九十二學年度數學學科能力測驗(補考)

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九十二學年度學科能力測驗(補考)試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單一選擇題$7$題，多重選擇題$5$題，填充題第$A$至$H$題共$8$題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{　\frac{⑱}{⑲}　}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

---

第一部分：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第$1$至$7$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
1. 試若六位數$92a92b$可被$9$整除，則$a+b$之值可能為
   1. $1$
   2. $3$
   3. $5$
   4. $7$
   5. $9$
訣竅
運用倍數判別法來解題。
解法
根據$9$的倍數判別法可知$9+2+a+9+2+b=22+a+b$為$9$的倍數。又因$0\leq a+b\leq18$，故$22\leq22+a+b\leq40$，即有$22+a+b=27$或$36$，可以解得$a+b=5$或$a+b=14$，應選(3)。


2. 如右圖，$OABCDE$為坐標平面上一正六邊形，其中$O$為原點，$A$點坐標為$\left(2,0\right)$，則向量$\overset{\rightharpoonup}{DE}$之坐標表法為
   1. $\left(1,\sqrt{3}\right)$
   2. $\left(-1,-\sqrt{3}\right)$
   3. $\left(\sqrt{3},1\right)$
   4. $\left(-\sqrt{3},-1\right)$
   5. $\left(-1,\sqrt{3}\right)$
   
訣竅
依據正六邊形的特性可求出各個頂點之坐標，並由向量平移相等的特性改求向量$\overset{\rightharpoonup}{BA}$。
解法
由於正六邊形的每個內角皆為$120^\circ$且邊長為$2$，可以推知$B$點坐標為$\left(3,\sqrt{3}\right)$，又由圖形可知
$\overset{\rightharpoonup}{DE}=\overset{\rightharpoonup}{BA}=A-B=\left(-1,-\sqrt{3}\right)$
故選(2)。


3. 下列選項當中何者的值最大？
   1. $\sin20^\circ\cos20^\circ$
   2. $\sin35^\circ\cos35^\circ$
   3. $\sin50^\circ\cos50^\circ$
   4. $\sin65^\circ\cos65^\circ$
   5. $\sin80^\circ\cos80^\circ$
訣竅
留意選項的形式可使用正弦函數的倍角公式，隨後將角度轉換至銳角後進行比較。
解法
可以發現各個選項可運用倍角公式依序改寫如下
$\displaystyle\frac{\sin40^\circ}{2},~\frac{\sin70^\circ}{2},~\frac{\sin100^\circ}{2},~\frac{\sin130^\circ}{2},~\frac{\sin160^\circ}{2},~$
又知$\sin100^\circ=\sin80^\circ$、$\sin130^\circ=\sin50^\circ$、$\sin160^\circ=\sin20^\circ$。最後由於正弦函數在銳角時會遞增，故可以知道$\sin80^\circ$為其中的最大值，從而應選(3)。


4. 試問有多少個正整數$n$滿足$100\leq\left(1.5\right)^n\leq500$？
   1. $3$個
   2. $4$個
   3. $5$個
   4. $6$個
   5. $7$個
訣竅
解對數不等式求出$n$的範圍後即可。
解法
同取以$10$為底的對數可得
$2\leq n\log1.5\leq2+\log5$
故可得$n$的範圍如下
$\displaystyle\frac{2}{\log3-\log2}\leq n\leq\frac{2+\log5}{\log3-\log2}$
運用試卷後附的近似對數值可得
$\displaystyle11.36\approx\frac{2}{0.1761}=\frac{2}{0.4771-0.301}\approx\frac{2}{\log3-\log2}\leq n\leq\frac{2+\log5}{\log3-\log2}\approx\frac{2+0.699}{0.4771-0.301}=\frac{2.699}{0.1761}\approx15.33$
故$n$可為$12,13,14,15$，共計四種可能，應選(2)。


