九十二學年度數學學科能力測驗

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九十二學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單一選擇題$5$題，多重選擇題$6$題，填充題第$A$至$I$題共$9$題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

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第一部分：選擇題

1. 單一選擇題
說明：第$1$至$5$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
1. 試問有多少個正整數$n$使得$\displaystyle\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{10}{n}$為整數？
   1. $1$個
   2. $2$個
   3. $3$個
   4. $4$個
   5. $5$個
訣竅
運用因數的觀念求解。
解法
將該式進行計算可得
$\displaystyle\frac{1+2+\cdots+10}{n}=\frac{55}{n}$
由於該數為整數，此表明$n$為$55$的因數，故$n$可能為$1,5,11,55$，計有四種可能，應選(4)。


2. 若$f\left(x\right)=x^3-2x^2-x+5$，則多項式$g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$除以$\left(x-2\right)$所得的餘式為
   1. $3$
   2. $5$
   3. $7$
   4. $9$
   5. $11$
訣竅
運用餘式定理即可。
解法
運用餘式定理可知$g$除以$x-2$的餘式為
$g\left(2\right)=f\left(f\left(2\right)\right)=f\left(3\right)=11$
應選(5)。


3. 若$\left(4+3i\right)\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$為小於$0$的實數，則$\theta$是第幾象限角？
   1. 第一象限角
   2. 第二象限角
   3. 第三象限角
   4. 第四象限角
   5. 條件不足，無法判斷
訣竅
運用極式的運算性質判斷。
解法
首先可以將$4+3i$表為$5\left(\cos\psi+i\sin\psi\right)$，其中$\psi$滿足$\displaystyle\cos\psi=\frac{4}{5}$、$\displaystyle\sin\psi=\frac{3}{5}$。從而運算式可得為
$5\left[\cos\left(\psi+\phi\right)+i\sin\left(\psi+\phi\right)\right]$
由於該數為負實數，此表明$\psi+\phi=\left(2n+1\right)\pi$，其中$n$為整數。故有$\psi=\left(2n+1\right)\pi-\phi$。又知$\phi$為銳角，從而$\psi$落於第二象限中，應選(2)。


4. 設$ABC$為坐標平面上一三角形，$P$為平面上一點且$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{1}{5}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{2}{5}\overset{\rightharpoonup}{AC}$，則$\displaystyle\frac{\Delta ABP\text{面積}}{\Delta ABC\text{面積}}$等於
   1. $\displaystyle\frac{1}{5}$
   2. $\displaystyle\frac{1}{4}$
   3. $\displaystyle\frac{2}{5}$
   4. $\displaystyle\frac{1}{2}$
   5. $\displaystyle\frac{2}{3}$
訣竅
運用分點公式和同底等高的觀念獲得面積比。
解法
將向量$\overset{\rightharpoonup}{AP}$延長$\displaystyle\frac{5}{3}$倍可得
$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AD}=\frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{2}{3}\overset{\rightharpoonup}{AC}$
從而由分點公式可知$D$落於$\overline{BC}$且滿足$\overline{BD}:\overline{DC}=2:1$，因此由同底等高之思想可知$\Delta ABD$的面積為$\Delta ABC$的$\displaystyle\frac{2}{3}$倍。又由$\overline{AP}:\overline{AD}=3:5$，從而有$\Delta ABP$的面積又為$\Delta ABD$的$\displaystyle\frac{3}{5}$倍。綜合可知$\Delta ABP$的面積為$\Delta ABC$的$\displaystyle\frac{2}{5}$倍，應選(3)。


