2018年7月30日 星期一

九十八學年度數學學科能力測驗

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九十八學年度學科能力測驗試題

數學考科



－作答注意事項－

  1. 考試時間：$100$分鐘
  2. 題型題數：單選題$6$題，多選題$5$題，選填題第$A$至$I$題共$9$題
  3. 作答方式：
    • 用2B鉛筆在「答案卡」上劃記，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
    • 答錯不倒扣
  4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
    1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

    2. 選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

  5. ※試題後附有參考公式及可能用到的參考數值、對數值與常用對數表

第壹部分：選擇題（佔$55$分）
  1. 單選題（佔$30$分）
    2. 說明：第$1$至$6$題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
    1. 數列$a_1+2,\cdots,a_k+2k,\cdots+a_{10}+20$共有十項，且其和為$240$，則$a_1+\cdots+a_k+\cdots+a_{10}$之值為
      1. $31$
      2. $120$
      3. $130$
      4. $185$
      5. $218$
      2. 訣竅加總時可分為兩部分相加，如此可留下所欲求的和即可。
      解法重新分組計算如下

      $\left(a_1+\cdots+a_{10}\right)+\left(2+\cdots+20\right)=\left(a_1+2\right)+\cdots+\left(a_k+2k\right)+\cdots+\left(a_{10}+20\right)=240$

      由此可知

      $a_1+\cdots+a_{10}=240-\left(2+\cdots+20\right)=240-\frac{10\cdot\left(2+20\right)}{2}=240-110=130$

      應選(3)。

    2. 令$a=\cos\left(\pi^2\right)$，試問下列哪一個選項是對的？
      1. $a=-1$
      2. $\displaystyle-1<a\leq-\frac{1}{2}$
      3. $\displaystyle-\frac{1}{2}<a\leq0$
      4. $\displaystyle0<a\leq\frac{1}{2}$
      5. $\displaystyle\frac{1}{2}<a\leq1$
      3. 訣竅利用$\pi$的近似值估算出$\pi^2$所在的象限，進而利用餘弦函數的單調性估算範圍。
      解法因為$\pi\approx3.142$，因此$\displaystyle3<\pi<\frac{10}{3}$，從而$\displaystyle3\pi<\pi^2\lt;\frac{10\pi}{3}$，此表明$\pi^2$弧度落在第三象限中，利用$\cos$在此區域上遞增可知

      $\displaystyle-1=\cos3\pi<a<\cos\frac{10\pi}{3}=-\frac{1}{2}$

      應選(2)。

    3. 已知$f\left(x\right),g\left(x\right)$是兩個實係數多項式，且知$f\left(x\right)$除以$g\left(x\right)$的餘式為$x^4−1$。試問下列哪一個選項不可能是$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$的公因式？
      1. $5$
      2. $x-1$
      3. $x^2-1$
      4. $x^3-1$
      5. $x^4-1$
      4. 訣竅由輾轉相除法的觀念可知$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$的公因式為相除後所得餘式的因式
      解法由於$x^4-1$的整係數的最簡因式有$1$、$x-1$、$x^2-1$與$x^4-1$，其中可知$5$為$1$之$5$倍故仍為$x^4-1$的因式，因此$x^3-1$不可能為$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$的公因式，應選(4)。

    4. 甲、乙、丙三所高中的一年級分別有$3$、$4$、$5$個班級。從這$12$個班級中隨機選取一班參加國文抽考，再從未被抽中的$11$個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項？
      1. $21\%$
      2. $23\%$
      3. $25\%$
      4. $27\%$
      5. $29\%$
      5. 訣竅在同一所學校可能是都在甲校或都在乙校或都在丙校，分門別類討論清點出數量即可。
      解法所有可能有$12\times11=132$種方法數。而在同校的情形可分為三類：
      • 皆在甲校有$3\times2=6$種
      • 皆在乙校有$4\times3=12$種
      • 皆在丙校有$5\times4=20$種
      共計有$38$種，從而參加抽考的兩班在同一所學校的機率為$\displaystyle\frac{38}{132}=\frac{19}{66}=0.2\overline{87}$，即近似於$28.79\%$，應選(5)。