5. 某君在一廣場上從某一點出發，先往東北方前進$50$公尺後轉往正西方向行進，一段時間後測得原出發點在他的南偏東$60^\circ$方向；則此時他距原出發點大約
   1. $35$公尺
   2. $43$公尺
   3. $50$公尺
   4. $71$公尺
   5. $87$公尺
訣竅
運用平面坐標表示出位置後來答題。
解法
設出發點為原點，往東北方向前進$50$公尺後的坐標為$\left(25\sqrt{2},25\sqrt{2}\right)$，之後往正西前進一段時間，設移動距離為$x$公尺，則坐標為$\left(25\sqrt{2}-x,25\sqrt{2}\right)$。此時出發點在他的南偏東$60^\circ$的方向上，亦即他位於出發點的北偏西$60^\circ$。再設此時與出發點的距離為$r$公尺，則運用正弦的定義可知
$\displaystyle\frac{1}{2}=\sin150^\circ=\frac{y}{r}=\frac{25\sqrt{2}}{r}$
如此有$\displaystyle r=50\sqrt{2}\approx50\cdot1.414=70.7$，故近似值為$71$公尺，應選(4)。


6. 設坐標空間的原點為$O$，點$P$的坐標為$\left(3,4,7\right)$。若$Q$點在$xy$-平面上移動，問$Q$點為下列選項中哪一點時，$\angle POQ$最小？
   1. $\left(3,3,0\right)$
   2. $\left(3,4,0\right)$
   3. $\left(4,3,0\right)$
   4. $\left(5,12,0\right)$
   5. $\left(12,5,0\right)$
訣竅
運用內積計算求出各選項下的角度餘弦值
解法
1. 若$Q=\left(3,3,0\right)$，則有

   $\displaystyle\cos\angle POQ=\frac{\overset{\rightharpoonup}{OP}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OQ}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{OP}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{OQ}\right|}=\frac{\left(3,4,7\right)\cdot\left(3,3,0\right)}{\left|\left(3,4,7\right)\right|\left|\left(3,3,0\right)\right|}=\frac{21}{\sqrt{74}\cdot\sqrt{18}}=\frac{7/\sqrt{2}}{\sqrt{74}}$

2. 若$Q=\left(3,4,0\right)$，則有

   $\displaystyle\cos\angle POQ=\frac{\overset{\rightharpoonup}{OP}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OQ}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{OP}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{OQ}\right|}=\frac{\left(3,4,7\right)\cdot\left(3,4,0\right)}{\left|\left(3,4,7\right)\right|\left|\left(3,4,0\right)\right|}=\frac{25}{\sqrt{74}\cdot5}=\frac{5}{\sqrt{74}}$

3. 若$Q=\left(4,3,0\right)$，則有

   $\displaystyle\cos\angle POQ=\frac{\overset{\rightharpoonup}{OP}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OQ}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{OP}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{OQ}\right|}=\frac{\left(3,4,7\right)\cdot\left(4,3,0\right)}{\left|\left(3,4,7\right)\right|\left|\left(4,3,0\right)\right|}=\frac{24}{\sqrt{74}\cdot5}=\frac{24/5}{\sqrt{74}}$

4. 若$Q=\left(5,12,0\right)$，則有

   $\displaystyle\cos\angle POQ=\frac{\overset{\rightharpoonup}{OP}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OQ}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{OP}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{OQ}\right|}=\frac{\left(3,4,7\right)\cdot\left(5,12,0\right)}{\left|\left(3,4,7\right)\right|\left|\left(5,12,0\right)\right|}=\frac{63}{\sqrt{74}\cdot13}=\frac{63/13}{\sqrt{74}}$

5. 若$Q=\left(12,5,0\right)$，則有

   $\displaystyle\cos\angle POQ=\frac{\overset{\rightharpoonup}{OP}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OQ}}{\left|\overset{\rightharpoonup}{OP}\right|\left|\overset{\rightharpoonup}{OQ}\right|}=\frac{\left(3,4,7\right)\cdot\left(12,5,0\right)}{\left|\left(3,4,7\right)\right|\left|\left(12,5,0\right)\right|}=\frac{56}{\sqrt{74}\cdot13}=\frac{56/13}{\sqrt{74}}$
由於比較各選項角度的餘弦值的分子，可以注意到$5$是最大的，從而選項(2)的角度最小，應選(2)。


7. 如右圖，複數$z$在平面上對應的點$P$在單位圓$O$的外部，問複數$\displaystyle\frac{1}{z}$對應的點大概是哪一點？
   1. $A$
   2. $B$
   3. $C$
   4. $D$
   5. $E$
   
