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2018年7月10日 星期二

九十二學年度數學學科能力測驗(補考)

大學入學考試中心
九十二學年度學科能力測驗(補考)試題

數學考科



－作答注意事項－

  1. 考試時間：100分鐘
  2. 題型題數：單一選擇題7題，多重選擇題5題，填充題第A至H題共8題
  3. 作答方式：
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時，只用1，2，3，4，5等五個格子，而不需要用到−，±，以及6，7，8，9，0等格子。
      例：若第1題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為7，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第1列的3  劃記（注意不是7）如：

      解答欄1  −   ±   1   2   3▆▆ 4   5   6   7   8   9   0   

      例：若多重選擇題第10題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第10列的1  與3  劃記，如：

      10  −   ±   1▆▆ 2   3▆▆ 4   5   6   7   8   9   0  

    2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是　⑱⑲　_，而依題意計算出來的答案是38，則考生必須分別在答案卡上的第18列的3  與第19列的8  劃記，如：

      18  −   ±   1   2   3▆▆ 4   5   6   7   8   9   0  19  −   ±   1   2   3   4   5   6   7   8▆▆ 9   0  

      例：若第C題的答案格式是⑳㉑50_，而答案是−750時，則考生必須分別在答案卡的第20列的−  與第21列的7  劃記，如：

      20  −▆▆ ±   1   2   3   4   5   6   7   8   9   0  21  −   ±   1   2   3   4   5   6   7▆▆ 8   9   0  

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

第一部分：選擇題
  1. 單一選擇題
    2. 說明：第1至7題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得5分，答錯不倒扣。
    1. 試若六位數92a92b可被9整除，則a+b之值可能為
      1. 1
      2. 3
      3. 5
      4. 7
      5. 9
      2. 訣竅運用倍數判別法來解題。
      解法根據9的倍數判別法可知9+2+a+9+2+b=22+a+b為9的倍數。又因0≤a+b≤18，故22≤22+a+b≤40，即有22+a+b=27或36，可以解得a+b=5或a+b=14，應選(3)。

    2. 如右圖，OABCDE為坐標平面上一正六邊形，其中O為原點，A點坐標為(2,0)，則向量⇀DE之坐標表法為
      1. (1,√3)
      2. (−1,−√3)
      3. (√3,1)
      4. (−√3,−1)
      5. (−1,√3)
      3. 訣竅依據正六邊形的特性可求出各個頂點之坐標，並由向量平移相等的特性改求向量⇀BA。
      解法由於正六邊形的每個內角皆為120∘且邊長為2，可以推知B點坐標為(3,√3)，又由圖形可知

      ⇀DE=⇀BA=A−B=(−1,−√3)

      故選(2)。

    3. 下列選項當中何者的值最大？
      1. sin20∘cos20∘
      2. sin35∘cos35∘
      3. sin50∘cos50∘
      4. sin65∘cos65∘
      5. sin80∘cos80∘
      4. 訣竅留意選項的形式可使用正弦函數的倍角公式，隨後將角度轉換至銳角後進行比較。
      解法可以發現各個選項可運用倍角公式依序改寫如下

      sin40∘2, sin70∘2, sin100∘2, sin130∘2, sin160∘2, 

      又知sin100∘=sin80∘、sin130∘=sin50∘、sin160∘=sin20∘。最後由於正弦函數在銳角時會遞增，故可以知道sin80∘為其中的最大值，從而應選(3)。

    4. 試問有多少個正整數n滿足100≤(1.5)n≤500？
      1. 3個
      2. 4個
      3. 5個
      4. 6個
      5. 7個
      5. 訣竅解對數不等式求出n的範圍後即可。
      解法同取以10為底的對數可得

      2≤nlog1.5≤2+log5

      故可得n的範圍如下

      2log3−log2≤n≤2+log5log3−log2

      運用試卷後附的近似對數值可得

      11.36≈20.1761=20.4771−0.301≈2log3−log2≤n≤2+log5log3−log2≈2+0.6990.4771−0.301=2.6990.1761≈15.33

