幾何明珠 第二章 光反射定理 練習與思考 詳解

1. 證明：在同底等高的三角形中，以等腰三角形的周長為最小。
解法



設 $\overline{BC}$ 為底，作 $\overline{BC}$ 的中垂線，於上取點 $A$，那麼 $\Delta ABC$ 為等腰三角形。接著作過 $A$ 且平行 $BC$ 的直線 $L$。取異於 $A$ 的點 $A'\in L$，那麼要證明 $A'B+A'C> AB+AC$。

作 $C$ 對 $L$ 的對稱點 $C'$，那麼 $A'C'=A'C$ 且 $AC'=AC$。由於 $A'$ 異於 $A$，從而 $A'$、$B$、$C'$ 三點可形成三角形，從而由三角不等式可知

$A'B+A'C=A'B+A'C'>BC'=AB+AC'=AB+AC.$

證明完畢。



2. 如圖，$A'$ 為 $\Delta ABC$ 的外角平分線 $AT$ 上的任意一點，證明 $A'B+A'C\geq AB+AC$。
   
解法

在直線 $AB$ 上取一點 $C'$ 使 $AC'=AC$ 且 $C'$ 與 $B$ 相對於 $A$ 異側，即有 $A'C'=A'C$，那麼有兩種情形：
• 若 $A'$ 與 $A$ 重合，那麼 $A'B+A'C=AB+AC$。
• 若 $A'$ 與 $A$ 不重合，那麼 $A'$、$B$、$C'$ 三點可形成三角形，如此由三角不等式可知

  $A'B+A'C=A'B+A'C'>BC'=AB+AC'=AB+AC$.
將兩種情形合併即完成證明。


3. 圓 $O$ 為銳角 $\angle ACB$ 內一定圓，在圓 $O$、$CA$、$CB$ 上分別求出一點 $P$、$Q$、$R$，使從 $P$ 到 $Q$ 到 $R$ 再到 $P$ 的路徑最短。
   
解法



任取 $P$ 為圓 $O$ 上的一點，作 $P$ 對 $AC$ 與 $BC$ 的對稱點，記為 $P'$ 與 $P''$，連 $PP'$ 與 $PP''$ 分別交 $AC$ 與 $BC$ 於 $Q$、$R$。可以知道這樣選出來的 $Q$ 與 $R$ 能使 $\Delta PQR$ 的周長即為 $P'P''$ 的長度，故能使 $\Delta PQR$ 周長最小。因此現在要解決的問題是要在圓 $O$ 上選取那一點作為適當的 $P$ 點。

現在連 $CP'$ 與 $CP''$，且記 $\angle ACB=\theta$。在 $\Delta CP'P''$ 中使用餘弦定理可知

$P'P''^2=CP'^2+CP''^2-2CP'\cdot CP''\cos2\theta=2CP^2\left(1-\cos2\theta\right)$.

因此要使該式有最小值即要使 $CP$ 長最小，故連 $CO$ 交於兩點，取與 $C$ 同側的點為 $P$ 即可。