九十七學年度數學學科能力測驗

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九十七學年度學科能力測驗試題

數學考科

－作答注意事項－

1. 考試時間：$100$分鐘
2. 題型題數：單選題$5$題，多選題$7$題，選填題第$A$至$H$題共$8$題
3. 作答方式：
   • 用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
   • 答錯不倒扣
4. 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
   1. 填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。
      例：若第$1$題的選項為(1)$3$ (2)$5$ (3)$7$ (4)$9$ (5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：

      $\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$

      例：若多選題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$

   2. 選填題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

      例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

      例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：

      $\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$

5. ※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值

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第一部分：選擇題（佔$60$分）

1. 單選題（佔$25$分）
說明：第$1$至$5$題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。
1. 對任意實數$x$而言，$27^{\left(x^2+\frac{2}{3}\right)}$的最小值為
   1. $3$
   2. $3\sqrt{3}$
   3. $9$
   4. $27$
   5. $81\sqrt{3}$
訣竅
由指數函數的單調性與二次函數的極值來判斷。
解法
由於$\displaystyle x^2+\frac{2}{3}\geq\frac{2}{3}$，因此
$\displaystyle27^{\left(x^2+\frac{2}{3}\right)}\geq27^{\frac{2}{3}}=\left(3^3\right)^{\frac{2}{3}}=3^2=9$
其中等號成立為$x=0$，故最小值為$9$，應選(3)。


2. 在職棒比賽中ERA值是了解一個投手表現的重要統計數值。其計算方式如下：若此投手共主投$n$局，其總責任失分為$E$，則其ERA值為$\displaystyle\frac{E}{n}\times9$。有一位投手在之前的比賽中共主投了$90$局，且這$90$局中他的ERA值為$3.2$。在最新的一場比賽中此投手主投$6$局無責任失分，則打完這一場比賽後，此投手的ERA值成為
   1. $2.9$
   2. $3.0$
   3. $3.1$
   4. $3.2$
   5. $3.3$
訣竅
按題幹所述之ERA的定義計算之。
解法
按ERA值的定義，可知這$90$局的總責任失分$E$可計算如下
$\displaystyle3.2=\frac{E}{90}\times9$
即$E=32$。接下來又進行$6$局後，其總責任失分不變，則此時的ERA值計算如下
$\displaystyle\text{ERA}=\frac{32}{96}\times9=3$
應選(2)。


3. 有一個圓形跑道分內、外兩圈，半徑分別為$30$、$50$公尺。今甲在內圈以等速行走、乙在外圈以等速跑步，且知甲每走一圈，乙恰跑了兩圈。若甲走了$45$公尺，則同時段乙跑了
   1. $90$公尺
   2. $120$公尺
   3. $135$公尺
   4. $150$公尺
   5. $180$公尺
訣竅
按題意建立起等式關係，如此可知甲與乙的速度比。
解法
當甲走一圈時，甲走的距離為$60\pi$公尺，而當乙跑兩圈時，乙跑的距離為$200\pi$，故甲與乙的速度比為$60\pi:200\pi=3:10$，因此當甲移動$45$公尺時，乙應移動$150$公尺，應選(4)。


4. 某地區的車牌號碼共六碼，其中前兩碼為$O$以外的英文大寫字母，後四碼為$0$到$9$的阿拉伯數字，但規定不能連續出現三個$4$。例如：$AA1234$，$AB4434$為可出現的車牌號碼；而$AO1234$，$AB3444$為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為$A$且最後一碼為$4$的車牌號碼個數為
   1. $25\times9^3$
   2. $25\times9^2\times10$
   3. $25\times900$
   4. $25\times990$
   5. $25\times999$
訣竅
運用乘法原理釐清每個階段所需的步驟數即可。
解法
已經確定第一碼為$A$，而第二碼為非$O$以外的英文字母，故有$25$種選擇。接著關於數字的部分，已經確定最後一碼為$4$，故前三碼不可為尾兩碼恰為$44$，因此$1000-10=990$種，故由乘法原理可知題幹所問知車牌號碼個數為$25\times990$，應選(4)