5. 根據統計資料，在$A$小鎮當某件訊息發布後，$t$小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的$100\left(1-2^{-kt}\right)\%$，其中$k$是某個大於$0$的常數。今有某訊息，假設在發布後$3$小時之內已經有$70\%$的人口聽到該訊息。又設最快要$T$小時後，有$99\%$的人口已聽到該訊息，則$T$最接近下列哪一個選項？
   1. $5$小時
   2. $\displaystyle7\frac{1}{2}$小時
   3. $\displaystyle9$小時
   4. $\displaystyle11\frac{1}{2}$小時
   5. $13$小時
訣竅
運用對數律和對數值求解。
解法
按題設有$100\left(1-2^{-3k}\right)=70$，因此可知$2^{-3k}=0.3$。再者又由最快要$T$小時後有$99\%$的人口聽到該訊息，則有$100\left(1-2^{-kT}\right)=99$，因此可知$2^{-kT}=0.01$。兩者取以$10$為底的對數有
$-3k\log2=\log0.3$　；　$-kT\log2=-2$
兩式相除可約去$k$得
$\displaystyle\frac{T}{3}=\frac{-2}{\log0.3}=\frac{-2}{\log3-1}=\frac{2}{1-\log3}$
因此有$\displaystyle T=\frac{6}{1-\log3}\approx\frac{6}{1-0.4771}=\frac{6}{0.5229}\approx\frac{6}{0.5}=12$。又該數略為高估，故應選(4)。
2. 多重選擇題
說明：第$6$至第$11$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
6. 如右圖，兩直線$L_1$、$L_2$之方程式分別為$L_1:x+ay+b=0$，$L_2:x+cy+d=0$；試問下列哪些選項是正確的？
   1. $a>0$
   2. $b>0$
   3. $c>0$
   4. $d>0$
   5. $a>c$
   
訣竅
藉由斜率和$x$截距在圖形中的呈現來判別其大小。
解法
1. 由於$L_1$的斜率為$\displaystyle\frac{-1}{a}>0$，故$a<0$，此選項錯誤。
2. 由於$L_1$通過$\left(-b,0\right)$，並由圖形可知$-b>0$，亦即有$b<0$，此選項錯誤。
3. 由於$L_2$的斜率為$\displaystyle\frac{-1}{c}>0$，故$c<0$，此選項錯誤。
4. 由於$L_2$通過$\left(-d,0\right)$，並由圖形可知$-d<0$，亦即有$d>0$，此選項正確。
5. 由圖中可知$\displaystyle\frac{-1}{a}>\frac{-1}{c}$，兩邊同乘以$-ac<0$可得$c<a$，本選項正確。
由以上可知應選(4)(5)。


7. 如右圖，$ABCD-EFGH$為一平行六面體，$J$為四邊形$BCGF$的中心，如果$\overset{\rightharpoonup}{AJ}=a\overset{\rightharpoonup}{AB}+b\overset{\rightharpoonup}{AD}+c\overset{\rightharpoonup}{AE}$，試問下列哪些選項是正確的？
   1. $\displaystyle\frac{1}{3}<b<\frac{2}{3}$
   2. $a+b+c=2$
   3. $a=1$
   4. $a=2c$
   5. $a=b$
   
訣竅
藉由圖形和設定可直接求得係數，進而判別各個選項。
解法
直接計算可以知道
$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AJ}=\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AD}+\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AE}$
因此$a=1$、$\displaystyle b=c=\frac{1}{2}$。如此容易檢驗選項(1)(2)(3)(4)正確而(5)錯誤，故選(1)(2)(3)(4)。


8. 以下各數何者為正？
   1. $\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}$
   2. $\log_23-1$
   3. $\log_32-1$
   4. $\displaystyle\log_{\frac{1}{2}}3$
   5. $\displaystyle\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}$
訣竅
運用指數函數和對數函數圖形的特性求解。
解法
1. 考慮指數函數$y=2^x$，由於底數大於$1$，因此為遞增函數，故$2^{1/2}>2^{1/3}$，因此$\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}>0$，此數為正。
2. 考慮對數函數$y=\log_2x$，由於底數大於$1$，因此為遞增函數，故$\log_23-1=\log_23-\log_22>0$，此數為正。
3. 考慮對數函數$y=\log_3x$，由於底數大於$1$，因此為遞增函數，故$\log_32-1=\log_32-\log_33<0$，此數為負。
4. 考慮對數函數$y=\log_{\frac{1}{2}}x$，由於底數小於$1$，因此為遞減函數，故$\log_{\frac{1}{2}}3<\log_{\frac{1}{2}}1=0$，此數為負。
5. 考慮對數函數$y=\log_{\frac{1}{2}}x$，由於底數小於$1$，因此為遞減函數，故$\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}>\log_{\frac{1}{3}}1=0$，此數為正。
由以上分析可知應選(1)(2)(5)。


