2018年7月6日 星期五

九十一學年度數學學科能力測驗(補考)

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九十一學年度學科能力測驗(補考)試題



數學考科



－作答注意事項－

  1. 考試時間：$100$分鐘
  2. 題型題數：單一選擇題$6$題，多重選擇題$6$題，填充題第$A$至$H$題共$8$題
  3. 作答方式：
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

    2. 填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

第一部分：選擇題
  1. 單一選擇題
    2. 說明：第$1$至$6$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
    1. 在$230$與$240$之間共有多少個質數？
      1. $1$個
      2. $2$個
      3. $3$個
      4. $4$個
      5. $5$個
      2. 訣竅直接檢驗在其間的數何者為質數，並且注意到僅需檢查該數之平方根以下的質數是否能整除之即可。
      解法無須檢查偶數，因此我們僅需檢驗$231$、$233$、$235$、$237$、$239$有那些為質數。易知$235$為$5$的倍數；再者$231=3\cdot77$、$237=3\cdot79$。故僅剩$233$與$239$兩者需要檢驗。
      • $15<\sqrt{233}<16$，而$15$以下的質數有$2,3,5,7,11$，容易檢驗$233$不被數整除，故$233$為質數。
      • $15<\sqrt{239}<16$，而$15$以下的質數有$2,3,5,7,11$，容易檢驗$239$不被數整除，故$239$為質數。
      因此有兩個質數，應選(2)。

    2. 方程式$x^4+2x^2-1=0$有多少個實根？
      1. $0$
      2. $1$
      3. $2$
      4. $3$
      5. $4$
      3. 訣竅視此為二次方程後解方程以判定各根的特性。
      解法記$t=x^2$，則方程式可表為$t^2+2t-1=0$，如此可解得

      $\displaystyle x^2=t=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$

      那麼當$x^2=-1+\sqrt{2}$時可得兩實根$x=\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$，而當$x^2=-1-\sqrt{2}$時可得兩虛根$x=\pm\sqrt{\sqrt{2}+1}i$，故選(3)。

    3. 下列圖形有一為雙曲線，請將它選出來。
      4. 訣竅依照雙曲線之標準型以及其漸近線來推理。
      解法首先選項(1)明顯不為雙曲線，因此找不到貫軸可以同時貫穿兩支曲線頂點。再者選項(3)之兩圖形會有兩個水平漸近線，與雙曲線會有斜漸近線的特點不符。而選項(2)與選項(5)若試著做出斜漸近線時會與曲線本身相交，故不合。因此僅選項(4)最可能為雙曲線。

    4. 如圖所示，在坐標平面上，以原點$\left(0,0\right)$為頂點，且通過$\left(2,2\right),\left(-2,2\right)$的拋物線，它的焦點坐標為
      1. $\left(0,0.5\right)$
      2. $\left(0,1\right)$
      3. $\left(0,1.5\right)$
      4. $\left(0,2\right)$
      5. $\left(0,4\right)$
      5. 訣竅求出拋物線的標準式後即可找出焦點坐標。
      解法可以設拋物線方程式為$y=kx^2$，那麼由$\left(2,2\right)$與$\left(-2,2\right)$可得$\displaystyle k=\frac{1}{2}$。又留意拋物線標準式為$x^2=4cy$，從而可知焦距$\displaystyle c=\frac{1}{2}$，遂知焦點為$\displaystyle\left(0,\frac{1}{2}\right)$，故選(1)。

    5. 九十年度大學學科能力測驗有$12$萬名考生，各學科成績採用$15$級分，數學學科能力測驗成績分佈圖如下圖。請問有多少考生的數學成績級分高於$11$級分？選出最接近的數目。
      1. $4000$人
      2. $10000$人
      3. $15000$人
      4. $20000$人
      5. $32000$人
      6. 訣竅由圖表中推估人數百分比並由總人數獲得所求。
      解法高於$11$級分的人數百分比和約為$2.8\%+3\%+1\%+1.5\%=8.3\%$。又由總考生人數為$12$萬人可知高於$11$級分的人數約為