    5. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為$20$公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為$45^\circ$，則丙、丁兩鎮間的距離約為
      1. $24.5$公里
      2. $25$公里
      3. $25.5$公里
      4. $26$公里
      5. $26.5$公里
      6. 訣竅按題設作圖後可發現條件滿足正弦定理的使用時機，據此求解。
      解法設甲、乙、丙、丁各城鎮記為點$A$、$B$、$C$、$D$，那麼有$\overline{AC}=20$公里、$\angle CAD=60^\circ$、$\angle CDA=45^\circ$，運用正弦定理有

      $\displaystyle\frac{\overline{CD}}{\sin60^\circ}=\frac{\overline{AC}}{\sin45^\circ}$

      如此有

      $\displaystyle\overline{CD}=\overline{AC}\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=10\sqrt{6}\approx10\cdot2.449=24.49$

      應選(1)。

    6. 試問坐標平面上共有幾條直線，會使得點$O\left(0,0\right)$到此直線之距離為$1$，且點$A\left(3,0\right)$到此直線之距離為$2$？
      1. $1$條
      2. $2$條
      3. $3$條
      4. $4$條
      5. 無窮多條
      7. 訣竅做圓後找公切線之數量。
      解法首先作以$O$為圓心的單位圓，再作以$A$為圓心而半徑為$2$的圓，可見兩圓外切於$\left(1,0\right)$，從而有三條公切線，而這三條公切線即為所求，如下圖所示。
      應選(3)。
  2. 多選題（佔$25$分）
    3. 說明：第$7$至$11$題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得$5$分，只錯一個選項者可得$2.5$分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。
    1. 試問下列哪些選項中的數是有理數？
      1. $3.1416$
      2. $\sqrt{3}$
      3. $\log_{10}\sqrt{5}+\log_{10}\sqrt{2}$
      4. $\displaystyle\frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ}+\frac{\cos15^\circ}{\sin15^\circ}$
      5. 方程式$x^3-2x^2+x-1=0$的唯一實根
      2. 訣竅不可化簡的根式為無理數，可以化簡成有限小數或無限循環小數（分數）則為有理數。各個選項分別需要用到對數律、三角函數公式與牛頓一次因式檢驗法。
      解法
      1. 此為有限小數，故為有理數。
      2. 此已為最簡根式，故可由數論中的唯一分解定理來證明$\sqrt{3}$為無理數。
      3. 運用對數律化簡有$\displaystyle\log_{10}\sqrt{5}+\log_{10}\sqrt{2}=\log_{10}\sqrt{10}=\frac{1}{2}$為有理數。
      4. 通分後依序使用平方關係與倍角公式進行整理有

        $\displaystyle\frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ}+\frac{\cos15^\circ}{\sin15^\circ}=\frac{\sin^215^\circ+\cos^215^\circ}{\sin15^\circ\cos15^\circ}=\frac{2}{\sin30^\circ}=4$

        故知此選項為有理數。
      5. 根據牛頓一次因式檢驗法可知此方程可能的有理根為$\pm1$，容易檢驗皆不合，故三次方程的唯一實根不為有理數。
      由以上分析可知應選(1)(3)(4)。

    2. 坐標平面上四條直線$L_1,L_2,L_3,L_4$與$x$軸、$y$軸及直線$y=x$的相關位置如圖所示，其中$L_1$與$L_3$垂直，而$L_3$與$L_4$平行。設$L_1,L_2,L_3,L_4$的方程式分別為$y=m_1x$，$y=m_2x$，$y=m_3x$以及$y=m_4x+c$。試問下列哪些選項是正確的？
      1. $m_3>m_2>m_1$
      2. $m_1\cdot m_4=-1$
      3. $m_1<-1$
      4. $m_2\cdot m_3<-1$
      5. $c>0$
      3. 訣竅瞭解線性函數之斜率的特性來判別即可。
      解法
      1. 依據圖形可知斜率之大小關係為$1>m_3=m_4>m_1>m_2$，故此選項錯誤。
      2. 由於$L_1$與$L_3$垂直而$L_3$與$L_4$平行，從而$L_1$與$L_4$垂直，故其斜率相乘為$-1$，本選項正確。
      3. 由於$1>m_3$，而$m_3\cdot m_1=-1$，故$\displaystyle m_1=-\frac{1}{m_3}<-1$，此選項正確。
      4. 由於$m_2<m_1$，兩邊同乘以$m_3>0$可知$m_2\cdot m_3<m_1\cdot m_3=-1$，故本選項正確。
      5. 由於$L_4$通過$\left(0,c\right)$，而圖中顯示$L_4$與$y$軸負向相交，故$c<0$，此選項錯誤。
      由以上分析可知應選(2)(3)(4)。