      故n可為12,13,14,15，共計四種可能，應選(2)。

    5. 某君在一廣場上從某一點出發，先往東北方前進50公尺後轉往正西方向行進，一段時間後測得原出發點在他的南偏東60∘方向；則此時他距原出發點大約
      1. 35公尺
      2. 43公尺
      3. 50公尺
      4. 71公尺
      5. 87公尺
      6. 訣竅運用平面坐標表示出位置後來答題。
      解法設出發點為原點，往東北方向前進50公尺後的坐標為(25√2,25√2)，之後往正西前進一段時間，設移動距離為x公尺，則坐標為(25√2−x,25√2)。此時出發點在他的南偏東60∘的方向上，亦即他位於出發點的北偏西60∘。再設此時與出發點的距離為r公尺，則運用正弦的定義可知

      12=sin150∘=yr=25√2r

      如此有r=50√2≈50⋅1.414=70.7，故近似值為71公尺，應選(4)。

    6. 設坐標空間的原點為O，點P的坐標為(3,4,7)。若Q點在xy-平面上移動，問Q點為下列選項中哪一點時，∠POQ最小？
      1. (3,3,0)
      2. (3,4,0)
      3. (4,3,0)
      4. (5,12,0)
      5. (12,5,0)
      7. 訣竅運用內積計算求出各選項下的角度餘弦值
      解法
      1. 若Q=(3,3,0)，則有

        cos∠POQ=⇀OP⋅⇀OQ|⇀OP||⇀OQ|=(3,4,7)⋅(3,3,0)|(3,4,7)||(3,3,0)|=21√74⋅√18=7/√2√74

      2. 若Q=(3,4,0)，則有

        cos∠POQ=⇀OP⋅⇀OQ|⇀OP||⇀OQ|=(3,4,7)⋅(3,4,0)|(3,4,7)||(3,4,0)|=25√74⋅5=5√74

      3. 若Q=(4,3,0)，則有

        cos∠POQ=⇀OP⋅⇀OQ|⇀OP||⇀OQ|=(3,4,7)⋅(4,3,0)|(3,4,7)||(4,3,0)|=24√74⋅5=24/5√74

      4. 若Q=(5,12,0)，則有

        cos∠POQ=⇀OP⋅⇀OQ|⇀OP||⇀OQ|=(3,4,7)⋅(5,12,0)|(3,4,7)||(5,12,0)|=63√74⋅13=63/13√74

      5. 若Q=(12,5,0)，則有

        cos∠POQ=⇀OP⋅⇀OQ|⇀OP||⇀OQ|=(3,4,7)⋅(12,5,0)|(3,4,7)||(12,5,0)|=56√74⋅13=56/13√74

      由於比較各選項角度的餘弦值的分子，可以注意到5是最大的，從而選項(2)的角度最小，應選(2)。

    7. 如右圖，複數z在平面上對應的點P在單位圓O的外部，問複數1z對應的點大概是哪一點？
      1. A
      2. B
      3. C
      4. D
      5. E
      8. 訣竅利用複數的極式表達來思考。
      解法若將z寫為極式z=r(cosθ+isinθ)，其中r>1且θ∈(0,π2)，如此有

      1z=1r(cos(−θ)+isin(−θ))

      因此1z位於第四象限且長度小於1，故最有可能為D點，應選(4)。
  2. 多重選擇題
    3. 說明：第8至第12題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得5分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲2.5分，錯兩個或兩個以上不給分。
    1. 空間中兩相異球面的交集可能是
      1. 空集合
      2. 一點
      3. 兩點
      4. 一圓
      5. 兩圓
      2. 訣竅依據空間中的幾何常識推斷。
      解法兩相異球面之相交情形可按球心距和半徑的關係分類：相離（不相交或稱交集為空集合）、相切（交於一點）或相交於一圓，故選(1)(2)(4)。

    2. 已知坐標平面上一拋物線C之對稱軸與坐標軸平行，且C通過(−1,6)與(3,6)兩點，試問下列哪些敘述是正確的？
      1. C與x-軸必相交；
      2. C與y-軸必相交；
      3. 如果C通過(2,5)，則可找到實數r≠2而C也通過(r,5)；
      4. 如果C通過(4,8)，則可找到實數s≠8而C也通過(4,s)；
      5. 如果C通過(0,3)，則C的頂點之y-坐標為2。
      3. 訣竅運用拋物線的特性來思考。
      解法利用拋物線的對稱性可以由條件知道對稱軸為x=1，從而該拋物線為開口向上或開口向下的拋物線，從而未必與x-軸相交但必與y-軸相交，因此選項(1)錯誤而選項(2)正確；

