2018年7月30日 星期一

九十九學年度數學學科能力測驗

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九十九學年度學科能力測驗試題

數學考科



－作答注意事項－

  1. 考試時間：$100$分鐘
  2. 題型題數：單選題$7$題，多選題$5$題，選填題第$A$至$H$題共$8$題
  3. 作答方式：
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上劃記，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正帶(液0
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多選題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

    2. 選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

  5. ※試題後附有可能用到的參考公式及數值

第壹部分：選擇題（佔$60$分）
  1. 單選題（佔$35$分）
    2. 說明：第$1$至$7$題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
    1. 若數列$a_1,a_2,\cdots,a_k,\cdots a_{10}$中每一項皆為$1$或$−1$，則$a_1+a_2+\cdots+a_k+\cdots+a_{10}$之值有多少種可能？
      1. $10$
      2. $11$
      3. $P_2^{10}$
      4. $C_2^{10}$
      5. $2^{10}$
      2. 訣竅重點在於該級數有幾個$1$與幾個$-1$。
      解法該級數中的$1$的個數可能有$0$個或$1$個乃至$10$個，計有$11$種可能，從而級數的值也有$11$種可能，故選(2)。

    2. 已知$a,b$為整數且行列式$\left|\begin{matrix}5&a\\b&7\end{matrix}\right|=4$，則絕對值$\left|a+b\right|$為何？
      1. $16$
      2. $31$
      3. $32$
      4. $39$
      5. 條件不足，無法確定
      3. 訣竅按行列式值的意義與整數分解的唯一性可知推理$a+b$可能的值。
      解法展開行列式可得$35-ab=4$，故$ab=31$。由於$a,b$為整數可知$\left(a,b\right)=\pm\left(1,31\right)$或$\left(a,b\right)=\pm\left(31,1\right)$，因此$a+b=\pm32$，即$\left|a+b\right|=32$，故選(3)。

    3. 箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出的兩球顏色不同，則得獎金$100$元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎金的期望值為何？
      1. $20$元
      2. $30$元
      3. $40$元
      4. $50$元
      5. $60$元
      4. 訣竅按期望值的定義求解即可。
      解法取出兩球之顏色不同之機率為$\displaystyle\frac{C_1^3C_1^3}{C_2^6}=\frac{3\times3}{15}=\frac{3}{5}$，因此期望值為

      $\displaystyle\frac{3}{5}\cdot100+\frac{2}{5}\cdot0=60$

      故選(1)。

    4. 坐標平面上給定兩點$A\left(1,0\right)$與$B\left(0,1\right)$，又考慮另外三點$P\left(\pi,1\right)$、$Q\left(−\sqrt{3},6\right)$與$R\left(2,\log_432\right)$。令$\Delta PAB$的面積為$p$、$\Delta QAB$的面積為$q$、$\Delta RAB$的面積為$r$ 。請問下列哪一個選項是正確的？
      1. $p<q<r$
      2. $p<r<q$
      3. $q<p<r$
      4. $q<r<p$
      5. $r<q<p$
      5. 訣竅若以$\overline{AB}$作為底，那麼僅需比較$P$、$Q$、$R$三點到直線$AB:x+y=1$的距離即可。
      解法按提示可知僅需比較$P,Q,R$三點分別到$x+y=1$的距離即可。可以計算知道$P,Q,R$分別到$x+y=1$的距離為$\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}}$、$\displaystyle\frac{5-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$、$\displaystyle\frac{3.5}{\sqrt{2}}$。由於$\pi\approx3.142$、$5-\sqrt{3}\approx5-1.732=3.268$，因此可以知道$p<q<r$，故選(1)。

    5. 在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌$1$千隻，並且以每小時增加$8\%$的速率繁殖。如果依此速率持續繁殖，則$100$小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？
      1. $9$千隻
      2. $108$千隻
      3. $2200$千隻
      4. $3200$千隻
      5. $32000$千隻
      6. 訣竅列出表達式後運用對數律估算其值。
      解法經過$100$小時候細菌數量應為$1.08^{100}$千隻，設此數為$N$，則有