訣竅
利用複數的極式表達來思考。
解法
若將$z$寫為極式$z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$，其中$r>1$且$\displaystyle\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，如此有
$\displaystyle\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\left(\cos\left(-\theta\right)+i\sin\left(-\theta\right)\right)$
因此$\displaystyle\frac{1}{z}$位於第四象限且長度小於$1$，故最有可能為$D$點，應選(4)。
2. 多重選擇題
說明：第$8$至第$12$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
8. 空間中兩相異球面的交集可能是
   1. 空集合
   2. 一點
   3. 兩點
   4. 一圓
   5. 兩圓
訣竅
依據空間中的幾何常識推斷。
解法
兩相異球面之相交情形可按球心距和半徑的關係分類：相離（不相交或稱交集為空集合）、相切（交於一點）或相交於一圓，故選(1)(2)(4)。


9. 已知坐標平面上一拋物線$C$之對稱軸與坐標軸平行，且$C$通過$\left(-1,6\right)$與$\left(3,6\right)$兩點，試問下列哪些敘述是正確的？
   1. $C$與$x$-軸必相交；
   2. $C$與$y$-軸必相交；
   3. 如果$C$通過$\left(2,5\right)$，則可找到實數$r\neq2$而$C$也通過$\left(r,5\right)$；
   4. 如果$C$通過$\left(4,8\right)$，則可找到實數$s\neq8$而$C$也通過$\left(4,s\right)$；
   5. 如果$C$通過$\left(0,3\right)$，則$C$的頂點之$y$-坐標為$2$。
訣竅
運用拋物線的特性來思考。
解法
利用拋物線的對稱性可以由條件知道對稱軸為$x=1$，從而該拋物線為開口向上或開口向下的拋物線，從而未必與$x$-軸相交但必與$y$-軸相交，因此選項(1)錯誤而選項(2)正確；
利用對稱於$x=1$，可以知道若$C$通過$\left(2,5\right)$，則$C$亦通過$\left(0,5\right)$，選項(3)正確。
反之，拋物線$C$為$x$的函數，故當$C$通過$\left(4,8\right)$時便可知不存在$s\neq8$使$\left(4,s\right)$落於$C$上，故選項(4)錯誤。
由於$x=1$為對稱軸，因此可設拋物線$C$之方程式為$y=a\left(x-1\right)^2+k$。由於通過$\left(3,6\right)$以及$\left(0,3\right)$可得聯立方程
$\left\{\begin{aligned} &4a+k=6,\\&a+k=3\end{aligned}\right.$
如此可解得$a=1$、$k=2$，亦即有$y=\left(x-1\right)^2+2$，故頂點座標為$\left(1,2\right)$，因此選項(5)正確。
由以上的討論可知應選(2)(3)(5)。


10. 關於三次多項式$f\left(x\right)=x^3-6x^2+1$，試問下列哪些敘述是正確的？
    1. $f\left(x\right)=0$有實根落在$0$與$1$之間；
    2. $f\left(x\right)=0$有實根大於$1$；
    3. $f\left(x\right)=0$有實根小於$-1$；
    4. $f\left(x\right)=0$有實根也有虛根；
    5. $f\left(x\right)=10$有實數解。
訣竅
由代數基本定理知道共有三複數根，接著運用勘根定理試探實根之位置。
解法
1. 容易知道$f\left(0\right)=1$、$f\left(1\right)=-4$，從而根據勘根定理可知存在$c\in\left(0,1\right)$使$f\left(c\right)=0$，本選項正確。
2. 由於$f\left(1\right)=-4$、$f\left(6\right)=1$，因此存在$d\in\left(1,6\right)$使得$f\left(d\right)=0$，本選項正確。
3. 若有實數根小於$-1$，記該實根為$s$，則$s^3<-1$、$6s^2<0$，從而$f\left(s\right)<0$，不可能為實根，本選項錯誤。
4. 由(1)(2)可知$f$至少有兩實根，但由實係數多項式虛根成對定理可知不可能僅有一虛根，因此三根皆為實根，本選項錯誤。
5. 解$f\left(x\right)=10$等同於解$x^3-6x^2-9=0$，同樣由實係數虛根成對原理可知至少有一實數根，從而本選項正確。
由以上分析可知應選(1)(2)(5)。