9. 下列哪些函數的最小正週期為$\pi$？
   1. $\sin x+\cos x$
   2. $\sin x-\cos x$
   3. $\left|\sin x+\cos x\right|$
   4. $\left|\sin x-\cos x\right|$
   5. $\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|$
訣竅
運用三角疊合的概念整理等式。
解法
1. 可將此選項改寫如下

   $\displaystyle\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

   如此為最小正週期為$2\pi$的函數。
2. 可將此選項改寫如下

   $\displaystyle\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

   如此為最小正週期為$2\pi$的函數。
3. 按(1)的改寫可知

   $\displaystyle\left|\sin x+\cos x\right|=\sqrt{2}\left|\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|$

   由於絕對值會使得三角函數取負值之處對稱$x$軸而改取正值，因此原先的最小正週期$2\pi$變為一半，亦即現在的最小正週期為$\pi$。
4. 按(2)的改寫可知

   $\displaystyle\left|\sin x+\cos x\right|=\sqrt{2}\left|\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|$

   由於絕對值會使得三角函數取負值之處對稱$x$軸而改取正值，因此原先的最小正週期$2\pi$變為一半，亦即現在的最小正週期為$\pi$。
5. 由於$\left|\sin x\right|$與$\left|\cos x\right|$的最小正週期為$\pi$，可以知道$\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|$的週期亦為$\pi$，但仔細檢驗可發現$\displaystyle\frac{\pi}{2}$亦為其正週期，因此$\pi$不為最小的正週期。
由以上分析可知應選(3)(4)。


10. 假設坐標平面上一非空集合$S$內的點$\left(x,y\right)$具有以下性質：「若$x>0$，則$y>0$」。試問下列哪些敘述對$S$內的點$\left(x,y\right)$必定成立？
    1. 若$x\leq0$，則$y\leq0$；
    2. 若$y\leq0$，則$x\leq0$；
    3. 若$y>0$，則$x>0$；
    4. 若$x>1$，則$y>0$；
    5. 若$y<0$，則$x\leq0$。
訣竅
運用基礎邏輯的觀念進行推理。
解法
1. 按題設的性質無法知道$x\leq0$之情形，故此敘述未必成立。
2. 此選項為題幹性質的逆否命題，故此敘述必定成立。
3. 此敘述為題幹性質的逆命題，故此敘述未必成立。
4. 因為$x>1$蘊含$x>0$，又由題設給定的性質可推論出$y>0$，故此敘述必定成立。
5. 因為$y<0$可推論出$y\leq0$，進而由選項(2)可知能推論出$x\leq0$，故此敘述必定成立。
由以上可知應選(2)(4)(5)。


11. 設$\pi_a:x-4y+az=10$（$a$為常數）、$E_1:x-2y+z=5$及$E_2:2x-5y+4z=-3$為坐標空間中的三個平面。試問下列哪些敘述是正確的？
    1. 存在實數$a$使得$\pi_a$與$E_1$平行；
    2. 存在實數$a$使得$\pi_a$與$E_1$垂直；
    3. 存在實數$a$使得$\pi_a$，$E_1$，$E_2$交於一點；
    4. 存在實數$a$使得$\pi_a$，$E_1$，$E_2$交於一直線；
    5. 存在實數$a$使得$\pi_a$，$E_1$，$E_2$沒有共同交點。
訣竅
根據空間平面的觀念答題。
解法
1. 由於$x,y$的係數不成比例，故不存在$a$能使$\pi_a$與$E_1$平行。
2. 取$a=-9$能使$\left(1,-4,a\right)\cdot\left(1,-2,1\right)=0$，此表明兩平面之法向量垂直，進而兩平面垂直。
3. 由$\pi_a$、$E_1$、$E_2$係數所形成的行列式值如下