      $\log N=100\log1.08=100\left(2\log2+3\log3-2\right)\approx100\left(2\cdot0.3010+3\cdot0.4771-2\right)=3.333$

      因此有估計

      $\log2000=3+\log2\approx3+0.301<\log N<3+0.4771\approx3+\log3=\log3000$

      故$N$介於$2000$和$3000$之間，應選(3)。

    6. 坐標空間中$O$為原點，點$A$的坐標為$\left(1,2,1\right)$。設$S$是以$O$為球心、$4$為半徑的球面。請問在$S$上滿足內積$\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OP}=6$的所有點$P$所成的圖形為何？
      1. 空集合
      2. 一個點
      3. 兩個點
      4. 一個圓
      5. 兩個圓
      7. 訣竅按題意可知應解聯立方程，隨後運用幾何意義判斷相交之情形。
      解法球面$S$的方程為$x^2+y^2+z^2=16$，設$P$之坐標為$\left(a,b,c\right)$，那麼由$\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OP}=6$可知$\left(1,2,1\right)\cdot\left(a,b,c\right)=a+2b+c=6$。可以知道球心$\left(0,0,0\right)$到平面$x+2y+z=6$的距離為$\displaystyle\frac{6}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=\sqrt{6}<4$，故平面截球面於一圓，故相交為一圓，應選(4)。

    7. 令橢圓$\displaystyle\Gamma_1:\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$、$\displaystyle\Gamma_2:\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=2$、$\displaystyle\Gamma_3:\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=\frac{2x}{5}$的長軸長分別為$l_1$、$l_2$、$l_3$。請問下列哪一個選項是正確的？
      1. $l_1=l_2=l_3$
      2. $l_1=l_2<l_3$
      3. $l_1<l_2<l_3$
      4. $l_1=l_3<l_2$
      5. $l_1<l_3<l_2$
      8. 訣竅化為橢圓的標準式後可求得半長軸長，如此可比較長軸長的大小。
      解法對$\Gamma_1$，其長軸長為$l_1=2a_1=10$。對$\Gamma_2$可先將方程改寫如下

      $\displaystyle\frac{x^2}{\left(5\sqrt{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(3\sqrt{2}\right)^2}=1$

      因此其長軸長為$l_2=2a_2=10\sqrt{2}$。再者，將$\Gamma_3$的方程配方法整理後有

      $\displaystyle\frac{\left(x-5\right)^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$

      故其長軸長為$l_3=2a_3=10$。根據以上的計算可知$l_1=l_3<l_2$，應選(4)。
  2. 多選題（佔$25$分）
    3. 說明：第$8$至$12$題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得$5$分，只錯一個選項者可得$2.5$分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。
    1. 設$\theta_1$、$\theta_2$、$\theta_3$、$\theta_4$分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於$0$與$2\pi$之間。已知$\displaystyle\left|\cos\theta_1\right|=\left|\cos\theta_2\right|=\left|\cos\theta_3\right|=\left|\cos\theta_4\right|=\frac{1}{3}$，請問下列哪些選項是正確的？
      1. $\displaystyle\theta_1<\frac{\pi}{4}$
      2. $\theta_1+\theta_2=\pi$
      3. $\displaystyle\cos\theta_3=-\frac{1}{3}$
      4. $\displaystyle\sin\theta_4=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
      5. $\displaystyle\theta_4=\theta_3+\frac{\pi}{2}$
      2. 訣竅注意到三角函數在各個象限中的正負號及相關的對稱性。
      解法
      1. 由於$\theta_1$在第一象限，因此$\displaystyle\cos\theta_1=\frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\pi}{4}$，故$\displaystyle\theta_1>\frac{\pi}{4}$，本選項錯誤。
      2. 由於$\theta_1$在第一象限，因此有$\displaystyle\cos\theta_1=\frac{1}{3}$、$\displaystyle\sin\theta_1=\frac{2\sqrt{2}}{3}$；由於$\theta_2$在第二象限，因此$\displaystyle\cos\theta_2=-\frac{1}{3}$、$\displaystyle\sin\theta_2=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，從而由和角公式可知