5. 廣場上插了一支紅旗與一支白旗，小明站在兩支旗子之間。利用手邊的儀器，小明測出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的$6$倍；小明往正北方走了$10$公尺之後再測量一次，發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的$4$倍。試問紅白兩旗之間的距離最接近下列哪個選項？
   1. $60$公尺
   2. $65$公尺
   3. $70$公尺
   4. $75$公尺
   5. $80$公尺
訣竅
依題意設定坐標後解方程式。
解法
按題意設小明的起點為原點，紅旗的位置為$\left(6a,0\right)$，而白旗位置為$\left(-a,0\right)$，其中$a>0$。接著當小明往正北方走$10$公尺後其坐標為$\left(0,10\right)$，故有等式
$\sqrt{\left(6a\right)^2+10^2}=4\sqrt{\left(-a\right)^2+10^2}$
兩邊平方可得
$36a^2+100=16a^2+1600$
即有$20a^2=1500$，因此$a=\pm5\sqrt{3}$，其中負號不合理。故$a=5\sqrt{3}$，從而紅白兩旗的距離為
$7a=35\sqrt{3}\approx35\cdot1.732=60.62\approx60$
應選(1)。
2. 多選題（佔$35$分）
說明：第$6$至第$12$題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得$5$分，只錯一個選項可得$2.5$分，錯兩個或兩個以上選項不給分。
6. 試問：在坐標平面上，下列哪些選項中的函數圖形完全落在$x$軸的上方？
   1. $y=x+100$
   2. $y=x^2+1$
   3. $y=2+\sin x$
   4. $y=2^x$
   5. $y=\log x$
訣竅
判斷基本函數圖形的形狀即可答題。
解法
1. 當$x=-100$時，$y=0$，此點沒有落在$x$軸上方。
2. 由於$x^2\geq0$，因此$y=x^2+1\geq1$，必在$x$軸上方。
3. 由於$-1\leq\sin x\leq1$，因此$1\leq y=2+\sin x\leq3$，必在$x$軸上方。
4. 由於指數函數的取值恆正，故$y>0$，必在$x$軸上方。
5. 當$x=1$時有$y=0$，此點沒有落在$x$軸上方。
由以上可知應選(2)(3)(4)。


7. 某高中共有$20$個班級，每班各有$40$位學生，其中男生$25$人，女生$15$人。若從全校$800$人中以簡單隨機抽樣抽出$80$人，試問下列哪些選項是正確的？
   1. 每班至少會有一人被抽中
   2. 抽出來的男生人數一定比女生人數多
   3. 已知小文是男生，小美是女生，則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機率
   4. 若學生甲和學生乙在同一班，學生丙在另外一班，則甲、乙兩人同時被抽中的機率跟甲、丙兩人同時被抽中的機率一樣
   5. 學生$A$和學生$B$是兄弟，他們同時被抽中的機率小於$\displaystyle\frac{1}{100}$
訣竅
依據抽樣的基本知識答題即可。
解法
1. 不一定，可以集中抽中某幾個班。
2. 不一定，可以都抽中女生。
3. 錯誤，因為是簡單隨機抽樣，所以兩人之機率相同。
4. 正確，因為此抽樣的規則與班級無關，而是以全校$800$人為母體直接抽取兩人，從中抽出的兩人組的每組機率會相同。
5. 所有的抽取方法計有$C_{80}^{800}$種，而抽到兩人的方法數有$C_{78}^{798}$種，從而機率為

   $\displaystyle\frac{C_{78}^{798}}{C_{80}^{800}}=\frac{798!80!}{800!78!}=\frac{80\cdot79}{800\cdot799}=\frac{79}{7990}<\frac{79}{7900}=\frac{1}{100}$

   故本選項正確。
由以上可知應選(4)(5)。


8. 已知$a_1,a_2,a_3$為一等差數列，而$b_1,b_2,b_3$為一等比數列，且此六數皆為實數。試問下列哪些選項是正確的？
   1. $a_1<a_2$與$a_2>a_3$可能同時成立
   2. $b_1<b_2$與$b_2>b_3$可能同時成立
   3. 若$a_1+a_2<0$，則$a_2+a_3<0$
   4. 若$b_1b_2<0$，則$b_2b_3<0$
   5. 若$b_1,b_2,b_3$皆為正整數且$b_1<b_2$，則$b_1$整除$b_2$
訣竅
根據等差數列與等比數列的基本定義去檢驗即可。
解法
1. 因為$a_2>a_1$，因此公差$d>0$，故$a_3=a_2+d>a_2$，故兩個不等式不可能同時成立。
2. 取$b_n=\left(-1\right)^n$即可。
3. 反例為$a_1=-1$、$a_2=0$、$a_3=1$，因此本選項不正確。
4. 若$b_1b_2<0$，那麼可能「$b_1<0$且$b_2>0$」或「$b_1>0$且$b_2<0$」，前者可推論出$b_3<0$而後者$b_3>0$，無論何者皆可導致出$b_2b_3<0$。
5. 反例為$a_1=4$、$a_2=6$、$a_3=9$，因此本選項不正確。
由以上分析可知應選為(2)(4)。