    3. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在$95\%$信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為$\left[0.50,0.58\right]$、$\left[0.08,0.16\right]$。試問下列哪些選項是正確的？
      1. 甲地本次的參訪者中，$54\%$的人聽過該產品
      2. 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數
      3. 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於$95\%$
      4. 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有$95\%$的機會落在區間$\left[0.08,0.16\right]$
      5. 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在$95\%$信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即$0.04$)
      4. 訣竅由信賴區間可回推該次抽樣之平均數和標準差，進而推知調查人數等資訊。
      解法
      1. 在甲地中的抽樣顯示有$\displaystyle\frac{0.50+0.58}{2}=0.54=54\%$的人聽過該產品。
      2. 由於在甲地有$54\%$的人聽過該產品，而在乙地有$12\%$的人聽過該產品，那麼按標準差的計算規則可知

        $\displaystyle\sqrt{\frac{0.54\cdot0.46}{n_{甲}}}=0.02,~~\sqrt{\frac{0.12\cdot0.88}{n_乙}}=0.02$

        由於$0.54\cdot0.46>0.12\cdot0.88$，因此$n_甲>n_乙$，本選項正確。
      3. 此次調查的結果應解讀為「有$95\%$的信心認為甲地區聽過該產品的人數比例落在$\left[0.50,0.58\right]$中」，而非有$95\%$的機率，故本選項錯誤。
      4. 此敘述即為信賴區間的意義，故正確。
      5. 本選項錯誤。由題幹可知$\displaystyle\sqrt{\frac{0.12\cdot0.88}{n_乙}}=0.02$，即有$\displaystyle n_乙=264$。假設經過密集宣傳後乙地有$\hat{p}\%=50\%$的人聽過該產品，如此可知

        $\displaystyle\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{4n_乙}}<\frac{1}{2}\sqrt{\frac{0.5\cdot0.5}{n_乙}}=\frac{0.25}{\sqrt{n_乙}}=\frac{0.25}{\sqrt{264}}<\frac{0.25}{17}<0.015$

        故此選項錯誤。
      由以上的分析可知應選(2)(4)。

    4. 設$a,b,c$為實數，下列有關線性方程組$\left\{\begin{aligned}x+2y+az&=1\\3x+4y+bz&=-1\\2x+10y+7z&=c\end{aligned}\right.$的敘述哪些是正確的？
      1. 若此線性方程組有解，則必定恰有一組解
      2. 若此線性方程組有解，則$11a−3b\neq7$
      3. 若此線性方程組有解，則$c=14$
      4. 若此線性方程組無解，則$11a−3b=7$
      5. 若此線性方程組無解，則$c\neq14$
      5. 訣竅運用高斯消去法解聯立方程組並針對係數進行討論。
      解法首先將第一式乘以$\left(-3\right)$加至第二列、乘以$\left(-2\right)$加至第三列可得

      $\left\{\begin{aligned} &x+2y+az=1\\&-2y+\left(b-3a\right)z=-4\\&6y+\left(7-2a\right)z=c-2\end{aligned}\right.$

      接著將第二列乘以$3$加至第三列可得

      $\left\{\begin{aligned} &x+2y+az=1\\&-2y+\left(b-3a\right)z=-4\\&\left(7-11a+3b\right)z=c-14\end{aligned}\right.$

