制，依此可以判斷各個選項如下
1. 此選項涉及內側車道，題幹並無規範之，因此不違反此項規定。
2. 此選項涉及外側車道，但小型車不是大客車，故違反此選項。
3. 此選項涉及內側車道，題幹並無規範之，因此不違反此項規定。
4. 此選項涉及外側車道，而此為大客車行駛，因此不違反此項規定。
5. 此選項涉及外側車道，但大貨車不是大客車，故違反此選項。
由以上分析可知應選(1)(3)(4)。


8. 在坐標平面上，下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面？
   1. $3x=2y^2$
   2. $3x^2+2y^2=1$
   3. $3x^2-2y^2=1$
   4. $\left|x+y\right|=1$
   5. $\left|x\right|+\left|y\right|=1$
訣竅
按題意應選出封閉曲線的圖形。
解法
本題選項皆為常見之方程式，辨別出圖形如下
1. 此為拋物線，故不為封閉圖形。
2. 此為橢圓，故為封閉圖形。
3. 此為雙曲線，故不為封閉圖形。
4. 此為兩平行直線，故不為封閉圖形。
5. 此為正方形，故為封閉圖形。
由以上分析可知應選(2)(5)。


9. 如右圖$O-ABCD$為一金字塔，底是邊長為$1$之正方形，頂點$O$與$A$、$B$、$C$、$D$之距離均為$2$。試問下列哪些式子是正確的？
   
   1. $\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}+\overset{\rightharpoonup}{OD}=\overset{\rightharpoonup}{0}$
   2. $\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}-\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\overset{\rightharpoonup}{0}$
   3. $\overset{\rightharpoonup}{OA}-\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\overset{\rightharpoonup}{0}$
   4. $\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OB}=\overset{\rightharpoonup}{OC}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OD}$
   5. $\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OC}=2$
訣竅
運用坐標表示法表達各個選項。
解法
設$O$為原點，由畢氏定理可知$O$到$ABCD$的距離為$\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{2}$。如此有$\displaystyle A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$、$\displaystyle B\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$、$\displaystyle C\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$、$\displaystyle D\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$。
1. 直接計算可知

   $\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}+\overset{\rightharpoonup}{OD}=\left(0,0,-2\sqrt{14}\right)$

   本選項錯誤。
2. 直接計算可知

   $\overset{\rightharpoonup}{OA}+\overset{\rightharpoonup}{OB}-\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\left(2,0,0\right)$

   本選項錯誤。
3. 直接計算可知

   $\overset{\rightharpoonup}{OA}-\overset{\rightharpoonup}{OB}+\overset{\rightharpoonup}{OC}-\overset{\rightharpoonup}{OD}=\left(0,0,0\right)$

   本選項正確。
4. 直接計算可知

   $\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OB}=\frac{7}{2}=\overset{\rightharpoonup}{OC}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OD}$

5. 直接計算可知

   $\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OC}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{14}{4}=3\neq2$

   本選項錯誤。
由以上可知應選(3)(4)。


10. 從$1,2,\cdots,10$這十個數中隨意取兩個，以$p$表示其和為偶數之機率，$q$表示其和為奇數之機率。試問下列哪些敘述是正確的？
    1. $p+q=1$
    2. $p=q$
    3. $\displaystyle\left|p-q\right|\leq\frac{1}{10}$
    4. $\displaystyle\left|p-q\right|\geq\frac{1}{20}$
    5. $\displaystyle p\geq\frac{1}{2}$
訣竅
運用排列組合釐清數字之和的情形進而求得機率便可判斷各個選項。
解法
$10$個數字選出兩個數字的方法數有$C_2^{10}=45$，選出兩數之和為偶數之方法數為$C_2^5+C_2^5=20$種，而兩數之和為奇數之方法數為$\displaystyle5\cdot5=25$，因此$\displaystyle p=\frac{4}{9}$、$\displaystyle q=\frac{5}{9}$，直接檢驗可知應選(1)(4)