      利用對稱於x=1，可以知道若C通過(2,5)，則C亦通過(0,5)，選項(3)正確。

      反之，拋物線C為x的函數，故當C通過(4,8)時便可知不存在s≠8使(4,s)落於C上，故選項(4)錯誤。

      由於x=1為對稱軸，因此可設拋物線C之方程式為y=a(x−1)2+k。由於通過(3,6)以及(0,3)可得聯立方程

      {4a+k=6,a+k=3

      如此可解得a=1、k=2，亦即有y=(x−1)2+2，故頂點座標為(1,2)，因此選項(5)正確。

      由以上的討論可知應選(2)(3)(5)。

    3. 關於三次多項式f(x)=x3−6x2+1，試問下列哪些敘述是正確的？
      1. f(x)=0有實根落在0與1之間；
      2. f(x)=0有實根大於1；
      3. f(x)=0有實根小於−1；
      4. f(x)=0有實根也有虛根；
      5. f(x)=10有實數解。
      4. 訣竅由代數基本定理知道共有三複數根，接著運用勘根定理試探實根之位置。
      解法
      1. 容易知道f(0)=1、f(1)=−4，從而根據勘根定理可知存在c∈(0,1)使f(c)=0，本選項正確。
      2. 由於f(1)=−4、f(6)=1，因此存在d∈(1,6)使得f(d)=0，本選項正確。
      3. 若有實數根小於−1，記該實根為s，則s3<−1、6s2<0，從而f(s)<0，不可能為實根，本選項錯誤。
      4. 由(1)(2)可知f至少有兩實根，但由實係數多項式虛根成對定理可知不可能僅有一虛根，因此三根皆為實根，本選項錯誤。
      5. 解f(x)=10等同於解x3−6x2−9=0，同樣由實係數虛根成對原理可知至少有一實數根，從而本選項正確。
      由以上分析可知應選(1)(2)(5)。

    4. 考慮坐標空間中三平面x+2y−3z=1，x+3y−2z=−1及x+by+cz=1（b,c為實數），試問下列哪些敘述是正確的？
      1. 當b=1，c=1時，三平面沒有共同交點；
      2. 當b=−1，c=1時，三平面恰交於一點；
      3. 當b=4，c=−1時，三平面恰交於一點；
      4. 當b=1，c=−4時，三平面恰交於一直線；
      5. 當b=2，c=−3時，三平面恰交於一直線；
      5. 訣竅直接依各選項的假設解聯立方程組即可。
      解法
      1. 若b=1，c=1，則聯立方程組

        {x+2y−3z=1,x+3y−2z=−1,x+y+z=1.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,−y+4z=0.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,5z=−2

        因此可解得x=3,y=−85,z=−25，本選項錯誤。
      2. 若b=−1，c=1，則聯立方程組

        {x+2y−3z=1,x+3y−2z=−1,x−y+z=1.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,−3y+4z=0.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,7z=−6.

        因此可解得x=57,y=−87,z=−67，故本選項正確。
      3. 若b=4，c=−1，則聯立方程組

        {x+2y−3z=1,x+3y−2z=−1,x+4y−z=1.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,2y+2z=0.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,0=4

        因此本聯立方程組無解，故此選項錯誤。
      4. 若b=1，c=−4，則聯立方程組

        {x+2y−3z=1,x+3y−2z=−1,x+y−4z=1.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,−y−z=0.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,0=−2

        因此本聯立方程組無解，故此選項錯誤。
      5. 若b=2，c=−3，則聯立方程組

        {x+2y−3z=1,x+3y−2z=−1,x+2y−3z=1.⟹{x+2y−3z=1,y+z=−2,0=0.