      1. 若此線性方程組有解，有可能恰一組解也有可能是無窮多組解。前者在$11a-3b\neq7$時會發生，而後者在$11a-3b=7$且$c=14$時會發生。
      2. 若此方程組有解，未必有$11a-3b\neq7$，因為當無窮多組解時會有$11a-3b=7$。
      3. 若此方程組有解，未必有$c=14$，因為當方程組恰有一解時僅知$11a-3b\neq7$。
      4. 若此方程組無解，可知$11a-3b=7$且$c\neq14$，故此選項正確。
      5. 若此方程組無解，可知$11a-3b=7$且$c\neq14$，故此選項正確。
      由以上分析可知應選(4)(5)。

    5. 如圖所示，正立方體$ABCD-EFGH$的稜長等於$2$(即$\overline{AB}=2$)，$K$為正方形$ABCD$的中心，$M$、$N$分別為線段$\overline{BF}$、$\overline{EF}$的中點。試問下列哪些選項是正確的？
      1. $\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{KM}=\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AB}-\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AD}+\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AE}$
      2. (內積) $\overset{\rightharpoonup}{KM}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AB}=1$
      3. $\overline{KM}=3$
      4. $\Delta KMN$為一直角三角形
      5. $\Delta KMN$之面積為$\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}$
      6. 訣竅設定坐標系後將向量表達為坐標表示法後計算檢查各個選項。
      解法設$A$為原點，而$B$為$\left(2,0,0\right)$、$D$為$\left(0,2,0\right)$、$C$為$\left(2,2,0\right)$、$E$為$\left(0,0,-2\right)$、$F$為$\left(2,0,-2\right)$、$G$為$\left(2,2,-2\right)$、$H$為$\left(0,2,-2\right)$、$M$為$\left(2,0,-1\right)$、$N$為$\left(1,0,-2\right)$、$K$為$\left(1,1,0\right)$。那麼各個選項可檢查如下：
      1. 直接檢查左式為$\overset{\rightharpoonup}{KM}=M-K=\left(2,0,-1\right)-\left(1,1,0\right)=\left(1,-1,-1\right)$，而右式為

        $\displaystyle\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AB}-\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AD}+\frac{1}{2}\overset{\rightharpoonup}{AE}=\frac{1}{2}\left(2,0,0\right)-\frac{1}{2}\left(0,2,0\right)+\frac{1}{2}\left(0,0,-2\right)=\left(1,0,0\right)-\left(0,1,0\right)+\left(0,0,-1\right)=\left(1,-1,-1\right)$

        由於兩者相等，故本選項正確。
      2. 由於$\overset{\rightharpoonup}{KM}=\left(1,-1,-1\right)$，而$\overset{\rightharpoonup}{AB}=\left(2,0,0\right)$，因此兩者內積為

        $\overset{\rightharpoonup}{KM}\cdot\overset{\rightharpoonup}{AB}=\left(1,-1,-1\right)\cdot\left(2,0,0\right)=1\cdot2+\left(-1\right)\cdot0+\left(-1\right)\cdot0=2\neq1$

        故本選項錯誤。
      3. 由於$\overset{\rightharpoonup}{KM}=\left(1,-1,-1\right)$，因此$\overline{KM}=\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{3}$，本選項錯誤。
      4. 承(3)已知$\overline{KM}=\sqrt{3}$，進一步可求得$\overline{MN}=\sqrt{2}$、$\overline{NK}=\sqrt{5}$，這便表明$\overline{MN}^2+\overline{KM}^2=\overline{NK}^2$，意即$\angle KMN$為直角，因此$\Delta KMN$為直角三角形，本選項正確。
      5. 承(4)已知此為直角三角形且$\angle KMN$為直角，故面積為$\displaystyle\frac{\overline{KM}\times\overline{MN}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，本選項不正確。
      由以上分析可知應選(1)(4)。
第貳部分：選填題（佔$45$分）
說明：
  1. 第$A$至$I$題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12-33)處。
  2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
  1. 從$1$到$100$的正整數中刪去所有的質數、$2$的倍數及$3$的倍數之後，剩下最大的數為 ⑫⑬ 。
    2. 訣竅自$100$後往回檢查即可。
    解法$100$為$2$的倍數，$99$為$3$的倍數，$98$為$2$的倍數，$97$為質數，$96$為$2$的倍數，$95$既非$2$的倍數、$3$的倍數也不是質數，故填入$⑫=9$、$⑬=5$。