        $\displaystyle\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)=\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2=-\frac{1}{9}-\frac{8}{9}=-1$

        又因$\theta_1+\theta_2$介於$\displaystyle\frac{\pi}{2}$與$\displaystyle\frac{3\pi}{2}$之間，因此$\theta_1+\theta_2=\pi$，本選項正確。
      3. 由於$\theta_3$在第三象限，因此$\displaystyle\cos\theta_3=-\frac{1}{3}$，本選項正確。
      4. 由於$\theta_4$在第四象限，因此$\displaystyle\cos\theta_4=\frac{1}{3}$，而$\displaystyle\sin\theta_4=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故此選項錯誤。
      5. 假若$\displaystyle\theta_4=\theta_3+\frac{\pi}{2}$，則

        $\displaystyle\cos\theta_4=\cos\theta_3\cos\frac{\pi}{2}-\sin\theta_3\sin\frac{\pi}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

        此與$\displaystyle\left|\cos\theta_4\right|=\frac{1}{3}$矛盾，故此選項錯誤。
      由以上可知應選(2)(3)。

    2. 下列哪些方程式有實數解？
      1. $x^3+x-1=0$
      2. $2^x+2^{-x}=0$
      3. $\log_2x+\log_x2=1$
      4. $\sin x+\cos2x=3$
      5. $\displaystyle4\sin x+3\cos x=\frac{9}{2}$
      3. 訣竅分別由多項式函數、指數函數、對數函數以及三角函數的特質來求解。
      解法
      1. 奇數次實係數多項式必至少有一實根。事實上，設$f\left(x\right)=x^3+x-1$，那麼由$f\left(0\right)=-1$、$f\left(1\right)=1$可知在區間$\left(0,1\right)$中有實數根。
      2. 由於$2^x$與$2^{-x}$恆正，因此由算術幾何不等式可知$2^x+2^{-x}\geq2\neq0$，故此方程無實數解。
      3. 由於$\log_2x$與$\log_x2$同正同負。假若同正，則使用算術幾何不等式可知$\log_2x+\log_x2\geq2\neq1$，而假若同負則不可能相加為正數，故此方程無實數解。
      4. 由於$\sin x\leq1$、$\cos2x\leq1$，因此$\sin x+\cos2x\leq2$，從而$\sin x+\cos2x$不可能為$3$，故此方程無實數解。
      5. 運用三角疊和的觀念可知$4\sin x+3\cos x$之取值介於$-5$與$5$之間，故存在實數$x$使該式成立。
      由以上可知應選(1)(5)。

    3. 設$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$為一實數數列，且對所有的正整數$n$滿足$\displaystyle a_{n+1}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}-a_n$。請問下列哪些選項是正確的？
      1. 如果$a_1=1$，則$a_2=1$
      2. 如果$a_1$是整數，則此數列的每一項都是整數
      3. 如果$a_1$是無理數，則此數列的每一項都是無理數
      4. $a_2\leq a_4\leq\cdots\leq a_{2n}\leq\cdots$（$n$為正整數）
      5. 如果$a_k$是奇數，則$a_{k+2},a_{k+4},\cdots,a_{k+2n},\cdots$都是奇數（$n$為正整數）
      4. 訣竅按題幹所給定的遞迴式運用數學歸納法驗證之。
      解法
      1. 若$a_1=1$，則取$n=1$代入遞迴式中有$\displaystyle a_2=\frac{1\times2}{2}-a_1=0$，本選項錯誤。
      2. 若$a_k$為整數，則因$\displaystyle\frac{k\left(k+1\right)}{2}$為整數，因此由整數加減的封閉性可知$a_{k+1}$也為整數。因此若$a_1$也為整數，那麼可由數學歸納法推知對任何正整數$n$皆有$a_n$為整數，本選項正確。
      3. 若$a_k$為無理數，則因$\displaystyle\frac{k\left(k+1\right)}{2}$為有理數，因此可知$a_{k+1}$為無理數和有理數之和，故為無理數。又若$a_1$為無理數，則可依數學歸納法推知對任何正整數$n$恆有$a_n$為無理數，本選項正確。
      4. 對於任何正整數$k$可直接計算得知

