幾何明珠 第十九章 愛可爾斯定理 練習與思考 詳解

1. 用愛可爾斯定理證明：正三角形的中點三角形（三邊中點所構成的三角形）為正三角形
解法
設 $\Delta ABC$ 為正三角形，並且記 $D,E,F$ 分別為 $AB$、$BC$、$CA$ 中點，那麼對 $\Delta ABC$ 與 $\Delta BCA$ 使用愛可爾斯定理 1 可知 $D,E,F$ 三點形成正三角形，證明完畢。


2. 如圖，$\Delta ABC$、$\Delta ADE$ 均為正三角形，$G$、$F$ 分別為 $BD$、$CE$ 的中點，求證：$\Delta AGF$ 為正三角形。

   

   （第二題）

解法
對 $\Delta ABC$、$\Delta ADE$ 使用愛可爾斯定理 1，其對應點的中點依序為 $A$、$G$、$F$，則 $\Delta AFG$ 為正三角形，證明完畢。


3. 分別以 $\Delta ABC$ 三邊為邊向三角形外作正 $\Delta ABZ$、正 $\Delta BCX$、正 $\Delta CAY$，求證：$\Delta ABC$ 與 $\Delta XYZ$ 有相同的重心。

   

   （第三題）

解法
對 $\Delta ABZ$、$\Delta BCX$、$\Delta CAY$ 使用愛可爾斯定理 2，則三點對應的重心依序記為 $G_1$、$G_2$、$G_3$，三者可形成正三角形，但 $G_1=G_2$，故三點重合（正三角形退化）。因此 $\Delta XYZ$ 之重心與 $\Delta ABC$ 的重心相同。


4. 在以 $AB$、$CD$ 分別為上、下底的等腰梯形中，對角線 $AC$、$BD$ 交於 $O$，$AE\bot BD$，垂足為 $E$，$DF\bot AC$，垂足為 $F$，設 $G$ 為 $AD$ 的中點，當 $\angle AOB=60^\circ$時，$\Delta EFG$ 具有什麼特徵？證明你的結論。（武漢市武昌區1982年競賽試題）
解法
按題設可知 $\Delta BOA$ 與 $\Delta OCD$ 皆為正三角形，因此運用愛可爾斯定理 1 可知對應的中點 $E$、$F$、$G$ 形成正三角形，證明完畢。


5. 以 $\Delta ABC$ 的兩邊 $AB$、$AC$ 為邊向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$，若 $BC$、$EG$ 的中點分別為 $P$、$Q$，兩正方形的中心分別為 $R$、$S$，則四邊形 $PSQR$ 為正方形。
解法
對正方形 $ABDE$ 與正方形 $FCAG$ 使用定理 19.3，那麼依序的中點分別為 $S$、$P$、$R$、$Q$，如此四點形成的四邊形與 $ABDE$、$FCAG$ 同向相似，即 $PSQR$ 也為正方形，證明完畢。