11. 考慮坐標空間中三平面$x+2y-3z=1$，$x+3y-2z=-1$及$x+by+cz=1$（$b,c$為實數），試問下列哪些敘述是正確的？
    1. 當$b=1$，$c=1$時，三平面沒有共同交點；
    2. 當$b=-1$，$c=1$時，三平面恰交於一點；
    3. 當$b=4$，$c=-1$時，三平面恰交於一點；
    4. 當$b=1$，$c=-4$時，三平面恰交於一直線；
    5. 當$b=2$，$c=-3$時，三平面恰交於一直線；
訣竅
直接依各選項的假設解聯立方程組即可。
解法
1. 若$b=1$，$c=1$，則聯立方程組

   $\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&x+3y-2z=-1,\\&x+y+z=1.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&-y+4z=0.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&5z=-2\end{aligned}\right.\end{aligned}$

   因此可解得$\displaystyle x=3,y=-\frac{8}{5},z=-\frac{2}{5}$，本選項錯誤。
2. 若$b=-1$，$c=1$，則聯立方程組

   $\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&x+3y-2z=-1,\\&x-y+z=1.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&-3y+4z=0.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&7z=-6.\end{aligned}\right.\end{aligned}$

   因此可解得$\displaystyle x=\frac{5}{7},y=-\frac{8}{7},z=-\frac{6}{7}$，故本選項正確。
3. 若$b=4$，$c=-1$，則聯立方程組

   $\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&x+3y-2z=-1,\\&x+4y-z=1.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&2y+2z=0.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&0=4\end{aligned}\right.\end{aligned}$

   因此本聯立方程組無解，故此選項錯誤。
4. 若$b=1$，$c=-4$，則聯立方程組

   $\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&x+3y-2z=-1,\\&x+y-4z=1.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&-y-z=0.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&0=-2\end{aligned}\right.\end{aligned}$

   因此本聯立方程組無解，故此選項錯誤。
5. 若$b=2$，$c=-3$，則聯立方程組

   $\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&x+3y-2z=-1,\\&x+2y-3z=1.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x+2y-3z=1,\\&y+z=-2,\\&0=0.\end{aligned}\right.\end{aligned}$

   因此本聯立方程組有無窮多解：$\left\{\begin{aligned} &x=5+5t,\\&y=-2-t,\\&z=t\end{aligned}\right.$，其中$t\in\mathbb{R}$，因此本選項正確。
由以上的分析可知應選(2)(5)。


12. 九十一學年度指定科目考試約有$5$萬$4$千名考生報考「數學甲」，考生得分情形（由低至高）如下表，第一列為得分範圍（均含下限不含上限），第二列為得分在該區間之人數佔全體考生之百分比。

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline0\sim10&10\sim20&20\sim30&30\sim40&40\sim50&50\sim60&60\sim70&70\sim80&80\sim90&90\sim100\\\hline10.45&8.18&11.85&14.96&16.0&15.28&10.81&7.06&3.84&1.57\\\hline\end{array}$

    試問下列有關該次考試考生得分之敘述有哪些是正確的？
    1. 全體考生得分之中位數在$40$分（含）與$50$分（不含）之間；
    2. 全體考生得分（由低至高）之第一四分位數在$20$分（含）與$30$分（不含）之間；
    3. 全體考生得分（由低至高）之第三四分位數在$50$分（含）與$60$分（不含）之間；
    4. 不到三成的考生得分少於$30$分；
    5. 如果將得分$\geq60$分看成及格，則有四成以上的考生成績及格。
訣竅
按統計量與圖表的資訊計算即可。
解法
1. 由於$0\sim40$的人數佔了$45.44\%$，而$0\sim50$的人數佔了$61.44\%$，因此中位數位於$40\sim50$，故本選項正確。
2. 由於$0\sim20$的人數佔了$18.63\%$，而$0\sim30$的人數佔了$30.48\%$，故第一四分位數位於$20\sim30$之間，故本選項正確。
由於$0\sim50$的人數佔了$61.44\%$，而$0\sim60$的人數佔了$76.72\%$，故第一四分位數位於$50\sim60$之間，故本選項正確。
4. 由於$0\sim30$的人佔了$30.48\%$，超過三成，故本選項錯誤。
5. $60\sim100$的人佔$23.28\%$，故僅有二成至三成之間的考生成績及格，故本選項錯誤。
由以上可知應選(1)(2)(3)。