        $a_{2k+2}=\frac{\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{2}-a_{2k+1}=\left(2k+1\right)\left(k+1\right)-\left(\frac{2k\left(2k+1\right)}{2}-a_k\right)=2k+1+a_k>a_k$

        因此本選項正確。
      5. 本選項錯誤。若$a_2=1$，則$a_4=4$，不為奇數。
      由以上可知應選(2)(3)(4)。

    4. 坐標空間中，直線$L$上距離點$Q$最近的點稱為$Q$在$L$上的投影點。已知$L$為平面$2x−y=2$上通過點$\left(2,2,2\right)$的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點$O$在$L$上的投影點？
      1. $\left(2,2,2\right)$
      2. $\left(2,0,2\right)$
      3. $\displaystyle\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0\right)$
      4. $\displaystyle\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},-2\right)$
      5. $\displaystyle\left(\frac{8}{9},-\frac{2}{9},-\frac{2}{9}\right)$
      5. 訣竅$O$到投影點與投影點到$\left(2,2,2\right)$需垂直，再者投影點與$\left(2,2,2\right)$產生的向量也會與平面的法向量垂直。
      解法
      1. 取$L$為$\displaystyle\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{-3}$可檢驗此線落於該平面上，且原點$O$到$\left(2,2,2\right)$的向量與$L$的方向向量垂直。
      2. 由於$\left(2,0,2\right)$不落於$2x-y=2$的平面上，故不可能落在$L$上，因此不可能為投影點。
      3. 取$L$為$\displaystyle\frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-2}{5}$，那麼可知$L$落於平面$2x-y=2$上且原點到$L$上的投影點為$\displaystyle\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0\right)$。
      4. 由於$O$到$\displaystyle\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},-2\right)$的向量與$\displaystyle\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},-2\right)$到$\left(2,2,2\right)$的向量不垂直，故不可能為投影點。
      5. 取$L$為$\displaystyle\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}$，那麼$L$落於平面$2x-y=2$上且$O$到$L$上的投影點恰為$\displaystyle\left(\frac{8}{9},-\frac{2}{9},-\frac{2}{9}\right)$。
      由以上的分析可知應選(1)(3)(5)。

    5. 想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查，依性別區分，所得結果如下表：

      $\begin{array}{|c|c|c|}\hline&女性公民&男性公民\\\hline贊成此議題的比例\hat{p}&0.52&0.59\\\hline\displaystyle\hat{p}的標準差\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}&0.02&0.04\\\hline\end{array}$

      請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論？
      1. 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例
      2. 在$95\%$的信心水準之下，全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為$\left[0.48,0.56\right]$（計算到小數點後第二位，以下四捨五入）
      3. 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數
      4. 如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例$\hat{p}$介於$0.52$與$0.59$之間
      5. 如果不區分性別，此次抽樣$\hat{p}$的標準差$\displaystyle\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}$介於$0.02$與$0.04$之間
      6. 訣竅依照抽樣的資訊回答各選項的問題即可。
      解法
      1. 此僅為抽樣結果，因此不能推論出全台灣的男性與女性對議題的贊成比例的多寡。
      2. 按試卷末的信賴區間公式可知此選項正確。
      3. 按標準差的定義可求得男女抽樣人數如下

        $\displaystyle n_男=\frac{0.59\cdot0.41}{0.04^2}=\frac{59\cdot41}{16},~~n_女=\frac{0.52\cdot0.48}{0.02^2}=\frac{52\cdot48}{4}$