        因此本聯立方程組有無窮多解：{x=5+5t,y=−2−t,z=t，其中t∈R，因此本選項正確。
      由以上的分析可知應選(2)(5)。

    5. 九十一學年度指定科目考試約有5萬4千名考生報考「數學甲」，考生得分情形（由低至高）如下表，第一列為得分範圍（均含下限不含上限），第二列為得分在該區間之人數佔全體考生之百分比。

      0∼1010∼2020∼3030∼4040∼5050∼6060∼7070∼8080∼9090∼10010.458.1811.8514.9616.015.2810.817.063.841.57

      試問下列有關該次考試考生得分之敘述有哪些是正確的？
      1. 全體考生得分之中位數在40分（含）與50分（不含）之間；
      2. 全體考生得分（由低至高）之第一四分位數在20分（含）與30分（不含）之間；
      3. 全體考生得分（由低至高）之第三四分位數在50分（含）與60分（不含）之間；
      4. 不到三成的考生得分少於30分；
      5. 如果將得分≥60分看成及格，則有四成以上的考生成績及格。
      6. 訣竅按統計量與圖表的資訊計算即可。
      解法
      1. 由於0∼40的人數佔了45.44%，而0∼50的人數佔了61.44%，因此中位數位於40∼50，故本選項正確。
      2. 由於0∼20的人數佔了18.63%，而0∼30的人數佔了30.48%，故第一四分位數位於20∼30之間，故本選項正確。
      3. 由於0∼50的人數佔了61.44%，而0∼60的人數佔了76.72%，故第一四分位數位於50∼60之間，故本選項正確。
      4. 由於0∼30的人佔了30.48%，超過三成，故本選項錯誤。
      5. 60∼100的人佔23.28%，故僅有二成至三成之間的考生成績及格，故本選項錯誤。
      由以上可知應選(1)(2)(3)。
第二部分：填充題
說明：
  1. 第A至H題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-31)。
  2. 每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
  1. 某高中高三學生依選考類組分成三班，各班學生人數分別為40,25,35人，第一次段考數學科各班老師算出該班平均成績分別為69,78,74分，則這次考試全年級的平均成績是⑬⑭_分。（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。）
    2. 訣竅依據平均與全體總分的關係計算即可。
    解法全體平均可以直接計算如下

    40⋅69+25⋅78+35⋅7440+25+35=2760+1950+2590100=73

    故填入⑬=7、⑭=3。

  2. 設多項式(x+1)6除以x2+1的餘式為ax+b，則a=⑮⑯_，b=⑰_。
    3. 訣竅直接展開後進行除法即可。
    解法將(x+1)6展開可得

    (x+1)6=x6+6x5+15x4+20x3+15x2+6x+1

    將該多項式除以x2+1可得

    x6+6x5+15x4+20x3+15x2+6x+1=(x2+1)(x4+6x3+14x2+14x+1)−8x

    故餘式為−8x，因此a=−8、b=0，遂填入⑮=−、⑯=8、⑰=0。

  3. 解方程式log3x7+log13x=24，得x=⑱⑲_。
    4. 訣竅運用對數律簡化方程即可求解。
    解法依據對數律可知log3x7=7log3x、log13x=−log3x，因此原方程可改寫如下

    7log3x−log3x=24

    如此有log3x=4，故x=34=81，因此填入⑱=8、⑲=1。

  4. 試問不等式(x2−4x+2)(2x−5)(2x−37)≤0有多少個整數解？
    答：⑳㉑_個。
    5. 訣竅注意到x2−4x+2=0會有實根並解高次不等式即可。
    解法由於x2−4x+2=0可得x=2±√2，因此不等式可寫為

    [x−(2+√2)][x−(2−√2)](2x−5)(2x−37)≤0

    再者，由18.5>2+√2>2.5>2−√2，因此不等式之解為

    [2−√2,2.5]∪[2+√2,18.5]