11. 設$f\left(x\right)$為三次實係數多項式，且知複數$1+i$為$f\left(x\right)=0$之一解。試問下列哪些敘述是正確的？
    1. $f\left(1-i\right)=0$
    2. $f\left(2+i\right)\neq0$
    3. 沒有實數$x$滿足$f\left(x\right)=x$
    4. 沒有實數$x$滿足$f\left(x^3\right)=0$
    5. 若$f\left(0\right)>0$且$f\left(2\right)<0$，則$f\left(4\right)<0$
訣竅
運用代數基本定理、實係數虛根成對定理以及勘根定理判別各個選項。
解法
1. 由實係數虛根成對定理可知：若$1+i$為$f\left(x\right)=0$的根，則$1-i$亦為$f\left(x\right)=0$的根，從而$f\left(1-i\right)=0$，本選項正確。
2. 由於$1\pm i$皆為$f\left(x\right)=0$的根，故三根中有兩虛根從而第三根必為實根，否則第三個虛根將不成對。如此可知$2+i$必不為$f\left(x\right)=0$的根，亦即$f\left(2+i\right)\neq0$，本選項正確。
3. 設$g\left(x\right)=f\left(x\right)-x$，那麼$g$為三次實係數多項式方程式。可以知道$g$至少有一實數根，記此實數根為$c$，那麼有$g\left(c\right)=f\left(c\right)-c=0$，從而有$f\left(c\right)=c$，本選項錯誤。
4. 設$g\left(x\right)=f\left(x^3\right)$，那麼$g$為九次實係數多項式方程式。可以知道$g$至少有一實數根，記此實數根為$c$，那麼有$g\left(c\right)=f\left(c^3\right)=0$，本選項錯誤。
5. 若$f\left(0\right)>0$且$f\left(2\right)<0$，則由勘根定理可知存在介於$0$與$2$的實數根。再者又知$1\pm i$為$f$的兩虛根，以及代數基本定理可知$f$有三個複數根。因此$f$沒有其他實數或虛數根，如此知$f\left(4\right)<0$，否則當$f\left(4\right)\geq0$時則表明在$\left(2,4\right]$之間另有實根，此與代數基本定理矛盾。本選項正確。
由以上分析可知應選(1)(2)(5)。

第二部分：填充題

說明：

1. 第$A$至$I$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12-31)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值佔$30\%$，兩次期中考各佔$20\%$，期末考佔$30\%$。某生平時考成績分別為$68$、$82$、$70$、$73$、$85$，期中考成績分別為$86$、$79$，期末考成績為$90$，則該生學期成績為$\underline{⑫⑬}$。（計算到整數為止，小數點以後四捨五入）
訣竅
按照題設的規則計算即可。
解法
學期成績計算如下
$\displaystyle\frac{85+82+73}{3}\cdot0.3+86\cdot0.2+79\cdot0.2+90\cdot0.3=24+17.2+15.8+27=84$
因此填入$⑫=8$、$⑬=4$。


2. 某電視台舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有$1000$、$800$、$600$、$0$元獎額的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球(取後即放回)，主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到$0$元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半(若再摸到$0$就沒有第三次機會)；則一個參加者可得獎金的期望值是$\underline{⑭⑮⑯}$元。（計算到整數為止，小數點以後四捨五入）
訣竅
根據期望值之定義計算。
解法
在第一輪抽中$1000$、$800$、$600$、$0$的機率皆為為$\displaystyle\frac{1}{4}$，但抽到$0$的話會有第二輪，抽球的機率仍舊相同但獎金折半，故獲得$500$元、$400$元與$300$元的機率皆為$\displaystyle\frac{1}{16}$，故期望值可表示並計算如下
$\displaystyle\frac{1000+800+600}{4}+\frac{500+400+300}{16}=600+75=675$
故填$⑭=6$、$⑮=7$、$⑯=5$。


3. 設$a,b,c$為正整數，若$a\log_{520}2+b\log_{520}5+c\log_{520}13=3$，則$a+b+c=\underline{⑰⑱}$。
訣竅
運用對數律的特性以及正整數的質因數分解具有唯一性來解題。
解法
運用對數律可得
$\log_{520}\left(2^a\cdot5^b\cdot13^c\right)=3$
亦即有
$2^a\cdot5^b\cdot13^c=520^3=\left(52\cdot10\right)^3=\left(2^3\cdot5\cdot13\right)^3=2^9\cdot5^3\cdot13^3$
此表明$a=9$、$b=c=3$，因此$a+b+c=9+3+3=15$，填入$⑰=1$、$⑱=5$。


4. 設$\Delta ABC$為一等腰直角三角形，$\angle BAC=90^\circ$。若$P$、$Q$為斜邊$\overline{BC}$的三等分點，則$\displaystyle\tan\angle PAQ=\underline{　\frac{⑲}{⑳}　}$。(化成最簡分數)
訣竅
利用平面坐標標示各個點坐標，運用內積求出該角之餘弦值，據此計算出正切值。
解法