      $120000\cdot0.083=9960$人

      故選(2)。

    6. 如圖
      $\Delta ABC$中，$BC$邊上兩點$D$、$E$分別與$A$連線。假設$\angle ACB=\angle ADC=45^\circ$，三角形$ABC$, $ABD$, $ABE$的外接圓直徑分別為$c,d,e$。試問下列何者為真？
      1. $c<e<d$
      2. $d<e<c$
      3. $e<c$，$d<c$
      4. $d=c<e$
      5. $d=c>e$
      7. 訣竅題目涉及外接圓直徑，因此運用正弦定理為本題關鍵。
      解法對三角形$ABC$、$ABD$、$ABE$分別運用正弦定理可知

      $\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin45^\circ}=c$　；　$\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin135^\circ}=d$　；　$\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin\angle AED}=e$

      由於$\sin45^\circ=\sin135^\circ<\sin\angle AED$，因此$c=d>e$，應選(5)。
  2. 多重選擇題
    3. 說明：第$7$至第$12$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。
    1. 關於雙曲線$x^2-y^2=1$，下列選項何者為真？
      1. 對稱於$y$軸
      2. 對稱於直線$x-y=0$
      3. 直線$x+y=0$為一漸近線
      4. $\left(-2,0\right)$及$\left(2,0\right)$為其焦點
      5. $\left(-1,0\right)$及$\left(1,0\right)$為其頂點
      2. 訣竅依雙曲線的標準式探求其圖形的結構始能分析各個選項。
      解法根據題幹給定的雙曲線標準式$x^2-y^2=1$可知其中心為$\left(0,0\right)$，貫軸長$2a=2$，共軛軸長$2b=2$，焦距$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}$。

      首先可以知道此雙曲線會對稱於$x=0$與$y=0$，從而選項(1)正確而選項(2)錯誤。再者，藉由解$x^2-y^2=0$可得$x=y$和$x+y=0$，此二者為漸近線，從而選項(3)正確。

      由於此雙曲線之開口向左右且$c=\sqrt{2}$，故焦點坐標為$\left(\sqrt{2},0\right)$、$\left(-\sqrt{2},0\right)$，因此選項(4)錯誤。又因$a=1$，從而頂點坐標為$\left(-1,0\right)$和$\left(1,0\right)$，因此選項(5)正確。

      由以上的討論可知應選(1)(3)(5)。

    2. 設實數$a,b$滿足

      $0<a<1,~0<b<1$.

      則下列選項哪些定為真？
      1. $0<a+b<2$
      2. $0<ab<1$
      3. $-1<b-a<0$
      4. $0<a/b<1$
      5. $\left|a-b\right|<1$
      3. 訣竅運用實數的基本特性進行推理或舉出反例。
      解法
      1. 對不等式$0<a<1$同時增加$b$可得

        $b<a+b<1+b$

        由於$b>0$，因此運用遞移律有$a+b>0$。另一方面，由$b<1$，同時增加$1$可得$1+b<2$，再次使用遞移律有$a+b<2$。綜合可得

        $0<b<a+b<1+b<2$

        故本選項正確。
      2. 對不等式$0<a<1$同時乘以$b$可得$0<ab<b$。又因$b<1$以及遞移律可得

        $0<ab<b<1$

        故本選項正確。
      3. 取$b=0.7$、$a=0.3$，可以知道$b-a=0.4>0$，故本選項錯誤。
      4. 取$a=0.5$、$b=0.25$，則$a/b=2>1$，故本選項錯誤。
      5. 直接計算可知

        $-1<a-b<1$

        以及

        $-1<b-a<1$

        故可知道$\left|a-b\right|<1$，因此本選項正確。
      綜合以上討論可知應選(1)(2)(5)。

    3. 如圖
      $\bigtriangleup ABC$的對邊分別為$a,b,c$，$P$為$C$點的垂足，$h$為高，$\overline{BP}=x$，$\overline{AP}=y$，則下列選項那些必定為真？
      1. $\displaystyle\cos C=\frac{h}{a}+\frac{h}{b}$
      2. $\displaystyle\cos C=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$
      3. $\cos C=\cos\left(A+B\right)$
      4. $\displaystyle\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
      5. $\displaystyle\cos C=\frac{h^2-xy}{ab}$
      4. 訣竅運用三角函數的和差角公式計算即可
      解法利用和角公式可知

      $\displaystyle\cos C=\cos\left(180^\circ-A-B\right)=-\cos\left(A+B\right)=-\cos A\cos B+\sin A\sin B=-\frac{x}{a}\frac{y}{b}+\frac{h}{a}\frac{h}{b}=\frac{h^2-xy}{ab}$