    可以注意到1,2∈[2−√2,2.5]、4,5,⋯,18∈[2+√2,18.5]，因此整數解為1至18但除了3以外的整數，共計17個。填入⑳=1、㉑=7。

  5. 有一正四面體的公正骰子，四面點數分別為1,2,3,4。將骰子丟三次，底面的點數分別為a,b,c，則這三個數可作為三角形三邊長的機率是　㉒㉓㉔㉕　_。(化成最簡分數)
    6. 訣竅將符合條件的三邊長分類點數。
    解法四面骰丟擲三次共有43=64種可能。而要能形成三邊形之邊長則有(1,1,1)、(1,2,2)、(1,3,3)、(1,4,4)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,3)、(2,3,4)、(2,4,4)、(3,3,3)、(3,3,4)、(3,4,4)、(4,4,4)，並且考慮其排列順序則有
    • 僅有一種：(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)、(4,4,4)；
    • 僅三種：(1,2,2)、(1,3,3)、(1,4,4)、(2,2,3)、(2,3,3)、(2,4,4)、(3,3,4)、(3,4,4)；
    • 僅六種：(2,3,4)。
    總計有4⋅1+8⋅3+1⋅6=34種，故機率為3464=1732，因此填入㉒=1、㉓=7、㉔=3、㉕=2。

  6. 設P為橢圓Γ:x225+y29=1上的一點且位在上半平面。若F1、F2為Γ之焦點，且∠F1PF2為直角，則P點的y-坐標為　㉖㉗　_。(化成最簡分數)
    7. 訣竅根據橢圓的標準式所提供的資訊解題。
    解法由標準式可知a2=25、b2=9，故c2=16，從而c=4，故焦點座標為(−4,0)、(4,0)。設P點坐標為(a,b)，那麼向量⇀PF1與⇀PF2垂直，故有

    a2+b2−16=(−4−a,−b)⋅(4−a,−b)=⇀PF1⋅⇀PF2=0

    又因P落在橢圓上，故(a,b)滿足方程a225+b29=1，亦即9a2+25b2=225，如此與a2+b2=16解得16b2=81。最後按題設P位於上半平面，從而有b=94，填入㉖=9、㉗=4。

  7. 設(a,b)為二次曲線x2+y2−6x−2y+9=0上的點，則a2+b2−2b的最大值為㉘㉙_。
    8. 訣竅運用幾何意義來考慮此問題。
    解法首先可以注意到x2+y2−6x−2y+9=0可表為(x−3)2+(y−1)2=1，亦即(a,b)位於以(3,1)為圓心的單位圓上，再者a2+b2−2b=a2+(b−1)2−1，其中a2+(b−1)2可視為(a,b)到(0,1)的距離的平方。如此最遠的距離為取(a,b)=(4,1)，從而a2+b2−2b的值為41+12−2⋅1=15，因此填入㉘=1、㉙=5。

  8. 在坐標平面上，一道光線通過原點O後，沿著y-軸射向直線L:y=12x+1，碰到直線L後，假設光線依光學原理（入射角等於反射角）反射後通過x-軸上的R點，則R點的x-坐標為　㉚㉛　_。(化成最簡分數)
    9. 訣竅計算其反射的位置並運用入射角等於反射角來找出R點。
    解法首先，通過O點沿著y軸會碰到點(0,1)。又由於L的斜率為12，其法線斜率為−2，故法線方程為L′:y−1=−2x。作O對L′的對稱點為(45,25)，接著連接(0,1)與(45,25)得直線y−1=−34x。此直線交x軸於R(43,0)，因此填入㉚=4、㉛=3。

參考公式及可能用到的數值

  1. 一元二次方程式ax2+bx+c=0的公式解：x=−b±√b2−4ac2a
  2. 通過(x1,y1)與(x2,y2)的直線斜率m=y2−y1x2−x1，x2≠x1。
  3. 等比級數⟨arn−1⟩的前n項之和Sn=a⋅(1−rn)1−r，r≠1。
  4. ΔABC的正弦與餘弦定理
    (1) asinA=bsinB=csinC=2R，R為外接圓半徑（正弦定理）
    (2) c2=a2+b2−2abcosC　　（餘弦定理）
  5. 統計公式：
    算術平均數　M(=ˉX)=1n(x1+x2+⋯+xn)=1nn∑i=1xi
    標　準　差　S=√1n−1n∑i=1(xi−ˉX)2
  6. 參考數值：√2≈1.414；　√3≈1.732；　√5≈2.236；　√6≈2.449；　π≈3.142
  7. 對數值：log102≈0.3010，log103≈0.4771，log105≈0.6990，log107≈0.8451

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