第二部分：填充題

說明：

1. 第$A$至$H$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-31)。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 某高中高三學生依選考類組分成三班，各班學生人數分別為$40,25,35$人，第一次段考數學科各班老師算出該班平均成績分別為$69,78,74$分，則這次考試全年級的平均成績是$\underline{⑬⑭}$分。（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。）
訣竅
依據平均與全體總分的關係計算即可。
解法
全體平均可以直接計算如下
$\displaystyle\frac{40\cdot69+25\cdot78+35\cdot74}{40+25+35}=\frac{2760+1950+2590}{100}=73$
故填入$⑬=7$、$⑭=3$。


2. 設多項式$\left(x+1\right)^6$除以$x^2+1$的餘式為$ax+b$，則$a=\underline{⑮⑯}$，$b=\underline{⑰}$。
訣竅
直接展開後進行除法即可。
解法
將$\left(x+1\right)^6$展開可得
$\left(x+1\right)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$
將該多項式除以$x^2+1$可得
$x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1=\left(x^2+1\right)\left(x^4+6x^3+14x^2+14x+1\right)-8x$
故餘式為$-8x$，因此$a=-8$、$b=0$，遂填入$⑮=-$、$⑯=8$、$⑰=0$。


3. 解方程式$\log_3x^7+\log_{\frac{1}{3}}x=24$，得$x=\underline{⑱⑲}$。
訣竅
運用對數律簡化方程即可求解。
解法
依據對數律可知$\log_3x^7=7\log_3x$、$\log_{\frac{1}{3}}x=-\log_3x$，因此原方程可改寫如下
$7\log_3x-\log_3x=24$
如此有$\log_3x=4$，故$x=3^4=81$，因此填入$⑱=8$、$⑲=1$。


4. 試問不等式$\left(x^2-4x+2\right)\left(2x-5\right)\left(2x-37\right)\leq0$有多少個整數解？
   答：$\underline{⑳㉑}$個。
訣竅
注意到$x^2-4x+2=0$會有實根並解高次不等式即可。
解法
由於$x^2-4x+2=0$可得$\displaystyle x=2\pm\sqrt{2}$，因此不等式可寫為
$\left[x-\left(2+\sqrt{2}\right)\right]\left[x-\left(2-\sqrt{2}\right)\right]\left(2x-5\right)\left(2x-37\right)\leq0$
再者，由$\displaystyle18.5>2+\sqrt{2}>2.5>2-\sqrt{2}$，因此不等式之解為
$\left[2-\sqrt{2},2.5\right]\cup\left[2+\sqrt{2},18.5\right]$
可以注意到$1,2\in\left[2-\sqrt{2},2.5\right]$、$4,5,\cdots,18\in\left[2+\sqrt{2},18.5\right]$，因此整數解為$1$至$18$但除了$3$以外的整數，共計$17$個。填入$⑳=1$、$㉑=7$。


5. 有一正四面體的公正骰子，四面點數分別為$1,2,3,4$。將骰子丟三次，底面的點數分別為$a,b,c$，則這三個數可作為三角形三邊長的機率是$\displaystyle\underline{　\frac{㉒㉓}{㉔㉕}　}$。(化成最簡分數)
訣竅
將符合條件的三邊長分類點數。
解法
四面骰丟擲三次共有$4^3=64$種可能。而要能形成三邊形之邊長則有$\left(1,1,1\right)$、$\left(1,2,2\right)$、$\left(1,3,3\right)$、$\left(1,4,4\right)$、$\left(2,2,2\right)$、$\left(2,2,3\right)$、$\left(2,3,3\right)$、$\left(2,3,4\right)$、$\left(2,4,4\right)$、$\left(3,3,3\right)$、$\left(3,3,4\right)$、$\left(3,4,4\right)$、$\left(4,4,4\right)$，並且考慮其排列順序則有
• 僅有一種：$\left(1,1,1\right)$、$\left(2,2,2\right)$、$\left(3,3,3\right)$、$\left(4,4,4\right)$；
• 僅三種：$\left(1,2,2\right)$、$\left(1,3,3\right)$、$\left(1,4,4\right)$、$\left(2,2,3\right)$、$\left(2,3,3\right)$、$\left(2,4,4\right)$、$\left(3,3,4\right)$、$\left(3,4,4\right)$；
• 僅六種：$\left(2,3,4\right)$。
總計有$4\cdot1+8\cdot3+1\cdot6=34$種，故機率為$\displaystyle\frac{34}{64}=\frac{17}{32}$，因此填入$㉒=1$、$㉓=7$、$㉔=3$、$㉕=2$。