  2. 坐標平面上有四點$O\left(0,0\right)$，$A\left(−3,−5\right)$，$B\left(6,0\right)$，$C\left(x,y\right)$。今有一質點在$O$點沿$\overset{\rightharpoonup}{AO}$方向前進$\overline{AO}$距離後停在$P$，再沿$\overset{\rightharpoonup}{BP}$方向前進$2\overline{BP}$距離後停在$Q$。假設此質點繼續沿$\overset{\rightharpoonup}{CQ}$方向前進$3\overline{CQ}$距離後回到原點$O$，則$\left(x,y\right)=\left(\underline{ ⑭⑮ },\underline{ ⑯⑰ }\right)$。
    3. 訣竅按題意將坐標移動後依序求出$P$、$Q$、$C$坐標。
    解法自$O$點沿$\overset{\rightharpoonup}{AO}$方向前進$\overline{AO}$距離後停在$P$，可知$P$為$\left(3,5\right)$。接著自$P$再沿$\overset{\rightharpoonup}{BP}=\left(-3,5\right)$方向前進$2\overline{BP}$距離後停在$Q$，可知$Q$為$\left(-3,15\right)$。最後沿$\overset{\rightharpoonup}{CQ}=\left(-3-x,15-y\right)$的方向前進$3\overline{CQ}$後會到點$\left(-12-3x,60-3y\right)$，此即原點，故$-12-3x=0$、$60-3y=0$，如此得$x=-4$、$y=20$。因此填入$⑭=-$、$⑮=4$、$⑯=2$、$⑰=0$。

  3. 抽獎遊戲中，參加者自箱中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者可得消費劵，其金額分別為(抽得藍色球者)$2000$元、(抽得紅色球者)$1000$元。箱中已置有$2$顆藍色球及$5$顆紅色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單位希望參加者所得消費劵金額的期望值為$300$元，則主辦單位應於箱內再置入 ⑱⑲ 顆其他顏色的球。
    4. 訣竅設有其他顏色的球，據此獲得其對應的機率，接著運用期望值的定義計算後求出其他顏色球的個數。
    解法設有其他顏色的球$n$顆，那麼抽中藍色球的機率為$\displaystyle\frac{2}{n+7}$，而抽中紅色球的機率為$\displaystyle\frac{5}{n+7}$，因此按期望值的定義有

    $\displaystyle\frac{2}{n+7}\cdot2000+\frac{5}{n+7}\cdot1000=300$

    即有

    $9000=300\left(n+7\right)$

    因此$n=23$，故填$⑱=2$、$⑲=3$

  4. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的$x$ 截距相差$20$，$y$截距相差$15$。則這兩條平行直線的距離為 ⑳㉑ 。
    5. 訣竅作水平線與鉛直線可分別交平行線於兩點，從而利用直角三角形的斜邊高的計算方法求兩者距離。
    解法設兩平行線分別為$L_1$與$L_2$，首先作水平線$M$交$L_1$與$L_2$於$A$、$B$兩點，則$\overline{AB}=20$，接著作過$A$鉛直線交另一條線於$C$，則$\overline{AC}=15$。又由畢氏定理可知$\overline{BC}=25$，而兩平行線之距離為$A$到$\overline{BC}$的距離。藉由三角形面積的計算可知求為

    $\displaystyle\frac{20\cdot15}{25}=12$

    因此填入$⑳=1$、$㉑=2$

  5. 假設$\Gamma_1$為坐標平面上一開口向上的拋物線，其對稱軸為$\displaystyle x=\frac{-3}{4}$且焦距（焦點到頂點的距離）為$\displaystyle\frac{1}{8}$。若$\Gamma_1$與另一拋物線$\Gamma_2:y=x^2$恰交於一點，則$\Gamma_1$的頂點之$y$坐標為$\displaystyle\underline{ \frac{㉒}{㉓} }$。(化成最簡分數)
    6. 訣竅根據題意寫出$\Gamma_1$的方程，且由於恰交於一點表明二次方程的判別式為零。
    解法由於$\Gamma_1$的對稱軸為$\displaystyle x=-\frac{3}{4}$，因此設其頂點坐標為$\displaystyle\left(-\frac{3}{4},b\right)$，再由由於開口向上以及焦距為$\displaystyle\frac{1}{8}$可設$\Gamma_1$的方程為