設$A$為原點，且$\Delta ABC$之腰長為$9k$，其中$k$為正實數，並設$B$與$C$分別為$\left(9k,0\right)$以及$\left(0,9k\right)$，如此$P$為$\left(6k,3k\right)$、$Q$為$\left(3k,6k\right)$。

運用內積可得

$\displaystyle\cos\angle PAQ=\frac{\overset{\rightharpoonup}{AP}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AQ}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{AP}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{AQ}\right|}=\frac{\left(6k,3k\right)\cdot\left(3k,6k\right)}{\left|\left(6k,3k\right)\right|\left|\left(3k,6k\right)\right|}=\frac{18k^2+18k^2}{45k^2}=\frac{4}{5}$

又由於$\angle PAQ$為銳角，故可求得$\displaystyle\sin\angle PAQ=\frac{3}{5}$，進而有$\displaystyle\tan\angle PAQ=\frac{3}{4}$，故填入$⑲=3$、$⑳=4$。



5. 某高中招收高一新生共有男生$1008$人、女生$924$人報到。學校想將他們依男女合班的原則平均分班，且要求各班有同樣多的男生，也有同樣多的女生；考量教學效益，並限制各班總人數在$40$與$50$人之間，則共分成$\underline{㉑㉒}$班。
訣竅
運用公因數之概念求解。
解法
設有$d$班且每班男生有$h$人而女生有$k$人，則可列式為
$\begin{aligned} &dh=1008,\\&dk=924\end{aligned}$
因此$d$為$1008$與$924$的公因數。又可以知道$1008$與$924$的最大公因數為$84$，從而$d$為$84$的因數。再者兩式相加有$d\left(h+k\right)=1932$，且$d+h$介於$40$與$50$之間，從而有
$\displaystyle38.64=\frac{1932}{50}< d=\frac{1932}{h+k}<\frac{1932}{40}=48.3$
如此可知$d=42$，故填入$㉑=4$、$㉒=2$。


6. 在坐標空間中，平面$x-2y+z=0$上有一以點$P\left(1,1,1\right)$為圓心的圓$\Gamma$，而$Q\left(-9,9,27\right)$為圓$\Gamma$上一點。若過$Q$與圓$\Gamma$相切的直線之一方向向量為$\left(a,b,1\right)$，則$a=\underline{㉓}$，$b=\underline{㉔}$。
訣竅
留意該方向向量與平面的法向量以及向量$\overset{\rightharpoonup}{PQ}$垂直，故可由外積求解。
解法
首先計算$\overset{\rightharpoonup}{PQ}=Q-P=\left(-10,8,26\right)$，而平面法向量為$\left(1,-2,1\right)$，因此切線之方向向量$\vec{l}$可計算如下
$\vec{l}=\left(1,-2,1\right)\times\left(-10,8,26\right)=\left(-60,-36,-12\right)\parallel\left(5,3,1\right)$
因此填入$㉓=5$、$㉔=3$。


7. 設$270^\circ<A<360^\circ$且$\sqrt{3}\sin A+\cos A=2\sin2004^\circ$。若$A=m^\circ$，則$m=\underline{㉕㉖㉗}$。
訣竅
運用三角疊合以及同界的觀念來求解。
解法
首先改寫左式如下
$\displaystyle\sqrt{3}\sin A+\cos A=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A+\frac{1}{2}\cos A\right)=2\left(\sin A\cos30^\circ+\cos A\sin30^\circ\right)=2\sin\left(A+30^\circ\right)$
按題設可知$A+30^\circ$介於$300^\circ$以及$390^\circ$。運用同界角可知$\sin2004^\circ=\sin204^\circ=\sin336^\circ$，故$A+30^\circ=336^\circ$，因此$A=306^\circ$，填入$㉕=3$、$㉖=0$、㉗=6$。


8. 坐標平面上的圓$C:\left(x-7\right)^2+\left(y-8\right)^2=9$上有$\underline{㉘㉙}$個點與原點的距離正好是整數值。
訣竅
考慮原點與圓心的距離後判斷。
解法
原點與圓心$\left(7,8\right)$的距離為$\sqrt{7^2+8^2}=\sqrt{113}$，距離介於$10$與$11$之間。因此最近的距離介於$7$與$8$之間；而最遠的距離介於$13$與$14$之間，故距離為$8,9,10,11,12,13$的點皆有$2$個，因此共有$6\times2=12$個點與原點距離為整數值，故$㉘=1$、$㉙=2$。