   $\left|\begin{matrix}1&-4&a\\1&-2&1\\2&-5&4\end{matrix}\right|=5-a$

   因此當$a\neq5$時聯立方程組將恰有解，此表明三個平面將交於一點。
4. 由(3)可知當$a=5$時會使行列式值為$0$。運用高斯消去法解下列的聯立方程組

   $\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &x-4y+5z=10,\\&x-2y+z=5,\\&2x-5y+4z=-3.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x-4y+5z=10,\\&2y-4z=-5,\\&3y-6z=-23.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned} &x-4y+5z=10,\\&2y-4z=-5,\\&0=-15.5\end{aligned}\right.\end{aligned}$

   從而無解，故三平面不交於一線。
5. 由(4)可知取$a=5$可使三平面無共同交點。
由上述分析可知應選(2)(3)(5)。

第二部分：填充題

說明：

1. 第$A$至$I$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12-34)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 設$a_1,a_2,\cdots,a_{50}$是從$-1,0,1$這三個整數中取值的數列。若$a_1+a_2+\cdots+a_{50}=9$且$\left(a_1+1\right)^2+\left(a_2+1\right)^2+\cdots+\left(a_{50}+1\right)^2=107$，則$a_1,a_2,\cdots,a_{50}$當中有幾項是$0$？
   答：$\underline{⑫⑬}$項。
訣竅
由於已知數列中的數值僅有三種，因此假設此三種的取值的數量後可獲得這些數量的關係式，藉此求解即可。
解法
設$-1$有$n$個，$1$有$m$個，則$0$有$50-n-m$個。由於$a_1+a_2+\cdots+a_{50}=9$，如此可知$m-n=9$。而$\left(a_1+1\right)^2+\left(a_2+1\right)^2+\cdots+\left(a_{50}+1\right)^2=107$可得$2^2\cdot m+1^2\cdot\left(50-n-m\right)=107$，亦即$3m-n=57$。兩式相減可得$2m=48$，即有$m=24$，而$n=15$，進而可知$0$有$50-n-m=11$項，故填入$⑫=1$、$⑬=1$。


2. 金先生在提款時忘了帳號密碼，但他還記得密碼的四位數字中，有兩個$3$，一個$8$，一個$9$，於是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試。請問他只試一次就成功的機率有多少？答：$\displaystyle\underline{　\frac{⑭}{⑮⑯}　}$。(化為最簡分數)
訣竅
運用相同物排列來計算所有情形，並注意到成功的情形僅有一種。
解法
四個數字排成一列有$4!=24$種，其中有兩個$3$，因此總情形僅有$\displaystyle\frac{4!}{2}=12$種，故一次就成功的機率為$\displaystyle\frac{1}{12}$，應填入$⑭=1$、$⑮=1$、$⑯=2$。


3. 設$A\left(1,0\right)$與$B\left(b,0\right)$為坐標平面上的兩點，其中$b>1$。若拋物線$\Gamma:y^2=4x$上有一點$P$使得$\Delta ABP$為一正三角形，則$b=\underline{⑰}$。
訣竅
按題設假定$P$之坐標後，利用正三角形之三邊長相等列出方程求解。
解法
設$P$之坐標為$\left(a^2,\pm2a\right)$，其中$a>0$。若$\Delta ABP$為正三角形，則有$\overline{AP}=\overline{PB}=\overline{BA}$，即有
$\displaystyle\sqrt{\left(a^2-1\right)^2+\left(\pm2a\right)^2}=\sqrt{\left(a^2-b\right)^2+\left(\pm2a\right)^2}=b-1$
由前兩式可知$\left|a^2-1\right|=\left|a^2-b\right|$，由於$a^2-1\neq a^2-b$，故$a^2-1=b-a^2$，從而有$\displaystyle a^2=\frac{b+1}{2}$。再者由第一式與第三式相等可得
$\displaystyle\left(\frac{b+3}{2}\right)^2=\left(a^2+1\right)^2=a^4+2a^2+1=a^4-2a^2+1+4a^2=\left(b-1\right)^2$
因此$\displaystyle\frac{b+3}{2}=b-1$或$\displaystyle\frac{b+3}{2}=1-b$，由此解得$b=5$或$\displaystyle b=-\frac{1}{3}$。由於$b>1$，故$\displaystyle b=-\frac{1}{3}$不合，因此$b=5$，應填$⑰=5$。