6. 設$P$為橢圓$\displaystyle\Gamma:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上的一點且位在上半平面。若$F_1$、$F_2$為$\Gamma$之焦點，且$\angle F_1PF_2$為直角，則$P$點的$y$-坐標為$\displaystyle\underline{　\frac{㉖}{㉗}　}$。(化成最簡分數)
訣竅
根據橢圓的標準式所提供的資訊解題。
解法
由標準式可知$a^2=25$、$b^2=9$，故$c^2=16$，從而$c=4$，故焦點座標為$\left(-4,0\right)$、$\left(4,0\right)$。設$P$點坐標為$\left(a,b\right)$，那麼向量$\overset{\rightharpoonup}{PF_1}$與$\overset{\rightharpoonup}{PF_2}$垂直，故有
$a^2+b^2-16=\left(-4-a,-b\right)\cdot\left(4-a,-b\right)=\overset{\rightharpoonup}{PF_1}\cdot\overset{\rightharpoonup}{PF_2}=0$
又因$P$落在橢圓上，故$\left(a,b\right)$滿足方程$\displaystyle\frac{a^2}{25}+\frac{b^2}{9}=1$，亦即$9a^2+25b^2=225$，如此與$a^2+b^2=16$解得$16b^2=81$。最後按題設$P$位於上半平面，從而有$\displaystyle b=\frac{9}{4}$，填入$㉖=9$、$㉗=4$。


7. 設$\left(a,b\right)$為二次曲線$x^2+y^2-6x-2y+9=0$上的點，則$a^2+b^2-2b$的最大值為$\underline{㉘㉙}$。
訣竅
運用幾何意義來考慮此問題。
解法
首先可以注意到$x^2+y^2-6x-2y+9=0$可表為$\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=1$，亦即$\left(a,b\right)$位於以$\left(3,1\right)$為圓心的單位圓上，再者$a^2+b^2-2b=a^2+\left(b-1\right)^2-1$，其中$a^2+\left(b-1\right)^2$可視為$\left(a,b\right)$到$\left(0,1\right)$的距離的平方。如此最遠的距離為取$\left(a,b\right)=\left(4,1\right)$，從而$a^2+b^2-2b$的值為$4^1+1^2-2\cdot1=15$，因此填入$㉘=1$、$㉙=5$。


8. 在坐標平面上，一道光線通過原點$O$後，沿著$y$-軸射向直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{2}x+1$，碰到直線$L$後，假設光線依光學原理（入射角等於反射角）反射後通過$x$-軸上的$R$點，則$R$點的$x$-坐標為$\displaystyle\underline{　\frac{㉚}{㉛}　}$。(化成最簡分數)
訣竅
計算其反射的位置並運用入射角等於反射角來找出$R$點。
解法
首先，通過$O$點沿著$y$軸會碰到點$\left(0,1\right)$。又由於$L$的斜率為$\displaystyle\frac{1}{2}$，其法線斜率為$-2$，故法線方程為$L':y-1=-2x$。作$O$對$L'$的對稱點為$\displaystyle\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$，接著連接$\left(0,1\right)$與$\displaystyle\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$得直線$\displaystyle y-1=\frac{-3}{4}x$。此直線交$x$軸於$R\displaystyle\left(\frac{4}{3},0\right)$，因此填入$㉚=4$、$㉛=3$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$。
3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
4. $\Delta ABC$的正弦與餘弦定理
   (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，$R$為外接圓半徑（正弦定理）
   (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定理）
5. 統計公式：
   算術平均數　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標　準　差　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}$
6. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$