9. 已知在一容器中有$A$，$B$兩種菌，且在任何時刻$A$，$B$兩種菌的個數乘積為定值$10^{10}$。為了簡單起見，科學家用$P_A=\log\left(n_A\right)$來記錄$A$菌個數的資料，其中$n_A$為$A$菌的個數。試問下列哪些選項是正確的？
   1. $1\leq P_A\leq10$
   2. 當$P_A=5$時，$B$菌的個數與$A$菌的個數相同
   3. 如果上週一測得$P_A$值為$4$而上週五測得$P_A$值為$8$，表示上週五$A$菌的個數是上週一$A$菌個數的$2$倍
   4. 若今天的$P_A$值比昨天增加$1$，則今天的$A$菌比昨天多了$10$個
   5. 假設科學家將$B$菌的個數控制為$5$萬個，則此時$5<P_A<5.5$
訣竅
依據對數函數和對數律來答題。
解法
1. 由於$A\cdot B=10^{10}$，再者$A$與$B$皆為正整數，故$1\leq A\leq10^{10}$，從而取以$10$為底的對數有$0\leq P_A\leq10$。
2. 當$P_A=5$時有$A=10^{5}$，從而推出$B=10^5$，故兩者相等。
3. $P_A=4$表明$A=10^4$，而$P_A=8$表明$A=10^8$，故上週五是上週一的$10^4$倍，故非$2$倍。
4. 若昨日的$P_A$為$x$，而今日的$P_A$為$x+1$，則今日的$A$菌比昨日多$10$倍而非$10$個。
5. 當$B$菌的個數為$5$萬個時，$A$菌的個數則為$2\times10^5$個，那麼$P_A=5+\log2\approx5.301$，故正確。
由以上可知應選(2)(5)。


10. 已知實係數多項式$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)=x^3+x^2−2$有次數大於$0$的公因式。試問下列哪些選項是正確的？
    1. $g\left(x\right)=0$恰有一實根
    2. $f\left(x\right)=0$必有實根
    3. 若$f\left(x\right)=0$與$g\left(x\right)=0$有共同實根，則此實根必為$1$
    4. 若$f\left(x\right)=0$與$g\left(x\right)=0$有共同實根，則$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$的最高公因式為一次式
    5. 若$f\left(x\right)=0$與$g\left(x\right)=0$沒有共同實根，則$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$的最高公因式為二次式
訣竅
由因式的觀念解題，並且注意到一次實係數因式必有實根，而針對二次因式則應檢驗得知無實根，據此分門別類討論即可。
解法
1. 由於$g\left(x\right)$可因式分解為$\left(x-1\right)\left(x^2+2x+2\right)$，因此可知$g\left(x\right)=0$的根為$x=1$或$x=-1\pm i$，故恰為一實根，本選項正確。
2. 若取$f\left(x\right)=x^2-2x+2$，則$f\left(x\right)=0$無實根，本選項錯誤。
3. 若$f\left(x\right)=0$與$g\left(x\right)=0$有共同實根，又根據選項(1)可知$g\left(x\right)=0$的實根僅有$x=1$，因此若有共同則必為如此，本選項正確。
4. 若取$f\left(x\right)=g\left(x\right)$，則$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$的最高公因式不為一次，本選項錯誤。
5. 由於$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$沒有共同實根，因此$x-1$不為共同因式，因此$f\left(x\right)$具有因式$x^2-2x+2$，從而$f\left(x\right)$與$g\left(x\right)$之最高公因式之一為$x^2-2x+2$，此為二次式，故本選項正確。
由以上分析可知應選(1)(3)(5)。


11. 設坐標空間中三條直線$L_1,L_2 ,L_3$的方程式分別為

    $\displaystyle L_1:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{6}=\frac{z+4}{8}$；　$\displaystyle L_2:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z+4}{4}$；　$\displaystyle L_3:\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$。