4. 設$P$為雙曲線$\displaystyle\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$上的一點且位在第一象限。若$F_1$、$F_2$為此雙曲線的兩個焦點，且$\overline{PF_1}:\overline{PF_2}=1:3$，則$\Delta F_1PF_2$的周長等於$\underline{⑱⑲}$。
訣竅
依據雙曲線的定義以及的標準式的結構求解。
解法
首先可知$a^2=9$、$b^2=16$，因此$c^2=a^2+b^2=25$，故$c=5$，亦即焦點坐標為$\left(-5,0\right)$和$\left(5,0\right)$，從而$\overline{F_1F_2}=2c=10$。另一方面，按雙曲線的定義可知$\overline{PF_2}-\overline{PF_1}=2a=6$，且由$\overline{PF_1}:\overline{PF_2}=1:3$可解得$\displaystyle\overline{PF_1}=3$、$\overline{PF_2}=9$。綜合以上的資訊可知$\Delta F_1PF_2$之周長為
$\overline{F_1P}+\overline{PF_2}+\overline{F_2F_1}=3+9+10=22$
故填入$⑱=2$、$⑲=2$。


5. 在坐標空間中，通過$O\left(0,0,0\right)$，$N\left(0,0,1\right)$，$\displaystyle P\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{11}}{4},-\frac{1}{2}\right)$三點的平面與球面$S:x^2+y^2+z^2=1$相交於一個圓$C$，則圓$C$的劣弧$\overset{\frown}{NP}$的弧長等於$\displaystyle\underline{　\frac{⑳}{㉑}\pi　}$。（化成最簡分數）
   (所謂劣弧$\overset{\frown}{NP}$是指圓$C$上由$N,P$兩點所連接的兩弧中較短的那一段弧。)
訣竅
將弧長化為圓心角之弧度後利用內積求角度。
解法
由於點$O$為單位球面$S$之球心，因此點$O$亦為單位圓$C$之圓心，因此$\overset{\frown}{NP}$等於$\angle NOP$之弧度。利用向量內積可知
$\displaystyle-\frac{1}{2}=\left(0,0,1\right)\cdot\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{11}}{4},-\frac{1}{2}\right)=\overset{\rightharpoonup}{ON}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OP}=\overline{ON}\cdot\overline{OP}\cdot\cos\angle NOP$
因此$\displaystyle\angle NOP=\frac{2\pi}{3}$，故$\displaystyle\overset{\frown}{OP}=\frac{2}{3}\pi$。應填入$⑳=2$、$㉑=3$。


6. 設$k$為一整數。若方程式$kx^2-7x+1=0$有兩個相異實根，且兩根的乘積介於$\displaystyle\frac{5}{71}$與$\displaystyle\frac{6}{71}$之間，則$k=\underline{㉒㉓}$。
訣竅
運用根與係數關係以及該方程有兩相異實根來求解。
解法
由於兩根之乘積為$\displaystyle\frac{1}{k}$，從而使用題設可知$\displaystyle\frac{5}{71}<\frac{1}{k}<\frac{6}{71}$，亦即$\displaystyle\frac{71}{6}<\frac{71}{5}=14.2$，因此$k$可能為$12,13,14$。又因該方程有兩相異實根，故其判別式為$\left(-7\right)^2-4\cdot k\cdot1=49-4k>0$，因此$k=12$，填入$㉒=1$、$㉓=2$。