      如此選項(1)(2)(3)錯誤而(5)正確。再者由餘弦定理可知(4)正確。因此應選(4)(5)。

    4. 平面上有一個直角三角形，其三邊的斜率為實數$m_1,m_2,m_3$，並假設$m_1>m_2>m_3$。則下列選項哪些必定為真？
      1. $m_1m_2=-1$
      2. $m_1m_3=-1$
      3. $m_1>0$
      4. $m_2<0$
      5. $m_3<0$
      5. 訣竅由於三邊之斜率為實數值，故無鉛直線；又因三直線形成直角三角形，故有兩條直線互相垂直，從而斜率相乘為$-1$。
      解法由於三直線形成直角三角形，故形成直角之直線斜率相乘為$-1$，可知至少有一斜率為正而另一斜率為負，從而可以肯定知道$m_1$為正數而$m_3$為負數，而$m_2$以及何二者直線垂直皆無法確定，故選(3)(5)。

    5. 函數$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\cos10x-\cos12x\right)$，$x$為實數。則下列選項哪些為真？
      1. $f\left(x\right)=\sin11x\sin x$恆成立
      2. $\left|f\left(x\right)\right|\leq1$恆成立
      3. $f\left(x\right)$的最大值是$1$
      4. $f\left(x\right)$的最小值是$-1$
      5. $f\left(x\right)=0$的解有無窮多個
      6. 訣竅運用三角函數之特性計算並處理之。
      解法
      1. 運用和差角公式可知對於所有實數$x$恆有

        $\displaystyle\begin{aligned}f\left(x\right)=&\frac{1}{2}\left[\cos\left(11x-x\right)-\cos\left(11x+x\right)\right]\\=&\frac{1}{2}\left[\left(\cos11x\cos x+\sin11x\sin x\right)-\left(\cos11x\cos x-\sin11x\sin x\right)\right]\\=&\sin11x\sin x\end{aligned}$

        故本選項正確。
      2. 藉由選項(1)可知

        $\left|f\left(x\right)\right|=\left|\sin11x\right|\left|\sin x\right|\leq1\cdot1=1$

        因此本選項正確。
      3. 假若$f\left(x\right)$的最大值為$1$，那麼有兩種可能：
        • $\sin x=1$且$\sin11x=1$；
        • $\sin x=-1$且$\sin11x=-1$。

        假若$\sin x=1$，那麼有$\displaystyle x=\frac{4n+1}{2}\pi$，其中$n$為整數。這表明$\displaystyle11x=\frac{44n+11}{2}\pi=\left(22n+5\right)\pi+\frac{\pi}{2}$，從而有$\sin11x=-1$，此時$f\left(x\right)$不能達到$1$。

        假若$\sin x=-1$，那麼有$\displaystyle x=\frac{4n+3}{2}\pi$，其中$n$為整數。這表明$\displaystyle11x=\frac{44n+33}{2}\pi=\left(22n+16\right)\pi+\frac{\pi}{2}$，從而有$\sin11x=1$，此時$f\left(x\right)$不能達到$1$。

        故本選項錯誤。
      4. 藉由前一個選項的分析可知$f$可以達到$-1$，從而本選項正確。
      5. 由於$\sin x=0$的解有無窮多個，而這些解都可以成為$f\left(x\right)=0$的解，因此亦有無窮多個，本選項正確。
      由以上分析可知應選(1)(2)(4)(5)。