        因此$n_女>n_男$，本選項錯誤。
      4. 利用加權平均的觀念可知混合的支持率會介於兩種群體的支持率之間，本選項正確。
      5. 本選項錯誤。因為全體之人數總和為$n_男+n_女$，因此分母的人數會增加，從而此數值將會降低，故應將低於$0.02$，本選項錯誤。
      由以上分析可知應選(2)(4)。
第貳部分：選填題（佔$40$分）
說明：
  1. 第$A$至$H$題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-32)處。
  2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
  1. 坐標平面上有一個平行四邊形$ABCD$，其中點$A$的坐標為$\left(2,1\right)$，點$B$的坐標為$\left(8,2\right)$，點$C$在第一象限且知其$x$坐標為$12$。若平行四邊形$ABCD$的面積等於$38$平方單位，則點$D$的坐標為$\left(\underline{ ⑬ },\underline{ ⑭ }\right)$
    2. 訣竅先利用條件求出$D$的$x$坐標，隨後運用行列式值表達平行四邊形的面積以求出$D$的$y$坐標。
    解法設$D$的坐標為$\left(a,b\right)$。由於平行四邊形的對角線互相平分，因此有$A+C=B+D$，觀察其$x$坐標有$2+12=8+a$，故$a=6$。再者考慮向量$\overset{\rightharpoonup}{AB}=\left(6,1\right)$、$\overset{\rightharpoonup}{AD}=\left(4,b-1\right)$所張的平行四邊形面積，使用行列式表達即有

    $|\left|\begin{matrix}6&1\\4&b-1\end{matrix}\right||=38$

    即$\left|6b-10\right|=38$，則有$b=8$或$\displaystyle b=-\frac{14}{3}$。但當$\displaystyle b=-\frac{14}{3}$會推得$C$之座標為$\displaystyle\left(12,-\frac{11}{3}\right)$與$C$在第一象限這個條件衝突，故$b=8$，最後檢查可知符合題意。填入$⑬=6$、$⑭=8$。

  2. 設$f\left(x\right)$為滿足下列條件的最低次實係數多項式：$f\left(x\right)$最高次項的係數為$1$，且$3−2i$、$i$、$5$皆為方程式$f\left(x\right)=0$的解（其中$i^2=−1$）。則$f\left(x\right)$之常數項為 ⑮⑯⑰ 。
    3. 訣竅根據虛根成對定理等確定$f$所有的因式，並藉由計算$f\left(0\right)$求出常數項。
    解法依據虛根成對定理，可以知道$f\left(x\right)$能表達如下

    $f\left(x\right)=\left[x-\left(3-2i\right)\right]\left[x-\left(3+2i\right)\right]\left(x-i\right)\left(x+i\right)\left(x-5\right)$

    因此常數項$f\left(0\right)=\left(3-2i\right)\left(3+2i\right)\left(i\right)\left(-i\right)\cdot\left(-5\right)=13\cdot1\cdot-5=-65$，故填入$⑮=-$、$⑯=6$、$⑰=5$。

  3. 有一個兩列三行的表格如右下圖。在六個空格中分別填入數字$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$（不得重複），則$1$、$2$ 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 ⑱⑲⑳ 種。
    4. 訣竅將兩個數字在同行或同列的情形分別討論清點。
    解法

    首先考慮$1$、$2$在同行(column)的情形：$1$與$2$可分別在上下，故有$2$種，此外也可能在第一列或第二列或第三列，故接著有$3$種方式，最後其餘數字任意排列有$4!=24$種，即有$2\times3\times24=144$種。

    現在考慮$1$、$2$在同列(row)的情形：可同時在第一列或在第二列，故有$2$種，此外在同一列中尚有$6$種排法，最後其餘數字任意排列有$4!=24$種，即有$2\times6\times24=288$種。

    總計有$144+288=432$種方法數，因此填入$⑱=4$、$⑲=3$、$⑳=2$。

  4. 設實數$a>0$。若$x$、$y$的方程組$\left\{\begin{aligned} &2x-y=1\\&x-2y=a\\&x-ay=122\end{aligned}\right.$有解，則$a=\underline{ ㉑㉒ }$。
    5. 訣竅直接運用加減消去法先以$a$來解出$x,y$，代入第三式後解$a$的方程，並藉由條件決定$a$之值。
    解法前兩式相加減可解得$\displaystyle x-y=\frac{a+1}{3}$、$\displaystyle x+y=1-a$，進而有$\displaystyle x=\frac{2-a}{3}$、$\displaystyle y=\frac{1-2a}{3}$。據此代入第三式可得