    $\displaystyle \left(x+\frac{3}{4}\right)^2=4\cdot\frac{1}{8}\left(y-b\right)$

    現考慮$\Gamma_1$與$\Gamma_2$的相交情形，如此運用代入消去法有

    $\displaystyle\left(x+\frac{3}{4}\right)^2=\frac{1}{2}\left(x^2-b\right)$

    整理有$8x^2+24x+\left(9+8b\right)=0$。由於恰交一點，故判別式為零，即

    $24^2-4\cdot8\cdot\left(9+8b\right)=0$

    如此解得$\displaystyle b=\frac{9}{8}$，故填$㉒=9$、$㉓=8$

  6. 某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的$75\%$。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少$\underline{㉔.㉕}\%$的二氧化碳的排放量。(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。)
    7. 訣竅運用等比數列計算之，其中運用對數律求出所假定的未知數。
    解法設每年減少$x\%$，那麼按題意可列得方程

    $\displaystyle\left(1-0.01x\right)^5\leq\frac{3}{4}$

    同取以$10$為底的對數可得

    $5\log\left(1-0.01x\right)\leq\log3-\log4\approx0.4771-0.602=-0.1249$

    從而有

    $\log\left(1-0.01x\right)\leq-0.02498=-1+0.97502\approx\log0.1+\log9.4405=\log0.94405$

    因此$1-0.01x\approx0.94405$，從而$x\approx5.595$，四捨五入至小數點第一位有$x\approx5.6$，故填$㉔=5$、$㉕=6$。

  7. 坐標空間中$xy$平面上有一正方形，其頂點為$O\left(0,0,0\right)$，$A\left(8,0,0\right)$，$B\left(8,8,0\right)$，$C\left(0,8,0\right)$。另一點$P$在$xy$平面的上方，且與$O,A,B,C$四點的距離皆等於$6$。若$x+by+cz=d$為通過$A,B,P$三點的平面，則$\left(b,c,d\right)=\left(\underline{㉖,㉗,㉘}\right)$。
    8. 訣竅由圖形的對稱性可推測並求得$P$之坐標，隨後解聯立方程以求得未知數$b,c,d$。
    解法由對稱性可設$P$之座標為$\left(4,4,h\right)$，且由$P$在$xy$平面的上方可知$h>0$。接著由$\overline{PO}=6$，因此有$\sqrt{4^2+4^2+h^2}=6$，從而知道$h=2$。由於$x+by+cz=d$通過$A$點可知$d=8$。又通過$B$點有$8+8b=8$，從而$b=0$。最後通過$P$點可知$4+2c=8$，因此$c=2$。故應劃記$㉖=0$、$㉗=2$、$㉘=8$。

  8. 有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點$F_1$、$F_2$，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。設$P$為此橢圓與雙曲線的一個交點，且$\overline{PF_1}\times\overline{PF_2}=64$，則$\overline{F_1F_2}=\underline{ ㉙㉚ }$。
    9. 訣竅運用適當的記號來表達橢圓和雙曲線中的線段長度。
    解法由於橢圓與雙曲線有共同的焦點，因此$c_{橢圓}=c_{雙曲線}$。再者由橢圓的特質可知

    $a_{橢圓}^2=b_{橢圓}^2+c_{橢圓}^2$

    不失一般性，假定$\overline{PF_1}>\overline{PF_2}$，且由定義可知

    $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a_{橢圓}$　；　$\overline{PF_1}-\overline{PF_2}=2a_{雙曲線}$

    因此$\overline{PF_1}=a_{橢圓}+a_{雙曲線}$、$\overline{PF_2}=a_{橢圓}-a_{雙曲線}$。接著由於$\overline{PF_1}\times\overline{PF_2}=64$，可得$a_{橢圓}^2-a_{雙曲線}^2=64$，又按題目敘述有$a_{雙曲線}=b_{橢圓}$，因此有