    6. 三相異平面兩兩相交於三條相異直線$l_1, l_2, l_3$。試問下列選項哪些絕不可能發生？
      1. $l_1, l_2, l_3$三線共交點
      2. $l_1, l_2, l_3$不共面，但$l_1\parallel l_2\parallel l_3$
      3. $l_1, l_2, l_3$共平面
      4. $l_1, l_2, l_3$兩兩相交，但三交點相異
      5. $l_1, l_2, l_3$三線中兩兩都是歪斜線
      7. 訣竅依據空間幾何的基本概念答題。
      解法
      1. 這是可能的，當三相異平面相交於同一點時，則該三直線將會共點。
      2. 這是可能的，可取三平面$x=0$、$y=0$、$x+y=1$，則形成之三直線不共面且兩兩互相平行。
      3. 這是不可能的。假定$E_1$與$E_2$相交於$l_1$，$E_2$與$E_3$相交於$l_2$，$E_3$與$E_1$相交於$l_1$；假若$l_1,l_2,l_3$共面，其中由設定可知$l_1$與$l_2$皆落於$E_2$上，因此$l_3$亦落於$E_2$，從而$l_3$位於$E_1,E_2,E_3$上，此表明$E_1,E_2,E_3$三者相交於一線，即有$l_1=l_2=l_3$，矛盾。
      4. 這是不可能的。假定$E_1$與$E_2$相交於$l_1$，$E_2$與$E_3$相交於$l_2$，$E_3$與$E_1$相交於$l_1$；並且假定$l_1$與$l_2$交於$P$，則$P=l_1\cap l_2=E_1\cap E_2\cap E_3$，即三平面相交於一點，故不可能兩兩相交於相異點。
      5. 這是不可能的，因為任兩條直線必落於某一相同平面上，故必平行或相交，即不歪斜。
      由以上可知選項(3)(4)(5)所描述之情形絕不可能發生，故選(3)(4)(5)。
第二部分：填充題
說明：
  1. 第$A$至$H$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-35)處。
  2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
  1. $11^{15}$除以$100$的餘數為$\underline{⑬⑭}$。
    2. 訣竅運用二項式定理。
    解法改寫$11^{15}$後使用二項式定理有

    $\displaystyle11^{15}=\left(10+1\right)^{15}=\sum_{k=0}^{15}C_k^{15}10^k=1+150+\sum_{k=2}^{15}C_k^{15}10^k$

    可以注意到$100$整除$\displaystyle\sum_{k=2}^{15}C_k^{15}10^k$，因此$11^{15}$除以$100$的餘數等同於$151$除以$100$的餘數，亦即$51$，故填入$⑬=5$、$⑭=1$。

  2. 令複數$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\right)$且$z\cdot i=2\left(\cos a\pi+i\sin a\pi\right)$，則實數$\displaystyle a=\underline{　\frac{⑮}{⑯⑰}　}$。
    3. 訣竅運用複數極式的運算性質即可。
    解法直接運用極式的運算性質計算如下

    $\displaystyle z\cdot i=2\left(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\right)\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{2}\right)\right]=2\left(\cos\frac{9\pi}{14}+i\sin\frac{9\pi}{14}\right)$

    故$\displaystyle a=\frac{9}{14}$，因此填入$⑮=9$、$⑯=1$、$⑰=4$。

  3. 某人存入銀行$10000$元，言明年利率$4\%$，以半年複利計息，滿一年本利和為$Q$元。則$Q=\underline{⑱⑲⑳㉑㉒}$。
    4. 訣竅按照本利和的意義計算即可。
    解法年利率$4\%$，因此半年複利計息時應乘上$\displaystyle1+\frac{4\%}{2}=1.02$，故一年後之本利和為

    $10000\cdot1.02\cdot1.02=10404$

    故填入$⑱=1$、$⑲=0$、$⑳=4$、$㉑=0$、$㉒=4$。

  4. 在平面上有一正方形$ABCD$，$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的延長線分別交直線$L$於$P$、$Q$、$R$、$S$。已知$PR=3$、$QS=4$，則正方形$ABCD$的邊長為$\displaystyle\underline{\frac{㉓㉔}{㉕}}$。
    5. 訣竅運用相似三角形的邊長比例關係求出正方形邊長。
    解法過$C$作平行於$L$的直線分別交$\overline{AP}$與$\overline{AS}$於$E$、$F$，根據平行四邊形的特性可知$\overline{CE}=3$、$\overline{CF}=4$。設正方形的邊長為$x$。計算角度可發現$\bigtriangleup BCE\sim\bigtriangleup DFC$，從而有

    $\displaystyle\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{CF}}$

    亦即有

    $\displaystyle\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}=\frac{x}{4}$

    展開整理有

    $144-16x^2=9x^2$

    可以解得$\displaystyle x=\pm\frac{12}{5}$，其中負不合。故得$\displaystyle x=\frac{12}{5}$，填入$㉓=1$、$㉔=2$、$㉕=5$

  5. 空間中有三個平面$5x+4y-4z=kx$，$4x+5y+2z=ky$，$x+y+z=0$，其中$k<10$。當$k=\underline{㉖}$時，三個平面交於一線。
    6. 訣竅三平面交於一線等價於聯立方程組有無窮多解，故行列式值為零，由此可得$k$之多項式方程式。又可以注意到此方程組為齊次方程，故至少有$\left(0,0,0\right)$為解，因此不會有無解的情形。
    解法將方程組表達如下