    $\displaystyle\frac{2-a}{3}-a\cdot\frac{1-2a}{3}=122$

    同乘以$3$整理可得$a^2-a-182=0$，即$\left(a-14\right)\left(a+13\right)=0$，由於$a>0$，故$a=14$。填入$㉑=1$、$㉒=4$。

  5. 如右圖，直角三角形$ABD$中，$\angle A$為直角，$C$為$\overline{AD}$邊上的點。已知$\overline{BC}=6$，$\overline{AB}=5$，$\angle ABD=2\angle ABC$，則$\displaystyle\overline{BD}=\underline{ \frac{㉓㉔}{㉕} }$。（化成最簡分數）
    6. 訣竅運用餘弦的定義和二倍角公式即可求解。
    解法由圖中以及給定的數據可知$\displaystyle\cos\angle ABC=\frac{5}{6}$，因此由二倍角公式可知

    $\displaystyle\cos\angle ABD=\cos\left(2\angle ABC\right)=2\cos^2\angle ABC-1=2\left(\frac{5}{6}\right)^2-1=\frac{7}{18}$

    再者由餘弦的定義可知

    $\displaystyle\frac{7}{18}=\cos\angle ABD=\frac{\overline{AB}}{\overline{BD}}=\frac{5}{\overline{BD}}$

    因此$\displaystyle\overline{BD}=\frac{90}{7}$，故填入$㉓=9$、$㉔=0$、$㉕=7$。

  6. 設$a$、$b$為實數。已知坐標平面上拋物線$y=x^2+ax+b$與$x$軸交於$P$、$Q$兩點，且$\overline{PQ}=7$。若拋物線$y=x^2+ax+\left(b+2\right)$與$x$軸的兩交點為$R$、$S$，則$\overline{RS}=\underline{\sqrt{㉖㉗}}$。
    7. 訣竅直接求得$P$與$Q$之坐標並利用$\overline{PQ}=7$獲得關係式。接著同樣直接求得$R$與$S$，並利用該關係式計算出$\overline{RS}$之值。
    解法利用二次函數的公式解可知$P$、$Q$分別為$\displaystyle\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$，從而$\overline7={PQ}=\sqrt{a^2-4b}$，即$a^2-4b=49$。類似地，運用二次函數公式解可知$R$、$S$的坐標為$\displaystyle\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4\left(b+2\right)}}{2}$，因此$\overline{RS}=\sqrt{a^2-4\left(b+2\right)}=\sqrt{a^2-4b-8}=\sqrt{41}$，故填入$㉖=4$、$㉗=1$

  7. 已知$\Delta ABC$中，$\overline{AB}=2$、$\overline{BC}=3$且$\angle A=2\angle C$，則$\displaystyle\overline{AC}=\underline{ \frac{㉘}{㉙} }$。（化成最簡分數）
    8. 訣竅運用正弦定理和倍角公式確定$\cos C$之值，接著運用餘弦定理求解；亦可利用正弦定理並配合和角公式計算；此外也能注意到角平分線與相似三角形等方法亦可用來解題。
    解法一運用正弦定理有

    $\displaystyle\frac{2}{\sin C}=\frac{\overline{AB}}{\sin C}=\frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{3}{2\sin C\cos C}$

    因此有$\displaystyle\cos C=\frac{3}{4}$。接著運用餘弦定理有

    $\displaystyle4=\overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{AC}^2-2\overline{BC}\times\overline{AC}\cos C=9+\overline{AC}^2-\frac{9}{2}\overline{AC}$

    即有$2\overline{AC}^2-9\overline{AC}+10=0$，從而解得$\displaystyle\overline{AC}=\frac{5}{2}$或$\overline{AC}=2$。但若$\overline{AC}=2$，則由$\overline{AB}=2$可知$\angle B=\angle C$，進而可推知$\angle B=\angle C=45^\circ$而$\angle A=90^\circ$，但這與前面所求得的餘弦值矛盾。故$\displaystyle\overline{AC}=\frac{5}{2}$，經檢驗符合題意。因此填入$㉘=5$、$㉙=2$。
    解法二【由巔峰數學提供】首先根據正弦定理與題設有