    $64=a_{橢圓}^2-b_{橢圓}^2=c_{橢圓}^2$

    故$c_{橢圓}=8$，因此$\overline{F_1F_2}=2c_{橢圓}=16$，填入$㉙=1$、$㉚=6$。

  9. 在$\Delta ABC$中，$\overline{AB}=10$，$\overline{AC}=9$，$\displaystyle\cos\angle BAC=\frac{3}{8}$。設點$P$、$Q$分別在邊$AB$、$AC$上使得$\Delta APQ$之面積為$\Delta ABC$面積之一半，則$\overline{PQ}$之最小可能值為$\displaystyle\underline{ \frac{㉛㉜}{㉝} }$。(化成最簡分數)
    10. 訣竅運用面積公式表達面積後可建立起關係式，接著使用餘弦定理可表達$\overline{PQ}$長，藉由觀察關係式與欲求極值的表達式可知應使用算術幾何不等式。
    解法由於$\Delta APQ$的面積為$\Delta ABC$面積的一半，因此有

    $\displaystyle\frac{1}{2}\overline{AP}\times\overline{AQ}\sin\angle BAC=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\times\overline{AC}\sin\angle BAC\right)$

    故$\overline{AP}\times\overline{AQ}=45$。接著由餘弦定理可知

    $\displaystyle\overline{PQ}^2=\overline{AP}^2+\overline{AQ}^2-2\overline{AP}\times\overline{AQ}\cos\angle BAC=\overline{AP}^2+\overline{AQ}^2-2\times45\times\frac{3}{8}\geq2\sqrt{\overline{AP}^2\times\overline{AQ}^2}-\frac{135}{4}=90-\frac{135}{4}=\frac{225}{4}$

    因此有$\displaystyle\overline{PQ}\geq\frac{15}{2}$，此即最小值。故劃入$㉛=1$、$㉜=5$、$㉝=2。

參考公式及可能用到的數值

  1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  2. 平面上兩點$P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$間的距離為$\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
  3. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$
  4. 首項為$a_1$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\frac{n\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
  5. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$
    　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
  6. $\Delta ABC$的正弦定理：　$\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
    $\Delta ABC$的餘弦定理：　$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
  7. $95\%$信心水準下之信賴區間：$\displaystyle\left[\hat{p}-2\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}},\hat{p}+2\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}\right]$
  8. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
  9. 對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$

常用對數表　$\log_{10}N$
$\begin{array}{|c|ccccc|ccccc||ccc|ccc|ccc|}N&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&&表&&&尾&&&差&\\&&&&&&&&&&&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\10&0000&0043&0086&0128&0170&0212&0253&0294&0334&0374&4&8&12&17&21&25&29&33&37\\11&0414&0453&0492&0531&0569&0607&0645&0682&0719&0755&4&8&11&15&19&23&26&30&34\\12&0792&0828&0864&0899&0934&0969&1004&1038&1072&1106&3&7&10&14&17&21&24&28&31\\&&&&&&&&....\\74&8692&8698&8704&8710&8716&8722&8727&8733&8739&8745&1&1&2&2&3&4&4&5&5\\\hline75&8751&8756&8762&8768&8774&8779&8785&8791&8797&8802&1&1&2&2&3&3&4&5&5\\76&8808&8814&8820&8825&8831&8837&8842&8848&8854&8859&1&1&2&2&3&3&4&5&5\\&&&&&&&&....\\93&9685&9689&9694&9699&9703&9708&9713&9717&9722&9727&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\94&9731&9736&9741&9745&9750&9754&9759&9763&9768&9773&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\\hline95&9777&9782&9786&9791&9795&9800&9805&9809&9814&9818&0&1&1&2&2&3&3&4&4\\96&9823&9827&9832&9836&9841&9845&9850&9854&9859&9863&0&1&1&2&2&3&3&4&4\end{array}$

註
  1. 表中所給的對數值為小數點後的值。
  2. 表中最左欄的數字表示$N$的個位數及小數點後第一位，最上一列的數字表示$N$的小數點後第二位。

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