    $\left\{\begin{aligned} &\left(5-k\right)x+4y-4z=0,\\&4x+\left(5-k\right)y+2z=0,\\&x+y+z=0.\end{aligned}\right.$

    由於希望三平面交於一線，故方程組有無窮多解，因此其係數所形成的行列式值為零，亦即有

    $\left|\begin{matrix}5-k&4&-4\\4&5-k&2\\1&1&1\end{matrix}\right|=0$

    展開可得

    $\left(5-k\right)^2+8-16+4\left(5-k\right)-2\left(5-k\right)-16=0$

    或寫為

    $k^2-12k+11=0$

    如此可解得$k=1$或$k=11$。但依題意捨棄$k=11$，從而有$k=1$。經檢驗可知此時確實有無窮多解，故填$㉖=1$。

  6. 如右圖各小方格為$1\text{cm}^2$的正方形。試問圖中大大小小的正方形共有多少個？
    答：$\underline{㉗㉘}$個。
    7. 訣竅按正方形之大小分類清算之。
    解法按大小分類清算如下
    • $1\times1$的正方形有$4\times6=24$個；
    • $2\times2$的正方形有$3\times5=15$個；
    • $3\times3$的正方形有$2\times4=8$個；
    • $4\times4$的正方形有$1\times3=3$個。
    因此共計有$24+15+8+3=50$個正方形，填入$㉗=5$、$㉘=0$。

  7. 一顆半徑為$12$公分的大巧克力球，裡頭包著一顆半徑為$5$公分的軟木球。如果將此巧克力球重新融化，做成半徑為$2$公分的實心巧克力球，最多可以做幾顆這樣的巧克力球？
    答：$\underline{㉙㉚㉛}$顆。
    8. 訣竅使用球體體積即可。
    解法題目給定之大巧克力球的體積為

    $\displaystyle\frac{4}{3}\pi\cdot12^3-\frac{4}{3}\pi\cdot5^3=\frac{6412\pi}{3}$立方公分

    又每顆半徑為$2$公分的實心巧克力球之體積為$\displaystyle\frac{4}{3}\pi\cdot2^3=\frac{32\pi}{3}$。由此可知

    $\displaystyle\frac{6412\pi}{3}\div\frac{32\pi}{3}=\frac{6412}{32}=\frac{1603}{8}=200\frac{3}{8}$

    故最多可製作$200$顆這樣的巧克力球，因此填入$㉙=2$、$㉚=0$、$㉛=0$。

  8. 某次考試，有一多重選擇題，有$A$、$B$、$C$、$D$、$E$五個選項。給分標準為完全答對給$5$分，只答錯$1$個選項給$2.5$分，答錯$2$個或$2$個以上的選項得$0$分。若某一考生對該題的$A$、$B$選項已確定是應選的正確答案，但$C$、$D$、$E$三個選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的來作答。則他此題所得分數的期望值為$\displaystyle\underline{㉜+\frac{㉝}{㉞㉟}}$分。
    9. 訣竅分析答對選項的個數的機率後按期望值的定義計算之。
    解法由於$C$、$D$、$E$根本看不懂，因此隨機猜測的狀況下有$8$種可能。
    • 恰有一種可能完全答對，此時得$5$分；
    • 有三種可能恰答對一個，此時得$2.5$分；有其餘四種可能答錯$2$個或$3$個，此時得$0$分。
    按期望值的定義可列式並計算如下

    $\displaystyle5\cdot\frac{1}{8}+2.5\cdot\frac{3}{8}+0\cdot\frac{4}{8}=\frac{25}{16}=1+\frac{9}{16}$

    故填$㉜=1$、$㉝=9$、$㉞=1$、$㉟=6$。

參考公式及可能用到的數值

  1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  2. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  3. 等比級數$\left\langle ar^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
  4. $\Delta ABC$的正弦與餘弦定理
    (1) $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，$R$為外接圓半徑（正弦定理）
    (2) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$　　（餘弦定理）
  5. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.4142$；　$\sqrt{3}\approx1.7321$；　$\sqrt{5}\approx2.2361$；　$\sqrt{7}\approx2.6458$；　$\pi\approx3.142$
  6. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$
  7. 半徑$r$的球體體積為$\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$。

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