9. 在坐標平面上，設直線$L:y=x+2$與拋物線$\Gamma:x^2=4y$相交於$P$、$Q$兩點。若$F$表拋物線$\Gamma$的焦點，則$\overline{PF}+\overline{QF}=\underline{㉚㉛}$。
訣竅
利用焦點至拋物線之點等同於該點至準線之距離即可；亦可運用題設解出$F,P,Q$後直接求出兩線段之長。
解法一
首先解$L$與$\Gamma$的交點如下
$\left\{\begin{aligned} &y=x+2,\\&x^2=4y\end{aligned}\right.$
運用代入消去法有$x^2=4\left(x+2\right)=4x+8$，如此可解得$x=2\pm2\sqrt{3}$。故$P$與$Q$之坐標分別為$\left(2+2\sqrt{3},4+2\sqrt{3}\right)$、$\left(2-2\sqrt{3},4-2\sqrt{3}\right)$。又由拋物線之標準式可知準線方程式為$y=-1$，因此$P$與$Q$至準線之距離分別為$5+2\sqrt{3}$、$5-2\sqrt{3}$，故$\overline{PF}+\overline{QF}=10$，填入$㉚=1$、$㉛=0$。
解法二
由拋物線之標準式可知為$F=\left(0,1\right)$。另一方面，解$L$與$\Gamma$的交點如下
$\left\{\begin{aligned} &y=x+2,\\&x^2=4y\end{aligned}\right.$
運用代入消去法有$x^2=4\left(x+2\right)=4x+8$，如此可解得$x=2\pm2\sqrt{3}$。故$P$與$Q$之坐標分別為$\left(2+2\sqrt{3},4+2\sqrt{3}\right)$、$\left(2-2\sqrt{3},4-2\sqrt{3}\right)$，因此$\overline{PF}+\overline{QF}$可以計算如下
$\begin{aligned} &\sqrt{\left(2+2\sqrt{3}\right)^2+\left(3+2\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(2-2\sqrt{3}\right)^2+\left(3-2\sqrt{3}\right)^2}\\=&\sqrt{37+20\sqrt{3}}+\sqrt{37-20\sqrt{3}}\\=&\left(5+2\sqrt{3}\right)+\left(5-2\sqrt{3}\right)\\=&10\end{aligned}$
因此填入$㉚=1$、$㉛=0$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 平面上兩點$P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$間的距離為$\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
3. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$。
4. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(\theta_1+\theta_2\right)=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}$
5. $\Delta ABC$的餘弦定理：　$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
6. 棣美弗定理：設$z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$，則$z^n=r^n\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right)$，$n$為一正整數
7. 算術平均數：$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
8. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
9. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$

常用對數表　$\log_{10}N$

$\begin{array}{|c|ccccc|ccccc|ccc|ccc|ccc|}N&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&&表&&&尾&&&差&&\\&&&&&&&&&&&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\10&0000&0043&0086&0128&0170&0212&0253&0294&0334&0374&4&8&12&17&21&25&29&33&37\\11&0414&0453&0492&0531&0569&0607&0645&0682&0719&0755&4&8&11&15&19&23&26&30&34\\12&0792&0828&0864&0899&0934&0969&1004&1038&1072&1106&3&7&10&14&17&21&24&28&31\\13&1139&1173&1206&1239&1271&1303&1335&1367&1399&1430&3&6&10&13&16&19&23&26&29\\14&1461&1492&1523&1553&1584&1614&1644&1673&1703&1732&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\\hline&&&&&&&&\cdots\\91&9590&9595&9600&9605&9609&9614&9619&9624&9628&9633&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\92&9638&9643&9647&9652&9657&9661&9666&9671&9675&9680&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\93&9685&9689&9694&9699&9703&9708&9713&9717&9722&9727&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\94&9731&9736&9741&9745&9750&9754&9759&9763&9768&9773&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\\hline95&9777&9782&9786&9791&9795&9800&9805&9809&9814&9818&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\96&9823&9827&9832&9836&9841&9845&9850&9854&9859&9863&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\97&9868&9872&9877&9881&9886&9890&9894&9899&9903&9908&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\98&9912&9917&9921&9926&9930&9934&9939&9943&9948&9952&0&1&1&2&2&3&3&4&4\end{array}$

註：

1. 表中所給的對數值為小數點後的值。
2. 表中最左欄的數字表示$N$的個位數及小數點後第一位，最上一列的數字表示$N$的小數點後第二位。