    $\displaystyle\frac{3}{\sin2C}=\frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{AC}}{\sin C}=\frac{2}{\sin C}$

    根據二倍角公式$\sin2C=2\sin C\cos C$可得$\displaystyle\cos C=\frac{3}{4}$，從而有$\displaystyle\sin C=\frac{\sqrt{7}}{4}$。此外，利用三角形內角和為$180^\circ$、和差角公式與三倍角公式可知

    $\displaystyle\sin B=\sin\left[180^\circ-\left(A+C\right)\right]=\sin\left(A+C\right)=\sin3C=3\sin C-4\sin^3C=3\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}-4\cdot\frac{7\sqrt{7}}{64}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$

    最後再次使用正弦定理可得

    $\displaystyle\overline{AC}=\overline{AB}\cdot\frac{\sin B}{\sin C}=2\cdot\frac{5\sqrt{7}}{16}\cdot\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{5}{2}$

    因此填入$㉘=5$、$㉙=2$。
    解法三【由巔峰數學提供】記$\angle C=\theta$。首先作$\angle A$的內角平分線交$\overline{BC}$於$P$，那麼由$\angle A=2\angle C$，可以知道$\angle CAP=\angle PAB=\theta$。根據角平分線性質與等腰可知

    $\displaystyle\frac{2}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}$

    另一方面，注意到$\angle APB=2\theta=\angle BAC$，從而由AA相似可知$\Delta ABC\sim\Delta PAB$，即有

    $\displaystyle\frac{3}{2}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{BA}}{\overline{BP}}=\frac{2}{\overline{BP}}$

    如此有$\displaystyle\overline{BP}=\frac{4}{3}$，進而有$\displaystyle\overline{PC}=\frac{5}{3}$。終而可得$\displaystyle\overline{AC}=\frac{5}{2}$，故填入$㉘=5$、$㉙=2$。

  8. 坐標平面上給定點$\displaystyle A\left(\frac{9}{4},2\right)$、直線$L:y=−5$與拋物線$\Gamma:x^2=8y$。以$d\left(P,L\right)$表示點$P$到直線$L$的距離。若點$P$在$\Gamma$上變動，則$\left|d\left(P,L\right)−\overline{AP}\right|$之最大值為$\displaystyle\underline{ \frac{㉚㉛}{㉜} }$。（化成最簡分數）
    9. 訣竅運用拋物線的特性：拋物線上任一點到焦點距離等於到準線的距離。
    解法記拋物線焦點$\left(0,2\right)$為$F$，而$y=-2$準線為$L'$。又因拋物線上的點$P$的$y$坐標恆非負，從而有$d\left(P,L\right)=3+d\left(P,L'\right)=3+\overline{PF}$，故所考慮的表達式可利用三角不等式估計算如下

    $\displaystyle\left|d\left(P,L\right)-\overline{AP}\right|=\left|3+\overline{PF}-\overline{AP}\right|\leq3+\left|\overline{PF}-\overline{AP}\right|\leq3+\overline{AF}=3+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$

    因此填入$㉚=2$、$㉛=1$、$㉜=4$。

可能用到的參考公式及數值

  1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  2. 平面上兩點$P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$間的距離$\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
  3. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$
  4. 首項為$a$且公差為$d$的等差數列前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
    首項為$a$且公比為$r$的等比數列前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$
  5. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
    　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
  6. $\Delta ABC$的正弦定理： $\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
    $\Delta ABC$的餘弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
  7. 算術平均數： $\displaystyle\bar{X}=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
    (樣本)標準差： $\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-n\bar{X}^2\right)}$
  8. $95\%$信心水準下之信賴區間：$\displaystyle\left[\hat{p}-2\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}},\hat{p}+2\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}\right]$
  9. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
  10. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$

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