7. 在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線形拱門的高度。已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸。現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為$6$公尺，且距底部$\displaystyle\frac{3}{2}$公尺高處其寬為$5$公尺。利用這些數據可推算出拱門的高度為$\displaystyle\underline{　\frac{㉔㉕}{㉖㉗}　}$公尺。（化成最簡分數）
訣竅
運用條件獲得拋物線的標準式進而求出拱門高度。
解法
設拋物線之頂點坐標為原點，如此可設拋物線方程式為$x^2=4cy$，其中由凹口向下可知$c<0$。設拱門高為$h$，則依題意可知坐標$\left(\pm3,-h\right)$、$\displaystyle\left(\pm\frac{5}{2},\frac{3}{2}-h\right)$位於拋物線上，從而有
$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &9=-4ch,\\&\frac{25}{4}=4c\left(\frac{3}{2}-h\right)\end{aligned}\right.$
兩式相除可得
$\displaystyle\frac{36}{25}=\frac{-h}{\frac{3}{2}-h}=\frac{2h}{2h-3}$
整理有$36\left(2h-3\right)=25\cdot2h$，如此解得$\displaystyle h=\frac{54}{11}$，因此填入$㉔=5$、$㉕=4$、$㉖=1$、$㉗=1$。


8. 某次數學測驗共有$25$題單一選擇題，每題都有五個選項，每答對一題可得$4$分，答錯倒扣$1$分。某生確定其中$16$題可答對；有$6$題她確定五個選項中有兩個選項不正確，因此這$6$題他從剩下的選項中分別猜選一個；另外$3$題只好亂猜，則他這次測驗得分之期望值為$\underline{㉘㉙}$分。（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。）
訣竅
依據期望值之定義計算之。
解法
由於$16$題確定答對，因此這類問題可期望每題得$4$分；有$6$題可確定兩個選項不正確，因此答對的機率為$\displaystyle\frac{1}{3}$，而答錯的機率為$\displaystyle\frac{2}{3}$，故這類問題的期望值為
$\displaystyle\frac{1}{3}\cdot4+\frac{2}{3}\cdot\left(-1\right)=\frac{2}{3}$
另外$3$題的答對率為$\displaystyle\frac{1}{5}$，而答錯的機率為$\displaystyle\frac{4}{5}$，故這類問題的期望值為
$\displaystyle\frac{1}{5}\cdot4+\frac{4}{5}\cdot\left(-1\right)=0$
故這次測驗得分的期望值為
$\displaystyle16\cdot4+6\cdot\frac{2}{3}+3\cdot0=68$
因此填$㉘=6$、$㉙=8$。


9. 根據統計資料，$1$月份台北地區的平均氣溫是攝氏$16$度，標準差是攝氏$3.5$度。一般外國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱，已知當攝氏溫度為$x$時，華氏溫度為$\displaystyle y=\frac{9}{5}x+32$；若用華氏溫度表示，則$1$月份台北地區的平均氣溫是華氏$\underline{㉚㉛.㉜}$度，標準差是華氏$\underline{㉝.㉞}$度。(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。)
訣竅
留意平均數和標準差在線性變換後的關係。
解法
依據線性變換的關係可知華氏下的平均氣溫為$\displaystyle\frac{9}{5}\cdot16+32=\frac{144}{5}+32=60.8$度，而標準差為$\displaystyle\frac{9}{5}\cdot3.5=9\cdot0.7=6.3$度，因此填入$㉚=6$、$㉛=0$、$㉜=8$、$㉝=6$、$㉞=3$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$。
3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
4. $\Delta ABC$的正弦與餘弦定理
   (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，$R$為外接圓半徑（正弦定理）
   (2) $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$　　（餘弦定理）
5. 統計公式：
   算術平均數　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   標　準　差　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}$
6. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
7. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$