    試問下列哪些選項是正確的？
    1. $L_1$與$L_2$相交
    2. $L_2$與$L_3$平行
    3. 點$P\left(0,-3,-4\right)$與$Q\left(0,0,0\right)$的距離即為點$P$到$L_3$的最短距離
    4. 直線$\displaystyle L:=\left\{\begin{aligned}x&=0\\\frac{y+3}{4}&=\frac{z+4}{-3}\end{aligned}\right.$與直線$L_1,L_2$皆垂直
    5. 三直線$L_1,L_2,L_3$共平面
訣竅
運用對稱比例式的特性求解。
解法
1. 由於兩者皆通過$\left(0,-3,-4\right)$，故$L_1$與$L_2$相交，本選項正確。
2. 由於$L_2$與$L_3$的方向向量相同，故兩者可能平行或重合。取$L_2$的上一點$\left(1,0,0\right)$可知該點不落於$L_3$上，因此$L_2$與$L_3$平行，本選項正確。
3. 由於$P$點落在$L_2$上，而$Q$點落在$L_3$上，但$\overset{\rightharpoonup}{PQ}$與$\left(1,3,4\right)$沒有垂直，故$\overline{PQ}$不為$P$到$L_3$的最短距離，本選項錯誤。
4. $L$的方向向量為$\left(0,4,-3\right)$，因此與$L_1$與$L_2$的方向向量垂直。再者，坐標$\left(0,-3,-4\right)$落於$L_1$與$L_2$之上，因此$L$與$L_1,L_2$垂直於$\left(0,-3,-4\right)$，本選項正確。
5. 由於$L_1$與$L_2$相交於$\left(0,-3,-4\right)$，而$L_3$與$L_1$相交於$\left(1,3,4\right)$，又$L_2$與$L_3$平行，故三者落於同一平面上。
由以上可知應選(1)(2)(4)(5)。


12. 設$\Gamma:x^2+y^2−10x+9=0$為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的？
    1. $\Gamma$的圓心坐標為$\left(5,0\right)$
    2. $\Gamma$上的點與直線$L:3x+4y−15=0$的最遠距離等於$4$
    3. 直線$L_1:3x+4y+15=0$與$\Gamma$相切
    4. $\Gamma$上恰有兩個點與直線$L_2:3x+4y=0$的距離等於$2$
    5. $\Gamma$上恰有四個點與直線$L_3:3x+4y-5=0$的距離等於$2$
訣竅
將方程寫為圓之標準式後便能判斷，其中會需要使用到兩點的距離公式與點到直線距離公式。
解法
1. 寫為標準式為$\left(x-5\right)^2+y^2=16$，因此$\Gamma$的圓心坐標為$\left(5,0\right)$，本選項正確。
2. 圓心$\left(5,0\right)$到$L$的距離為$\displaystyle\frac{\left|3\cdot5+4\cdot0-15\right|}{\sqrt{3^2+y^2}}=0$，從而$\Gamma$上的點到$L$的最遠距離為半徑$r=4$，本選項正確。
3. 圓心$\left(5,0\right)$到$L_1$的距離為$\displaystyle\frac{\left|3\cdot5+4\cdot0+15\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=6>4$，故$L_1$與$\Gamma$不相交，本選項錯誤。
4. 圓心$\left(5,0\right)$到$L_2$的距離為$\displaystyle\frac{\left|3\cdot5+4\cdot0\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3$。故此直線與$\Gamma$相交於兩點，從而將$\Gamma$切為劣弓形與優弓形，劣弓形與$L_2$之最遠距離為$1$，而在優弓形上可找到兩個點與$L_2$的距離為$2$，故本選項正確。
5. 圓心$\left(5,0\right)$到$L_3$的距離為$\displaystyle\frac{\left|3\cdot5+4\cdot0-5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$，故$L_3$與$\Gamma$相交兩點，從而將$\Gamma$切為劣弓形與優弓形，由於劣弓形與$L_3$的最遠距離恰為$2$，而在優弓形尚可找到兩個點與$L_3$的距離為$2$，因此恰有三個點與$L_3$的距離為$2$，故本選項錯誤。
由以上分析可知應選(1)(2)(4)。

第二部分：選填題（佔$40$分）

說明：

1. 第$A$至$H$題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-43)處。
2. 每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

1. 令$A\left(−1,6,0\right)$，$B\left(3,−1,−2\right)$，$C\left(4,4,5\right)$為坐標空間中三點。若$D$為空間中的一點且滿足$3\overset{\rightharpoonup}{DA}-4\overset{\rightharpoonup}{DB}+2\overset{\rightharpoonup}{DC}=\overset{\rightharpoonup}{0}$，則點$D$的坐標為$\left(\underline{ ⑬⑭ },\underline{ ⑮⑯ },\underline{ ⑰⑱ }\right)$。
訣竅
將向量改為座標方程後可立即解出$D$之座標。
解法
將向量式改為坐標相減如下
$3\left(A-D\right)-4\left(B-D\right)+2\left(C-D\right)=\left(0,0,0\right)$
因此有
$D=3A-4B+2C=3\left(-1,6,0\right)-4\left(3,-1,-2\right)+2\left(4,4,5\right)=\left(-7,30,18\right)$
因此填入$⑬=-$、$⑭=7$、$⑮=3$、$⑯=0$、$⑰=1$、$⑱=8$。


