幾何明珠 第二十章 莫利定理 練習與思考 詳解

1. 設三角形的三個內角是 $3\alpha$、$3\beta$、$3\gamma$，外接圓半徑是 $R$，則三內角的等分線所交的正三角形邊長是 $8R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$。
解法
設 $\Delta ABC$，其內角三等分線交於 $D$、$E$、$F$，並且依序距 $AB$、$BC$、$CF$ 邊最近。首先在 $\Delta ABD$ 中運用正弦定理有
$\displaystyle\frac{AB}{\sin\left(180^\circ-\alpha-\beta\right)}=\frac{AD}{\sin\beta}$,
即有
$\displaystyle AD=\frac{AB\sin\beta}{\sin\left(\alpha+\beta\right)}$.
接著於 $\Delta ADF$ 中使用正弦定理有
$\displaystyle\frac{AD}{\sin\angle AFD}=\frac{DF}{\sin\alpha}$.
再者透過證法 2 中注意到 $\angle AFD=60^\circ+\gamma$，因此有
$\displaystyle DF=\frac{AD\sin\alpha}{\sin\left(60^\circ+\gamma\right)}=\frac{AB\sin\alpha\sin\beta}{\sin\left(60^\circ+\gamma\right)\sin\left(\alpha+\beta\right)}$.
再者，$\alpha+\beta+\gamma=60^\circ$，因此
$\displaystyle\sin\left(60^\circ+\gamma\right)\sin\left(60^\circ-\gamma\right)=\frac{3\cos^2\gamma-\sin^2\gamma}{4}=\frac{3}{4}-\sin^2\gamma$.
此外注意到三倍角公式 $\sin3\gamma=3\sin\gamma-4\sin^3\gamma$，從而
$\displaystyle DF=\frac{AB\sin\alpha\sin\beta}{\frac{3}{4}-\sin^2\gamma}=\frac{4AB\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{3\sin\gamma-4\sin^3\gamma}=\frac{4AB\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\sin3\gamma}=8R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$,
其中最後的等號是由 $\Delta ABC$ 的正弦定理：$\displaystyle\frac{AB}{\sin3\gamma}=\frac{AB}{\sin C}=2R$ 而得。


2. 證明定理 20.2。
解法
設 $\Delta ABC$ 中的 $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 的外角 $3\alpha$、$3\beta$、$3\gamma$，則 $\alpha+\beta+\gamma=120^\circ$。現作 $\angle B$、$\angle C$ 的外角三等分線，鄰近於 $BC$ 的兩條交於 $X$，另外兩條交於 $S$，則 $S$ 與 $X$ 在 $BC$ 兩側，且 $X$ 為 $\Delta BCS$ 的內心，即 $XS$ 平分 $\angle S$，故
$\displaystyle\frac{1}{2}\angle S=\frac{1}{2}\left(180^\circ-2\beta-2\gamma\right)=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\left(240^\circ-2\alpha\right)\right)=\alpha-30^\circ$.
現於線段 $SB$ 與 $SC$ 取點 $Y$、$Z$ 使 $\angle SXY=\angle SXZ=30^\circ$，那麼由 SAS 全等性質可知 $\Delta SXY\simeq\Delta SXZ$，從而 $XY=XZ$，又 $\angle YXZ=60^\circ$，故 $XYZ$ 為正三角形。
現證明 $AY$ 與 $AZ$ 為 $\angle A$ 的三角平分線。取 $X$ 關於 $SB$ 與 $SC$ 的對稱點分別為 $X'$、$X''$，則
$X'Y=YX=ZX=X''Z$,
且有
$\angle X'YZ=\angle X''ZY=60^\circ+2\left(180^\circ-\angle SYX\right)60^\circ+2\left(120^\circ-\angle SYZ\right)=120^\circ+\angle S=2\alpha+60^\circ$.
因此可知 $X',Y,Z,X''$ 四點共圓，那麼弧 $\overset{\frown}{X'Y}$、弧 $\overset{\frown}{YZ}$、弧 $\overset{\frown}{ZX''}$ 所對應的圓心角為 $120^\circ-2\alpha$，從而
• 若 $\alpha\leq30^\circ$，則優弧 $\overset{\frown}{X'YZX''}$ 的圓周角為 $180^\circ-3\alpha$，恰為 $\angle A$，此表明 $A$ 也在此共圓上，又因 $X'Y=YZ=ZX''$，故 $\angle X'AY=\angle YAZ=\angle ZAX''$，因此 $AY$ 與 $AZ$ 的內角三等分線。
• 若 $30<\alpha<60^\circ$，則劣弧 $\overset{\frown}{X'YZX''}$ 的圓周角為 $180^\circ-3\alpha$，恰為 $\angle A$，此表明 $A$ 也在此共圓上，又因 $X'Y=YZ=ZX''$，故 $\angle X'AY=\angle YAZ=\angle ZAX''$，因此 $AY$ 與 $AZ$ 的內角三等分線。
證明完畢。