2. 在坐標平面上，設$A$為直線$3x−y=0$上一點，$B$為$x$軸上一點。若線段$\overline{AB}$的中點坐標為$\displaystyle\left(\frac{7}{2},6\right)$，則點$A$的坐標為$\left(\underline{ ⑲ },\underline{ ⑳㉑ }\right)$，點$B$的坐標為$\left(\underline{ ㉒ },0\right)$。
訣竅
運用坐標表法式法解聯立方程即可確定出兩者坐標。
解法
設$A$為$\left(a,3a\right)$，而$B$為$\left(b,0\right)$，那麼按中點公式有
$\displaystyle\frac{a+b}{2}=\frac{7}{2},~~\frac{3a+0}{2}=6$
因此解得$a=4$、$b=3$，因此$A$之坐標為$\left(4,12\right)$、$B$之坐標為$\left(3,0\right)$，故填入$⑲=4$、$⑳=1$、$㉑=2$、$㉒=3$。


3. 坐標平面上，以原點$O$為圓心的圓上有三個相異點$A\left(1,0\right)$，$B$，$C$，且$\overline{AB}=\overline{BC}$。已知銳角三角形$OAB$的面積為$\displaystyle\frac{3}{10}$，則$\Delta OAC$的面積為$\displaystyle\underline{ \frac{㉓㉔}{㉕㉖} }$。(化為最簡分數)
訣竅
利用正弦函數表達三角形面積，再由條件會發現需使用倍角公式處理之。
解法
由於$\overline{AB}=\overline{BC}$，因此$B$落在$\overline{AC}$的中垂線上，因此可設$\angle AOB=\angle COB=\theta$，那麼$\Delta OAB$的面積可列為
$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin\theta=\frac{3}{10}$
因此$\displaystyle\sin\theta=\frac{3}{5}$。又因$\Delta OAB$為銳角三角形，如此可得$\displaystyle\cos\theta=\frac{4}{5}$。現計算$\Delta OAC$面積如下
$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin2\theta=\sin\theta\cos\theta=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{12}{25}$
遂填入$㉓=1$、$㉔=2$、$㉕=2$、$㉖=5$。


4. 設$F_1$與$F_2$為坐標平面上雙曲線$\displaystyle\Gamma:\frac{x^2}{8}-y^2=1$的兩個焦點，且$P\left(-4,1\right)$為$\Gamma$上一點。若$\angle F_1PF_2$的角平分線與$x$軸交於點$D$，則$D$的$x$坐標為 ㉗㉘ 。
訣竅
由雙曲線的標準式求得相關之坐標，接著運用角平分線的線段比例性質求解。
解法
按雙曲線的定義可知$a^2=8$、$b^2=1$，從而$c^2=9$，故設$F_1\left(3,0\right)$、$F_2\left(-3,0\right)$。由此可知$\overline{PF_1}=5\sqrt{2}$、$\overline{PF_2}=\sqrt{2}$，故$\overline{DF_1}:\overline{DF_2}=5:1$，那麼由分點公式可知$D$之坐標為$\left(-2,0\right)$，故填$㉗=-$、$㉘=2$。


5. 設$O\left(0,0,0\right)$為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知$\left(2,2,1\right)$，$\left(2,−1,−2\right)$，$\left(3,−6,6\right)$為此長方體中與$O$相鄰的三頂點。若平面$E:x+by+cz=d$將此長方體截成兩部分，其中包含頂點$O$的那一部分是個正立方體，則$\left(b,c,d\right)=\left(\underline{ ㉙㉚ },\underline{ ㉛ },\underline{ ㉜ }\right)$。
訣竅
分析$O$至各點的距離，隨後判定正方體之邊長，並依題意求出法向量與平面所通過的點坐標。
解法
首先分別記$\left(2,2,1\right)$為$A$、$\left(2,-1,-2\right)$為$B$、$\left(3,-6,6\right)$為$D$，那麼$\overline{OA}=\overline{OB}=3$，而$\overline{OD}=9$。因此平面$E$將長方體截成兩部分，其中設$E$與$\overline{OD}$交於$K$，由於包含頂點$O$的部分為正方體，因此$\overline{OK}=3$。由於$\overline{OL}:\overline{OD}=1:3$，因此可得$K$之坐標為$\left(1,-2,2\right)$。再者可以注意到向量$\overset{\rightharpoonup}{OK}$為$E$之法向量，如此使用點法式可得平方程式為
$x-2y+2z=9$
填入$㉙=-$、$㉚=2$、$㉛=2$、$㉜=9$。


6. 設$a,b$為正整數。若$b^2=9a$，且$a+2b>280$，則$a$的最小可能值為 ㉝㉞㉟ 。
訣竅
利用代入消去法解一元二次不等式，接著運用因數倍數的觀念去確定$a$與$b$的最小值。
解法
由於$b^2=9a$，因此$b$為$3$的倍數。再者可知$\displaystyle a=\frac{b^2}{9}$，從而有
$\displaystyle\frac{b^2}{9}+2b>280$
即$b^2+18b-2520>0$，因式分解有$\left(b-42\right)\left(b+60\right)>0$，從而有$b>42$或$b<-60$。因此$b$最小為$45$，故$a$最小為$225$，填入$㉝=2$、$㉞=2$、$㉟=5$。


7. 坐標平面上有一質點沿方向$\vec{u}=\left(1,2\right)$前進。現欲在此平面上置一直線$L$，使得此質點碰到$L$時依光學原理(入射角等於反射角)反射，之後沿方向$\vec{v}=\left(-2,1\right)$前進，則直線$L$的方向向量應為$\vec{w}=\left(1,\underline{ ㊱㊲ }\right)$。
訣竅
注意到將相同長度的原前進向量和反射後前進向量相加即為方向向量。
解法
由於$\vec{u}$與$\vec{v}$的長度皆為$\sqrt{5}$，故直線$L$的方向向量可為$\vec{u}+\vec{v}=\left(-1,3\right)$，取其反方向可得$\vec{w}=\left(1,-3\right)$，因此填入$㊱=-$、$㊲=3$。


8. 已知坐標平面上圓$O_1:\left(x-7\right)^2+\left(y-1\right)^2=144$與$O_2:\left(x+2\right)^2+\left(y-13\right)^2=9$相切，且此兩圓均與直線$L:x=-5$相切。若$\Gamma$為以$L$為準線的拋物線，且同時通過$O_1$與$O_2$的圓心，則$\Gamma$的焦點坐標為$\displaystyle\left(\underline{ \frac{㊳㊴}{㊵} },\underline{ \frac{㊶㊷}{㊸} }\right)$。（化為最簡分數）
訣竅
觀察到兩圓的切點恰為拋物線之焦點。
解法
由於兩圓圓心分別到相切之處恰為半徑，從而該切點符合拋物線焦點的定義。記該點為$F$，則知$\overline{O_1F}=12$、$\overline{O_2F}=3$，因此由分點公式可知
$\displaystyle F=\frac{12}{15}O_2+\frac{3}{15}O_1=\frac{4}{5}\left(-2,13\right)+\frac{1}{5}\left(7,1\right)=\left(\frac{-1}{5},\frac{53}{5}\right)$
故填入$㊳=-$、$㊴=1$、$㊵=5$、$㊶=5$、$㊷=3$、$㊸=5$。

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參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 平面上兩點$P_1\left(x_1,y_1\right)$，$P_2\left(x_2,y_2\right)$間的距離為$\overline{P_1P_2}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
3. 通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neq x_1$
4. 首項為$a_1$，公差為$d$的等差數列前$n$項之和為$\displaystyle S=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\frac{n\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}$
   等比級數$\left\langle ar^{k-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyle S_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。
5. 三角函數的和角公式：$\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$
   　　　　　　　　　　$\cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
   　　　　　　　　　　$\displaystyle\tan\left(\theta_1+\theta_2\right)=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}$
6. $\Delta ABC$的正弦定理：　$\displaystyle\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$
   $\Delta ABC$的餘弦定理：　$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
7. 棣美弗定理：設$z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$，則$z^n=r^n\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right)$，$n$為一正整數
8. 算術平均數：　$\displaystyle M\left(={\bar X}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
   (樣本)標準差：　$\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\bar X}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)-\bar{X}^2\right)}$
9. 參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$
10. 對數值：$\log_{10}1.1\approx0.0414$，$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$